概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題.ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)典型習(xí)題講解,中國(guó)人民大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院 李因果 ,第一章 隨機(jī)事件與概率,1.2 隨機(jī)事件的概率,1.3 古典概型與幾何概型,一. 古典概型,1.4 條件概率,例2 一盒中混有100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設(shè)A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B-從盒中隨機(jī)取到一只新球.,A,B,例3 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放 入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、 第3、4次取得紅球的概率。,解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則,例4.市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。,B,例6 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？,解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,二. 有限個(gè)事件的獨(dú)立性,第二章 隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征, 2.1 隨機(jī)變量及其分布,一. 隨機(jī)變量的概念,由第一章可知: 隨機(jī)試驗(yàn)具有: (1)結(jié)果的不確定性; (2)結(jié)果往往表現(xiàn)為數(shù)量形式,或可以“數(shù)量化”.,分布函數(shù)的性質(zhì),1、單調(diào)不減性：若x1<x2, 則F(x1)F(x2); 2、歸一 性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且,3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，,反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是 分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數(shù)為,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)離散型隨機(jī)變量的可能取值點(diǎn),跳躍高度對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量取對(duì)應(yīng)值的概率; 反之,如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機(jī)變量必為離散型.,X,P,四. 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),五. 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,1. 均勻分布 若Xf(x),則稱X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 XU(a, b),對(duì)任意實(shí)數(shù)c, d (a<c<d<b)，都有,2. 指數(shù)分布 若 X,則稱X服從參數(shù)為0的指數(shù)分布。 其分布函數(shù)為,例 .電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布 (1)求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？,解, 2.2 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征,二. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般方法 若Xf(x), -< x< +, Y=g(X)為隨機(jī)變量X 的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) PYyP g(X) y,然后再求Y的密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,2、公式法一般地 若XfX(x), y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則,注：1 只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以 上公式推求Y的密度函數(shù)。 2 注意定義域的選擇,其中h(y)為yg(x)的反函數(shù).,例 設(shè)XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0),解: Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為,故,而,故,設(shè)隨機(jī)變量X服從0，2均勻分布，求Y=sin(X)的概率密度。,注3 若XfX(x) ，y=g(x)關(guān)于X分段嚴(yán)格單調(diào)，且在第i個(gè)單調(diào)區(qū)間上，反函數(shù)為hi(y),則Y=g(X）的概率密度為,EX,四. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義,方差的算術(shù)平方根 稱為標(biāo)準(zhǔn)差,方差的計(jì)算式: D(X)=E(X2)-E(X)2,說(shuō)明:,1.切貝謝夫不等式成立的條件是:,存在.,2.切貝謝夫不等式給出了隨機(jī)變量的離差的絕 對(duì)值 與其方差DX的關(guān)系.,方差DX越小,隨機(jī)變量X與其期望EX的,離差也越小.,EX的代表性強(qiáng)., 2.3 常用的離散型分布,四. 二項(xiàng)分布,對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí) ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p達(dá)到最大值；,( x 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)),二項(xiàng)分布,請(qǐng)看演示, 2.4 常見(jiàn)的連續(xù)型分布,一. 均勻分布,二. 指數(shù)分布,指數(shù)分布常用于描述各種“壽命”.,三. 正態(tài)分布,決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn), 2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,例如:已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為:,X,P,0.1 0.3 0.4 0.2,Y=2X+3,-5 -3 -1 1,P,0.1 0.3 0.4 0.2,0 1 4,P 0.3 0.5 0.2,例1,例1,例1,例1,例1,例2,例2,例2,例2,例3,例3,例3,例4,例5 （2010數(shù)學(xué)一、三）,例6 （2010數(shù)學(xué)一、三）,例7 （2010數(shù)學(xué)一、三）,例8（2010數(shù)學(xué)一、三）,例8 （2010數(shù)學(xué)一、三）,例8（2010數(shù)學(xué)一、三）,例9（2009數(shù)學(xué)一、三）,例10（2009數(shù)學(xué)一、三）,例11（2009數(shù)學(xué)一、三）,例11（2009數(shù)學(xué)一、三）,例12（2009數(shù)學(xué)一、三）,例12（2009數(shù)學(xué)一、三）,例13（2009數(shù)學(xué)一、三）,例13（2009數(shù)學(xué)一、三）,例14（2008數(shù)學(xué)一、三）,例15（2008數(shù)學(xué)一、三）,例15（2008數(shù)學(xué)一、三）,例15（2008數(shù)學(xué)一、三）,例15（2008數(shù)學(xué)一、三）,例16（2007數(shù)學(xué)一、三）,例16（2007數(shù)學(xué)一、三）,例16（2007數(shù)學(xué)一、三）,