《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)綜合教學(xué)大綱

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合教學(xué)大綱課程一：高等代數(shù)考試大綱（總分100）一、參考教材北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編，高等代數(shù)，高等教育出版社，2003，（第三版）二、考試的內(nèi)容及基本要求第一章 多項(xiàng)式考試內(nèi)容：1、數(shù)集、數(shù)域、多項(xiàng)式的概念、多項(xiàng)式的代數(shù)性質(zhì)；2、整除概念、整除性幾個(gè)常用性質(zhì)、不可約多項(xiàng)式；3、最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推廣、不可約多項(xiàng)式及其性質(zhì)；4、重因式、單因式、微商、重因式的判別及求法、去掉因式重?cái)?shù)的方法、因式分解唯一性定理；5、多項(xiàng)式的根、多項(xiàng)式的根的個(gè)數(shù)、復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解、實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解。基本要求：1、掌握一元多項(xiàng)式概念。運(yùn)算及多項(xiàng)乘積與次數(shù)的關(guān)系；2、正確理解多項(xiàng)式整除的概念及性質(zhì)。正確理解帶余除法；3、掌握最大公因式的概念、性質(zhì)。求法以及多項(xiàng)式互素的概念和性質(zhì)；4、正確理解不可約多項(xiàng)式的概念。掌握多項(xiàng)式因式分解的唯一性定理；5、正確理解多項(xiàng)式重因式的概念，掌握多項(xiàng)式有無(wú)重因式的判別方法；6、掌握多項(xiàng)式函數(shù)以及多項(xiàng)式根的概念；7、掌握復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解定理；8、掌握有理數(shù)域上的多項(xiàng)式的有理根的求法。第二章 行列式考試內(nèi)容：1、n級(jí)排列、逆序數(shù)、偶(奇)排列、對(duì)換、排列的奇偶性；2、一般行列式的定義、n級(jí)行列式的性質(zhì)；3、矩陣的初等變換、行列式計(jì)算；4、行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用；5、Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則；基本要求：1、掌握n階行列式的概念與性質(zhì)；2、學(xué)會(huì)用行列式的性質(zhì)、熟練地計(jì)算行列式；3、掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。第三章 線性方程組考試內(nèi)容：1、消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別；2、n維向量概念、n維向量的運(yùn)算、線性組合、向量組等價(jià)、線性相關(guān)(無(wú)關(guān))、線性相關(guān)性的判定、極大線性無(wú)關(guān)組及向量組的秩；3、矩陣秩的求法；4、線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)、線性方程組解的幾何意義；5、兩個(gè)多項(xiàng)式的結(jié)式、二元高次方程組的解法。基本要求：1、理解消元法與矩陣初等變換的關(guān)系，能熟練地運(yùn)用消元法解一般的線性方程組；2、正確理解和掌握矩陣的被的概念，能熟練地運(yùn)用矩陣的初等變換要求矩陣的秩；3、掌握線性方程組有解的判定定理及其應(yīng)用；4、能熟練地求次線性方程組的基礎(chǔ)解系；5、一般線性方程組在有解的情況下，掌握它的解的結(jié)構(gòu)；6、掌握n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。第四章 矩陣考試內(nèi)容：1、矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算、矩陣乘積的行列式與秩；2、可逆矩陣、可逆矩陣的性質(zhì)、可逆矩陣的兩個(gè)應(yīng)用；3、矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應(yīng)用；4、逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換?；疽螅?、掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律，并能熟練地運(yùn)用；2、掌握矩陣可逆的概念及其判定方法；3、熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理；4、掌握初等矩陣的概念。初等矩陣與初等變換的關(guān)系以及用初等變換求逆矩陣的方法。第五章 二次型考試內(nèi)容：1、二次型的矩陣表示、二次型及二次型矩陣、替換前后二次型矩陣的關(guān)系、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的求法；2、正定二次型及其性質(zhì)、正定性的判別、與正定二次型平行的理論；基本要求：1、掌握二次型的概念及二次型與對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2、掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法及其理論依據(jù)；3、掌握矩陣合同的概念及其性質(zhì)；4、掌握正定二次型的概念和判別法。第六章 線性空間考試內(nèi)容：1、集合、映射、線性空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)、線性相關(guān)性及幾個(gè)結(jié)論、維數(shù)、基與坐標(biāo)；2、基變換與坐標(biāo)變換、關(guān)于過(guò)渡矩陣的求法；3、線性子空間及其判別、生成子空間；4、子空間的交與和定義、維數(shù)公式、子空間交與和的求法、子空間的直和?；疽螅?、掌握線性空間概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)，了解公理化的思想方法；2、正確理解和掌握線性空間的子空間的概念和判別方法、子空間交與和的概念，掌握和是直和的判別方法；3、正確理解和掌握線性空間中的向量的線性相關(guān)性的概念和性質(zhì)；4、掌握有限維線性空間的基與維數(shù)的概念及求法；5、掌握線性空間中向量坐標(biāo)的定義，基變換與坐標(biāo)變換的公式，過(guò)渡矩陣的概念、性質(zhì)及求法。第七章 線性變換考試內(nèi)容：1、線性變換定義、線性變換的運(yùn)算規(guī)律、線性變換多項(xiàng)式2、線性變換矩陣在一組基下的矩陣、線性變換與其在一組基下矩陣的關(guān)系、坐標(biāo)變換公式、線性變換在不同基下的矩陣、線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系、相似矩陣的性質(zhì)3、特征值與特征向量的定義、特征值與特征向量的求法、特征多項(xiàng)式的性質(zhì)4、某組基下的矩陣為對(duì)角陣的線性變換、相似對(duì)角陣及所對(duì)應(yīng)基的求法、值域與核的定義及其性質(zhì)、值域與核的求法基本要求：1、正確理解線性變換的概念、掌握它的運(yùn)算及簡(jiǎn)單性質(zhì)。2、掌握線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。3、正確理解和掌握矩陣的相似，特征值特征向量等重要概念及求法。掌握矩陣對(duì)角化的條件及其方法。4、掌握線性變換的值域與核的概念及其求法。第九章 歐氏空間考試內(nèi)容：1、定義與基本性質(zhì)、度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性及求法、標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣基本要求：1、正確理解內(nèi)積、歐氏空間、長(zhǎng)度、夾角、距離等概念。2、掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法。3、理解歐氏空間同構(gòu)的概念及同構(gòu)的充分必要條件。4、掌握正交變換與正交矩陣等概念、性質(zhì)及關(guān)系。 課程二：數(shù)學(xué)分析考試大綱（總分100）一、參考教材華東師大數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2005，（第三版）二、考試的內(nèi)容及基本要求第1章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)考試內(nèi)容：1實(shí)數(shù)分類、實(shí)數(shù)的性質(zhì)(對(duì)四則運(yùn)算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性)、絕對(duì)值與不等式；2區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理；3函數(shù)表示法、函數(shù)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)；4有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)；基本要求：1、要熟練掌握實(shí)數(shù)域及性質(zhì)；2、掌握幾個(gè)常用的不等式；3、熟練掌握鄰域，上確界，下確界，確界原理；4、牢固掌握函數(shù)的復(fù)合法則、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。第2章 數(shù)列極限考試內(nèi)容：1數(shù)列極限的“”定義及其幾何意義、無(wú)窮小數(shù)列；2收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式、迫斂性、四則運(yùn)算法則；3單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則?；疽螅?、要熟練掌握數(shù)列極限“”定義；2、掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)；3、掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。第3章 函數(shù)極限考試內(nèi)容：1函數(shù)極限概念的“”、“”定義，單側(cè)極限及其與極限的關(guān)系；2函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式、迫斂性、四則運(yùn)算法則；3函數(shù)極限的單調(diào)有界定理、歸結(jié)原則、柯西準(zhǔn)則；4兩個(gè)重要的極限和；5無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的比較?；疽螅?、熟練掌握使用“”，“”語(yǔ)言，能用不等式敘述各類型函數(shù)極限的概念；2、掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；3、掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界等）；4、會(huì)熟練應(yīng)用兩個(gè)特殊極限；5、能掌握無(wú)窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較。第4章 函數(shù)的連續(xù)性考試內(nèi)容：1函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點(diǎn)的概念、間斷點(diǎn)的分類；2連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號(hào)性，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性、一致連續(xù)性?；疽螅?、要熟練掌握在點(diǎn)連續(xù)的定義和等價(jià)定義；2、熟練掌握間斷點(diǎn)及其分類；3、熟練掌握在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)；4、熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。第5章 導(dǎo)數(shù)和微分考試內(nèi)容：1切線問(wèn)題、瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù)；2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3微分的概念、微分的四則運(yùn)算、一階微分形式不變性、近似計(jì)算與誤差估計(jì)；4高階導(dǎo)數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)法。基本要求：1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，幾何、物理意義；2、牢固記住求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式；3、會(huì)求各類的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茲公式）；4、掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算；5、掌握連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。第6章 微分中值定理及應(yīng)用考試內(nèi)容：1費(fèi)馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2型不定式極限、型不定式極限、其它類型不定式極限；3函數(shù)的單調(diào)性與極值；4函數(shù)的凸凹性與拐點(diǎn)；5函數(shù)圖象的討論?；疽螅?、牢固掌握微分中值定理并會(huì)靈活應(yīng)用；2、 會(huì)用洛比達(dá)法則求極限，會(huì)將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為和型；3、掌握單調(diào)與符號(hào)的關(guān)系，并用它證明單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等；4、利用判定凹凸性及拐點(diǎn)；5、掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)；6、會(huì)求曲線各種類型的漸近線性。第7章 實(shí)數(shù)的完備性考試內(nèi)容：1確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調(diào)有界定理?；疽螅?、了解下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點(diǎn)、子列的概念；2、了解實(shí)數(shù)完備性的七個(gè)等價(jià)定理的結(jié)論。第8章 不定積分考試內(nèi)容：1原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運(yùn)算法則。2第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；3有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分；基本要求：1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念，記住基本積分公式；2、熟練掌握換元法、分部積分法；3、熟練掌握有理函數(shù)積分步驟，并會(huì)求可化為有理函數(shù)的積分。第9章 定積分考試內(nèi)容：1定積分定義、可積條件、三類可積函數(shù)2定積分的線性性質(zhì)、對(duì)區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對(duì)可積性、積分中值定理3變動(dòng)上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法基本要求：1、掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，可積函數(shù)類。2、熟練掌握微積分基本定理，并會(huì)熟練應(yīng)用。3、會(huì)熟練計(jì)算定積分。第10章 定積分應(yīng)用考試內(nèi)容：1平面圖形的面積、函數(shù)的平均值2由截面面積求立體體積3曲線的弧長(zhǎng)4旋轉(zhuǎn)曲面的面積基本要求：1、要求能熟練計(jì)算各種平面圖形面積。2、會(huì)求已知截面面積的物體和旋轉(zhuǎn)體的體積。3、會(huì)利用定積分求孤長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。第12章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)考試內(nèi)容：1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)2、正級(jí)數(shù)的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法基本要求：1、掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的定義、性質(zhì)。2、熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散判別法。第13章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)考試內(nèi)容：1函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性、一致收斂柯西準(zhǔn)則、判別法2極限函數(shù)與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項(xiàng)積分)、可微性(逐項(xiàng)微分)基本要求：1、掌握函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂定義。2、掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法。3、掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。第14章 冪級(jí)數(shù)考試內(nèi)容：1冪級(jí)數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內(nèi)閉一致收斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項(xiàng)積分)、可微性(逐項(xiàng)微分)基本要求：1、熟練冪級(jí)數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。2、了解冪級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)。3、了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的方法。特別牢固記住五種函數(shù)、的馬克勞林展式。4、會(huì)利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。第15章 傅里葉級(jí)數(shù)考試內(nèi)容：三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)?；疽螅菏煊浉道锶~系數(shù)公式，并會(huì)求之。第16章 多元函數(shù)極限與連續(xù)考試內(nèi)容：1、平面點(diǎn)集的鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、開集、閉集、區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域2、二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念3、二元函數(shù)的極限(重極限、累次極限)基本要求：1、了解平面點(diǎn)集的若干概念。2、掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)。3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系。4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質(zhì)。第17章 多元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容：1、偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義2、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分3、空間曲線的切線與法平面基本要求：1、熟練掌握可微、偏導(dǎo)數(shù)的意義。2、掌握二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念之間關(guān)系。3、會(huì)計(jì)算各種類型的偏導(dǎo)數(shù)、全微分。第18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用考試內(nèi)容：1、隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)2、條件極值概念、拉格朗日乘數(shù)法基本要求：1、掌握由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）公式。2、會(huì)求空間曲線的切線與法平面、會(huì)求空間曲面的切平面與法線。3、掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。第20章 重積分考試內(nèi)容：1、二重積分概念、可積條件、性質(zhì)2、二重積分化為累次積分、 二重積分換元法(極坐標(biāo)變換、 一般曲線變換)、含參量積分導(dǎo)數(shù) 3、分概念、性質(zhì)(與二重積分相同)4、分化為累次積分、 三重積分換元法(柱坐標(biāo)變換、 球坐標(biāo)變換)基本要求：1、了解二重積分、三重積分定義與性質(zhì)。2、掌握二重積分的換序和變量代換。 9 / 9