《算法設(shè)計與分析》.ppt

1,算法設(shè)計與分析,2,主要內(nèi)容介紹,第1章算法引論 第2章遞歸與分治策略 第3章動態(tài)規(guī)劃 第4章貪心算法 第5章回溯法 第6章分支限界法,3,主要內(nèi)容介紹（續(xù)）,第7章概率算法 第8章NP完全性理論 第9章近似算法 第10章算法優(yōu)化策略,4,第1章 算法引論,1.1算法與程序 1.2表達(dá)算法的抽象機(jī)制 1.3描述算法 1.4算法復(fù)雜性分析,本章主要知識點：,5,1.1算法與程序,輸 入：有零個或多個外部量作為算法的輸入。 輸 出：算法產(chǎn)生至少一個量作為輸出。 確定性：組成算法的每條指令清晰、無歧義。 有限性：算法中每條指令的執(zhí)行次數(shù)有限，執(zhí)行每條指令的時間也有限。,是算法用某種程序設(shè)計語言的具體實現(xiàn)。 程序可以不滿足算法的性質(zhì)(4)即有限性。,是滿足下述性質(zhì)的指令序列。,算法：,程序：,6,1.從機(jī)器語言到高級語言的抽象,1.2表達(dá)算法的抽象機(jī)制,高級程序設(shè)計語言的主要好處是：,（4）把繁雜瑣碎的事務(wù)交給編譯程序，所以自動化程度高，開發(fā)周期短，程序員可以集中時間和精力從事更重要的創(chuàng)造性勞動，提高程序質(zhì)量。,（1）高級語言更接近算法語言，易學(xué)、易掌握，一般工程技術(shù)人員只需 要幾周時間的培訓(xùn)就可以勝任程序員的工作；,（2）高級語言為程序員提供了結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計的環(huán)境和工具，使得設(shè)計出來的程序可讀性好，可維護(hù)性強(qiáng)，可靠性高；,（3）高級語言不依賴于機(jī)器語言，與具體的計算機(jī)硬件關(guān)系不大，因而所寫出來的程序可植性好、重用率高；,7,2.抽象數(shù)據(jù)類型,1.2表達(dá)算法的抽象機(jī)制,抽象數(shù)據(jù)類型是算法的一個數(shù)據(jù)模型連同定義在該模型上 并作為算法構(gòu)件的一組運算。,抽象數(shù)據(jù)類型帶給算法設(shè)計的好處有：,（1）算法頂層設(shè)計與底層實現(xiàn)分離； （2）算法設(shè)計與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計隔開，允許數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)自由選擇； （3）數(shù)據(jù)模型和該模型上的運算統(tǒng)一在ADT中，便于空間和時間耗費的折衷； （4）用抽象數(shù)據(jù)類型表述的算法具有很好的可維護(hù)性； （5）算法自然呈現(xiàn)模塊化； （6）為自頂向下逐步求精和模塊化提供有效途徑和工具； （7）算法結(jié)構(gòu)清晰，層次分明，便于算法正確性的證明和復(fù)雜性的分析。,8,在本書中，采用Java語言描述算法。 1.Java程序結(jié)構(gòu),1.3描述算法,以下，對Java語言的若干重要特性作簡要概述。,（1）Java程序的兩種類型：應(yīng)用程序和applet 區(qū)別：應(yīng)用程序的主方法為main，其可在命令行中用命令 語句 java 應(yīng)用程序名 來執(zhí)行； applet的主方法為init，其必須嵌入HTML文件，由 Web瀏覽器或applet閱讀器來執(zhí)行。,（2）包：java程序和類可以包(packages)的形式組織管理。,（3）import語句：在java程序中可用import語句加載所需的包。 例如，import java.io.*;語句加載java.io包。,9,1.3描述算法,2.Java數(shù)據(jù)類型,Java對兩種數(shù)據(jù)類型的不同處理方式：,s = new String(“Welcome”); String s = new String(“Welcome”);,10,1.3描述算法,表格1-1 Java基本數(shù)據(jù)類型,11,1.3描述算法,3.方法,在Java中，執(zhí)行特定任務(wù)的函數(shù)或過程統(tǒng)稱為方法(methods) 。 例如，java的Math類給出的常見數(shù)學(xué)計算的方法如下表所示：,12,1.3描述算法,3.方法,計算表達(dá)式 值的自定義方法ab描述如下：,public static int ab(int a, int b) return (a+b+Math.abs(a-b)/2; ,（1）方法參數(shù)：Java中所有方法的參數(shù)均為值參數(shù)。上述方法ab中，a和b是形式參數(shù)，在調(diào)用方法時通過實際參數(shù)賦值。,（2）方法重載：Java允許方法重載，即允許定義有不同簽名的同名方法。 上述方法ab可重載為：,public static double ab(double a, double b) return (a+b+Math.abs(a-b)/2.0; ,13,1.3描述算法,4.異常,Java的異常提供了一種處理錯誤的方法。當(dāng)程序發(fā)現(xiàn)一個錯誤，就引發(fā)一個異常，以便在合適地方捕獲異常并進(jìn)行處理。,通常用try塊來定義異常處理。每個異常處理由一個catch語句組成。,public static void main(String args) try f ( ); catch (exception1) 異常處理; catch (exception2) 異常處理; finally finally塊; ,14,1.3描述算法,5.Java的類,(4)訪問修飾,Java的類一般由4個部分組成：,(1)類名,(2)數(shù)據(jù)成員,(3)方法,15,1.3描述算法,6.通用方法,下面的方法swap用于交換一維整型數(shù)組a的位置i和位置j處的值。,public static void swap(int a, int i, int j) int temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,public static void swap(object a, int i, int j) object temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,該方法只適用于 整型數(shù)組,該方法具有通用性，適用于Object類型及其所有子類,以上方法修改如下：,16,1.3描述算法,6.通用方法,（1）Computable界面,public static Computable sum(Computable a, int n) if (a.length = 0) return null; Computable sum = (Computable) a0.zero(); for (int i = 0; i < n; i+) sum.increment(ai); return sum; ,利用此界面使 方法sum通用化,17,1.3描述算法,6.通用方法,（2）java.lang.Comparable 界面,Java的Comparable 界面中惟一的方法頭compareTo用于比較 2個元素的大小。例如java.lang.CpareTo(y) 返回x-y的符號，當(dāng)xy時返 回正數(shù)。,（3）Operable 界面,有些通用方法同時需要Computable界面和Comparable 界面 的支持。為此可定義Operable界面如下:,public interface Operable extends Computable, Comparable ,（4）自定義包裝類,由于Java的包裝類如Integer等已定義為final型，因此無法 定義其子類，作進(jìn)一步擴(kuò)充。為了需要可自定義包裝類。,18,1.3描述算法,7.垃圾收集 8.遞歸,Java的new運算用于分配所需的內(nèi)存空間。 例如， int a = new int500000; 分配2000000字節(jié)空間 給整型數(shù)組a。頻繁用new分配空間可能會耗盡內(nèi)存。Java的垃 圾收集器會適時掃描內(nèi)存，回收不用的空間（垃圾）給new重新 分配。,Java允許方法調(diào)用其自身。這類方法稱為遞歸方法。,public static int sum(int a, int n) if (n=0) return 0; else return an-1+sum(a,n-1); ,計算一維整型數(shù)組前n個元素之和的遞歸方法,19,1.4算法復(fù)雜性分析,算法復(fù)雜性是算法運行所需要的計算機(jī)資源的量， 需要時間資源的量稱為時間復(fù)雜性，需要的空間資源的 量稱為空間復(fù)雜性。這個量應(yīng)該只依賴于算法要解的問 題的規(guī)模、算法的輸入和算法本身的函數(shù)。如果分別用 N、I和A表示算法要解問題的規(guī)模、算法的輸入和算法 本身，而且用C表示復(fù)雜性，那么，應(yīng)該有C=F(N,I,A)。 一般把時間復(fù)雜性和空間復(fù)雜性分開，并分別用T和S來 表示，則有： T=T(N,I)和S=S(N,I) 。 （通常，讓A隱含在復(fù)雜性函數(shù)名當(dāng)中）,20,1.4算法復(fù)雜性分析,最壞情況下的時間復(fù)雜性：,最好情況下的時間復(fù)雜性：,平均情況下的時間復(fù)雜性：,其中DN是規(guī)模為N的合法輸入的集合；I*是DN中使T(N, I*) 達(dá)到Tmax(N)的合法輸入； 是中使T(N, )達(dá)到Tmin(N)的合法 輸入；而P(I)是在算法的應(yīng)用中出現(xiàn)輸入I的概率。,21,1.4算法復(fù)雜性分析,算法復(fù)雜性在漸近意義下的階：,漸近意義下的記號：O、o 設(shè)f(N)和g(N)是定義在正數(shù)集上的正函數(shù)。,O的定義：如果存在正的常數(shù)C和自然數(shù)N0，使得當(dāng)NN0時有f(N)Cg(N)，則稱函數(shù)f(N)當(dāng)N充分大時上有界，且g(N)是它的一個上界，記為f(N)=O(g(N)。即f(N)的階不高于g(N)的階。,根據(jù)O的定義，容易證明它有如下運算規(guī)則： (1)O(f)+O(g)=O(max(f,g)； (2)O(f)+O(g)=O(f+g)； (3)O(f)O(g)=O(fg)； (4)如果g(N)=O(f(N)，則O(f)+O(g)=O(f)； (5)O(Cf(N)=O(f(N)，其中C是一個正的常數(shù)； (6)f=O(f)。,22,1.4算法復(fù)雜性分析,的定義：如果存在正的常數(shù)C和自然數(shù)N0，使得當(dāng)NN0時 有f(N)Cg(N)，則稱函數(shù)f(N)當(dāng)N充分大時下有界，且g(N)是它 的一個下界，記為f(N)=(g(N)。即f(N)的階不低于g(N)的階。,的定義：定義f(N)= (g(N)當(dāng)且僅當(dāng)f(N)=O(g(N)且 f(N)= (g(N)。此時稱f(N)與g(N)同階。,o的定義：對于任意給定的0，都存在正整數(shù)N0，使得 當(dāng)NN0時有f(N)/Cg(N),則稱函數(shù)f(N)當(dāng)N充分大時的階比 g(N)低，記為f(N)=o(g(N)。 例如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。,23,第2章 遞歸與分治策略,24,將要求解的較大規(guī)模的問題分割成k個更小規(guī)模的子問題。,算法總體思想,n,T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n),=,對這k個子問題分別求解。如果子問題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個子問題，如此遞歸的進(jìn)行下去，直到問題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止。,25,算法總體思想,對這k個子問題分別求解。如果子問題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個子問題，如此遞歸的進(jìn)行下去，直到問題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止。,n,T(n),=,將求出的小規(guī)模的問題的解合并為一個更大規(guī)模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。,26,算法總體思想,將求出的小規(guī)模的問題的解合并為一個更大規(guī)模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。,n,T(n),=,27,算法總體思想,將求出的小規(guī)模的問題的解合并為一個更大規(guī)模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。,分治法的設(shè)計思想是，將一個難以直接解決的大問題， 分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破， 分而治之。 凡治眾如治寡，分?jǐn)?shù)是也。 -孫子兵法,28,2.1 遞歸的概念,直接或間接地調(diào)用自身的算法稱為遞歸算法。用函數(shù)自身給出定義的函數(shù)稱為遞歸函數(shù)。 由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。 分治與遞歸像一對孿生兄弟，經(jīng)常同時應(yīng)用在算法設(shè)計之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。,下面來看幾個實例。,29,2.1 遞歸的概念,例1 階乘函數(shù) 階乘函數(shù)可遞歸地定義為：,邊界條件,遞歸方程,邊界條件與遞歸方程是遞歸函數(shù)的二個要素，遞歸函數(shù)只有具備了這兩個要素，才能在有限次計算后得出結(jié)果。,30,2.1 遞歸的概念,例2 Fibonacci數(shù)列 無窮數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，被稱為Fibonacci數(shù)列。它可以遞歸地定義為：,邊界條件,遞歸方程,第n個Fibonacci數(shù)可遞歸地計算如下： public static int fibonacci(int n) if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); ,31,32,2.1 遞歸的概念,例3 Ackerman函數(shù) 當(dāng)一個函數(shù)及它的一個變量是由函數(shù)自身定義時，稱這個函數(shù)是雙遞歸函數(shù)。 Ackerman函數(shù)A(n，m)定義如下：,33,2.1 遞歸的概念,例3 Ackerman函數(shù) 前2例中的函數(shù)都可以找到相應(yīng)的非遞歸方式定義：,但本例中的Ackerman函數(shù)卻無法找到非遞歸的定義。,34,2.1 遞歸的概念,例3 Ackerman函數(shù) A(n，m)的自變量m的每一個值都定義了一個單變量函數(shù)： M=0時，A(n,0)=n+2 M=1時，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n M=2時，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2n 。 M=3時，類似的可以推出 M=4時，A(n,4)的增長速度非?？欤灾劣跊]有適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子來表示這一函數(shù)。,35,2.1 遞歸的概念,例3 Ackerman函數(shù) 定義單變量的Ackerman函數(shù)A(n)為，A(n)=A(n，n)。 定義其擬逆函數(shù)(n)為：(n)=minkA(k)n。即(n)是使nA(k)成立的最小的k值。 (n)在復(fù)雜度分析中常遇到。對于通常所見到的正整數(shù)n，有(n)4。但在理論上(n)沒有上界，隨著n的增加，它以難以想象的慢速度趨向正無窮大。,36,2.1 遞歸的概念,例4 排列問題 設(shè)計一個遞歸算法生成n個元素r1,r2,rn的全排列。,設(shè)R=r1,r2,rn是要進(jìn)行排列的n個元素，Ri=R-ri。 集合X中元素的全排列記為perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一個排列前加上前綴得到的排列。R的全排列可歸納定義如下：,當(dāng)n=1時，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素； 當(dāng)n1時，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，(rn)perm(Rn)構(gòu)成。,37,2.1 遞歸的概念,例5 整數(shù)劃分問題 將正整數(shù)n表示成一系列正整數(shù)之和：n=n1+n2+nk， 其中n1n2nk1，k1。 正整數(shù)n的這種表示稱為正整數(shù)n的劃分。求正整數(shù)n的不 同劃分個數(shù)。 例如正整數(shù)6有如下11種不同的劃分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。,38,(2) q(n,m)=q(n,n),mn; 最大加數(shù)n1實際上不能大于n。因此，q(1,m)=1。,(1) q(n,1)=1,n1; 當(dāng)最大加數(shù)n1不大于1時，任何正整數(shù)n只有一種劃分形式， 即,(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1; 正整數(shù)n的最大加數(shù)n1不大于m的劃分由n1=m的劃分和 n1n-1 的劃分組成。,(3) q(n,n)=1+q(n,n-1); 正整數(shù)n的劃分由n1=n的劃分和n1n-1的劃分組成。,2.1 遞歸的概念,例5 整數(shù)劃分問題 前面的幾個例子中，問題本身都具有比較明顯的遞歸關(guān)系，因而容易用遞歸函數(shù)直接求解。 在本例中，如果設(shè)p(n)為正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)，則難以找到遞歸關(guān)系，因此考慮增加一個自變量：將最大加數(shù)n1不大于m的劃分個數(shù)記作q(n,m)?？梢越(n,m)的如下遞歸關(guān)系。,39,2.1 遞歸的概念,例5 整數(shù)劃分問題 前面的幾個例子中，問題本身都具有比較明顯的遞歸關(guān)系，因而容易用遞歸函數(shù)直接求解。 在本例中，如果設(shè)p(n)為正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)，則難以找到遞歸關(guān)系，因此考慮增加一個自變量：將最大加數(shù)n1不大于m的劃分個數(shù)記作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下遞歸關(guān)系。,正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)p(n)=q(n,n)。,40,41,2.1 遞歸的概念,例6 Hanoi塔問題 設(shè)a,b,c是3個塔座。開始時，在塔座a上有一疊共n個圓盤，這些圓盤自下而上，由大到小地疊在一起。各圓盤從小到大編號為1,2,n,現(xiàn)要求將塔座a上的這一疊圓盤移到塔座b上，并仍按同樣順序疊置。在移動圓盤時應(yīng)遵守以下移動規(guī)則： 規(guī)則1：每次只能移動1個圓盤； 規(guī)則2：任何時刻都不允許將較大的圓盤壓在較小的圓盤之上； 規(guī)則3：在滿足移動規(guī)則1和2的前提下，可將圓盤移至a,b,c中任一塔座上。,42,在問題規(guī)模較大時，較難找到一般的方法，因此我們嘗試用遞歸技術(shù)來解決這個問題。,當(dāng)n=1時，問題比較簡單。此時，只要將編號為1的圓盤從塔座a直接移至塔座b上即可。 當(dāng)n1時，需要利用塔座c作為輔助塔座。此時若能設(shè)法將n-1個較小的圓盤依照移動規(guī)則從塔座a移至塔座c，然后，將剩下的最大圓盤從塔座a移至塔座b，最后，再設(shè)法將n-1個較小的圓盤依照移動規(guī)則從塔座c移至塔座b。 由此可見，n個圓盤的移動問題可分為2次n-1個圓盤的移動問題，這又可以遞歸地用上述方法來做。由此可以設(shè)計出解Hanoi塔問題的遞歸算法如下。,2.1 遞歸的概念,例6 Hanoi塔問題,public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) if (n 0) hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); ,思考題：如果塔的個數(shù)變?yōu)閍,b,c,d四個，現(xiàn)要將n個圓盤從a全部移動到d，移動規(guī)則不變，求移動步數(shù)最小的方案。,43,遞歸小結(jié),優(yōu)點：結(jié)構(gòu)清晰，可讀性強(qiáng)，而且容易用數(shù)學(xué)歸納法來證明算法的正確性，因此它為設(shè)計算法、調(diào)試程序帶來很大方便。 缺點：遞歸算法的運行效率較低，無論是耗費的計算時間還是占用的存儲空間都比非遞歸算法要多。,44,遞歸小結(jié),解決方法：在遞歸算法中消除遞歸調(diào)用，使其轉(zhuǎn)化為非遞歸算法。 1.采用一個用戶定義的棧來模擬系統(tǒng)的遞歸調(diào)用工作棧。該方法通用性強(qiáng)，但本質(zhì)上還是遞歸，只不過人工做了本來由編譯器做的事情，優(yōu)化效果不明顯。 2.用遞推來實現(xiàn)遞歸函數(shù)。 3.通過Cooper變換、反演變換能將一些遞歸轉(zhuǎn)化為尾遞歸，從而迭代求出結(jié)果。 后兩種方法在時空復(fù)雜度上均有較大改善，但其適用范圍有限。,45,分治法的適用條件,分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征： 該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決； 該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解； 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題。,因為問題的計算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加，因此大部分問題滿足這個特征。,這條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用,能否利用分治法完全取決于問題是否具有這條特征，如果具備了前兩條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心算法或動態(tài)規(guī)劃。,這條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時雖然也可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃較好。,46,分治法的基本步驟,divide-and-conquer(P) if ( | P | <= n0) adhoc(P); /解決小規(guī)模的問題 divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解問題 for (i=1,i<=k,i+) yi=divide-and-conquer(Pi); /遞歸的解各子問題 return merge(y1,.,yk); /將各子問題的解合并為原問題的解 人們從大量實踐中發(fā)現(xiàn)，在用分治法設(shè)計算法時，最好使子問題的規(guī)模大致相同。即將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效的。這種使子問題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡(balancing)子問題的思想，它幾乎總是比子問題規(guī)模不等的做法要好。,47,分治法的復(fù)雜性分析,一個分治法將規(guī)模為n的問題分成k個規(guī)模為nm的子問題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費1個單位時間。再設(shè)將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：,通過迭代法求得方程的解：,注意：遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時T(n)的值，但是如果認(rèn)為T(n)足夠平滑，那么由n等于m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調(diào)上升的，從而當(dāng)min<mi+1時，T(mi)T(n)<T(mi+1)。,48,二分搜索技術(shù),分析：如果n=1即只有一個元素，則只要比較這個元素和x就可以確定x是否在表中。因此這個問題滿足分治法的第一個適用條件,分析：比較x和a的中間元素amid，若x=amid，則x在L中的位置就是mid；如果xai，同理我們只要在amid的后面查找x即可。無論是在前面還是后面查找x，其方法都和在a中查找x一樣，只不過是查找的規(guī)?？s小了。這就說明了此問題滿足分治法的第二個和第三個適用條件。,分析：很顯然此問題分解出的子問題相互獨立，即在ai的前面或后面查找x是獨立的子問題，因此滿足分治法的第四個適用條件。,給定已按升序排好序的n個元素a0:n-1，現(xiàn)要在這n個元素中找出一特定元素x。 分析：,該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決； 該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題; 分解出的子問題的解可以合并為原問題的解； 分解出的各個子問題是相互獨立的。,49,二分搜索技術(shù),給定已按升序排好序的n個元素a0:n-1，現(xiàn)要在這n個元素中找出一特定元素x。,據(jù)此容易設(shè)計出二分搜索算法： public static int binarySearch(int a, int x, int n) / 在 a0 amiddle) left = middle + 1; else right = middle - 1; return -1; / 未找到x ,算法復(fù)雜度分析： 每執(zhí)行一次算法的while循環(huán)， 待搜索數(shù)組的大小減少一半。因此，在最壞情況下，while循環(huán)被執(zhí)行了O(logn) 次。循環(huán)體內(nèi)運算需要O(1) 時間，因此整個算法在最壞情況下的計算時間復(fù)雜性為O(logn) 。,思考題：給定a，用二分法設(shè)計出求an的算法。,50,大整數(shù)的乘法,請設(shè)計一個有效的算法，可以進(jìn)行兩個n位大整數(shù)的乘法運算,小學(xué)的方法：O(n2) 效率太低 分治法:,a,b,c,d,復(fù)雜度分析 T(n)=O(n2) 沒有改進(jìn),X = Y = X = a 2n/2 + b Y = c 2n/2 + d XY = ac 2n + (ad+bc) 2n/2 + bd,51,大整數(shù)的乘法,請設(shè)計一個有效的算法，可以進(jìn)行兩個n位大整數(shù)的乘法運算,小學(xué)的方法：O(n2) 效率太低 分治法:,XY = ac 2n + (ad+bc) 2n/2 + bd 為了降低時間復(fù)雜度，必須減少乘法的次數(shù)。 XY = ac 2n + (a-c)(b-d)+ac+bd) 2n/2 + bd XY = ac 2n + (a+c)(b+d)-ac-bd) 2n/2 + bd,復(fù)雜度分析 T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)較大的改進(jìn),細(xì)節(jié)問題：兩個XY的復(fù)雜度都是O(nlog3)，但考慮到a+c,b+d可能得到m+1位的結(jié)果，使問題的規(guī)模變大，故不選擇第2種方案。,52,大整數(shù)的乘法,請設(shè)計一個有效的算法，可以進(jìn)行兩個n位大整數(shù)的乘法運算,小學(xué)的方法：O(n2) 效率太低 分治法: O(n1.59) 較大的改進(jìn) 更快的方法?,如果將大整數(shù)分成更多段，用更復(fù)雜的方式把它們組合起來，將有可能得到更優(yōu)的算法。 最終的，這個思想導(dǎo)致了快速傅利葉變換(Fast Fourier Transform)的產(chǎn)生。該方法也可以看作是一個復(fù)雜的分治算法，對于大整數(shù)乘法，它能在O(nlogn)時間內(nèi)解決。 是否能找到線性時間的算法？目前為止還沒有結(jié)果。,53,Strassen矩陣乘法,A和B的乘積矩陣C中的元素Ci,j定義為:,若依此定義來計算A和B的乘積矩陣C，則每計算C的一個元素Cij，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩陣C的 個元素所需的計算時間為O(n3),傳統(tǒng)方法：O(n3),54,Strassen矩陣乘法,使用與上例類似的技術(shù)，將矩陣A，B和C中每一矩陣都分塊成4個大小相等的子矩陣。由此可將方程C=AB重寫為：,傳統(tǒng)方法：O(n3) 分治法:,由此可得：,復(fù)雜度分析 T(n)=O(n3) 沒有改進(jìn),55,Strassen矩陣乘法,傳統(tǒng)方法：O(n3) 分治法:,為了降低時間復(fù)雜度，必須減少乘法的次數(shù)。,復(fù)雜度分析 T(n)=O(nlog7) =O(n2.81)較大的改進(jìn),56,Strassen矩陣乘法,傳統(tǒng)方法：O(n3) 分治法: O(n2.81) 更快的方法?,Hopcroft和Kerr已經(jīng)證明(1971)，計算2個矩陣的乘積，7次乘法是必要的。因此，要想進(jìn)一步改進(jìn)矩陣乘法的時間復(fù)雜性，就不能再基于計算22矩陣的7次乘法這樣的方法了。或許應(yīng)當(dāng)研究或矩陣的更好算法。 在Strassen之后又有許多算法改進(jìn)了矩陣乘法的計算時間復(fù)雜性。目前最好的計算時間上界是 O(n2.376) 是否能找到O(n2)的算法？目前為止還沒有結(jié)果。,57,棋盤覆蓋,在一個2k2k 個方格組成的棋盤中，恰有一個方格與其他方格不同，稱該方格為一特殊方格，且稱該棋盤為一特殊棋盤。在棋盤覆蓋問題中，要用圖示的4種不同形態(tài)的L型骨牌覆蓋給定的特殊棋盤上除特殊方格以外的所有方格，且任何2個L型骨牌不得重疊覆蓋。,58,棋盤覆蓋,當(dāng)k0時，將2k2k棋盤分割為4個2k-12k-1 子棋盤(a)所示。 特殊方格必位于4個較小子棋盤之一中，其余3個子棋盤中無特殊方格。為了將這3個無特殊方格的子棋盤轉(zhuǎn)化為特殊棋盤，可以用一個L型骨牌覆蓋這3個較小棋盤的會合處，如 (b)所示，從而將原問題轉(zhuǎn)化為4個較小規(guī)模的棋盤覆蓋問題。遞歸地使用這種分割，直至棋盤簡化為棋盤11。,59,棋盤覆蓋,public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) if (size = 1) return; int t = tile+, / L型骨牌號 s = size/2; / 分割棋盤 / 覆蓋左上角子棋盤 if (dr = tc + s) / 特殊方格在此棋盤中 chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s); else / 此棋盤中無特殊方格 / 用 t 號L型骨牌覆蓋左下角,boardtr + s - 1tc + s = t; / 覆蓋其余方格 chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s); / 覆蓋左下角子棋盤 if (dr = tr + s ,復(fù)雜度分析 T(n)=O(4k) 漸進(jìn)意義下的最優(yōu)算法,60,合并排序,基本思想：將待排序元素分成大小大致相同的2個子集合，分別對2個子集合進(jìn)行排序，最終將排好序的子集合合并成為所要求的排好序的集合。,public static void mergeSort(Comparable a, int left, int right) if (left<right) /至少有2個元素 int i=(left+right)/2; /取中點 mergeSort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right); merge(a, b, left, i, right); /合并到數(shù)組b copy(a, b, left, right); /復(fù)制回數(shù)組a ,復(fù)雜度分析 T(n)=O(nlogn) 漸進(jìn)意義下的最優(yōu)算法,61,合并排序,算法mergeSort的遞歸過程可以消去。,62,合并排序,最壞時間復(fù)雜度：O(nlogn) 平均時間復(fù)雜度：O(nlogn) 輔助空間：O(n) 穩(wěn)定性：穩(wěn)定,思考題：給定有序表A1:n，修改合并排序算法，求出該有序表的逆序?qū)?shù)。,63,快速排序,在快速排序中，記錄的比較和交換是從兩端向中間 進(jìn)行的，關(guān)鍵字較大的記錄一次就能交換到后面單 元，關(guān)鍵字較小的記錄一次就能交換到前面單元， 記錄每次移動的距離較大，因而總的比較和移動次 數(shù)較少。,private static void qSort(int p, int r) if (p<r) int q=partition(p,r); /以ap為基準(zhǔn)元素將ap:r劃分成3段ap:q-1,aq和aq+1:r，使得ap:q-1中任何元素小于等于aq，aq+1:r中任何元素大于等于aq。下標(biāo)q在劃分過程中確定。 qSort (p,q-1); /對左半段排序 qSort (q+1,r); /對右半段排序 ,快速排序是對氣泡排序的一種改進(jìn)方法 它是由C.A.R. Hoare于1962年提出的,64,快速排序,private static int partition (int p, int r) int i = p, j = r + 1; Comparable x = ap; / 將= x的元素交換到左邊區(qū)域 / 將 0); if (i = j) break; MyMath.swap(a, i, j); ap = aj; aj = x; return j; ,初始序列,j-;,5, 7, 5, 2, 6, 8,i+;,5, 6, 5, 2, 7, 8,j-;,5, 2, 5, 6, 7, 8,i+;,完成,5, 2, 5 6 7, 8,65,private static int randomizedPartition (int p, int r) int i = random(p,r); MyMath.swap(a, i, p); return partition (p, r); ,快速排序,快速排序算法的性能取決于劃分的對稱性。通過修改算法partition，可以設(shè)計出采用隨機(jī)選擇策略的快速排序算法。在快速排序算法的每一步中，當(dāng)數(shù)組還沒有被劃分時，可以在ap:r中隨機(jī)選出一個元素作為劃分基準(zhǔn)，這樣可以使劃分基準(zhǔn)的選擇是隨機(jī)的，從而可以期望劃分是較對稱的。,最壞時間復(fù)雜度：O(n2) 平均時間復(fù)雜度：O(nlogn) 輔助空間：O(n)或O(logn) 穩(wěn)定性：不穩(wěn)定,66,線性時間選擇,給定線性序集中n個元素和一個整數(shù)k，1kn，要求找出這n個元素中第k小的元素,private static Comparable randomizedSelect(int p,int r,int k) if (p=r) return ap; int i=randomizedpartition(p,r), j=i-p+1; if (k<=j) return randomizedSelect(p,i,k); else return randomizedSelect(i+1,r,k-j); ,在最壞情況下，算法randomizedSelect需要O(n2)計算時間 但可以證明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均時間內(nèi)找出n個輸入元素中的第k小元素。,67,線性時間選擇,如果能在線性時間內(nèi)找到一個劃分基準(zhǔn)，使得按這個基準(zhǔn)所劃分出的2個子數(shù)組的長度都至少為原數(shù)組長度的倍(0<<1是某個正常數(shù))，那么就可以在最壞情況下用O(n)時間完成選擇任務(wù)。,例如，若=9/10，算法遞歸調(diào)用所產(chǎn)生的子數(shù)組的長度至少縮短1/10。所以，在最壞情況下，算法所需的計算時間T(n)滿足遞歸式T(n)T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。,68,將n個輸入元素劃分成n/5個組，每組5個元素，只可能有一個組不是5個元素。用任意一種排序算法，將每組中的元素排好序，并取出每組的中位數(shù)，共n/5個。 遞歸調(diào)用select來找出這n/5個元素的中位數(shù)。如果n/5是偶數(shù)，就找它的2個中位數(shù)中較大的一個。以這個元素作為劃分基準(zhǔn)。,線性時間選擇,設(shè)所有元素互不相同。在這種情況下，找出的基準(zhǔn)x至少比3(n-5)/10個元素大，因為在每一組中有2個元素小于本組的中位數(shù)，而n/5個中位數(shù)中又有(n-5)/10個小于基準(zhǔn)x。同理，基準(zhǔn)x也至少比3(n-5)/10個元素小。而當(dāng)n75時，3(n-5)/10n/4所以按此基準(zhǔn)劃分所得的2個子數(shù)組的長度都至少縮短1/4。,69,private static Comparable select (int p, int r, int k) if (r-p<5) /用某個簡單排序算法對數(shù)組ap:r排序; bubbleSort(p,r); return ap+k-1; /將ap+5*i至ap+5*i+4的第3小元素 /與ap+i交換位置; /找中位數(shù)的中位數(shù)，r-p-4即上面所說的n-5 for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i+ ) int s=p+5*i, t=s+4; for (int j=0;j<3;j+) bubble(s,t-j); MyMath.swap(a, p+i, s+2); Comparable x = select(p, p+(r-p-4)/5, (r-p+6)/10); int i=partition(p,r,x), j=i-p+1; if (k<=j) return select(p,i,k); else return select(i+1,r,k-j); ,復(fù)雜度分析 T(n)=O(n),上述算法將每一組的大小定為5，并選取75作為是否作遞歸調(diào)用的分界點。這2點保證了T(n)的遞歸式中2個自變量之和n/5+3n/4=19n/20=n，0<<1。這是使T(n)=O(n)的關(guān)鍵之處。當(dāng)然，除了5和75之外，還有其他選擇。,70,最接近點對問題,給定平面上n個點的集合S，找其中的一對點，使得在n個點組成的所有點對中，該點對間的距離最小。,71,最接近點對問題,如果S的最接近點對是p3,q3，即|p3-q3|<d，則p3和q3兩者與m的距離不超過d，即p3(m-d,m，q3(m,m+d。 由于在S1中，每個長度為d的半閉區(qū)間至多包含一個點（否則必有兩點距離小于d），并且m是S1和S2的分割點，因此(m-d,m中至多包含S中的一個點。由圖可以看出，如果(m-d,m中有S中的點，則此點就是S1中最大點。 因此，我們用線性時間就能找到區(qū)間(m-d,m和(m,m+d中所有點，即p3和q3。從而我們用線性時間就可以將S1的解和S2的解合并成為S的解。,能否在線性時間內(nèi)找到p3,q3？,72,最接近點對問題,下面來考慮二維的情形。,選取一垂直線l:x=m來作為分割直線。其中m為S中各點x坐標(biāo)的中位數(shù)。由此將S分割為S1和S2。 遞歸地在S1和S2上找出其最小距離d1和d2，并設(shè)d=mind1,d2，S中的最接近點對或者是d，或者是某個p,q，其中pP1且qP2。 能否在線性時間內(nèi)找到p,q？,73,最接近點對問題,考慮P1中任意一點p，它若與P2中的點q構(gòu)成最接近點對的候選者，則必有distance(p，q)d。滿足這個條件的P2中的點一定落在一個d2d的矩形R中 由d的意義可知，P2中任何2個S中的點的距離都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6個S中的點。 因此，在分治法的合并步驟中最多只需要檢查6n/2=3n個候選者,能否在線性時間內(nèi)找到p3,q3？,證明:將矩形R的長為2d的邊3等分，將它的長為d的邊2等分，由此導(dǎo)出6個(d/2)(2d/3)的矩形。若矩形R中有多于6個S中的點，則由鴿舍原理易知至少有一個(d/2)(2d/3)的小矩形中有2個以上S中的點。設(shè)u，v是位于同一小矩形中的2個點，則 distance(u,v)<d。這與d的意義相矛盾。,74,為了確切地知道要檢查哪6個點，可以將p和P2中所有S2的點投影到垂直線l上。由于能與p點一起構(gòu)成最接近點對候選者的S2中點一定在矩形R中，所以它們在直線l上的投影點距p在l上投影點的距離小于d。由上面的分析可知，這種投影點最多只有6個。 因此，若將P1和P2中所有S中點按其y坐標(biāo)排好序，則對P1中所有點，對排好序的點列作一次掃描，就可以找出所有最接近點對的候選者。對P1中每一點最多只要檢查P2中排好序的相繼6個點。,最接近點對問題,75,最接近點對問題,public static double cpair2(S) n=|S|; if (n m 2. d1=cpair2(S1); d2=cpair2(S2); 3. dm=min(d1,d2);,4. 設(shè)P1是S1中距垂直分割線l的距離在dm之內(nèi)的所有點組成的集合； P2是S2中距分割線l的距離在dm之內(nèi)所有點組成的集合； 將P1和P2中點依其y坐標(biāo)值排序； 并設(shè)X和Y是相應(yīng)的已排好序的點列； 5. 通過掃描X以及對于X中每個點檢查Y中與其距離在dm之內(nèi)的所有點(最多6個)可以完成合并； 當(dāng)X中的掃描指針逐次向上移動時，Y中的掃描指針可在寬為2dm的區(qū)間內(nèi)移動； 設(shè)dl是按這種掃描方式找到的點對間的最小距離； 6. d=min(dm,dl); return d; ,復(fù)雜度分析 T(n)=O(nlogn),76,設(shè)計一個滿足以下要求的比賽日程表： (1)每個選手必須與其他n-1個選手各賽一次； (2)每個選手一天只能賽一次； (3)循環(huán)賽一共進(jìn)行n-1天。,按分治策略，將所有的選手分為兩半，n個選手的比賽日程表就可以通過為n/2個選手設(shè)計的比賽日程表來決定。遞歸地用對選手進(jìn)行分割，直到只剩下2個選手時，比賽日程表的制定就變得很簡單。這時只要讓這2個選手進(jìn)行比賽就可以了。,77,循環(huán)賽日程表,設(shè)計一個滿足以下要求的比賽日程表： (1)每個選手必須與其他n-1個選手各賽一次； (2)每個選手一天只能賽一次； (3)循環(huán)賽一共進(jìn)行n-1天。,按分治策略，將所有的選手分為兩半，n個選手的比賽日程表就可以通過為n/2個選手設(shè)計的比賽日程表來決定。遞歸地用對選手進(jìn)行分割，直到只剩下2個選手時，比賽日程表的制定就變得很簡單。這時只要讓這2個選手進(jìn)行比賽就可以了。,78,第3章 動態(tài)規(guī)劃,79,動態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題,80,算法總體思想,動態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題,81,但是經(jīng)分解得到的子問題往往不是互相獨立的。不同子問題的數(shù)目常常只有多項式量級。在用分治法求解時，有些子問題被重復(fù)計算了許多次。,算法總體思想,82,如果能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，就可以避免大量重復(fù)計算，從而得到多項式時間算法。,算法總體思想,T(n),Those who cannot remember the past are doomed to repeat it. -George Santayana, The life of Reason, Book I: Introduction and Reason in Common Sense (1905),83,動態(tài)規(guī)劃基本步驟,找出最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。 遞歸地定義最優(yōu)值。 以自底向上的方式計算出最優(yōu)值。 根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。,84,完全加括號的矩陣連乘積,（1）單個矩陣是完全加括號的； （2）矩陣連乘積 是完全加括號的，則 可 表示為2個完全加括號的矩陣連乘積 和 的乘積并加括號，即,16000, 10500, 36000, 87500, 34500,完全加括號的矩陣連乘積可遞歸地定義為： 設(shè)有四個矩陣 ，它們的維數(shù)分別是： 總共有五中完全加括號的方式,85,矩陣連乘問題,給定n個矩陣 ， 其中 與 是可乘的， ?？疾爝@n個矩陣的連乘積 由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以計算矩陣的連乘可以有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。 若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反復(fù)調(diào)用2個矩陣相乘的標(biāo)準(zhǔn)算法計算出矩陣連乘積,86,矩陣連乘問題,給定n個矩陣A1,A2,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1,2 ,n-1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數(shù)乘次數(shù)最少。,窮舉法：列舉出所有可能的計算次序，并計算出每一種計算次序相應(yīng)需要的數(shù)乘次數(shù)，從中找出一種數(shù)乘次數(shù)最少的計算次序。,算法復(fù)雜度分析： 對于n個矩陣的連乘積，設(shè)其不同的計算次序為P(n)。 由于每種加括號方式都可以分解為兩個子矩陣的加括號問題：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到關(guān)于P(n)的遞推式如下：,87,矩陣連乘問題,窮舉法 動態(tài)規(guī)劃,將矩陣連乘積 簡記為Ai:j ，這里ij,考察計算Ai:j的最優(yōu)計算次序。設(shè)這個計算次序在矩陣 Ak和Ak+1之間將矩陣鏈斷開，ik<j，則其相應(yīng)完全 加括號方式為,計算量：Ai:k的計算量加上Ak+1:j的計算量，再加上 Ai:k和Ak+1:j相乘的計算量,88,分析最優(yōu)解的結(jié)構(gòu),特征：計算Ai:j的最優(yōu)次序所包含的計算矩陣子鏈 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最優(yōu)的。 矩陣連乘計算次序問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的顯著特征。,89,建立遞歸關(guān)系,設(shè)計算Ai:j，1ijn，所需要的最少數(shù)乘次數(shù)mi,j，則原問題的最優(yōu)值為m1,n 當(dāng)i=j時，Ai:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n 當(dāng)i<j時， 可以遞歸地定義mi,j為：,這里 的維數(shù)為,的位置只有 種可能,90,計算最優(yōu)值,對于1ijn不同的有序?qū)?i,j)對應(yīng)于不同的子問題。因此，不同子問題的個數(shù)最多只有 由此可見，在遞歸計算時，許多子問題被重復(fù)計算多次。這也是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的又一顯著特征。 用動態(tài)規(guī)劃算法解此問題，可依據(jù)其遞歸式以自底向上的方式進(jìn)行計算。在計算過程中，保存已解決的子問題答案。每個子問題只計算一次，而在后面需要時只要簡單查一下，從而避免大量的重復(fù)計算，最終得到多項式時間的算法,91,用動態(tài)規(guī)劃法求最優(yōu)解,public static void matrixChain(int p, int m, int s) int n=p.length-1; for (int i = 1; i <= n; i+) mii = 0; for (int r = 2; r <= n; r+) for (int i = 1; i <= n - r+1; i+) int j=i+r-1; mij = mi+1j+ pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k < j; k+) int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj; if (t < mij) mij = t; sij = k; ,算法復(fù)雜度分析： 算法matrixChain的主要計算量取決于算法中對r，i和k的3重循環(huán)。循環(huán)體內(nèi)的計算量為O(1)，而3重循環(huán)的總次數(shù)為O(n3)。因此算法的計算時間上界為O(n3)。算法所占用的空間顯然為O(n2)。,92,動態(tài)規(guī)劃算法的基本要素,一、最優(yōu)子結(jié)構(gòu),矩陣連乘計算次序問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。 在分析問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)時，所用的方法具有普遍性：首先假設(shè)由問題的最優(yōu)解導(dǎo)出的子問題的解不是最優(yōu)的，然后再設(shè)法說明在這個假設(shè)下可構(gòu)造出比原問題最優(yōu)解更好的解，從而導(dǎo)致矛盾。 利用問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，以自底向上的方式遞歸地從子問題的最優(yōu)解逐步構(gòu)造出整個問題的最優(yōu)解。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)是問題能用動態(tài)規(guī)劃算法求解的前提。,注意：同一個問題可以有多種方式刻劃它的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，有些表示方法的求解速度更快（空間占用小，問題的維度低）,93,二、重疊子問題,遞歸算法求解問題時，每次產(chǎn)生的子問題并不總是新問題，有些子問題被反復(fù)計算多次。這種性質(zhì)稱為子問題的重疊性質(zhì)。 動態(tài)規(guī)劃算法，對每一個子問題只解一次，而后將其解保存在一個表格中，當(dāng)再次需要解此子問題時，只是簡單地用常數(shù)時間查看一下結(jié)果。 通常不同的子問題個數(shù)隨問題的大小呈多項式增長。因此用動態(tài)規(guī)劃算法只需要多項式時間，從而獲得較高的解題效率。,94,三、備忘錄方法,備忘錄方法的控制結(jié)構(gòu)與直接遞歸方法的控制結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于備忘錄方法為每個解過的子問題建立了備忘錄以備需要時查看，避免了相同子問題的重復(fù)求解。,m0 private static int lookupChain(int i, int j) if (mij 0) return mij; if (i = j) return 0; int u = lookupChain(i+1,j) + pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k < j; k+) int t = lookupChain(i,k) + lookupChain(k+1,j) + pi-1*pk*pj; if (t < u) u = t; sij = k; mij = u; return u; ,95,最長公共子序列,若給定序列X=x1,x2,xm，則另一序列Z=z1,z2,zk，是X的子序列是指存在一個嚴(yán)格遞增下標(biāo)序列i1,i2,ik使得對于所有j=1,2,k有：zj=xij。例如，序列Z=B，C，D，B是序列X=A，B，C，B，D，A，B的子序列，相應(yīng)的遞增下標(biāo)序列為2，3，5，7。 給定2個序列X和Y，當(dāng)另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列時，稱Z是序列X和Y的公共子序列。 給定2個序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最長公共子序列。,96,最長公共子序列的結(jié)構(gòu),設(shè)序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn的最長公共子序列為Z=z1,z2,zk ，則 (1)若xm=yn，則zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最長公共子序列。 (2)若xmyn且zkxm，則Z是xm-1和Y的最長公共子序列。 (3)若xmyn且zkyn，則Z是X和yn-1的最長公共子序列。,由此可見，2個序列的最長公共子序列包含了這2個序列的前綴的最長公共子序列。因此，最長公共子序列問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。,97,子問題的遞歸結(jié)構(gòu),由最長公共子序列問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)建立子問題最優(yōu)值的遞歸關(guān)系。用cij記錄序列和的最長公共子序列的長度。其中， Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。當(dāng)i=0或j=0時，空序列是Xi和Yj的最長公共子序列。故此時Cij=0。其他情況下，由最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)可建立遞歸關(guān)系如下：,98,計算最優(yōu)值,由于在所考慮的子問題空間中，總共有(mn)