2012年高考數(shù)學(xué) 考點33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

考點33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.（2012·江西高考文科·7）若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（ ）A B.5 C.4 D. 【解題指南】由三視圖想像出幾何體的直觀圖，由直觀圖求得體積。【解析】選D.由三視圖可判斷該幾何體為直六棱柱，其底面積為4,高為1,所以體積為4.2.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·7）與（2012·新課標(biāo)全國高考理科·7）相同如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）A6 B9 C12 D18【解題指南】由三視圖想像出幾何體的直觀圖，由直觀圖求得體積?！窘馕觥窟xB.由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h(yuǎn)=3，相應(yīng)底面面積為.3.（2012·新課標(biāo)全國高考理科·T11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（ ） B. C. D. 【解題指南】思路一：取AB的中點為將棱錐分割為兩部分，利用求體積；思路二：設(shè)點到面的距離為d,利用求體積；思路三：利用排除法求解.【解析】選A 方法一：是球O的直徑，取AB的中點為，顯然，平面CDS在中，利用余弦定理可得故，+方法二：的外接圓的半徑，點到面的距離 為球的直徑點到面的距離為 此棱錐的體積為.方法三：排除.4.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·8）平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為（ ） （A） （B）4 （C）4 （D）6【解題指南】利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿足勾股關(guān)系求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積?！窘馕觥窟xB 設(shè)球O的半徑為R，則，故.5.（2012·陜西高考文科·8）將正方形（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為 （ ）【解題指南】結(jié)合原正方體，確定兩個關(guān)鍵點,和兩條重要線段和的投影.【解析】選B. 圖2所示的幾何體的左視圖由點A，D，,確定外形為正方形，判斷的關(guān)鍵是兩條對角線和是一實一虛，其中要把和區(qū)別開來，故選B.6.（2012·浙江高考文科·3）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積是（ ）A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3【解題指南】由三視圖可知,幾何體底面是兩直角邊分別是1和2的直角三角形,高為3的棱錐.【解析】選A.三棱錐的體積為: （cm3）.7.（2012·北京高考文科·7）與（2012·北京高考理科·7）相同某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ）4234側(cè)（左）視圖俯視圖正（主）視圖（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+【解題指南】由三視圖還原直觀圖，再求表面積.【解析】選B直觀圖如圖所示，PBACH底面是邊長AC=5，BC=4的直角三角形，且過頂點P向底面作垂線PH，垂足在AC上，AH=2，HB=3，PH=4.，.因為，所以.又因為，所以.所以.所以.在中，取PA中點E，連結(jié)BE，則，所以.因此三棱錐的表面積為.8.（2012·湖南高考理科·3）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是( )【解題指南】從俯視圖觀察可知，正視圖和測試圖不同的是D，正視圖應(yīng)有虛線.【解析】選D. 由“正視圖俯視圖等長，側(cè)視圖俯視圖等寬”，知本命題正視圖與側(cè)視圖相同，可知選D.9.（2012·湖南高考文科·4）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是( )【解題指南】找出正視圖和側(cè)視圖不相同的俯視圖?！窘馕觥窟xC. “正視圖俯視圖等長，側(cè)視圖俯視圖等寬”，本題正視圖與側(cè)視圖相同，可知選C.10.（2012·福建高考文科·）與（2012·福建高考理科·4）相同一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是（ ）A.球 B.三棱錐 C.正方體 D.圓柱【解題指南】通過了解基本空間幾何體的各個視圖分別是什么就能直接解題.【解析】選D. 圓柱的三視圖，分別矩形，矩形，圓，不可能三個視圖都一樣，而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方形.11.（2012·廣東高考理科·6）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為A12 B.45 C.57 D.81【解題指南】根據(jù)三視圖準(zhǔn)確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關(guān)鍵。本題顯然是一個由同底的圓柱和圓錐組成的組合體。【解析】選C. 此幾何體是一個組合體，上方為一個圓錐，下方為一個同底的圓柱，所以其體積為.12.（2012·廣東高考文科·7）某幾何的三視圖如圖所示，它的體積為A.72 B.48 C.30 D.24【解題指南】根據(jù)三視圖準(zhǔn)確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關(guān)鍵。顯然本題是一個由一個半球和倒立的圓錐組成的組合體。【解析】選C. 由三視圖可知一個由一個半球和倒立的圓錐組成的組合體。.13.（2012·湖北高考理科·4）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )A. B.3 C. D.6【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關(guān)鍵是正確的想象出直觀圖,再補體代入體積公式求解. 【解析】選B. 解答本題可采取補上一個與它完全相同的幾何體, 二、填空題14.（2012·湖北高考文科·15）已知某幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的體積為 【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關(guān)鍵是正確地想象出直觀圖,再代入體積公式求解.【解析】由本題的三視圖可知,該幾何體是由三個圓柱組合而成,其中左右兩個圓柱等體積.V=×22×1×2+×12×4=12.【答案】12.15.（2012·江蘇高考·7）在長方體中，則四棱錐的體積為 .【解題指南】關(guān)鍵是求出四棱錐的高，即A到面的距離.再接利用公式進(jìn)行求解.【解析】由題意知，四邊形ABCD為正方形，連接AC,交BD于O，則ACBD.由面面垂直的性質(zhì)定理，可證AO面。四棱錐底面的面積為，從而.【答案】6.16.（2012·浙江高考理科·11）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于_.【解題指南】由三視圖可知幾何體是一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐，而底面為直角三角形,易由錐體的體積公式可求得.【解析】三棱錐的體積為: .【答案】1.17.（2012·天津高考理科·10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為_.【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵.【解析】組合體的上座是一個長、寬、高分別為6、3、1的長方體，下面是兩個個底面半徑為1的相切的球體，所以所求的體積是：.【答案】. 18.（2012·天津高考文科·10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為_.【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵.【解析】組合體的底座是一個長、寬、高分別為4、3、2的長方體，上面是個平躺著的高為4的四棱臺，其兩個底面的面積相等，所以所求的體積是： =6+24=30.【答案】30.19. （2012·山東高考理科·14）如圖，正方體的棱長為1，分別為線段上的點，則三棱錐的體積為_.【解題指南】本題考查利用換頂點法來求三棱錐的體積，只需知道上的任意一點到面 的距離相等.【解析】的面積為正方形面積的一半，三棱錐的高即為正方體的棱長，所以.【答案】.20.（2012·山東高考文科·13）如圖，正方體的棱長為1，E為線段上的一點，則三棱錐的體積為.【解題指南】本題考查利用換頂點法來求三棱錐的體積，只需知道上的任意一點到面 的距離相等.【解析】以為底面，則易知三棱錐的高為1，故.【答案】.21.（2012·安徽高考理科·12）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是 【解題指南】根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的原則作出幾何體的直觀圖.【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱幾何體的表面積是.【答案】.22.（2012·安徽高考文科·12）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_. 【解題指南】根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的原則作出幾何體的直觀圖.【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱，幾何體的的體積是.【答案】.23.（2012·遼寧高考理科·13）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_.【解題指南】讀懂三視圖，它是長方體（挖去一個底面直徑為2cm的圓柱） ，分別求表面積，注意減去圓柱的兩個底面積.【解析】一個長方體的長寬高分別為4,3,1，表面積為；圓柱的底面圓直徑2，母線長1，側(cè)面積為；圓柱的兩個底面積故該幾何體的表面積為.【答案】38.24. （2012·遼寧高考文科·13）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.【解題指南】讀懂三視圖，它是圓柱和長方體的組合，分別求體積即可.【解析】該組合體上邊是一個圓柱，底面圓直徑2，母線長1；體積下面是一個長方體；長寬高分別為4,3,1，體積.故組合體體積.【答案】.25.（2012·遼寧高考文科·16）已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形.若PA=2,則OAB的面積為_.【解題指南】注意到條件中的垂直關(guān)系，將點P,A,B,C,D看作長方體的頂點來考慮就容易多了.【解析】由題意，PA平面ABCD，則點P,A,BC,D,可以視為球O的內(nèi)接長方體的頂點，球O位于該長方體的對角線的交點處，那么三角形OAB的面積為長方體對角面的四分之一.【答案】.26.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·19）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點.()證明：平面BDC1平面BDC；（）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.CBADC1A1【解題指南】（1）證兩個平面垂直，可轉(zhuǎn)化為在其中一個平面內(nèi)找到一條直線與另一個平面垂直，要證平面BDC1平面BDC，可證 平面BCD；（2）平面BDC1分棱柱下面部分為四棱錐，可直接求體積，上面部分可用間接法求得體積，從而確定兩部分體積之比.【解析】(I)由題設(shè)可知,所以平面.又平面,所以.由題設(shè)知,所以,即.又所以平面.又平面,故平面平面(II)設(shè)棱錐的體積為,.由題意得 又三棱柱的體積,所以.故平面分此棱柱所得兩部分體積的比為1:1.27.（2012·江西高考文科·19）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點，且DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.現(xiàn)將ADE，CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合與點G，得到多面體CDEFG.（1） 求證：平面DEG平面CFG；（2） 求多面體CDEFG的體積.【解題指南】（1）證兩個平面垂直，可轉(zhuǎn)化為在其中一個平面內(nèi)找到一條直線與另一個平面垂直，要證DEG平面CFG，可證；（2）多面體CDEFG為四棱錐，由DEG平面CFG得到四棱錐的高，利用體積公式求體積.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，則折疊完后EG=3，GF=4，又因為EF=5，所以可得又因為,可得，即所以平面DEG平面CFG.（2）過點G作GO垂直于EF,GO即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為S長方形DEFC·GO=×4×5×=16.