【導(dǎo)與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復(fù)習 大題沖關(guān)集訓(xùn)（五）理

大題沖關(guān)集訓(xùn)(五) 1.已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點S是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AS,BS與直線l:x=分別交于M,N兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)求線段MN的長度的最小值.解:(1)如圖,由題意得橢圓C的左頂點為A(-2,0),上頂點為D(0,1),即a=2,b=1.故橢圓C的方程為+y2=1.(2)直線AS的斜率顯然存在且不為0,設(shè)直線AS的方程為y=k(x+2)(k>0),解得M(,),且將直線方程代入橢圓C的方程,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.設(shè)S(x1,y1),由根與系數(shù)的關(guān)系得(-2)·x1=.由此得x1=,y1=,即S(,).又B(2,0),則直線BS的方程為y=-(x-2),聯(lián)立直線BS與l的方程解得N(,-).MN=+=+2=.當且僅當=,即k=時等號成立,故當k=時,線段MN的長度的最小值為.2.橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2,A(,0),F(c,0)(c>0OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.(1)求橢圓的方程及離心率;(2)若·=0,求直線PQ的方程;(3)設(shè)=(>1),過點P且平行于x=的直線與橢圓相交于另一點M,證明=-.(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為+=1(a>).由已知得解得a=,c=2.所以橢圓的方程為+=1,離心率e=.(2)解:由(1)可得A(3,0).設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3).由方程組得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依題意=12(2-3k2)>0,得-<k<.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.由直線PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2x1x2-3(x1+x2)+9.·=0,x1x2+y1y2=0.由得5k2=1,從而k=±(-,).所以直線PQ的方程為x-y-3=0或x+y-3=0.(3)證明:=(x1-3,y1),=(x2-3,y2).由已知得方程組由題意知>1,解得x2=.因F(2,0),M(x1,-y1),故=(x1-2,-y1)=(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-(,y2).而=(x2-2,y2)=(,y2),所以=-.3.已知橢圓C1,拋物線C2的焦點均在y軸上,C1的中心和C2的頂點均為原點O,從每條曲線上取兩個點,將其坐標記錄于表中:x0-14y-2-21(1)求C1,C2的標準方程;(2)設(shè)斜率不為0的動直線l與C1有且只有一個公共點P,且與C2的準線相交于點Q,試探究:在坐標平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)設(shè)C1,C2的標準方程分別為+=1(a>b>0),x2=py,(0,-2)不符合x2=py方程,必為橢圓上點,代入得a=2.即橢圓方程為+=1,若(4,1)在橢圓上,則有+=1,b2=>a2(不合題意).即(4,1)在拋物線上,p=16,拋物線方程為x2=16y,驗證得(-1,)在拋物線上,(,-2)不在拋物線上,(,-2)在橢圓上,b2=4.故C1,C2的標準方程分別為+=1,x2=16y.(2)存在.設(shè)直線l的方程為x=my+n,將其代入+=1,消去x并化簡整理得(1+2m2)y2+4mny+2n2-8=0,l與C1相切,=16m2n2-4(1+2m2)(2n2-8)=0,n2=4(1+2m2),設(shè)切點P(x0,y0),則y0=-=-,x0=my0+n=.又直線l與C2的準線y=-4的交點Q(n-4m,-4),以PQ為直徑的圓的方程為(x-)(x-n+4m)+(y+)(y+4)=0,化簡并整理得x2-x+(4m-n)x+(y+2)+(y+2)2=0,當x=0,y=-2等式恒成立,即存在定點M(0,-2)符合題意.4.在平面直角坐標系中,點P(x,y)為動點,已知點A(,0),B(-,0),直線PA和PB的斜率之積為-.(1)求動點P的軌跡E的方程;(2)過點F(1,0)的直線l交曲線E于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為Q(M、Q不重合),求證:直線MQ過x軸上一定點.(1)解:由題意知:·=-.化簡得+y2=1(y0).(2)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,代入+y2=1(y0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0.y1+y2=,y1y2=,MQ的方程為y-y1=(x-x1),令y=0,得x=x1+=my1+1+=+1=2.直線MQ過定點(2,0).5.(2014高考湖北卷)在平面直角坐標系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點P(-2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍.解:(1)設(shè)點M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1.化簡整理得y2=2(|x|+x).故點M的軌跡C的方程為y2=(2)在點M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).依題意,可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2).由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(*)當k=0時,此時y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=.故此時直線l:y=1與軌跡C恰好有一個公共點(,1).當k0時,方程(*)根的判別式為=-16(2k2+k-1).(*)設(shè)直線l與x軸的交點為(x0,0),則由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.(*)()若由(*)(*)解得k<-1或k>.即當k(-,-1)(,+)時,直線l與C1沒有公共點,與C2有一個公共點.故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點.()若或由(*)(*)解得k(-1,),或-k<0.即當k-1,時,直線l與C1只有一個公共點,與C2有一個公共點.當k-,0)時,直線l與C1有兩個公共點,與C2沒有公共點.故當k-,0)-1,時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點.()若由(*)(*)解得-1<k<-或0<k<.即當k(-1,-)(0,)時,直線l與C1有兩個公共點,與C2有一個公共點,故此時直線l與軌跡C恰好有三個公共點.綜合可知,當k(-,-1)(,+)0時,直線l與軌跡C恰好有一個公共點;當k-,0)-1,時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點;當k(-1,-)(0,)時,直線l與軌跡C恰好有三個公共點.6.設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,左頂點M到直線+=1的距離d=,O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,證明:點O到直線AB的距離為定值;(3)在(2)的條件下,試求AOB的面積S的最小值.(1)解:由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b.由左頂點M(-a,0)到直線+=1,即bx+ay-ab=0的距離d=,得=,即=,把a=2b代入上式,得=,解得b=1.所以a=2b=2,c=.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當直線AB的斜率不存在時,由橢圓的對稱性,可知x1=x2,y1=-y2.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,故·=0,即x1x2+y1y2=0,也就是-=0,又點A在橢圓C上,所以+=1,解得|x1|=|y1|=.此時點O到直線AB的距離d1=|x1|=.當直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立有消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因為以AB為直徑的圓過坐標原點O,所以O(shè)AOB.所以·=x1x2+y1y2=0.所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(1+k2)·-+m2=0.整理得5m2=4(k2+1),所以點O到直線AB的距離d2=.綜上所述,點O到直線AB的距離為定值.(3)解:設(shè)直線OA的斜率為k0.當k00時,則OA的方程為y=k0x,OB的方程為y=-x,聯(lián)立得同理可求得故AOB的面積為S=·|x1|·|x2|=2.令1+=t(t>1),則S=2=2,令g(t)=-+4=-9(-)2+(t>1),所以4<g(t).所以S<1.當k0=0時,可求得S=1,故S1,故S的最小值為.7.(2014山師附中模擬)已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|+|=·(+)+2.(1)求曲線C的方程;(2)動點Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲線C上,曲線C在點Q處的切線為l.問:是否存在定點P(0,t)(t<0),使得l與PA,PB都相交,交點分別為D,E,且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)?若存在,求t的值.若不存在,說明理由.解:(1)依題意可得=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),|+|=,·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化簡得曲線C的方程:x2=4y.(2)假設(shè)存在點P(0,t)(t<0)滿足條件,則直線PA的方程是y=x+t,直線PB的方程是y=x+t,曲線C在點Q處的切線l的方程為y=x-,它與y軸的交點為F(0,-),由于-2<x0<2,因此-1<<1.當-1<t<0時,-1<<-,存在x0(-2,2),使得=,即l與直線PA平行,故當-1<t<0時,不符合題意.當t-1時,-1<,1>,所以l與直線PA,PB一定相交,分別聯(lián)立方程組解得D,E的橫坐標分別是xD=,xE=.則xE-xD=,又|FP|=-t,有SPDE=|FP|×|xE-xD|=×,又SQAB=×4×(1-)=.于是=×=×對任意x0(-2,2),要使QAB與PDE的面積之比是常數(shù),只需t滿足解得t=-1,此時QAB與PDE的面積之比為2,故存在t=-1,使QAB與PDE的面積之比是常數(shù)2.12