立體幾何中的向量方法求空間角

立體幾何中的向量方法,空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點之一。,空間的角常見的有：,線線角、線面角、面面角。,異面直線所成角的范圍：,,,,,,,,思考：,結(jié)論：,一、線線角：,,,,,,,,,,,(2011陜西卷)如圖，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90. 設(shè)E為BC的中點，求AE與DB夾角的余弦值,易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0， )，E ，,,x,,,y,z,,直線與平面所成角的范圍：,,,,,,,思考：,結(jié)論：,,,,,,二、線面角：,,,,,,,,,,1若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于( ) A120B60 C30 D60或30 解析：由題意得直線l與平面的法向量所在直線的夾角為60，直線l與平面所成的角為906030. 答案：C,練習(xí)：,如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，AMPD于點M. 求直線CD與平面ACM 所成角的正弦值,,x,,,y,z,利用向量法求線面角的方法： (1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)； (2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角,將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角 的大小為 ，其中,,,D,C,B,A,三、面面角：,方向向量法：,二面角的范圍：,練習(xí)：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長為 , AB的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。,解：如圖，,化為向量問題,根據(jù)向量的加法法則有,于是，得,設(shè)向量 與 的夾角為 ， 就是庫底與水壩所成的二面角。,因此,所以,所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為,,,,,,,三、面面角：,二面角的范圍：,法向量法,,,,,,,【注意】法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角； 同進同出，二面角等于法向量夾角的補角。,,已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，BAC90，ABAA12，AC1，M、N分別是A1B1、BC的中點 求二面角MANB的余弦值,,x,,,y,z,求二面角最常用的方法 (1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 (2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 以上兩種方法各有利弊，要善于結(jié)合題目的特點選擇適當?shù)姆椒ń忸},1.異面直線所成角：,2.直線與平面所成角：,,,,,,,,,,,,,,歸納小結(jié)：,,,D,C,B,A,方向向量法：,3.二面角：,法向量法：,【注意】法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角。,