高考沖刺 三角函數(shù)的概念圖像與性質(zhì)(提高)

高考沖刺三角函數(shù)的概念圖象和性質(zhì)編稿：孫永釗 審稿：張林娟【高考展望】近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的 思想方法三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時(shí)有明顯的降調(diào)傾向，突出正、余弦函數(shù)的主體地位，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在課本知識(shí)的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)、基本方法的再認(rèn)識(shí)和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比較完整的知識(shí)體系；第二、三輪復(fù)習(xí)以基本綜合檢測(cè)題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當(dāng)然，這一部分知識(shí)最可能出現(xiàn)的是“結(jié)合實(shí)際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用）來(lái)考查三角函數(shù)性質(zhì)”的命題，因此，建議三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)控制在課本知識(shí)的范圍和難度上，這樣就能夠適應(yīng)未來(lái)高考命 題趨勢(shì)。從近幾年高考試題來(lái)看，對(duì)三角函數(shù)的考查：一是以選擇填空的形式考查三角函數(shù)的性質(zhì)及公式的應(yīng)用，一般占兩個(gè)小題；二是以解答題的形式綜合考查三角恒等變換、y =A sin(wx +j) 與向量等其他知識(shí)綜合及三角函數(shù)為背景的實(shí)際問(wèn)題等.的性質(zhì)、三角函數(shù)預(yù)測(cè)今年，考查形式不變，選擇、填空題以考查三角函數(shù)性質(zhì)及公式應(yīng)用為主，解答題將會(huì)以向量為載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)或者與函數(shù)奇偶性、周期性、最值等相結(jié)合，以小型綜合題形式出現(xiàn). 【知識(shí)升華】方法技巧：1.八大基本關(guān)系依據(jù)它們的結(jié)構(gòu)分為倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系，用三角函數(shù)的定義反復(fù)證明強(qiáng)化記憶，這是最有效的記憶方法。誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法可概括為“奇變偶不變， 符號(hào)看象限”，變與不變是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的2.三角函數(shù)值的符號(hào)在求角的三角函數(shù)值和三角恒等變換中，顯得十分重要，根據(jù)三角函數(shù)的，可簡(jiǎn)記為“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”，其含義是：在第一象限各三角函數(shù)值皆為正；在第二象限正弦值 為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正第 1 頁(yè) 共 21 頁(yè) 左 ( >0)或向右(橫 坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<w<1)或縮短(w>1)3.在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)、求值和證明恒等關(guān)系時(shí)，要注意用是否“同角”來(lái)區(qū)分和選用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、 求值時(shí)，要注意正負(fù)號(hào)的選取4.求三角函數(shù)值域的常用方法：求三角函數(shù)值域除了判別式、重要不等式、單調(diào)性等方法之外，結(jié)合三角函數(shù)的特點(diǎn)，還有如下方法： （1）將所給三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)配方法求值域；（2）利用sin x ,cos x的有界性求值域；（3）換元法，利用換元法求三角函數(shù)的值域，要注意前后的等價(jià)性，不能只注意換元，不注意等價(jià)性 5. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）列表綜合三個(gè)三角函數(shù) 最值的情況；y =sin x ， y =cos x ， y =tan x的圖象與性質(zhì)，并挖掘：了解周期函數(shù)和最小正周期的意義會(huì)求y =A sin(wx +j)的周期，或者經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期，了解加了絕對(duì)值后的周期情況； 會(huì)從圖象歸納對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；y =sin x的對(duì)稱軸是x =kp+p2( k ÎZ )，對(duì)稱中心是( kp,0) ( k ÎZ )；y =cos x的對(duì)稱軸是x =kp ( k ÎZ )，對(duì)稱中心是( kp+p2,0) ( k ÎZ )y =tan x的對(duì)稱中心是(kp2,0)( k ÎZ )注意加了絕對(duì)值后的情況變化.寫單調(diào)區(qū)間注意w >0.（二）了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫(huà)法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡(jiǎn)圖，并能由圖象寫出解析式“五點(diǎn)法”作圖的列表方式；y =A sin(wx +j)求解析式y(tǒng) =A sin(wx +j)時(shí)處相j的確定方法：代（最高、低）點(diǎn)法、公式x =-1jw.（三）正弦型函數(shù)先平移后伸縮y =A sin(wx +j)的圖象變換方法如下：y =sin x 的圖象¾向¾¾j¾¾¾j¾<0)® 平移 j個(gè)單位長(zhǎng)度得 y =sin( x +j)的圖象¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ® 1到原來(lái)的 ( 縱坐標(biāo)不變)w第 2 頁(yè) 共 21 頁(yè)向 ( k( k0)標(biāo) 長(zhǎng) 或 短 向 左 (得 y =sin(wx +j)的圖象¾縱¾坐¾標(biāo)伸¾長(zhǎng)(¾A>1)¾或縮¾短(¾0<A¾<1)® 為原來(lái)的A倍( 橫坐標(biāo)不變)得 y =A sin(wx +j)的圖象¾向¾上¾>0)¾或¾下¾<¾® 平移 k 個(gè)單位長(zhǎng)度得 y =A sin( x +j)+k 的圖象 先伸縮后平移y =sin x 的圖象¾縱¾坐¾伸¾(¾A>1)¾縮¾(¾0<A¾<1)® 為原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)得 y =A sin x 的圖象¾¾¾橫坐標(biāo)伸¾長(zhǎng)(0¾¾¾¾¾<w<1)或縮短(w>1)® 1到原來(lái)的 ( 縱坐標(biāo)不變) w得 y =A sin(wx ) 的圖象¾¾¾j>¾0)或¾¾¾®向右(j<0)j平移 個(gè)單位 w得 y =A sin x (wx +j)的圖象 【典型例題】類型一、三角函數(shù)的概念¾向¾上(¾k>0)¾或向¾下¾(k<0)¾® 平移 k 個(gè)單位長(zhǎng)度得 y =A sin(wx +j)+k 的圖象【例 1】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，將點(diǎn) A(1， 3 )繞原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°到點(diǎn) B，那么點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 _；若直線 OB 的傾斜角為 ，則 sin 2 的值為_(kāi)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出點(diǎn) B 的坐標(biāo)，進(jìn)而求出角，可求 sin 2.【答案】( 3 ，1) 【解析】如圖所示，32點(diǎn) A 的坐標(biāo)為( 3 ，1)，AOx60°，又AOB90°，BOx30°， 過(guò) B 作 BCx 軸于 C，OB2，OC 3 ，BC1，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(3，1)，則直線 OB 的傾斜角為56p，即 56p，sin 2sin53p2 3 sin p3 2.【總結(jié)升華】三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式的應(yīng)用(1)三角函數(shù)的定義是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用三角函數(shù)的定義求三角 函數(shù)值有時(shí)反而更簡(jiǎn)單第 3 頁(yè) 共 21 頁(yè)(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，要注意正確地選擇公式，注意公式的應(yīng)用條件 舉一反三：【變式】在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x 成立的 x 的取值范圍為A.(p p 5p p p 5p p 5p 3p , ) È (p, ) B. ( , p) C. ( , ) D. ( , p) È ( , )4 2 4 4 4 4 4 4 2答案 C【解析】在單位圓中畫(huà)三角函數(shù)線，如圖所示，要使在(0,2)內(nèi)，sin xcos x，則 x(p 5p, )4 4.【例 2】已知角的終邊落在直線 3x+4y=0 上，求 sin,cos,tan的值?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題求的三角函數(shù)值，依據(jù)三角函數(shù)的定義，可在角的終邊上任意一點(diǎn) P（4t,-3t）(t 0)，求出 r，由定義得出結(jié)論。【解析】角的終邊在直線 3x+4y=0 上，在角的終邊上任取一點(diǎn) P（4t,-3t）(t0)，則 x=4t,y=-3t.,r=x2 +y 2 = (4t ) 2 +( -3t ) 2=5|t|,當(dāng) t>0 時(shí)，r=5t,sin=y -3t=r 5t3 x 4t 4 y -3t 3 =- , cos a = = = ， tan a = = =-5 r 5t 5 x 4t 4；y -3t 3當(dāng) t<0 時(shí)，r=-5t，sin= = = ， cosr -5t 5x 4t 4a = = =- ， tan r -5t 5y -3t 3 a = = =-x 4t 4。綜上可知，sin=-3 4 3 3 4 3 ， cos a = ， tan a =- ；或 sin= , cos a =- , tan a =-5 5 4 5 5 4.【總結(jié)升華】已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的值。若角的終邊 落在某條直線上，一般要分類討論。舉一反三：【變式】已知角q的終邊上的一點(diǎn)p（- 3，m）且 sin q=24m, 求 cos q+tan q的值。第 4 頁(yè) 共 21 頁(yè)ì ï î ï ï ï ï ï ï 【解析】由三角函數(shù)的定義得sinq=m3+m2=2 m4,所以 m =0,或m = ± 5 . 當(dāng)m =0時(shí)，cosq+tanq= -1 ；當(dāng)m = 5時(shí)，cos q+tanq=-6 15- ；4 3當(dāng)m =- 5時(shí)，cosq+tanq=-6 15+4 3.類型二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系【例 3】已知 是三角形的內(nèi)角，且 sin+cos=15.（1）求 tan的值；（2）把cos21a-sin2a用 tan表示出來(lái)，并求其值?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）由 sin+cos= 1 及 sin2+cos2=1,可求 sin, cos的值；5（2）sin2+cos2=1，分子、分母同除以 cos2即可。ïsin【解析】（1）方法一：聯(lián)立方程 ía+cosa =15sin2a+cos 2a =1整理得25sin 2 a-5sin a-12 =0是三角形內(nèi)角，ì 4sin a =ï 5 í3cos a =-ïî 5tan=-43方法二：sin+cos=15，(sin+cos)2=( 1 )25即1 +2sin acos a =1 24 ， 2sin acos a =-25 25(sin-cos)2=4925sinacosa =-1225<0且0 <a<psin>0,cos<0,sin- cos>0,sin- cos=75,ì 1 ì 4sin a+cos a = sin a =ï 5 ï 5由 í 得 í7 3sin a-cos a = cos a =- ïî 5 ïî 5第 5 頁(yè) 共 21 頁(yè)弓 扇 D扇 tan=-43sin2a+cos2a（2）cos21 sin 2= a-sin 2 a cos 2a+cos 2a-sin 2a=a cos2cos 2 aa-sin2tan 2 a+1 =a 1 -tan 2 acos2atan=-43cos21 tan 2 a+1=a-sin 2 a 1 -tan 2 a=4( - ) 2 +1 34 1 -( - ) 2325=- .7【總結(jié)升華】（1）對(duì)于 sin+cos，sincos，sin-cos這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求。轉(zhuǎn)化的公式為(sin±cos)2=1±2 sincos;（2）關(guān)于 sin，cos的齊次式， 往往化為關(guān)于 tanx 的式子?！纠?4】已知一扇形的圓心角是，所在圓半徑是 R。（1） 若=600，R=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積。（2） 若扇形的周長(zhǎng)是一定值 C（C>0），當(dāng)是多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？【思路點(diǎn)撥】（1）利用弧長(zhǎng)、面積公式求解；（2）把扇形面積用表示出來(lái)，或用弧長(zhǎng)表示出來(lái)，然后求 出函數(shù)的最值。【解析】（1）設(shè)弧長(zhǎng)為 l ，弓形面積為 S ，弓a =600=p3, R =10,10p(cm), l =31 10 1S =S -S = ´ p´10 - ´102 3 2p 3)( cm2 ).=50(-3 22´sin 600,（2）方法一：扇形周長(zhǎng) C=2R+1 1 C2S = a×R2 = a( )2 2 2 +al=2R+R,R=C2 +a=C 2 1 C 2 a× = ×2 4 +4a+a2 21 4 +4a+C 2£4 16a.當(dāng)且僅當(dāng)a =4a，即=2（=-2 舍去）時(shí)，扇形面積有最大值C 216。第 6 頁(yè) 共 21 頁(yè)max方法二：由已知 2R+ l =C, C -l R = (l <C ), 2S =1 1 C -l 1Rl = × ×l = (Cl -l 2 2 2 42)1 C C 2 =- (l - ) 2 +4 2 16當(dāng)l -C C 2 時(shí)， S = ，2 16C此時(shí)la = =R2C -C2=2.2C 2當(dāng)=2 弧度時(shí)，扇形面積有最大值 。16【總結(jié)升華】合理選擇變量，把扇形面積表示出來(lái)，體現(xiàn)了函數(shù)的思想，針對(duì)不同的函數(shù)類型，采用不同 的方法求最值，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式】若cosa+2sina =- 5,則tana=( )（A）1 1 （B）2 （C） -2 2（D）-2【解析】由cos a+2sin a =- 5可得：由cos a =- 5 -2sin a，又由sin2a+cos2a =1 ，可得： sin 2 a （ - 5 -2sina）212 5 5asin， cos a =- 5 -2sin a可得，5 5sin aatan所以，2。cos a【總結(jié)升華】 對(duì)于給出正弦與余弦的關(guān)系式的試題，要能想到隱含條件：sin2a+cos2a =1，與它聯(lián)系成方程組，解方程組來(lái)求解。第 7 頁(yè) 共 21 頁(yè)2 類型三、誘導(dǎo)公式【例 5】化簡(jiǎn)：sin( k p-a)cos( k -1)p-a sin( k +1)p+acos( k p+a)( k ÎZ )【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)時(shí)注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了 k p ，需討論 k 是奇數(shù)還是偶數(shù)?！窘馕觥慨?dāng)k =2 n ( n ÎZ )時(shí)，原式 =sin(2 np-a)cos(2 n -1)p-a sin( -a)cos( -p-a)=sin(2 n +1)p+acos(2 np-a) sin(p+a)cos a=-sin a( -cos a) -sin a cos a=-1當(dāng)k =2 n +1(n ÎZ )時(shí)原式 =sin(2 n +1)p-acos(2 n +1 -1)p-a sin(p-a)cos a=sin(2 n +1 +1)p+acos(2 n +1)p+a sin a cos(p+a)=sin a cos a sin a ( -cos a)=-1綜上，原式=-1【總結(jié)升華】誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“變”與“不變”是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的，sin與 cos對(duì)偶，“奇”、“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式中k p2+的整數(shù) k 來(lái)講的，象限指k p p +中，將看作銳角時(shí)， k 2 2+所在象限，如將 cos(3p2+)寫成p 3p 3p cos（ 3 +），因?yàn)?3 是奇數(shù)，則“cos”變?yōu)閷?duì)偶函數(shù)符號(hào)“sin”，又 +看作第四象限角，cos( +2 2 23p)為“+”，所以有 cos( +)=sin。2例 6.（2015 宜賓縣模擬） ABC 中，角 A 為銳角，且+cos A（1）求 f（A）的最大值；（2）若 ，求ABC 的三個(gè)內(nèi)角和 AC 邊的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) f（A），根據(jù) A 為銳角，確定 f（A）的最大值（2）利用 f（A）=1 求出 A、B、C 三個(gè)角，再用正弦定理求出 AC 邊的長(zhǎng).【解析】（I） 由已知得 f（A）=取值最大值，其最大值為第 8 頁(yè) 共 21 頁(yè)î （II）由 f（A）=1 得 sin（2A+）=在ABC 中，由正弦定理得：【總結(jié)升華】三角恒等變換與解三角形的綜合問(wèn)題，是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.此類型題目要先化簡(jiǎn)，再求 值。另外要特別注意角的取值范圍問(wèn)題.舉一反三：【變式】（2015 春 湛江期末）若 cos= ， 是第四象限角，求的值【解析】 是第四象限角，cos= ，sin= ，tan=則原式=tan =，類型四、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例 7】求下列函數(shù)的定義域：（1）求 y=lg(sinx-cosx)的定義域；（2）求函數(shù)y =lg(2sin x -1) + 1 -2cos x的定義域。【思路點(diǎn)撥】（1）第（1）小題實(shí)際就是求使 sinx>cosx 的 x 的集合，可用圖象或三角函數(shù)線解決；（2）ì2sin x -1 >0第（2）小題實(shí)際就是求使 í1 -2cos x ³0成立的 x 的值，可用圖象或三角函數(shù)線解決?！窘馕觥浚?）要使函數(shù)有意義，必須使 sinx-cosx>0方法一：利用圖象。在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出 0 ，2 上 y=sinx 和 y=cosx 的圖象，如圖所示：第 9 頁(yè) 共 21 頁(yè)î ï ï ï ï ö ÷ 1 1 ï ï î î 在0，2內(nèi)，滿足 sinx=cosx 的 x 為p 5p， ，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2，所以定義域 4 4為x |p4+2 k5pp<x < +2 k 4p, k ÎZ 方法二、利用三角函數(shù)線，如圖，MN 為正弦線，OM 為余弦線，要使 sinx>cosx,即 MN>OM，則p4<x <5p4(在0,2p內(nèi))。定義域?yàn)閜 5p x | +2 k p<x <4 4+2 kp, k ÎZ方法 三：sinx-cosx=2p psin(x- )>0,將 x- 視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù) 4 4y=sinx 的圖象和性質(zhì)可知 2k < x-p p 5p< +2k , 解得 2k + <x< +2k ,k Z. 定義域?yàn)?4 4 4p 5p x | +2 k p<x < +2 k4 4p, k ÎZì2sin x -1 >0（2）要使函數(shù)有意義，必須有 í1 -2cos x ³0ì 1 ìpsin x >ï 2 ï6 ，即 í ，解得 í1 pcos x £ïî 2 ïî3+2 k+2 k5p<x < p+2kp65p£x £ p+2kp3k ÎZ，p3+2 kp£x <5p6+2 kp(k ÎZ )故所求函數(shù)的定義域?yàn)?#233;êëp 5p +2 kp,3 6+2 kp ( k ÎZ ) ø【思路點(diǎn)撥】與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域仍然是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍；求此類函數(shù)的定義域最終歸結(jié)為用三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象解三角不等式。 舉一反三【變式 1】求函數(shù)的定義域：（1） y =2 +log x + tan x ； （2） y = 2ptan( x - ) sin x4lg(2 cos x -1).【答案】ì2+log x ³0 ì0<x £4 ï ï（1）要使得函數(shù)有意義，需滿足 í 2 Þ íkp£x <ktan x ³0p+p2，解得 0 <x <p2或 p£x £4 ，定義域?yàn)椋簒 Î(0,p2) p, 4 .第 10 頁(yè) 共 21 頁(yè)ï ï sin x ³0ö ÷ ì p p x - ¹k p+4 2ï（2）要使得函數(shù)有意義，需滿足 íïïïî2cos x -1 >0 2cos x -1 ¹1解得2kp<x <2 kp+3, k ÎZ定義域?yàn)椋簒 | 2kp<x <2 kp+3, k ÎZ 【例 8】（1）求函數(shù)y =sin(p3-2 x ), x Î -p,p的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求y =3tan(p x- )6 4的周期及單調(diào)區(qū)間?！舅悸伏c(diǎn)撥】題目所給解析式中 x 的系數(shù)都為負(fù)，把 x 的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，解相應(yīng)不等式求單調(diào)區(qū)間。【解析】（1）由y =sin(p p -2 x ), 得 y =-sin(2 x - )3 3，由-p2+2 k p£2 x -p p£ +2 k p 3 2得-p 5p +k p£x £12 12+kp, k ÎZ ,又 x-,-x-7 p 5p 11p, - £x £ , - p£x £p 12 12 12 12.函數(shù)y =sin(p3-2 x ),x-,的單調(diào)遞減區(qū)間為-，-7 p 5 11p， - ， p， p ，。 12 12 12 12（2）函數(shù)y =3tan(p x- )6 4的周期 T=p1-4=4p。由y =3tan(p x x p - ) 得 y =-3tan( - ),6 4 4 6由-p x p p 4 8+kp< - < +k p得 - p+4kp<x < p+4k 2 4 6 2 3 3p, k ÎZ，函數(shù)y =3tan(p x- )6 4的單調(diào)遞減區(qū)間為æçè4 8 - p+4kp,3 3p+4kp k ÎZø?！究偨Y(jié)升華】（1）準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是求復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ)；（2 ）形如 y=Asin(x+)(A>0,>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，基本思路是把 x+看作一個(gè)整體，由-p2+2 kp£wx+f£p2+2 kp(k ÎZ )求得函數(shù)的增區(qū)間，由p2+2 kp£wx+f£3p2+2 kp(k ÎZ )求得函數(shù)的減區(qū)間。第 11 頁(yè) 共 21 頁(yè)（3 ）形如 y=Asin(-x+ )(A>0, >0) 的函數(shù)，可先利用誘導(dǎo)公式把 x 的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到y(tǒng)=-Asin( x- ) ， 由 -p2+2 kp£wx-f£p2+2 kp(k ÎZ )得 到 函 數(shù) 的 減 區(qū) 間 ， 由p2+2 kp£wx-f£3p2+2 kp(k ÎZ )得到函數(shù)的增區(qū)間。【例 9】已知函數(shù)y =sin 2 x + 3 cos 2 x（1）用五點(diǎn)法作出它的圖象；（2）指出這個(gè)函數(shù)的振幅、周期、頻率、初相和單調(diào)區(qū)間；（3）說(shuō)明該函數(shù)的圖象可由 【解析】y =sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到？（1）1y =2( sin 2 x + 23 p p p cos 2 x) =2(sin 2 x ×cos +cos 2 x ×sin ) =2sin(2 x + )2 3 3 3.列表描點(diǎn)繪圖如下:3p2 x +p30p2p22px-p6p12p37p1256py 020-20（2）如圖可知，此函數(shù)的振幅是2，周期為 p ，頻率為1 p ，初相為 .p 3單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為kp-kp+5p p , kp+ 12 12p 7 , kp+ p12 12kÎZ ，kÎZ.第 12 頁(yè) 共 21 頁(yè) 3 橫 坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍 3 1 縱 坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍 6 1 y = sin xa = -,06 （3）y =sin x圖象向左平移 個(gè)單位¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® 縱坐標(biāo)不變py =sin( x + )3橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的0.5倍 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ¾®縱坐標(biāo)不變py =sin(2 x + )3縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ¾®橫坐標(biāo)不變【總結(jié)升華】py =2sin(2 x + )3五點(diǎn)法作y =A sin(wx +j)( A >0 ,w >0)的簡(jiǎn)圖時(shí)，五點(diǎn)取法是設(shè)t =wx +j，由 t 取 0、p2、p、3p2、2p來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖；由y =sin x的圖象變換出y =A sin(wx +j)的圖象一般先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)，無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母 “角變化”多少；x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是此處的難點(diǎn)是函數(shù)圖象的平移，可以選擇畫(huà)出圖象后觀察；也可以直接由函數(shù)式子利用特殊位置點(diǎn) （如：首點(diǎn)、波峰、波谷等）的坐標(biāo)判定，但其前提是兩個(gè)函數(shù)的名稱以及x 的系數(shù)是相同的.舉一反三：【變式 1】由y =sin( x +p3)的圖象得到y(tǒng) =cos x的圖象需要向平移個(gè)單位.【答案】左，p6；【解析】y =cos x =sin( x +p2)，由y =sin( x +p p p) 的圖象得到 y =cos x =sin( x + ) 的圖象需要向左平移 個(gè)單位. 3 2 6【變式 2】試述如何由y =1 psin(2 x + )3 3的圖象得到y(tǒng) =sin x的圖象.【解析】方法一：y =1 p 1 p sin(2 x + ) ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ¾® y = sin( x + )3 3 縱坐標(biāo)不變 3 3圖象向右平移 個(gè)單位¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® 縱坐標(biāo)不變y = sin x ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y =sin x 3 橫坐標(biāo)不變.方法二：1 p1圖象向右平移 個(gè)單位y = sin(2 x + )y = sin 2 x¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®3 33縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍 縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ¾® ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®縱坐標(biāo)不變 3 橫坐標(biāo)不變y =sin x.【變式 3】將函數(shù)y =sinwx (w >0)的圖象按向量æ p öç ÷è ø平移，平移后的圖象如圖所示，則平第 13 頁(yè) 共 21 頁(yè)max移后的圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是（ ）Ay =sin( x +p p p p ) B y =sin( x - ) C y =sin(2 x + ) D y =sin(2 x -6 6 3 3)【答案】C；把點(diǎn)(7p12, -1)代入選項(xiàng)即得。【例 10】求下列函數(shù)的值域.（1）y =3 sin x +cos x x Î0,p；（2）y =2 -cos x3 +sin x；（3）y =sin x +cos x +2sin x cos x【思路點(diǎn)撥】 三角式確定的函數(shù)求解值域 .一般可從兩個(gè)途徑入手 .一是將三角式化為一個(gè)三角函數(shù)的形式，從而利用三角函數(shù)性質(zhì)求解值域，二是將三角式化為相同形，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求解值域. 【解析】(1)py = 3 sin x +cos x =2sin( x + )6，x Î0, p， p p 7 x + Î , p6 6 6.由正弦函數(shù)圖象可知：當(dāng)x +p p p p 7 = 即 x = 時(shí)， y =2 ；當(dāng) x + = p6 2 3 6 6即x =p時(shí)，y =-1min.所以函數(shù)值域?yàn)?1,2.(2) 由y =2 -cos x3 +sin x去分母得：3 y +y sin x =2 -cos x,移項(xiàng)整理y sin x +cos x =2 -3 y，由輔助角公式得：y 2 +1sin( x +q) =2 -3 y （ cos q=yy2+1,sin q=1y 2+1）sin( x +q)=2 -3 yy 2 +1,-1 £sin( x +q)£1, |2 -3 yy 2 +1|£1, 即| 2 -3 y |£y 2 +1.平方整理得:8 y2-12 y +3 £0, 解出：3 - 3 3 + 3£y £4 4，第 14 頁(yè) 共 21 頁(yè)2 2 2 2 max所以函數(shù)值域?yàn)? - 3 3 + 3 , 4 4.（3）由(sin x +cos x)2=1 +2sin x cos x 得 2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1y =sin x +cos x +2sin x cos x =(sin x +cos x) 2 +(sin x +cos x) -1令t =sin x +cos x =p2 sin( x + ) ，則 t Î - 2, 2 4y =t21 5+t -1 =(t + ) 2 -2 4,t Î - 2, 2當(dāng)t =-12時(shí)，y =-min54， 當(dāng)t = 2時(shí)，y = 2 +1 max.所以函數(shù)值域?yàn)?54, 2 +1.舉一反三的ax【變式 1】設(shè)關(guān)于的函數(shù)ay的值，并對(duì)此時(shí)的值求y =2cos x -2a cos x -(2 a +1) 的最大值。的最小值為f (a )，試確定滿足f ( a) =12【答案】令則cos x =t ， t Î -1,1，a a 2y =2t -2 at -(2 a +1) =（2t - ) -( +2 a +1)2 2，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t =a2，當(dāng)a2<-1，即 a <-2時(shí)，函數(shù) y 在 t Î -1,1上遞增，y =1 ¹min12；當(dāng)a2>1，即a >2時(shí)，函數(shù)y在t Î -1,1上遞減，y =-4a +1 = min1 1，得 a =2 8與a >2矛盾；當(dāng)a -1£ £12，即-2 £a £2時(shí)，a 2y =-( +2 a +1) = min12，解得a =-1或a =-3（舍），a =-1，此時(shí) y =-4a +1 =5.【變式 2】已知函數(shù)f ( x ) =a cos 2 x +2 3a sin x cos x +2 a +b的定義域?yàn)?,p2，值域?yàn)?1,5，求常數(shù) a 、 b 的值【答案】f ( x) =a cos 2x + 3a sin 2 x +2 a +b =2 a sin(2 x +p6) +2 a +bx Î0,p2 ， 2 x +p p 7pÎ , 6 6 6（1）若a =0，不符合題意.第 15 頁(yè) 共 21 頁(yè)p p = 2 ( )( )( )p p p 7p（2）若 a >0 ，有 2 x + = 時(shí)， 4a +b =5 ； 2 x + =6 2 6 6時(shí)a +b =-1， a =2 ， b =-3.（3）若a <0，有p p p 7p 2x + = 時(shí)， 4a +b =-1； 2 x + =6 2 6 6時(shí)a +b =5，a =-2，b =7.故a =2，b =-3或a =-2，b =7.類型五、函數(shù) y=Asin(x+)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例 11】已知函數(shù) f(x)=Asin(x+),xR(其中 A>0,>0,0<< )的圖象與 x 軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)22p交點(diǎn)之間的距離為 ，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為 M( ,-2).32(1)求 f(x)的解析式；(2)當(dāng) xp p, 時(shí)，求 f(x)的值域. 12 2p T p【思路點(diǎn)撥】由與 x 軸的交點(diǎn)中相鄰兩交點(diǎn)的距離為 可得 ，從而得 T=，即可得.由圖象最2 2低點(diǎn)得 A 及 的值，從而得函數(shù) f(x)的解析式，進(jìn)而得 f(x)的值域.2p p【解析】(1)由最低點(diǎn)為 M( ,-2),得 A=2.由 x 軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為 ,得3 2T p=2 2,即 T=,=2p 2p=T p2p 2p 4p=2.由點(diǎn) M( ,-2)在圖象上得 2sin(2× +)=-2,即 sin( +)=-1,3 3 3故4p p 11p+j=2kp- k ÎZ , j=2kp- k ÎZ . 3 2 6p p p 又jÎ(0, ),j= , 故f x =2sin(2x + ).2 6 6（2）p p p p 7p x Î , ,2x + Î , .12 2 6 3 6p p p當(dāng) 2x+ = ,即 x= 時(shí)，f(x)取得最大值 2;6 2 6p 7p p當(dāng) 2x+ = ,即 x= 時(shí),f(x)取得最小值-1,故 f(x)的值域?yàn)?1,2. 6 6 2【總結(jié)升華】確定y =A sin(wx +j)+b 的解析式的步驟：（1）求 A，b 確定函數(shù)的最大值 M 和最小值 m，則 A=M -m M +m ，b= 。2 2（2）求，確定函數(shù)的周期 T，則w =2pT；（3）求 j ，常用方法有：、代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)，A、b 已知）或代入圖象與直線 y=b 的交點(diǎn)求解。 （此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）；第 16 頁(yè) 共 21 頁(yè)æ ç ÷ ç ÷ æ ç ÷ æ ç ÷ 向 左平移 個(gè)單位橫 坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍、五點(diǎn)法：確定j值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一零點(diǎn)（-jw，0）作為突破口。具體如下：第一點(diǎn)（即圖象上升時(shí)與 x 軸的交點(diǎn)）為wx +f=0；第二點(diǎn)（即圖象的“峰點(diǎn)”）為wx +f=p2；第三點(diǎn)（即圖象下降時(shí)與 x 軸的交點(diǎn)）為wx +f=p；第四點(diǎn)（即圖象的“谷點(diǎn)”）為wx +f=32p；第五點(diǎn)為wx +f=2p舉一反三：【變式 1】把函數(shù)y =sin x ( x ÎR )p的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有3點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（ ）Ay =sin 2 x - èpö3 ø，x ÎRBy =sinæx pö+ ，x ÎR è2 6 øCy =sin 2 x + èpö3 ø，x ÎRDy =sin 2 x + è2pö3 ø，x ÎR【解析】y=sin xp¾¾¾¾3¾¾®py =sin( x + )31¾¾¾¾¾¾¾2 ®py =sin(2 x + )3，故選（C）?！咀兪?2】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y =cos(x 3p 1 + )( x Î0，2p) 的圖象和直線 y =2 2 2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )（A）0（B）1（C）2（D）4【解析】原函數(shù)可化為：x 3p xy =cos( + )( x Î0，2p) = sin , x Î0, 2p. 2 2 2作出原函數(shù)圖像，截取x Î0,2p1部分，其與直線 y = 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 2 個(gè)2【例 12】已知函數(shù)f ( x) =sin 2 (p 3+x ) -4 2cos 2 x（1）求函數(shù) f ( x )的最