【導與練】（新課標）2016屆高三數學一輪復習 第8篇 第7節(jié) 曲線與方程課時訓練 理

【導與練】（新課標）2016屆高三數學一輪復習 第8篇 第7節(jié) 曲線與方程課時訓練 理 【選題明細表】知識點、方法題號曲線與方程1直接法求軌跡(方程)4、9、12、13定義法求軌跡(方程)2、5、6、11、15、16、17相關點法求軌跡(方程)7、10、14參數法求軌跡(方程)3、8基礎過關一、選擇題1.方程(x2+y2-4)=0的曲線形狀是(C)解析:原方程可化為或x+y+1=0.顯然方程表示直線x+y+1=0和圓x2+y2-4=0在直線x+y+1=0的右上方部分,故選C.2. ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),ABC的內切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是(C)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(x>3)(D)-=1(x>4)解析:如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根據雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,方程為-=1 (x>3).3.平面直角坐標系中,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足=1+2(O為坐標原點),其中1,2R,且1+2=1,則點C的軌跡是(A)(A)直線(B)橢圓(C)圓(D)雙曲線解析:設C(x,y),則=(x,y),=(3,1),=(-1,3),=1+2,又1+2=1,x+2y-5=0,表示一條直線.4.動點P為橢圓+=1 (a>b>0)上異于橢圓頂點(±a,0)的一點,F1、F2為橢圓的兩個焦點,動圓C與線段F1P、F1F2的延長線及線段PF2相切,則圓心C的軌跡為(D)(A)橢圓 (B)雙曲線(C)拋物線(D)直線解析:如圖所示,設三個切點分別為M、N、Q.|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|=2a,|F2N|=a-c,N點是橢圓的右頂點,CNx軸,圓心C的軌跡為直線.5.已知點M(-3,0),N(3,0),B(1,0),動圓C與直線MN切于點B,過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P,則P點的軌跡方程為(A)(A)x2-=1 (x>1)(B)x2-=1 (x<-1)(C)x2+=1 (x>0)(D)x2-=1 (x>1)解析:設另兩個切點為E、F,如圖所示,則|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|.從而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,所以P的軌跡是以M、N為焦點,實軸長為2的雙曲線的右支.a=1,c=3,b2=8.故方程為x2-=1 (x>1).故選A.6.點P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點,過焦點F2作F1PF2外角平分線的垂線,垂足為M,則點M的軌跡是(A)(A)圓 (B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線解析:如圖,延長F2M交F1P延長線于N.|PF2|=|PN|,|F1N|=2a.連接OM,則在NF1F2中,OM為中位線,則|OM|=|F1N|=a.點M的軌跡是圓.7.(2014瑞安十校模擬)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是(A)(A)(x-2)2+(y+1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:設圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則解得又(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.8.(2014東營模擬)已知正方形的四個頂點分別為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),點D,E分別在線段OC,AB上運動,且OD=BE,設AD與OE交于點G,則點G的軌跡方程是(A)(A)y=x(1-x)(0x1)(B)x=y(1-y)(0y1)(C)y=x2(0x1)(D)y=1-x2(0x1)解析:設D(0,),E(1,1-)(01),所以線段AD方程為x+=1(0x1),線段OE方程為y=(1-)x(0x1) ,聯(lián)立方程組(為參數),消去參數得點G的軌跡方程為y=x(1-x)(0x1).二、填空題9.已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是. 解析:設P(x,y),MPN為直角三角形,|MP|2+|NP|2=|MN|2,(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4.M,N,P不共線,x±2,軌跡方程為x2+y2=4 (x±2).答案:x2+y2=4 (x±2)10.P是橢圓+=1(a>b>0)上的任意一點,F1、F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,=+,則動點Q的軌跡方程是. 解析:=+,如圖,+=2=-2,設Q(x,y),則=-=-(x,y)=(-,-),即P點坐標為(-,-),又P在橢圓上,則有+=1,即+=1.答案:+=111.設x,yR,i、j為直角坐標平面內x,y軸正方向上的單位向量,向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,則點M(x,y)的軌跡方程為. 解析:由已知得a=(x,y+2),b=(x,y-2),而|a|+|b|=8,故有+=8,由式知動點M(x,y)到兩定點F1(0,-2),F2(0,2)的距離之和為一常數,滿足橢圓的定義,故M點軌跡為以F1、F2為焦點的橢圓,橢圓的長半軸長a=4,所以短半軸長b=2,故其軌跡方程為+=1.答案:+=1三、解答題12.(2015長春高三調研)已知平面上的動點P(x,y)及兩個定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2且k1k2=-.(1)求動點P的軌跡C方程;(2)設直線l:y=kx+m與曲線 C交于不同兩點M,N,當OMON時,求O點到直線l的距離(O為坐標原點).解:(1)設P(x,y),由已知得·=-,整理得x2+4y2=4,即+y2=1(x±2).(2)設M(x1,y1),N(x2,y2)消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2+1-m2>0.x1+x2=-,x1·x2=,OMON,x1·x2+y1·y2=0,即x1·x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1·x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)·+km·(-)+m2=0,m2=(k2+1)滿足4k2+1-m2>0,O點到l的距離為d=,即d2=,d=.13.(2013高考陜西卷)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;(2)已知點B(-1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是PBQ的角平分線,證明直線l過定點.(1)解:如圖所示,設動圓圓心O1(x,y),由題意,|O1A|=|O1M|,當O1不在y軸上時,過O1作O1HMN交MN于H,則H是MN的中點,|O1M|=,又|O1A|=,=,化簡得y2=8x(x0).又當O1在y軸上時,O1與O重合,點O1的坐標(0,0)也滿足方程y2=8x,動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.(2)證明:由題意,設直線l的方程為y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),將y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中=-32kb+64>0.由根與系數的關系得,x1+x2=,x1x2=,因為x軸是PBQ的角平分線,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,將代入,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此時>0,直線l的方程為y=k(x-1),直線l過定點(1,0).能力提升14.在平行四邊形ABCD中,BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD內一點,且滿足:x+y+=0(x,yR).則當點P在以A為圓心,|為半徑的圓上時,實數x,y應滿足關系式為(D)(A)4x2+y2+2xy=1(B)4x2+y2-2xy=1(C)x2+4y2-2xy=1(D)x2+4y2+2xy=1解析:如圖所示,以A為原點建立平面直角坐標系,設AD=2.據題意,AB=1,ABD=90°,BD=.B、D的坐標分別為(1,0)、(1,),=(1,0),=(1,).設點P的坐標為(m,n),即=(m,n),則由x+y+=0,得:=x+y,據題意,m2+n2=1,x2+4y2+2xy=1.15.有一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A、B,若ABP為正三角形,則點P的軌跡方程為. 解析:設P(x,y),動圓P的半徑為R,由于ABP為正三角形,P到y(tǒng)軸的距離d=R,即|x|=R.而R=|PF|=,|x|=·.整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即-=1.答案:-=116.(2014高考廣東卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標準方程;(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.解:(1)依題意得,c=,e=,因此a=3,b2=a2-c2=4,故橢圓C的標準方程是+=1.(2)若兩切線的斜率均存在,設過點P(x0,y0)的切線方程是y=k(x-x0)+y0,則由得+=1,即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,因為直線與橢圓C相切,所以=18k(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,整理得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.又所引的兩條切線相互垂直,設兩切線的斜率分別為k1,k2,于是有k1k2=-1,即=-1,即+=13(x0±3).若兩切線中有一條斜率不存在,則易得或或或經檢驗知均滿足+=13.因此,動點P(x0,y0)的軌跡方程是x2+y2=13.探究創(chuàng)新17.(2014河南鄭州一模)如圖,PAB所在的平面和四邊形ABCD所在的平面互相垂直,且AD,BC,AD=4,BC=8,AB=6,若tanADP+2tanBCP=10,則點P在平面內的軌跡是(B)(A)圓的一部分 (B)橢圓的一部分(C)雙曲線的一部分(D)拋物線的一部分解析:由題意可知+2=10,則PA+PB=40>AB=6,又因P、A、B三點不共線,故點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓的一部分.12