（福建專）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.5 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件 文

8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)1.直線與平面垂直 任意 mn=O a 知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)b ab 知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理直二面角 垂線 交線 l 知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)已知直線a,b,c,若ab,bc,則ac.()(2)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直,則l.()(3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,若mn,m,則n.()(4)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()(5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則.()知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)2.設(shè)l,m,n均為直線,其中m,n在平面內(nèi),則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析解析:當(dāng)l時(shí),lm且ln.但當(dāng)lm,ln時(shí),若m,n不是相交直線,則得不到l.即l是lm且ln的充分不必要條件.故選A.知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)3.(2017湖南岳陽(yáng)一模,文4)已知,表示兩個(gè)不同的平面,m為平面內(nèi)的一條直線,則“m”是“”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析解析:根據(jù)面面垂直的判定定理得,若m,則成立,即充分性成立,若,則m不一定成立,即必要性不成立,故m是的充分不必要條件,故選A.知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)4.如圖所示,在立體圖形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDEC解析解析:AB=CB,且E是AC的中點(diǎn),BEAC,同理有DEAC,而B(niǎo)EDE=E,AC平面BDE.AC在平面ABC內(nèi),平面ABC平面BDE.又AC在平面ADC內(nèi),平面ADC平面BDE.故選C.知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)5.(2017湖北武昌1月調(diào)研,文16)在矩形ABCD中,ABBC,現(xiàn)將ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過(guò)程中,給出下列結(jié)論:存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直;存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直;存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))解析解析:如圖,AEBD,CFBD,連接CE,ABBC,CE不垂直于BD.知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)若存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直,BDAE,BD平面AEC,從而B(niǎo)DEC,這與已知矛盾,排除;若存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直,則CD平面ABC.作MECF,交BC于點(diǎn)M,連接AM(圖略),則MEBD,又AEBD,AEME=E,BD平面AME,AMBD.又CD平面ABC,CDAM.又CDBD=D,AM平面BCD,即點(diǎn)A在平面BCD上的射影M位于邊BC上時(shí),直線AB與直線CD垂直,故正確;若存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直,則BC平面ACD,從而平面ACD平面BCD,即A在底面BCD上的射影應(yīng)位于線段CD上,這是不可能的,排除.故答案為.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四證明空間線面垂直證明空間線面垂直例1如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四(1)證明 延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC,ACBC,平面BCFE平面ABC=BC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因?yàn)镋FBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BFCK.所以BF平面ACFD.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考證明線面垂直的常用方法有哪些?解題心得證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則與另一個(gè)也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017山東濰坊一模,文18)在如圖所示的空間幾何體中,EC平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,CEBF,且CE=2BF,G,H,P分別為AF,DE,AE的中點(diǎn).求證:(1)GH平面BCEF;(2)FP平面ACE.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四(1)證明 PA平面ABCD,又AB平面ABCD,ABPA,又ABC=ADC=60,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=BC2-AB2,AB2+AC2=BC2,即ABAC,又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,AB平面PAC,又PC平面PAC,ABPC.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四證明空間兩條直線垂直證明空間兩條直線垂直例2(2017遼寧鞍山一模,文19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,ADC=60,AB=AD,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)求證:ABPC;(2)若PA=AB=AD=2,求三棱錐P-AEC的體積.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四(1)證明 證法一:連接AC,由已知得PAD,ACD均為正三角形,PA=AC,PD=CD,M為PC的中點(diǎn),PCAM,PCDM,又AM平面AMD,DM平面AMD,AMDM=M,PC平面AMD,又AD平面AMD,PCAD.證法二:取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OC,AC,由已知得PAD,ACD均為正三角形,OCAD,OPAD,又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC,AD平面POC,又PC平面POC,PCAD.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考證明空間兩條直線垂直有哪些基本方法?解題心得1.證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系.(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì).(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì).2.在證明線線垂直時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長(zhǎng)度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017江西九江一模,文18)如圖所示,四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,底面ABCD是菱形,ABC=60,M為PC的中點(diǎn),PC=.(1)求證:PCAD;(2)求三棱錐M-PAB的體積.(1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以ACBD.因?yàn)锽E平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四證明空間兩個(gè)平面垂直證明空間兩個(gè)平面垂直例3如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考證明面面垂直的常用方法有哪些?解題心得1.面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直加以解決.2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此整個(gè)證明過(guò)程圍繞著線面垂直這個(gè)核心展開(kāi),這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在.3.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017河南洛陽(yáng)三模,文18)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為平行四邊形,AA1平面ABCD,BAD=60,AB=2,BC=1,AA1=,E為A1B1的中點(diǎn).(1)求證:平面A1BD平面A1AD;(2)求多面體A1E-ABCD的體積.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四垂直關(guān)系中的存在問(wèn)題垂直關(guān)系中的存在問(wèn)題例4考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四(1)證明 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE,A1B平面A1BE,DE丄A1B.(2)證明 取CD中點(diǎn)F,連接NF,MF,M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn),MFA1D,NFDE,又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF,平面A1DE平面MNF.MN平面A1ED.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四(3)解 取A1B的中點(diǎn)G,連接EG,A1E=BE,EGA1B,由(1)知DE平面A1BE,DEBC,BC平面A1BE,EGBC,又A1BBC=B,EG平面A1BC.故棱A1B上存在中點(diǎn)G,使得EG平面A1BC,考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四思考探索性問(wèn)題的一般處理方法是什么?解題心得線面垂直中的探索性問(wèn)題同“平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題”的規(guī)律方法一樣,一般是先探求點(diǎn)的位置,多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn),然后給出符合要求的證明.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2017北京房山區(qū)一模,文18)如圖1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,連接A1B,A1C,M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn),如圖2.(1)求證:DEA1B.(2)求證:MN平面A1ED.(3)在棱A1B上是否存在一點(diǎn)G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,說(shuō)明理由.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四1.轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2.在證明兩平面垂直時(shí),一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決.如有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四1.在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化.2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可.