2020中考數(shù)學(xué) 壓軸專(zhuān)題 動(dòng)態(tài)幾何之“雙動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題

知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 1.  2020 中考數(shù)學(xué) 壓軸專(zhuān)題 動(dòng)態(tài)幾何之“雙動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題（含答案） 已知，如圖， ABC 中，已知 AB=AC=5 cm，BC=6 cm．點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運(yùn)動(dòng)， 速度為 1 cm/s；同時(shí)，直線 QD 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿 CB 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1 cm/s，且 QD⊥BC，與 AC，BC 分別交于點(diǎn) D，Q；當(dāng)直線 QD 停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P 也停止運(yùn)動(dòng)．連接 PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（0 ＜t＜3）s．解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng) t 為何值時(shí)，PQ//AC？ （2）設(shè)四邊形 APQD 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）是否存在某一時(shí)刻 t，使 S 由．  ： =23：45？若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理 四邊形 APQD ABC 第 1 題圖 解：（1）當(dāng) t s 時(shí),PQ//AC， ∵點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1 cm/s；同時(shí)，直線 QD 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿 CB 方向勻速運(yùn) 動(dòng)，速度為 1 cm/s， ∴BP＝t，BQ＝6?t． ∵PQ//AC， ∴△BPQ∽△BAC， ∴  第 1 題解圖 BP BQ t 6 -t 30 = ，即 = ，解得 t＝ s． AB BC 5 6 11 ∴當(dāng) t 為  30 11  s 時(shí)，PQ//AC； 1 / 21 t 23 = 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 （2）過(guò)點(diǎn) A、P 作 AN⊥BC，PM⊥BC 于點(diǎn) N、M， ∵AB＝AC＝5cm，BC＝6cm， ∴BN＝CN＝3cm， ∴AN＝  AB 2 -BN 2 = 52 -32  ＝4cm． ∵AN⊥BC，PM⊥BC， ∴△BPM∽△BAN， ∴  BP PM t PM 4 = ，即 = ，解得 PM＝ AB AN 5 4 5  t  ， ∴S  ＝ △BPQ  1 1 4 2t 2 12 BQ·PM＝ （6?t）· ＝ - + 2 2 5 5 5  t  ， ∵AB＝AC＝5cm，AN=4cm,CN=3cm,DQ//AN, ∴△CDQ∽△CAN， ∴  DQ CQ DQ t = ，即 = ， AN CN 4 3 ∴DQ=  4 3  t, ∴S  △CDQ  ＝  1 2 CQ·DQ＝ t2． 2 3 ∵S  ＝ △ABC  1 1 BC·AN= ×6×4＝12， 2 2 ∴y＝S  四邊形 APQD  ＝S  ?S △ABC  △ CDQ  ?S  2 2t 2 12 △BPQ＝12? t2?（ - + 3 5 5  t  ）＝12?  4 12 t 2 - t 15 5  （0＜t＜3）； （3）存在． ∵由（2）知，S  四邊形 APQD  ＝  ?S ABC  △CDQ  ?S  1 2t 2 12 △BPQ＝12? t2?（ - + 2 5 5  t  ）＝12?  4 12 t 2 - t 15 5  ，S  ＝12， △ABC ∴  12 -  4 12 t 2 - t 15 5 12 45  ， 2 / 21 2 四 邊形 APQD △ABC 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 解得 t 1  ＝  -12 +  4 114 4 114 ，t ＝ -12 - 3 3  （舍去）． ∴當(dāng) t＝ -12 +  4 114 3  s 時(shí)，S  ： S ＝23：4 ． 5 2.  如圖①，在 ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿折線 AB?BC 向終點(diǎn) C 運(yùn) 動(dòng)，在 AB 上以每秒 5 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在 BC 上以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 4 出發(fā)，沿 CA 方向以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) P 停止時(shí)，點(diǎn) Q 也隨之 3 停止．設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒． （1）求線段 AQ 的長(zhǎng)；（用含 t 的代數(shù)式表示） （2）連接 PQ，當(dāng) PQ ABC 的一邊平行時(shí)，求 t 的值； （3）如圖②，過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥AC 于點(diǎn) E，以 PE，EQ 為鄰邊作矩形 PEQF，點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn)，連接 DF．設(shè)矩形 PEQF 與△ABC 重疊部分圖形的面積為 S． ①當(dāng)點(diǎn) Q 在線段 CD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫(xiě)出 DF 將矩形 PEQF 分成兩部分的面 積比為 1：2 時(shí) t 的值． 第 2 題圖 解：（1）在 ABC 中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝  AB  2  -BC  2  = 10  2  -6  2  ＝ 8， 4 ∵點(diǎn) Q 在 CA 上，以每秒 個(gè)單位移動(dòng)， 3 ∴CQ＝  4 3  t， ∴AQ＝AC-CQ=8?  4 3  t． 3 / 21 3 t 3 t 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 10 6 （2）∵P 點(diǎn)從 AB-BC 總時(shí)間 + 5 3  =4s, ∵點(diǎn) P 在 AB 或 BC 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 在 AC 上， ∴PQ 不可能與 AC 平行， ①當(dāng)點(diǎn) P 在 AB 上，則 PQ//BC， 4 8 - t AP AQ 5t 此時(shí) = ，即 = AB AC 10 8 ②當(dāng)點(diǎn) P 在 BC 上,此時(shí) PQ//AB，  3 ，解得 t= s ; 2 ∴  4 CP CQ 6-3（t -2） = ，即 = BC CA 6 8  ，解得 t＝3s， 綜上所述，t＝  3 2  s 或 3s 時(shí)，PQ 與△ABC 的一邊平行； （3）①∵點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn)， ∴CD=4，當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D 時(shí)，  4 3  t  ＝4，解得 t ＝3， 16 3 點(diǎn) Q 與點(diǎn) E 重合時(shí)， ＝AC＝8，得 t＝ 3 2  ，分三種情況討論如下： （i）點(diǎn) Q 與點(diǎn) E 重合時(shí)， 所示，  16 3 3 t＝AC＝8，得 t＝ ，當(dāng) 0≤t≤ ，此時(shí)矩形 PEQF ABC 內(nèi)，如解圖① 3 2 2 ∵AP＝5t，易得 AE＝4t，PE＝3t，∴EQ＝AQ－AE＝8－  4 16 t－4t＝8－ t， 3 3 ∴S＝PE×EQ＝3t（8－  16 3  t）＝－16t２＋24t； 第２題解圖 4 / 21 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 （ii）點(diǎn) P 與點(diǎn) B 重合時(shí)，5t＝10，得 t＝2，當(dāng) 分是矩形 PEQF 的面積減 PFT 的面積．  3 2  ≤t≤2 時(shí)，如解圖②所示，設(shè) QF 交 AB 與 T，則重疊部 ∵AQ＝8－  4 3 3 4 t，∴QT＝ AQ= （8－ t）=6-t， 3 4 4 3 ∴FT=PE-QT=3t-(6-t)=4t-6, EQ=AE-AQ=4t-(8-  4 16 t)= t-8, 3 3 ∴S=PE·EQ-  1 2  EQ·Ft =3t·（  16 1 16 t-8)- ·（ 3 2 3  t-8)（4t-6） =  16 3  t2  +8t-24； (iii)當(dāng) 2<t≤3,點(diǎn) P 在 BC 上，且點(diǎn) F ABC 外，如解圖③所示，此時(shí)點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合，PC＝6－3（t－2） ＝12－3t，QC＝  4 3 4 4 4 t，QT＝ (8- t)＝6－t，BP＝3（t－2），PR＝ ·3（t－2）＝4t－8，F(xiàn)R＝FP－PR＝ 3 4 3 3 3  t －（4t－8）＝8－  8 3 t，F(xiàn)T＝ FR＝6－2t． 3 4 ∴S＝PT×QC－  1 2  FR·FT ＝（12－3t）·  4 1 8 t－ ·（8－ 3 2 3  t）·（6－2t） 20 ＝－ t２+32t－24； 3 第２題解圖 5 / 21 ② 3. 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 3 6 ， . 5 5 如圖，在 ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，同時(shí) 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，到達(dá) A 點(diǎn)后立刻以原來(lái)的速度沿 AB 返回．點(diǎn) P，Q 運(yùn)動(dòng)速度均 為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá) C 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 也同時(shí)停止．連接 PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（0＜t ≤5）秒． （1）當(dāng)點(diǎn) Q 從 B 點(diǎn)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（未到達(dá)點(diǎn) A）求 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；寫(xiě)出 t 的取值范圍； APQ （2）在（1）的條件下，四邊形 BQPC 的面積能否 ABC 面積的  13 15  ？若能，求出相應(yīng)的 t 值；若不 能，說(shuō)明理由； （3）伴隨點(diǎn) P、Q 的運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段 PQ 的垂直平分線為 l，當(dāng) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 時(shí)，求 t 的值． 第 3 題圖 解：（1）在 ABC 中，由勾股定理得：AC＝ AB  2  +BC  2  = 32  +4  2  ＝5； 如解圖①，過(guò)點(diǎn) P 作 PH⊥AB 于點(diǎn) H，AP＝t，AQ＝3?t， 第 3 題解圖① 則∠AHP＝∠ABC＝90°， ∵∠PAH＝∠CAB，∴△AHP∽△ABC， ∴  AP PH = AC BC  ， ∵AP＝t，AC＝5，BC＝4， ∴PH＝  4 5  t， 6 / 21 △ APQ t t 2 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 ∴S  1 4 ＝ （3?t）· 2 5  t， 2 6 即 S＝? t 2 ＋ 5 5  t  ，t 的取值范圍是：0＜t＜3． 13 （2）在（1）的條件下，四邊形 BQPC 的面積能 ABC 面積的 ．理由如下： 15 2 6 2 1 2 6 4 依題意得：? t 2 ＋ = ×3×4，即? t 2 ＋ = ． 5 5 15 2 5 5 5 整理，得（t?1）（t?2）＝0， 解得 t ＝1，t ＝2， 1 又 0＜t＜3， ∴當(dāng) t＝1 或 t＝2 時(shí)，四邊形 BQPC 的面積能 ABC 面積的 （3）①如解圖②，當(dāng)點(diǎn) Q 從 B 向 A 運(yùn)動(dòng)時(shí) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，  13 15  ； 第 3 題解圖② BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP， ∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90° ∴∠PBC＝∠PCB，∴CP＝BP＝AP＝t ∴CP＝AP＝  1 1 AC＝ ×5＝2.5， 2 2 ∴t＝2.5； ②如解圖③，當(dāng)點(diǎn) Q 從 A 向 B 運(yùn)動(dòng)時(shí) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B， 第 3 題解圖③ BP＝BQ＝3?（t?3）＝6?t，AP＝t，PC＝5?t， 7 / 21 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 過(guò)點(diǎn) P 作 PG⊥CB 于點(diǎn) G， 則 PG//AB， ∴△PGC∽△ABC， ∴  PC PG GC = = AC AB BC  ， ∴PG＝  PC 3 ·AB＝ （5?t）， AC 5 CG＝  PC 4 ·BC＝ （5?t）， AC 5 ∴BG＝4?  4 4 (5?t）＝ 5 5  t， 由勾股定理得 BP2＝BG2＋PG2， 即（6?t）2  ＝（  4 3 t）2＋[ （5?t）]2 5 5  ， 45 解得 t＝ ． 14 綜上所述，伴隨點(diǎn) P、Q 的運(yùn)動(dòng)，線段 PQ 的垂直平分線為 l，經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 時(shí)，t 的值是 2.5 或  45 14  ． 4.  如圖，在 ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，D、E 分別是 AC、AB 的中點(diǎn)，連接 DE，點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿 DE 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運(yùn)動(dòng)， 速度為 2cm/s，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E 停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 也停止運(yùn)動(dòng)．連接 PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（s）（0＜t ＜4）．解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng) t 為何值時(shí)，PQ⊥AB？ （2）當(dāng)點(diǎn) Q 在 BE 之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形 PQBCD 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）的情況下，是否存在某一時(shí)刻 t，使 PQ 分四邊形 BCDE 兩部分的面積之比為 S ：S △PQE 五 ＝1：29？若存在，求出此時(shí) t 的值以及點(diǎn) E 到 PQ 的距離 h；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 邊形 PQBCD 8 / 21 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 解：（1）如解圖①，在 ABC 中， AC＝6，BC＝8， ∴AB＝ 6 2 +82 ＝10． ∵D、E 分別是 AC、AB 的中點(diǎn)．， AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE//BC 且 DE＝ ∵PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠C＝90°， 又∵DE//BC，∴∠AED＝∠B，  1 2  第 4 題解圖 BC＝4， ∴△PQE∽△ACB，∴  PE QE = AB BC  . 由題意得：PE＝4?t，QE＝2t?5， 即  4 -t 2t -5 41 = ，解得 t＝ ； 10 8 14 （2）如解圖②，過(guò)點(diǎn) P 作 PM⊥AB 于 M， PM PE 由△PME∽△ACB，得 = AC AB  ， ∴  PM 4 - t 3 = ，得 PM＝ 6 10 5  （4?t）． 9 / 21 2 2 2 ) 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 S  ＝ △PQE  1 1 3 3 39 EQ·PM＝ （5?2t）· （4?t）＝ t2? 2 2 5 5 10  t＋6， S  ＝ 梯形 DCBE  1 2  ×（4＋8）×3＝18， ∴y＝S  - 梯形 DCBE  =18?（ PQE  3 39 3 39 t2? t＋6）＝? t2+ 5 10 5 10  t＋12． （3）假設(shè)存在時(shí)刻 t，使 ：S ＝1：29， PQE 五邊形 PQBCD 則此時(shí) S  ＝ △PQE  1 30  S  ， 梯形 DCBE ∴  3 39 1 t2? t＋6＝ ×18，即 2t2?13t＋18＝0， 5 10 30 解得 t 1  ＝2，t ＝  9 2  （舍去）． 當(dāng) t＝2 時(shí)， PM＝  3 6 4 8 ×（4?2）= ，ME＝ ×（4?2）＝ 5 5 5 5  ， EQ＝5?2×2＝1，MQ＝ME＋EQ＝  8 13 ＋1＝ 5 5  ， ∴PQ＝ PM  2  +MQ  2  æ6 ö æ13 ö ＝ ç ÷ +ç ÷ = è5 ø è5 ø  205 5  ． ∵  1 3 PQ· h＝S△PQE= ， 2 5 6 5 6 205 6 ∴h＝ · = (或 . 5 205 205 205 5.  如圖，在 ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于點(diǎn) D．點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿線段 DC 向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿線段 CA 向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度， 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到 C 時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒． （1）求線段 CD 的長(zhǎng)； （2） CPQ 的面積為 S，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻 t，使得 S △CPQ  ：S =9：100？若存在，求出 t 的值；若不存在，則說(shuō)明理由； △ABC 10 / 21 - t 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 （3）是否存在某一時(shí)刻 t，使 CPQ 為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的 t 的值；若不存在， 則說(shuō)明理由． 解：（1）如解圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10．∵CD⊥AB，∴  ＝ ABC  1 1 BC?AC＝ AB?CD． 2 2 ∴CD＝  BC ´AC 6 ´8 = AB 10  ＝4.8， ∴線段 CD 的長(zhǎng)為 4.8； （2）①過(guò)點(diǎn) P 作 PH⊥AC，垂足為 H，如解圖②所示． 由題可知 DP＝t，CQ＝t，則 CP＝4.8?t． ∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°?∠DCB＝∠B． ∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°,∴∠CHP＝∠ACB， ∴△CHP∽△BCA， ∴  PH PC PH 4.8 -t = ,∴ = AC AB 8 10  ， ∴PH＝  96 4 1 1 96 4 2 48 ，∴S△CPQ＝ CQ·PH＝ t（ - t ）＝? t2+ 25 5 2 2 25 5 5 25  t； ②存在某一時(shí)刻 t，使得 S ： ＝9：100． △CPQ ABC ∵S ＝ △ABC  1 2  ×6×8＝24，且 S ： ＝9：100， △CPQ ABC ∴（?  2 48 t2+ 5 25  t）：24＝9：100． 整理得：5t2?24t＋27＝0． 11 / 21 5 2 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 即（5t?9）（t?3）＝0． 9 解得：t＝ 或 t＝3． 5 ∵0≤t≤4.8， 9 ∴當(dāng) t＝ 秒或 t＝3 秒時(shí)， ：S ＝9：100； CPQ △ABC （3）①若 CQ＝CP，如解圖①，則 t＝4.8?t； 解得：t＝2.4； ②若 PQ＝PC，如解圖②所示， ∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝  1 1 QC＝ t． 2 2 ∵△CHP∽△BCA．∴  CH CP = BC AB  , ∴  1 t 4.8 -t = 6 10  144 ，解得：t＝ ； 55 ③若 QC＝QP，過(guò)點(diǎn) Q 作 QE⊥CP，垂足為 E，如解圖③所示． 24 同理可得：t＝ ． 11 綜上所述：當(dāng) t 為 2.4 秒或  144 24 秒或 秒時(shí) CPQ 為等腰三角形． 55 11 6.  第 5 題解圖 如圖， ABC 中，AB=AC=10 cm，BD⊥AC 于點(diǎn) D，且 BD=8cm．點(diǎn) M 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿 AC 的方向 勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 2 cm/s；同時(shí)直線 PQ 由點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BA 的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s，運(yùn)動(dòng)過(guò) 程中始終保持 PQ//AC，直線 PQ 交 AB 于點(diǎn) P、交 BC 于點(diǎn) Q、交 BD 于點(diǎn) F．連接 PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 12 / 21 2 t ABC 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 為 t（0＜t＜5）． （1）當(dāng) t 為何值時(shí)，PM//BC？ （2）設(shè)四邊形 PQCM 的面積為 y cm ，求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）已知某一時(shí)刻 t，有 S  = 四邊形 PQCM  3 4  ABC  成立，請(qǐng)你求出此時(shí) t 的值. 解：（1）∵當(dāng) ∴AP＝AM， ∴10?t＝2t，  第 6 題圖 PM//BC 時(shí)，△APM∽△ABC， ∴t＝  10 3  ； 1 （2）∵四邊形 PQCM 為梯形，y＝ （PQ＋MC）DF， 2 ∵PQ＝PB＝t，MC＝10?2t，BF：BD＝BP：AB, ∴BF＝  8t 4 10 5  t， ∴DF＝8?  4 5  t  , 1 4 2 ∴y＝ (t＋10?2t)·(8? ）= t 2 5 5  2  ?8t＋40； 2 3 （3）由（2）知， t 2?8t＋40=40× ， 5 4 3 ， 解得 t＝10±5 又∵0<t<5, ∴當(dāng) t＝10-5 3 s 時(shí)，使 S  ＝ 四邊形 PQCM  3 4  S 成立. △ 13 / 21 7. 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 如圖，在四邊形 ABCD 中，AD//BC，AD＝6 cm，CD＝4 cm，BC＝BD＝10 cm，點(diǎn) P 由 B 出發(fā)沿 BD 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，線段 EF 由 DC 出發(fā)沿 DA 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s，交 BD 于 Q，連接 PE．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（s）（0＜t＜5）．解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng) t 為何值時(shí)，PE//AB； （2） PEQ 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）是否存在某一時(shí)刻 t，使   ＝ PEQ  2 25  BCD  ？若存在，求出此時(shí) t 的值；若不存在，說(shuō)明理由； （4）連接 PF，在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形 PFCDE 的面積是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由． 第 7 題圖 解：（1）當(dāng) PE//AB 時(shí)， ∴  DE DP = DA DB  ． 而 DE＝t，DP＝10?t， ∴  t 10 -t = 6 10  ， ∴t＝  15 4  ， ∴當(dāng) t＝  15 4  s 時(shí)，PE//AB； （2）∵AD//BC,線段 EF 由 DC 出發(fā)沿 DA 方向勻速運(yùn)動(dòng)， ∴EF//CD， ∴四邊形 CDEF 是平行四邊形, ∴∠DEQ＝∠C，∠DQE＝∠BDC． ∵BC＝BD＝10， ∴△DEQ∽△BCD, 14 / 21 10 2 100 4 96 4 6 t - 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 ∴  DE EQ t EQ = , = BC CD 10 4  , ∴EQ＝  2 5  t, 如解圖，過(guò) B 作 BM⊥CD 交 CD 于 M，過(guò) P 作 PN⊥EF 交 EF 于 N， ∵BC＝BD，BM⊥CD，CD＝4cm， ∴CM＝  1 2  CD＝2cm， ∴BM＝ 2 - 2 = - = = ∵EF//CD， ∴∠BQF＝∠BDC，∠BFG＝∠BCD， 又∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴∠BQF＝∠BFG， ∵ED//BC， ∴∠DEQ＝∠QFB， 又∵∠EQD＝∠BQF， ∴∠DEQ＝∠DQE， ∴DE＝DQ， ∴ED＝DQ＝BP＝t， ∴PQ＝10?2t． 又 PNQ∽△BMD，  cm， ∴  PQ PN = BD BM  ， ∴  10 -2t PN = 10 4 6  ， ∴PN＝4  6(1 ) 5  ， ∴S  ＝ △PEQ  1 1 2 t EQ·PN＝ ´ t ´4 6(1 - ) 2 2 5 5  =  -  4 6 4 6 t 2 + t 25 5  ； 15 / 21 6 2 2 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 第 7 題解圖 （3）存在.此時(shí) t 的值為 1s 或 4s. S  △BCD  ＝  1 1 CD·BM＝ 2 2  ×4×4  6  ＝8  6  ， 若 S  = △PEQ  2 25  S  △BCD  ， 則有 -  4 6 4 6 2 t + t = ×8 , 25 5 25 解得 t 1  ＝1，t ＝4， ∴當(dāng) t=1 或 4 時(shí)，S  = △PEQ  2 25  S  △BCD  ； （4）五邊形 PFCDE 的面積不發(fā)生變化.理由如下： 在△PDE FBP 中， ∵DE＝BP＝t，PD＝BF＝10?t，∠PDE＝∠FBP， ∴△PDE≌△FBP（SAS）． ∴S  ＝S ＋S ＝S ＋S ＝S ＝8 五邊形 PFCDE △ PDE 四邊形 PFCD △FBP 四邊形 PFCD △BCD  6  , ∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形 PFCDE 的面積不變． 8.  如圖． ABC 中．AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD 是 BC 邊上的高．點(diǎn) P 由 C 出發(fā)沿 CA 方向勻速 運(yùn)動(dòng)．速度為 1 cm/s．同時(shí)，直線 EF 由 BC 出發(fā)沿 DA 方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為 1 cm/s，EF//BC，并且 EF 分別交 AB、AD、AC 于點(diǎn) E，Q，F(xiàn)，連接 PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（s）（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 BDFE 是平行四邊形？ （2）設(shè)四邊形 QDCP 的面積為 y（cm2  ），求出 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）是否存在某一時(shí)刻 t，使 S  ： ＝9：20？若存在，求出此時(shí) t 的值；若不存在，說(shuō)明理 四邊形 QDCP ABC 由； （4）是否存在某一時(shí)刻 t，使點(diǎn) Q 在線段 AP 的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn) F 到直線 PQ 的距離 h；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 16 / 21 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 第 8 題圖 解：（1）如解圖①中，連接 DF， 第 8 題解圖① ∵AB＝AC＝5，BC=6，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， 在 ABD 中，AD＝ 52 - 32 ∵EF//BC， ∴△AEF∽△ABC，  ＝4， ∴ ∴  EF AQ = BC AD EF 4 -t = 6 4  ， ， 3 ∴EF＝ （4?t）， 2 ∵EF//BD， ∴EF＝BD 時(shí)，四邊形 EFDB 是平行四邊形， 3 ∴ （4?t）＝3， 2 ∴t＝2， 17 / 21 t t 2 2 t 2 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 ∴t＝2s 時(shí)，四邊形 EFDB 是平行四邊形； （2）如解圖②中，作 PN⊥AD 于 N， 第 8 題解圖② ∵PN//DC， ∴ ∴  PN AP = DC AC PN 5 -t = 3 5  ， ， 3 ∴PN＝ （5-t）， 5 ∴y＝  1 1 1 3 3 27 3 27 DC·AD? AQ·PN＝6? （4?t） · （5?t）＝6?（ - ＋6）= - t + t 2 2 2 5 10 10 10 10  （0＜t＜4）； （3）存在.理由：由題意（ -  3 27 + 10 10  t  ）：12＝9：20， 解得 t＝3 或 6（舍去）； ∴當(dāng) t＝3s 時(shí)，S  ： ＝9：20； 四邊形 QDCP ABC （4）存在．理由如下： 如解圖③，作 QN⊥AC 于 N，作 FH⊥PQ 于 H． 第 8 題解圖③ ∵QA＝QP，QN⊥AP， ∴AN＝NP＝  1 1 AP＝ （5?t）， 2 2 18 / 21 4 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 AD AN 由題意 cos∠CAD＝ = AC AQ  ， ∴  1 2  (5-t) = 4 -t 5  ， ∴t＝ ∴t＝  7 3 7 3  ， s 時(shí)，點(diǎn) Q 在線段 AP 的垂直平分線上． ∵sin∠FPH＝  FH 3 = PF 5  ， ∵PA＝5?  7 8 4 25 ＝ ，AF＝AQ ¸ = 3 3 5 12  ， ∴PF＝  7 12  ， ∴FH＝  7 20  ． ∴點(diǎn) F 到直線 PQ 的距離 h＝  7 20  ． 9. 如圖，BD 是正方形 ABCD 的對(duì)角線，BC＝2，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線 BC 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，以相同的速度沿射線 BC 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 出發(fā)后，過(guò)點(diǎn) Q 作 QE⊥BD， 交直線 BD 于點(diǎn) E，連接 AP、AE、PE、QE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（秒）． （1）請(qǐng)直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形 APQD 是什么四邊形？ （2）請(qǐng)判斷 AE，PE 之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明； （3） EPB 的面積為 y，求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （4）直接寫(xiě) EPQ 的面積 EDQ 面積的 2 倍時(shí) t 的值． 19 / 21 t 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 第 9 題圖 解：（1）四邊形 APQD 是平行四邊形； 【解法提示】∵四邊形 ABCD 是正方形，P、Q 速度相同， ∴∠ABE＝∠EBQ＝45°，AD∥BQ，AD＝BC＝2，BP＝CQ， ∴BC＝AD＝PQ，∴四邊形 APQD 是平行四邊形. （2）AE＝PE，AE⊥PE；理由如下： ∵EQ⊥BD，∴∠PQE＝90°?45°＝45°， ∴∠ABE＝∠EBQ＝∠PQE＝45°， ∴BE＝QE， 在△AEB EPQ 中， ìAB =PQ ï íÐABE =ÐPQE  ， ï î BE =QE ∴△AEB≌△EPQ（SAS）， ∴AE＝PE，∠AEB＝∠PEQ， ∴∠AEP＝∠BEQ＝90°， ∴AE⊥PE； （3）過(guò)點(diǎn) E 作 EF⊥BC 于點(diǎn) F， 如解圖①所示： BQ＝t＋2，EF＝  t +2 2  ， ∴y＝  1 t +2 1 1 × ×t，即 y＝ 2 + 2 2 4 2  t  ； 第 9 題解圖① （4 EPQ 面積 EDQ 面積的 2 倍時(shí) t 的值為 1 或 3. 【解法提示】分兩種情況： ① 當(dāng) P 在 BC 延長(zhǎng)線上時(shí)，作 PM⊥QE 于 M，如解圖②所示： 20 / 21 知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根 第 10 題解圖② ∵PQ＝2，∠BQE＝45°， ∴PM＝  2 2 2 PQ＝ 2 ，BE＝QE＝ BQ＝ （t＋2）， 2 2 2 ∴DE＝BE? BD＝  2 2 （t＋2）? 2 2 ＝ t- 2 , 2 2 ∵△EPQ 的面積是△EDQ 面積的 2 倍， ∴  1 2 1 2 × （t＋2）× 2 ＝2× （ t? 2 2 2 2  2  ）×  2 2  （t＋2）， 解得 t＝3 或 t＝? 2（舍去）， ∴t＝3； ②當(dāng) P 在 BC 邊上時(shí)，解法同①，此時(shí) DE＝ 2 - ∵△EPQ 的面積是△EDQ 面積的 2 倍，  2 2  t， ∴  1 2 × （t＋2）× 2 2  2  1 2 2 ＝2× （ 2 - t）× （t＋2）， 2 2 2 解得：t＝1 或 t＝? 2（舍去）， ∴t＝1； 綜上所述，△EPQ 的面積是△EDQ 面積的 2 倍時(shí) t 的值為：1 或 3． 21 / 21