單自由度系統(tǒng)的自由振動.ppt

,第1章 單自由度系統(tǒng)的自由振動,主講 賈啟芬,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,引 言,振動是一種運(yùn)動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動。 振動屬于動力學(xué)第二類問題已知主動力求運(yùn)動。,Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,振動問題的研究方法與分析其他動力學(xué)問題相類似：,選擇合適的廣義坐標(biāo)； 分析運(yùn)動； 分析受力； 選擇合適的動力學(xué)定理； 建立運(yùn)動微分方程； 求解運(yùn)動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。,引 言,Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,振動問題的研究方法與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。,研究振動問題所用的動力學(xué)定理：,矢量動力學(xué)基礎(chǔ)中的動量定理； 動量矩定理； 動能定理； 達(dá)朗貝爾原理。 分析動力學(xué)基礎(chǔ)中的拉格朗日方程。,引 言,Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,振動概述,所考察的系統(tǒng)既有慣性又有彈性。 運(yùn)動微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。,振動問題的共同特點(diǎn),Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,按系統(tǒng)的自由度劃分：,振動問題的分類,單自由度振動一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動。 多自由度振動兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度系統(tǒng)的 振動。 連續(xù)系統(tǒng)振動連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng) 具有無窮多個(gè)自由度。,振動概述,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,按系統(tǒng)特性或運(yùn)動微分方程類型劃分：,振動問題的分類,線性振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為線性方程的振動。,非線性振動系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時(shí)，將得到非線性運(yùn)動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 線性振動的一個(gè)重要特性是線性疊加原理成立。 非線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 非線性振動的疊加原理不成立。,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,按激勵(lì)特性劃分：,振動問題的分類,自由振動沒有外部激勵(lì)，或者外部激勵(lì)除去后，系統(tǒng)自身的振動。 受迫振動系統(tǒng)在作為時(shí)間函數(shù)的外部激勵(lì)下發(fā)生的振動，這種外部激勵(lì)不受系統(tǒng)運(yùn)動的影響。 自激振動系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動所誘發(fā)和控制的激勵(lì)下發(fā)生的振動。 參激振動激勵(lì)源為系統(tǒng)本身含隨時(shí)間變化的參數(shù)，這種激勵(lì)所引起的振動。,振動概述,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,目錄,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 1.2 計(jì)算固有頻率的能量法 1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,天津大學(xué),關(guān)于單自由度系統(tǒng)振動的概念,典型的單自由度系統(tǒng):彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),梁上固定一臺電動機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,天津大學(xué),1.1.1 自由振動方程 1.1.2 振幅、初相位和頻率 1.1.3 等效剛度系數(shù) 1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,1.1.1 自由振動方程,當(dāng)物塊偏離平衡位置為x距離時(shí)，物塊的運(yùn)動微分方程為,其中,取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到,無阻尼自由振動微分方程,固有圓頻率,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,其通解為：,其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)， 可解,1.1.1 自由振動方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,兩種形式描述的物塊振動，稱為無阻尼自由振動，簡稱自由振動。,另一種形式,無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動,1.1.1 自由振動方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,1.1.2 振幅、初相位和頻率,系統(tǒng)振動的周期,系統(tǒng)振動的頻率,系統(tǒng)振動的圓頻率為,圓頻率pn 是物塊在自由振動中每2 秒內(nèi)振動的次數(shù)。f、 pn只與振動系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)，而與運(yùn)動的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率f 稱為固有頻率，圓頻率pn稱為固有圓頻率。,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,用彈簧靜變形量dst表示固有圓頻率的計(jì)算公式,物塊靜平衡位置時(shí),固有圓頻率,1.1.2 振幅、初相位和頻率,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,1.1.3 等效剛度系數(shù),單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程,等效的概念,這一方程，可以等效為廣義坐標(biāo)的形式,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,等效的概念,1.1.3 等效剛度系數(shù),Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度,例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。,解：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二彈簧變形相等。,振動過程中，物塊始終作平行移動。處于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是dst，而彈性力分別是,系統(tǒng)平衡方程是,1.1.3 等效剛度系數(shù),Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則,k稱為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。,并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。,系統(tǒng)的固有頻率,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二彈簧受力相等。,當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，它的靜位移dst等于每根彈簧的靜變形之和，即 dst = d1st + d2st,由于每根彈簧所受的拉力都等于重力mg，故它們的靜變形分別為,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于,k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù),串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,組合彈簧的等效剛度,例 質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計(jì)，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2,又AC=a，AB=b，求物塊的自由振動頻率。,解：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。 先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。,C,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。,C,設(shè)在C處作用一力F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在B處的力為,此力使B 彈簧 k2 產(chǎn)生 變形，,而此變形使C點(diǎn)發(fā)生的變形為,得到作用在C處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù),1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,C,物塊的自由振動頻率為,與彈簧k1串聯(lián),得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù),1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,彈性梁的等效剛度,例 一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從 h 的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和最大撓度。,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,解：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡化成彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形 則求出系統(tǒng)的固有頻率,Mechanical and Structural Vibration,由材料力學(xué)可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點(diǎn)靜撓度為,求出系統(tǒng)的固有頻率為,中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系，并以撞擊時(shí)刻為零瞬時(shí)，則t=0時(shí)，有,自由振動的振幅為,梁的最大撓度,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,Theoretical Mechanics,返回首頁,己知圖中所示的三根彈簧的剛性系數(shù)分別為K1，K2，K3，振體的質(zhì)量為m，則此系統(tǒng)沿鉛垂方向振動的固有圓頻率為。,（A） （B） （C） （D）,答案：A,習(xí) 題,Theoretical Mechanics,答案：A 點(diǎn)評： 由圖知三根彈簧為并聯(lián)關(guān)系。因此，可計(jì)算出三根并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)為K = K1+K2+K3。由彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)計(jì)算固有圓頻率的公式，計(jì)算出系統(tǒng)沿鉛垂方向振動的固有圓頻率為,要點(diǎn)：串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)計(jì)算和等效彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)。,習(xí) 題,Theoretical Mechanics,返回首頁,習(xí) 題,小車M重P在斜面h自高度h處滑下與緩沖器相撞，斜面傾角為，緩沖彈簧剛性系數(shù)為k。如緩沖器質(zhì)量不計(jì)，斜面摩擦不計(jì)，小車碰撞后，系統(tǒng)的自由振動周期為：,（A）,（B）,（C）,（D）,（D）,天津大學(xué),1.3 練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,將一剛度系數(shù)為k，長為l的彈簧截成等長（均為l/2）的兩段，則截?cái)嗪竺扛鶑椈傻膭偠认禂?shù)均為 （A）k （B）2k （C）k/2 （D）1/(2k) 答（B）。質(zhì)點(diǎn)的直線振動；固有頻率 彈簧截成等長（均為l/2）的兩段后，剛度增大為2k。,1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,等效系統(tǒng),內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。,扭振系統(tǒng)稱為扭擺。 OA 為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動慣量為IO。 在研究扭擺的運(yùn)動規(guī)律時(shí)，假定OA的質(zhì)量略去不計(jì)，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角 來決定，稱扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程,扭振的運(yùn)動規(guī)律,對于單自由度振動系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動和當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動形式均不一樣，但其振動規(guī)律、特征是完全相同的。,1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進(jìn)一步簡化的等效系統(tǒng)。,并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù),串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù),1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,1.2 計(jì)算固有頻率的能量法,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),計(jì)算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。,無阻尼單自由振動系統(tǒng)中，勢能與動能之和保持不變。,常量,式中T是動能，V是勢能。如果取平衡位置O為勢能的零點(diǎn)，系統(tǒng)在任一位置,1.2 計(jì)算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，x=0,速度為最大，勢能為零，動能具有最大值Tmax； 當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動能為零，而勢能具有最大值Vmax。 由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,用能量法計(jì)算固有頻率的公式,1.2 計(jì)算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),例 船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿BD對于支點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動慣量為IE ,求重物P在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧AC的彈簧剛度系數(shù)是k。,解： 這是單自由度的振動系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿BD自水平的平衡位置量起的 角來決定。,系統(tǒng)的動能,設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動，則其運(yùn)動方程,角速度為,系統(tǒng)的最大動能為,1.2 計(jì)算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點(diǎn)。設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸長量為dst 。此時(shí)，彈性力Fst=k dst ,方向向上。,該系統(tǒng)的勢能,1.2 計(jì)算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,Theoretical Mechanics,在圖示之振動系統(tǒng)中，已知重為P的AB桿對O軸的回轉(zhuǎn)半徑為o，物塊M重為Q，兩彈簧的剛性系數(shù)均為k，當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)，桿位于水平。則此系統(tǒng)微振動時(shí)的圓頻率為：,（A）,（B）,（C）,（D）,（D）,習(xí) 題,Theoretical Mechanics,返回首頁,小球重P，剛接于桿的一端，桿的另一端鉸接于O點(diǎn)。桿長l，在其中點(diǎn)A的兩邊各連接一剛性系數(shù)為k的彈簧如圖示。如桿及彈簧的質(zhì)量不計(jì)，小球可視為一質(zhì)點(diǎn)，則系統(tǒng)作微擺動時(shí)的運(yùn)動微分方程為（ ）。,（A） （B） （C） （D）,答案：D,習(xí) 題,答案：D 點(diǎn)評：以小球?yàn)檠芯繉ο?，畫受力圖；以剛桿偏離鉛直位置的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。利用動量矩定理，建立小球繞O點(diǎn)作微擺動時(shí)的運(yùn)動微分方程為,Theoretical Mechanics,返回首頁,要點(diǎn)：利用普遍定理建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。,習(xí) 題,1.3 瑞利法,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動能計(jì)入系統(tǒng)的總動能，仍按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為瑞利法。 應(yīng)用瑞利法，首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動位形。,等效質(zhì)量,對于圖示系統(tǒng)，假設(shè)彈簧上各點(diǎn)在振動過程中任一瞬時(shí)的位 移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截 面的靜變形一樣。,根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。 依據(jù)此假設(shè)計(jì)算彈簧的動能，并表示為集中質(zhì)量的動能為,1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),例 在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質(zhì)量ms。求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率。,左端距離為 的截面的位移為 ，則d 彈簧的動能為,假設(shè)彈簧各點(diǎn)在振動中任一瞬時(shí)的位移和一根直桿在一端固定另一端受軸向載荷作用時(shí)各截面的靜變形一樣，,解：令x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量m的位移。,1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),彈簧的總動能,系統(tǒng)的總動能為,系統(tǒng)的勢能為,固有頻率為,設(shè),1.3 瑞利法,Mechanical and Structural Vibration,1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),阻尼系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤滑 表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的 阻力。,物體運(yùn)動沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系,c粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)。它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓米/秒(Ns/m)。,1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,Mechanical and Structural Vibration,運(yùn)動微分方程,圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選x軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動微分方程,特征方程,特征根,1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,Mechanical and Structural Vibration,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,特征根與運(yùn)動微分方程的通解的形式與阻尼有關(guān),強(qiáng)阻尼（npn）情形,臨界阻尼(n = pn )情形,阻尼對自由振動的影響,特征根,運(yùn)動微分方程,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運(yùn)動的臨界狀態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。 設(shè)cc為臨界阻尼系數(shù)，由于z =n/pn =1，即,z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是z 稱為阻尼比的原因。,cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系 統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置，并不作 振動運(yùn)動，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā) 射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原 來的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動，這樣才能既快又準(zhǔn)確 地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種 要求。,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,強(qiáng)阻尼(1)情形,臨界阻尼(1)情形,這兩種情形下，運(yùn)動不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減,引入阻尼比,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,特征根,其中,其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動的起始條件確定。設(shè)t = 0時(shí)， 可解,C1=x0,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,另一種形式,這種情形下，自由振動不是等幅簡諧振動，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動。衰減運(yùn)動的頻率為 p d，衰減速度取決于 p n，二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,衰減振動:物塊在平衡位置附近作具有振動性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。 有阻尼的自由振動視為準(zhǔn)周期振動。,Mechanical and Structural Vibration,T=2p/pn為無阻尼自由振動的周期。,欠阻尼自由振動的周期Td ：物體由最大偏離位置起經(jīng)過一次振動循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過的時(shí)間。,由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加大。通常z 很小，阻尼對周期的影響不大。例如，當(dāng)z=0.05時(shí)，Td=1.00125T，周期 Td 僅增加了 0.125%。當(dāng)材料的阻尼比 z<<1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自由振動的周期相等。,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,阻尼對周期的影響,Mechanical and Structural Vibration,設(shè)衰減振動經(jīng)過一周期Td，在同方向的相鄰兩個(gè)振幅分別為Ai和Ai+1，即,兩振幅之比為,稱為振幅減縮率或減幅系數(shù)。如仍以z =0.05為例，算得 ,物體每振動一次，振幅就減少27%。由此可見 ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級數(shù)衰減的。,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,阻尼對振幅的影響,Mechanical and Structural Vibration,振幅減縮率的自然對數(shù)稱為對數(shù)減縮率或?qū)?shù)減幅系數(shù)，以d 表示,例 在欠阻尼（z <1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測得相隔N個(gè)周期的兩點(diǎn)P、R的幅值之比xP/xR=r，如圖所示，試確定此振動系統(tǒng)的阻尼比z。,1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,阻尼對振幅的影響,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動,解：振動衰減曲線的包絡(luò)線方程為,設(shè)P、R兩點(diǎn)在包絡(luò)線上的幅值為xP、xR ，則有,當(dāng)z 2<<1時(shí),此式對估算小阻尼系統(tǒng)的z值是很方便的。例如，經(jīng)過10個(gè)周期測得P、R兩點(diǎn)的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比,Mechanical and Structural Vibration,天津大學(xué),1.3 練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,質(zhì)量為500 kg的機(jī)器安裝在一根彈簧上，使彈簧產(chǎn)生1.5 mm的靜變形。為了使系統(tǒng)達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，求加在系統(tǒng)上并與彈簧并聯(lián)的粘性阻尼器的阻尼系數(shù)是多少？,解：靜變形與固有頻率的關(guān)系為,由附加的粘性阻尼器的阻尼系數(shù)c導(dǎo)出的阻尼比為,當(dāng)阻尼比為1時(shí)，系統(tǒng)處于臨界衰減，則此時(shí)的阻尼系數(shù)為臨界阻尼系數(shù)，即,天津大學(xué),練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,質(zhì)量為m = 2450kg的汽車，壓在4個(gè)車輪彈簧上，可使每個(gè)彈簧壓縮st = 150mm，當(dāng)每個(gè)彈簧都并聯(lián)上一個(gè)粘性阻尼器后，振幅衰減為A1/A3 = 10；求1）振幅減縮率 和對數(shù)減縮率 ；2）衰減系數(shù)n = c/2m和衰減振動的周期Td；3）臨界阻尼系數(shù)cc。,解：畫車身鉛垂振動的受力圖， 坐標(biāo)x的原點(diǎn)為車身的靜平衡位置，車身的運(yùn)動微分方程為,天津大學(xué),練 習(xí),Mechanical and Structural Vibration,由已知條件和定義，得：,取對數(shù)得，,2,例 題,2.1 簡諧激勵(lì)作用下的受迫振動,Mechanical and Structural Vibration,一個(gè)有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為10 kg，彈簧靜伸長是1cm，自由振動20個(gè)循環(huán)后，振幅從0.64 cm減至0.16cm，求阻尼系數(shù)c。,振動20個(gè)循環(huán)后，振幅比為：,代入,得：,又,c = 6.9 N s /m,解：振動衰減曲線得包絡(luò)方程為：,例 題,2.1 簡諧激勵(lì)作用下的受迫振動,Mechanical and Structural Vibration,一長度為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)剛性桿鉸接于O點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖所示。寫出運(yùn)動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。,當(dāng)npn時(shí)，ccC,解：圖為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫受力圖。由動量矩定理，列系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：,謝謝,