高中數(shù)學解題思路和方法+高中所有數(shù)學公式.doc

58目 錄王力平博士根據(jù)多年教學經(jīng)驗總結(jié)出以下參考方法，望廣大師生受益前言 2第一章 高中數(shù)學解題基本方法 3一、 配方法 3 二、 換元法 7三、 待定系數(shù)法 14四、 定義法 19五、 數(shù)學歸納法 23六、 參數(shù)法 28七、 反證法 32八、 消去法 九、 分析與綜合法 十、 特殊與一般法 十一、 類比與歸納法 十二、 觀察與實驗法 第二章 高中數(shù)學常用的數(shù)學思想 35一、 數(shù)形結(jié)合思想 35二、 分類討論思想 41三、 函數(shù)與方程思想 47四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 54第三章 高考熱點問題和解題策略 59一、 應用問題 59二、 探索性問題 65三、 選擇題解答策略 71四、 填空題解答策略 77附錄 一、 高考數(shù)學試卷分析 二、 兩套高考模擬試卷 三、 參考答案 32頁以后為公式大全前 言美國著名數(shù)學教育家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想方法。我們要有意識地應用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質(zhì)，使自己具有數(shù)學頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查： 常用數(shù)學方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法等； 數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等； 數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學知識是數(shù)學內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學思想方法則是一種數(shù)學意識，只能夠領會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決，掌握數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學知識忘記了，數(shù)學思想方法也還是對你起作用。數(shù)學思想方法中，數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得?？梢哉f，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質(zhì)的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學知識。第一章 高中數(shù)學解題基本方法一、 配方法配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(ab)a2abb，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學知識和性質(zhì)，相應有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。、再現(xiàn)性題組：1. 在正項等比數(shù)列a中，asa+2asa+aa=25，則 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 A. <k<1 B. k<或k>1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1，則sincos的值為_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函數(shù)ylog (2x5x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點P(x,x)在圓x+y=4上，則實數(shù)a_?！竞喗狻?1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aaa，將已知等式左邊后配方（aa）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標準方程形式(xa)(yb)r，解r>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3。、示范性題組：例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得?！窘狻吭O長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。長方體所求對角線長為：5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學表示式，觀察和分析三個數(shù)學式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設方程xkx2=0的兩實根為p、q，若()+()7成立，求實數(shù)k的取值范圍。【解】方程xkx2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k?！咀ⅰ?關于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對“”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“”的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。例3. 設非零復數(shù)a、b滿足aabb=0，求()() ?！痉治觥?對已知式可以聯(lián)想：變形為()()10，則 （為1的立方虛根）；或配方為(ab)ab 。則代入所求式即得。【解】由aabb=0變形得：()()10 ，設，則10，可知為1的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 ?！咀ⅰ?本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用的性質(zhì)，計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開?！玖斫狻坑蒩abb0變形得：()()10 ，解出后，化成三角形式，代入所求表達式的變形式()()后，完成后面的運算。此方法用于只是未聯(lián)想到時進行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由aabb0解出：ab，直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。、鞏固性題組：1. 函數(shù)y(xa)(xb) （a、b為常數(shù)）的最小值為_。A. 8 B. C. D.最小值不存在2. 、是方程x2axa60的兩實根，則(-1) +(-1)的最小值是_。A. B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知x、yR，且滿足x3y10，則函數(shù)t28有_。A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值4. 橢圓x2ax3ya60的一個焦點在直線xy40上，則a_。A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或65. 化簡：2的結(jié)果是_。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 設F和F為雙曲線y1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足FPF90°，則FPF的面積是_。7. 若x>1，則f(x)x2x的最小值為_。8. 已知<，cos(-)，sin(+)，求sin2的值。(92年高考題)9. 設二次函數(shù)f(x)AxBxC，給定m、n（m<n）,且滿足A(m+n)+ mn2AB(m+n)CmnBC0 。 解不等式f(x)>0； 是否存在一個實數(shù)t，使當t(m+t,n-t)時，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。10. 設s>1，t>1，mR，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs), 將y表示為x的函數(shù)yf(x)，并求出f(x)的定義域； 若關于x的方程f(x)0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。二、換元法解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)y的值域時，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.設f(x1)log(4x) （a>1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，a·aaa，則數(shù)列通項a_。4.設實數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) ·log(22)2的解集是_?！竞喗狻?小題：設sinx+cosxt,，則yt，對稱軸t1，當t，y；2小題：設x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域為(,log4；3小題：已知變形為1,設b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設log(21)y，則y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。、示范性題組：例1. 實數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設Sxy，求的值。（93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進行三角換元，設代入式求S和S的值?！窘狻吭O代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”?！玖斫狻?由Sxy，設xt，yt，t， 則xy±代入式得：4S±5=5， 移項平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件Sxy與三角公式cossin1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式Sxy而按照均值換元的思路，設xt、yt，減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設xab，yab，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。（96年全國理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“AC120°”進行均值換元，則設 ，再代入可求cos即cos?！窘狻坑葾BC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，設，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos?！玖斫狻坑葾C2B，得AC120°，B60°。所以2，設m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos。【注】 本題兩種解法由“AC120°”、“2”分別進行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和積互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 設a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值?！窘狻?設sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) （a>0），t-,t-時，取最小值：2a2a當2a時，t，取最大值：2a2a ；當0<2a時，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為?！咀ⅰ?此題屬于局部換元法，設sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4. 設對所于有實數(shù)x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法?！窘狻?設logt，則loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡化為（3t）x2tx2t>0，它對一切實數(shù)x恒成立，所以：，解得 t<0即log<00<<1，解得0<a<1。【注】應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設元，關鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、 log、log三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。例5. 已知，且 (式)，求的值?！窘狻?設k，則sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設t，則t , 解得：t3或 ±或±【另解】 由tg，將等式兩邊同時除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，設tgt，則3t10t30，t3或， 解得±或±?！咀ⅰ?第一種解法由而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法將已知變形為，不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為tg，再進行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6. 實數(shù)x、y滿足1，若xyk>0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑梢阎獥l件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實施三角換元。【解】由1，設cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：3cos4sink>0，即k<3cos4sin5sin(+) 所以k<-5時不等式恒成立?！咀ⅰ勘绢}進行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x xyk>0 k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域為直線axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上xyk>0的區(qū)域。即當直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時。當直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k<-3時原不等式恒成立。、鞏固性題組：1. 已知f(x)lgx (x>0)，則f(4)的值為_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設等差數(shù)列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范圍是_。6. 不等式>ax的解集是(4,b)，則a_，b_。7. 函數(shù)y2x的值域是_。8. 在等比數(shù)列a中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D C A B O x9. 實數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實數(shù)x，不等式sinx2mcosx4m1<0恒成立。10. 已知矩形ABCD，頂點C(4,4)，A點在曲線xy2 (x>0,y>0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關系，設出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應相等。待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對應系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。、再現(xiàn)性題組：1. 設f(x)m，f(x)的反函數(shù)f(x)nx5，那么m、n的值依次為_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx2>0的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b<0)的最大值為，最小值為，則y4asin3bx的最小正周期是_。1. 與直線L：2x3y50平行且過點A(1,-4)的直線L的方程是_。2. 與雙曲線x1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是_?！竞喗狻?小題：由f(x)m求出f(x)2x2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的兩根，代入兩根，列出關于系數(shù)a、b的方程組，易求得ab，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設直線L方程2x3yc0，點A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小題：設雙曲線方程x，點(2,2)代入求得3，即得方程1。、示范性題組：例1. 已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻?函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0， xR, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(y1)(y7)0,即y6y70，然后與不等式比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)?！咀ⅰ?在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了關于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。例2. 設橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是，求橢圓的方程。 y B x A F O F A B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設a、b、c后，由已知垂直關系而聯(lián)想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的距離轉(zhuǎn)化為ac的值后列出第二個方程?！窘狻?設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關系推證出等腰RtBBF后，由其性質(zhì)推證出等腰RtBOF，再進行如下列式： ，更容易求出a、b的值?！咀ⅰ?圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關于ac的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設方程（或幾何數(shù)據(jù)）幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解已知系數(shù)代入。例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·22·3n(n1)(anbnc)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國高考題）【分析】是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n1、2、3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是對n1、2、3，等式1·22·3n(n1)(3n11n10)成立，下面用數(shù)學歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設對nk時等式成立，即1·22·3k(k1)(3k11k10)；當nk1時，1·22·3k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是說，等式對nk1也成立。綜上所述，當a8、b11、c10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立?！咀ⅰ拷㈥P于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列12n、12n求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得S1·22·3n(n1)(12n)2(12n)(12n)2×(3n11n10)，綜上所述，當a8、b11、c10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立。例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究?！窘狻?依題意，矩形盒子底邊邊長為(302x)cm，底邊寬為(142x)cm，高為xcm。 盒子容積 V(302x)(142x)x4(15x)(7x)x ， 顯然:15x>0，7x>0，x>0。設V(15aax)(7bbx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，則解得：a， b ， x3 。 從而V()(x)x()×27576。所以當x3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm?！咀ⅰ烤挡坏仁綉脮r要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。、鞏固性題組：1. 函數(shù)ylogx的x2,+)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_。A. 2>a>且a1 B. 0<a<或1<a<2 C. 1<a<2 D. a>2或0<a<2. 方程xpxq0與xqxp0只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為_。A. 1 B. 1 C. pq D. 無法確定 3. 如果函數(shù)ysin2xa·cos2x的圖像關于直線x對稱，那么a_。A. B. C. 1 D. 14. 滿足C1·C2·Cn·C<500的最大正整數(shù)是_。A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無窮等比數(shù)列a的前n項和為Sa , 則所有項的和等于_。A. B. 1 C. D.與a有關6. (1kx)bbxbxbx，若bbbb1，則k_。7. 經(jīng)過兩直線11x3y90與12xy190的交點，且過點(3,-2)的直線方程為_。 8. 正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱和底面所成角為60°，過底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為_。9. 設yf(x)是一次函數(shù)，已知f(8)15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)f(2)f(m)的值。10. 設拋物線經(jīng)過兩點(-1,6)和(-1,-2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y2x7和拋物線截得的線段長是4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解題。數(shù)學中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，AB的元素個數(shù)為n，則_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 設MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則_。A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP3. 復數(shù)za2，z2，如果|z|< |z|，則實數(shù)a的取值范圍是_。A. 1<a<1 B. a>1 C. a>0 D. a<1或a>14. 橢圓1上有一點P，它到左準線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_。A. 8 C. 7.5 C. D. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f()的值為_。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_?！竞喗狻?小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復數(shù)模的定義得<，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到e，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f()f()f()，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。、示范性題組：例1. 已知z1， 設wz34，求w的三角形式； 如果1，求實數(shù)a、b的值。（94年全國理）【分析】代入z進行運算化簡后，運用復數(shù)三角形式和復數(shù)相等的定義解答?！窘狻坑蓏1，有wz34(1)3423(1)41，w的三角形式是（cossin）；由z1，有(a2)(ab)。由題設條件知：(a2)(ab)1；根據(jù)復數(shù)相等的定義，得：，解得?！咀ⅰ壳髲蛿?shù)的三角形式，一般直接利用復數(shù)的三角形式定義求解。利用復數(shù)相等的定義，由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復數(shù)中經(jīng)常遇到的。例2. 已知f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性?！痉治觥恳袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷?！窘狻?解得： f(x)xx 解f(x)>0得：0<x<1設<x<x<1， 則f(x)f(x)x+x-（-x+x）=(x-x)1-(x+x)( x+x), x+x>， x+x> (x+x)( x+x)×1 f(x)f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) <1 ylogf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。 A A D C C O H B B 【注】關于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應用定義解題。本題還在求n、c的過程中，運用了待定系數(shù)法和換元法。例3. 如圖，已知ABCABC是正三棱柱，D是AC中點。 證明：AB平面DBC； 假設ABBC，求二面角DBCC的度數(shù)。（94年全國理）【分析】 由線面平行的定義來證問，即通過證AB平行平面DBC內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求問。【解】 連接BC交BC于O, 連接OD ABCABC是正三棱柱 四邊形BBCC是矩形 O是BC中點ABC中， D是AC中點 ABOD AB平面DBC 作DHBC于H，連接OH DH平面BCC ABOD, ABBC BCOD BCOH 即DOH為所求二面角的平面角。設AC1，作OEBC于E，則DHsin60°，BH，EH ； RtBOH中，OHBH×EH， OHDH DOH45°，即二面角DBCC的度數(shù)為45°?！咀ⅰ繉τ诙娼荄BCC的平面角，容易誤認為DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個垂足OH，則DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在RtBOH中運用射影定理求OH的長是計算的關鍵。此題文科考生的第二問為：假設ABBC，BC2，求AB在側(cè)面BBCC的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AEBC于E，連接BE即所求，易得到OEBB，所以，EFBE。在RtBBE中，易得到BFBE,由射影定理得：BE×EFBE即BE1，所以BE。 y M F A x例4. 求過定點M(1,2)，以x軸為準線，離心率為的橢圓的下頂點的軌跡方程。【分析】運動的橢圓過定點M，準線固定為x軸，所以M到準線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到建立一個方程，再由離心率的定義建立一個方程?！窘狻吭OA(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點M到準線距離為2，下頂點A到準線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x1）1，所以橢圓下頂點的軌跡方程為（x1）1?！咀ⅰ壳笄€的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設曲線上動點所滿足的條件，根據(jù)條件列出動點所滿足的關系式，進行化簡即可得到。本題還引入了一個參數(shù)m,列出的是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動點坐標所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時，巧妙地運用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點、焦點、準線、離心率等問題，常用定義法解決；求圓錐曲線的方程，也總是利用圓錐曲線的定義求解，但要注意橢圓、雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當選用。、鞏固性題組：1 函數(shù)yf(x)ak的圖像過點(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過點(4,0)，則f(x)的表達式是_。2. 過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為A、B,則AFB等于_。A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°3. 已知A0,1，Bx|xA，則下列關系正確的是_。 A. AB B. AB C. AB D. AB4. 雙曲線3xy3的漸近線方程是_。 A. y±3x B. y±x C. y±x D. y±x5. 已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)是_。 A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇既偶函數(shù)6. CC_。7. Z4(sin140°cos140°)，則復數(shù)的輻角主值是_。8. 不等式axbxc>0的解集是(1,2)，則不等式bxcxa<0解集是_。9. 已知數(shù)列a是等差數(shù)列，求證數(shù)列b也是等差數(shù)列，其中b(aaa)。10. 已知F、F是橢圓1 (a>b>0)的兩個焦點，其中F與拋物線y12x的焦點重合，M是兩曲線的一個焦點，且有cosM FF·cosMFF，求橢圓方程。五、數(shù)學歸納法歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n1(或n)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或nn且nN）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運用數(shù)學歸納法證明問題時，關鍵是nk1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。、再現(xiàn)性題組：1. 用數(shù)學歸納法證明(n1)(n2)(nn)2·1·2(2n1) （nN），從“k到k1”，左端需乘的代數(shù)式為_。 A. 2k1 B. 2(2k1) C. D. 2. 用數(shù)學歸納法證明1<n (n>1)時，由nk (k>1)不等式成立，推證nk1時，左邊應增加的代數(shù)式的個數(shù)是_。 A. 2 B. 21 C. 2 D. 213. 某個命題與自然數(shù)n有關，若nk (kN)時該命題成立，那么可推得nk1時該命題也成立?，F(xiàn)已知當n5時該命題不成立，那么可推得_。 (94年上海高考)