【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)（六）理

大題沖關(guān)集訓(xùn)(六) 1.(2014青島市一模)2013年6月“神舟”發(fā)射成功.這次發(fā)射過(guò)程共有四個(gè)值得關(guān)注的環(huán)節(jié),即發(fā)射、實(shí)驗(yàn)、授課、返回.據(jù)統(tǒng)計(jì),由于時(shí)間關(guān)系,某班每位同學(xué)收看這四個(gè)環(huán)節(jié)的直播的概率分別為、,并且各個(gè)環(huán)節(jié)的直播收看互不影響.(1)現(xiàn)有該班甲、乙、丙3名同學(xué),求這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播的概率;(2)若用X表示該班某一位同學(xué)收看的環(huán)節(jié)數(shù),求X的分布列與期望.解:(1)設(shè)“這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播”為事件A,則P(A)=2×1-+3=.(2)由條件可知X可能取值為0,1,2,3,4.P(X=0)=1-×1-×1-×1-=.P(X=1)=×1-×1-×1-+1-××1-×1-+1-×1-××1-+1-×1-×1-×=.P(X=2)=××1-×1-+×1-××1-+×1-×1-×+1-×××1-+1-××1-×+1-×1-××=.P(X=3)=1-×××+×1-××+××1-×+×××1-=.P(X=4)=×××=.即X的分布列為X01234PX的期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.2.(2014昆明模擬)氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)表如下:日最高氣溫t(單位:)t2222<t2828<t32t>32天數(shù)612YZ由于工作疏忽,統(tǒng)計(jì)表被墨水污染,Y和Z數(shù)據(jù)不清楚,但氣象部門提供的資料顯示,六月份的日最高氣溫不高于32 的頻率為0.9.某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗(yàn),六月份的日最高氣溫t(單位:)對(duì)西瓜的銷售影響如下表:日最高氣溫t(單位:)t2222<t2828<t32t>32日銷售額X(單位:千元)2568(1)求Y,Z的值;(2)若視頻率為概率,求六月份西瓜日銷售額的期望和方差;(3)在日最高氣溫不高于32 時(shí),求日銷售額不低于5千元的概率.解:(1)由已知得,P(t32)=0.9,P(t>32)=1-P(t32)=0.1,Z=30×0.1=3,Y=30-(6+12+3)=9.(2)P(t22)=0.2,P(22<t28)=0.4,P(28<t32)=0.3,P(t>32)=0.1,六月份西瓜日銷售額X的分布列為X2568P0.20.40.30.1E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5,D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×0.3+(8-5)2×0.1=3.(3)P(t32)=0.9,P(22<t32)=0.4+0.3=0.7,由條件概率得:P(X5|t32)=P(22<t32|t32)=.3.(2014太原二模)中國(guó)航母“遼寧艦”是中國(guó)第一艘航母,“遼寧”號(hào)以4臺(tái)蒸汽輪機(jī)為動(dòng)力,為保證航母的動(dòng)力安全性,科學(xué)家對(duì)蒸汽輪機(jī)進(jìn)行了技術(shù)改進(jìn),并增加了某項(xiàng)新技術(shù),該項(xiàng)新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對(duì)其中的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行量化檢測(cè).假設(shè)該項(xiàng)新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過(guò)檢測(cè)合格的概率分別為、,指標(biāo)甲、乙、丙合格分別記為4分、2分、4分,某項(xiàng)指標(biāo)不合格記為0分,各項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)結(jié)果互不影響.(1)求該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分的概率;(2)記該項(xiàng)新技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解:(1)記甲、乙、丙獨(dú)立通過(guò)檢測(cè)合格分別為事件A、B、C,則事件“得分不低于8分”表示為ABC+AC.ABC與AC為互斥事件,且A、B、C為彼此獨(dú)立.P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)=××+××=.(2)該項(xiàng)新技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)X的取值為0,1,2,3,P(X=0)=P()=××=.P(X=1)=P(A+B+C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB+BC+AC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,隨機(jī)變量X的分布列為X0123PE(X)=0×+1×+2×+3×=.4.(2014揭陽(yáng)市二模)下表是某市從3月份中隨機(jī)抽取的10天空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)和“PM 2.5”(直徑小于等于2.5微米的顆粒物)24小時(shí)平均濃度的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良.日期編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)1794098124291332414249589“PM2.5”24小時(shí)平均濃度(g/m3)13558094801001903877066(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),估計(jì)該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率;(2)在上表數(shù)據(jù)中,在表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的日期中,隨機(jī)抽取兩個(gè)對(duì)其當(dāng)天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析,設(shè)事件M為“抽取的兩個(gè)日期中,當(dāng)天PM 2.5的24小時(shí)平均濃度不超過(guò)75 g/m3”,求事件M發(fā)生的概率;(3)在上表數(shù)據(jù)中,在表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的日期中,隨機(jī)抽取3天,記為“PM 2.5”24小時(shí)平均濃度不超過(guò)75 g/m3的天數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由題表數(shù)據(jù)知,10天中空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100的日期有A2、A3、A5、A9、A10共5天,故可估計(jì)該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率P=.(2)由(1)知10天中表示空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為5,當(dāng)天“PM 2.5”的24小時(shí)平均濃度不超過(guò)75 g/m3有編號(hào)為A2、A9、A10,共3天,故事件M發(fā)生的概率P(M)=.(3)由(1)知,的可能取值為1,2,3.且P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,故的分布列為123P的數(shù)學(xué)期望E()=1×+2×+3×=.5.(2014濟(jì)南市一模)一個(gè)袋中裝有形狀大小完全相同的球9個(gè),其中紅球3個(gè),白球6個(gè),每次隨機(jī)取1個(gè),直到取出3次紅球即停止.(1)從袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1;(2)從袋中有放回地取球.求恰好取5次停止的概率P2;記5次之內(nèi)(含5次)取到紅球的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:(1)P1=.(2)P2=×2×2×=.隨機(jī)變量的取值為0,1,2,3,由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式Pn(k)=pk(1-p)n-k,得P(=0)=1-5=;P(=1)=××1-4=;P(=2)=×2×1-3=;P(=3)=1-=.隨機(jī)變量的分布列是0123P的數(shù)學(xué)期望是E()=×0+×1+×2+×3=.6.(2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:=,=-解:(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,=0.5,=-=4.3-0.5×4=2.3,所求回歸方程為=0.5t+2.3.(2)由(1)知,=0.5>0.故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.將2015年的年份代號(hào)t=9代入(1)中的回歸方程,得=0.5×9+2.3=6.8,故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.8