高等代數(shù)-第七章線性變換.ppt

第七章 線性變換,1 線性變換的定義 2 線性變換的矩陣 3 線性變換的運(yùn)算 4 線性變換的值域與核 5 特征值與特征向量 6 不變子空間,表示符號,A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z,1 線性變換的定義,定義 例題 性質(zhì),上一章我們看到，數(shù)域F上任意一個n維線性空間都與 同構(gòu)，因之，有限維線性空間的結(jié)構(gòu)可以認(rèn)為是完全清楚了. 線性空間V到自身的映射通常稱為V的一個變換. 這一章中要討論的線性變換就是最簡單的，同時(shí)也可以認(rèn)為是最基本的一種變換. 線性變換是線性代數(shù)的一個主要研究對象. 下面如果不特別聲明，所考慮的都是某一固定的數(shù)域F上的線性空間.,定義,定義1 線性空間V的一個變換A 稱為線性變換，如果對于V中任意的元素 和數(shù)域F中任意數(shù)k,都有 以后我們一般用黑體大寫拉丁字母 代表V的變換， 或 代表元素 在變換A下的象。 定義中等式所表示的性質(zhì)，有時(shí)也說成線性變換保持向量的加法與數(shù)量乘法.,例1 線性空間V中的恒等變換或稱單位變換E,即 是線性變換.,例2 線性空間V中的零變換 ,即 是線性變換.,例3 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，k是F中某個數(shù),定義V的變換如下：這是一個線性變換， 稱為由數(shù)k決定的數(shù)乘變換，可用 K 表示。 顯然，當(dāng)k=1時(shí)，我們便得恒等變換， 當(dāng)k=0時(shí)，便得零變換。,例4 在線性空間 或者 中，求微商是一個線性變換. 這個變換通常用D 代表，即,例5,取定,定義,的變換 A, 對于,A (X)=AX,判斷 A 是否是一個線性變換,例6,判斷 A 是否是一個線性變換,在,中, 對于任意向量, 定義,A,例7 定義在閉區(qū)間a,b上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線性空間，以C(a,b)代表. 在這個空間中，變換,是一線性變換.,1.設(shè)A 是V的線性變換,則 這是因?yàn)?簡單性質(zhì)：,2.線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變。換句話說，如果 是 的線性組合： 那么經(jīng)過線性變換A 之后， 是 同樣的線性組合：,又如果 之間有一線性關(guān)系式那么它們的象之間也有同樣的關(guān)系,3. 線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性 相關(guān)的向量組. 但應(yīng)該注意，3的逆是不對的，線性變換可能把線性無關(guān)的向量組也變成線性相關(guān)的向量組.例如零變換就是這樣.,BACK,2 線性變換的矩陣,線性變換的相等,線性變換在不同基下的矩陣,線性變換在某組基下的矩陣,像與原像之間的坐標(biāo)關(guān)系,設(shè)V是數(shù)域F上n維線性空間， 是V的一組基. 空間V中任一向量 可以被基 線性表出，即 其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是 在這組基下的坐標(biāo).,由于線性變換保持線性關(guān)系不變， 因而在 的象 與基的象 之間有關(guān)系：,1.設(shè) 是線性空間 V 的一組基， 如果線性變換A 與B 在這組基上的作用相同，即那么A=B . 證明 A 與B 相等的意義是它們對每個向量 的作用相同. 因此，我們就是要證明 對任一向量 ，等式 成立. 而由(2)及假設(shè)，即得,結(jié)論1的意義就是，一個線性變換完全被它在一組基上的作用所決定。 2.設(shè) 是線性空間V的一組基。對于任意一組向量 一定有一個線性變換A使 證明 我們來作出所要的線性變換。設(shè),是線性空間V的任意一個向量，我們定義V的變換A 為 下面來證明變換A 是線性的。 在V中任取兩個向量， 于是,按所定義的A 的表達(dá)式(4)，有 因此, A 是線性變換, 再來證A 滿足(3)式. 因?yàn)?所以,綜合以上兩點(diǎn)，得 結(jié)論 設(shè) 是線性空間V的一組基， 是V中任意n個向量. 存在唯一的線性變換A 使,我們就可以來建立線性變換與矩陣的聯(lián)系 定義2 設(shè) 是數(shù)域F上n維線性空間V的一組基，A 是V中的一個線性變換. 基向量的象可以被基線性表出：,用矩陣來表示就是 其中,矩陣A稱為A 在基 下的矩陣.,例1 設(shè) 是n(nm)維線性空間V的子空間W的一組基,把它擴(kuò)充為V的一組基。 指定線性變換A 如下： 如此確定的線性變換A 稱為對子空間W的一個投影。不難證明投影A在基 下的矩陣是,m行 m列,例2 數(shù)乘變換 K 在任意一組基,下的矩陣,例3 在,中定義線性變換 A, 求它在基,下的矩陣,例4 在,中，求 D 在基,下的矩陣,利用線性變換的矩陣計(jì)算一個向量的象 定理3 設(shè)線性變換 在基 下的矩陣是 A，向量 在基 下的坐標(biāo) 則 在基 下的坐標(biāo) 可以按公式,計(jì)算,證明 由假設(shè) 于是,另一方面，由假設(shè),由于 線性無關(guān)，所以,定理4 設(shè)線性空間V中線性變換 在兩組基,下的矩陣分別為A和B， 從基(6)到(7)的過渡矩陣是X, 于是 .,線性變換在不同基下的矩陣,證明 已知 于是,由此即得 定理4告訴我們，同一個線性變換 A 在不同基下的矩陣之間的關(guān)系. 這個基本關(guān)系在以后的討論中是重要的.,定理5 線性變換在不同基下所對應(yīng)的矩陣 是相似的；反過來，如果兩個矩陣相似， 那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下 所對應(yīng)的矩陣。 證明 前一部分已經(jīng)為定理4證明。現(xiàn)在證明,后一部分。設(shè)n級矩陣A和B相似。 A可以看做是n維線性空間V中一個線性變換A 在基 下的矩陣。,因?yàn)锽=X-1AX ，令顯然， 也是一組基，A 在這組基下的矩陣就是B.,利用矩陣相似的這個性質(zhì)可以簡化矩陣的運(yùn)算 例 設(shè)V是數(shù)域P上一個二維線性空間， 是一組基，線性變換 A 在 下的矩陣是 現(xiàn)在來計(jì)算 A 在V的另一組基 下的矩陣,這里 由定理4，A 在 下的矩陣為,顯然 再利用上面得到的關(guān)系,我們可以得到,BACK,3 線性變換的運(yùn)算,乘法 加 減 數(shù)乘 逆變換 變換的多項(xiàng)式,首先，線性空間的線性變換作為映射的特殊情形當(dāng)然可以定義乘法。設(shè)A，B 是線性空間V的兩個線性變換，定義它們的乘積AB為容易證明，線性變換的乘積也是線性變換。事實(shí)上，,線性變換的乘法,這說明AB是線性的。 既然一般映射的乘法適合結(jié)合律，線性變換的乘法當(dāng)然也適合結(jié)合律，即但線性變換的乘法一般是不可交換的。例如,在實(shí)數(shù)域R上的線性空間Rx中，線性變換,的乘積 ，但一般 。 對于乘法，單位變換E有特殊的地位。對于任意線性變換A 都有,線性變換加法 設(shè)A，B是線性空間V的兩個線性變換， 定義它們的和A+B為 容易證明，線性變換的和還是線性變換. 事實(shí)上，,這就說明A+B是線性變換。不難證明，線性變換的加法適合結(jié)合律與交換律，即 證明留給讀者完成。,對于加法，零變換0有著特殊的地位。它與所有線性變換A 的和仍等于A， 對于每個線性變換A，我們可以定義它的負(fù)變換(-A)：容易看出，負(fù)變換(-A)也是線性的，且 線性變換的乘法對加法有左右分配律，即事實(shí)上，,這就證明了左分配律，右分配律可以類似地證明。 在上一節(jié)例4中我們看到，數(shù)域P中每個數(shù)k都決定一個數(shù)乘變換K。利用線性變換的乘法，可以定義數(shù)域P中的數(shù)與線性變換的數(shù)量乘法為 kA=KA.即當(dāng)然K A 還是線性變換。容易看出，線性變換,我們看到，數(shù)域 F 中每個數(shù)k都 決定一個數(shù)乘變換K. 利用線性變換的乘法， 可以定義數(shù)域 F 中的數(shù)與線性變換的數(shù)量乘法為 kA=KA.即 當(dāng)然K A 還是線性變換。容易看出，線性變換,數(shù)量乘法,的數(shù)量乘法適合以下的規(guī)律： 對于線性變換，我們已經(jīng)定義了乘法、加法與數(shù)量乘法三種運(yùn)算. 由加法與數(shù)量乘法的性質(zhì)可知，線性空間V上全體線性變換，對于如上定義的加法與數(shù)量乘法，也構(gòu)成數(shù)域F上一個線性空間.,V的變換A 稱為可逆的，如果有V的變換B存在，使 這時(shí)，變換B稱為A的逆變換，記為A -1。現(xiàn)在來證明，如果線性變換A 是可逆的，那么它的逆變換A -1也是線性變換。事實(shí)上，,可逆線性變換,這就說明 是線性變換。,引進(jìn)線性變換的多項(xiàng)式的概念 當(dāng)n個(n是正整數(shù))線性變換A 相乘時(shí)，我們就可以用 n個 來表示，稱為A 的n次冪，簡單地記作A n . 此外，作為定義，令 根據(jù)線性變換冪的定義，可以推出指數(shù)法則：,當(dāng)線性變換A 可逆時(shí)，定義A 的負(fù)整數(shù)冪為這時(shí)，指數(shù)法則可以推廣到負(fù)整數(shù)冪的情形。 線性變換乘積的指數(shù)法則不成立，即一般說來設(shè)是Px中一多項(xiàng)式，A 是V的一線性變換，我們定義,顯然，f(A)是一線性變換，它稱為線性變換A 的多項(xiàng)式。 不難驗(yàn)證，如果在Fx中那么特別地，即同一個線性變換的多項(xiàng)式的乘法是可交換的.,例2 在線性空間 中，求微商是一個線性變換，用D表示(1例5)。顯然有其次，變數(shù)的平移也是一個線性變換，用 表示。根據(jù)泰勒展開式,因之 實(shí)質(zhì)上是D的多項(xiàng)式：,定理6 設(shè) 是數(shù)域F上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個線性變換按公式(5)對應(yīng)一個nn矩陣。這個對應(yīng)具有以下的性質(zhì)： 1)線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和； 2)線性變換的乘積對應(yīng)與矩陣的乘積； 3) 線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)與矩陣的數(shù)量乘積； 4)可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣。,證明 設(shè) 是兩個線性變換，它們在基 下的矩陣分別是 ,即,1) 由 可知，在基 下，線性變換 的矩陣是,相仿地，因此，在基 下， 線性變換 的矩陣是AB.,3) 因?yàn)樗詳?shù)乘變換K 在任何一組基下都對應(yīng)與數(shù)量矩陣kE。由此可知，數(shù)量乘積 kA 對應(yīng)與矩陣的數(shù)量乘積kA.,4) 單位變換 對應(yīng)于單位矩陣，因之等式,與等式相對應(yīng)，從而可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)， 而且逆變換與逆矩陣對應(yīng)。,4 線性變換的值域與核,定義7 設(shè)A 是線性空間V的一個線性變換，A的全體象組成的集合稱為A 的值域，用AV表示.所有被A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，用 表示. 若用集合的記號，則不難證明，線性變換的值域與核都是V的子空間。,事實(shí)上， AV是非空的，因此AV是V的子空間.,由 與 可知 這就是說， 對加法與數(shù)量乘法是封閉的。 又因?yàn)?所以 ，即 是非空的。 因此， 是V的子空間.,例 1 在線性空間 中，令 則D的值域就是 ，D的核就是子空間F.,AV的維數(shù)稱為A 的秩， 的維數(shù)稱為A 的零度.,設(shè)A 是線性空間 V 的線性變換， 是V 的一組基，在這組基下A 的矩陣是A，則,1)A 的值域AV是由基象組生成的子空間，即2)A 的秩=A的秩.,如何求A 的值域,證明 1) 設(shè) 是V中任一向量，可用基的線性組合表示為又這個式子說明， .因此AV包含在 內(nèi). 這個式子還表明 所以,2) 根據(jù)1)，A 的秩等于基象組的秩. 另一方面， 所以， A 的秩=A的秩,如何求線性變換的核,對于,A,是,的一組基，在這組基下 A 的矩陣是,則,A,，,我們得到,A,A,從而,即,的坐標(biāo)滿足這個齊次線性方程組；,反之亦然,A,當(dāng)且僅當(dāng),的坐標(biāo)滿足,例4 設(shè),是4維線性空間,是,的一組基, 線性變換,其中,求它的值域與核,A,定理7 設(shè)A 是n維線性空間V的線性變換，則 A 的秩+A 的零度=n. 證明 設(shè)A 的零度等于r. 在核 中取一組基 ，并且把它擴(kuò)充成V的一組基 AV是由基象組生成的.,但是 ，所以AV是由 生成的. 現(xiàn)在來證明它就是AV的一組基。為此，只需證明它們線性無關(guān). 設(shè) 成立，則這說明向量 屬于 。因此可被核的基所線性表示：,從 線性無關(guān)性推出 。因此線性無關(guān)，A 的秩=n-r, 于是A的秩+A 的零度=n. 應(yīng)該指出，雖然子空間AV與 的維數(shù)之和為n，但是 并不一定是整個空間.,推論 對于有限維線性空間的線性變換， 它是1-1的充分必要條件為它是映上的。證明 若A 是1-1的,則 ， 所以AV=V, A 是映上的; 反之，若A 是映上的，則A V=V, 所以 ， A 是1-1的.,例 設(shè)A是一個 矩陣， 。證明A相似與一對角矩陣,證明 取一n維線性空間V以及V的一組基 。定義線性變換A 如下：我們來證明，A 在一組適當(dāng)?shù)幕碌木仃囀?1)。這樣，由定理4，也就證明了所要的結(jié)論。 由 ，可知 。如果 ，即有某個 ，那么因此我們有,由定理11即得 在AV中取一組基 ，在 中取一組基 , 則 就是V的一組基。顯然 也就是說，,BACK,4 特征值與特征向量,我們知道，在有限維線性空間中，取了一組基之后，線性變換就可以用矩陣來表示。為了利用矩陣來研究線性變換。對于每個給定的線性變換，我們希望能找到一組基使得它的矩陣具有最簡單的形式對角矩陣。為了這個目的，先介紹特征值和特征向量的概念，它們對于線性變換的研究具有基本的重要性。,定義8 設(shè)A 是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換，如果對于數(shù)域F中一數(shù) ，存在一個非零向量 ，使得那么 稱為A 的一個特征值. 而 稱為 A 的屬于特征值 的一個特征向量.,從幾何上來看，特征向量的方向 經(jīng)過線性變換后，保持在同一條直線上， 這時(shí)或者方向不變( ), 或者方向相反( )， 至于 時(shí)，特征向量就被線性變換變成0. 如果 是線性變換 A 的屬于特征值 的特征 向量，那么 的任何一個非零倍數(shù) 也是A 的 屬于 的特征向量. 因?yàn)閺?1)式可以推出,這說明特征向量不是被特征值所唯一決定的。相反，特征值卻是被特征向量所唯一決定的，因?yàn)?，一個特征向量只能屬于一個特征值。 現(xiàn)在來給出求特征值和特征向量的方法。 設(shè)V是數(shù)域F上n維線性空間， 是它的一組基，線性變換 A 在這組基下的矩陣是A，設(shè) 是特征值，它的一個特征向量 在 下的坐標(biāo)是 ，則 的坐標(biāo)是,的坐標(biāo)是 因此(1)式相當(dāng)與坐標(biāo)之間的等式,或,這說明特征向量 的坐標(biāo) 滿足齊次方程組,即 由于 ，所以它的坐標(biāo) 不全為零，即齊次方程組有非零解。我們知道，齊次線性方,程組(3)有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零，即,設(shè)A是數(shù)域P上一n級矩陣， 是一個文字，矩陣 的行列式,稱為A的特征多項(xiàng)式， 這是數(shù)域P上的一個n次多項(xiàng)式。,上面的分析表明，如果 是線性變換 A 的特征值，那么 一定是矩陣A的特征多項(xiàng)式的一個根；反過來，如果 是矩陣A的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中的一個根，即 ，那么齊次線性方程組(3)就有非零解. 這時(shí)，如果 是方程組(3)的一個非零解，那么非零向量,滿足(1),即 是線性變換 A 的一個特征值， 就是屬于特征值 的一個特征向量.,因此，確定一個線性變換A 的特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步： 1.在線性空間V中取一組基 ，寫出A 在這組基下的矩陣A； 2.求出A的特征多項(xiàng)式 在數(shù)域P中全部的根，它們也就是線性變換A 的全部特征值； 3.把所求得的特征值逐個地代入方程組(3)，對于每一個特征值，解方程組(3)，求出一組基礎(chǔ)解系，它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關(guān),的特征向量在基 下的坐標(biāo)。這樣，我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關(guān)的特征向量.,例1 在n維線性空間中， 數(shù)乘變換K在任意一組基下的矩陣都是kE， 它的特征多項(xiàng)式是因此，K 的特征值只有k. 由定義可知，每個非零向量都是屬于K 的 特征向量。,例2 設(shè)線性變換 A 在基 下的矩陣是 求A 的特征值與特征向量。 因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 所以特征值是-1( 二重)和5。,把特征值-1代入齊次方程組,得到 它的基礎(chǔ)解系是,因此，屬于-1的兩個線性無關(guān)的特征向量就是而屬于-1的全部特征向量就是 取遍數(shù)域F中不全為零的全部數(shù)對.,再用特征值5代入，得到 它的基礎(chǔ)解系是,因此，屬于5的一個線性無關(guān)的特征向量就是而屬于5的全部特征向量就是 ， k是數(shù)域F中任意不等于零的數(shù).,例3 在空間FXn中，線性變換 在基 下的矩陣是,D的特征多項(xiàng)式是 因此，D 的特征值只有0. 通過解相應(yīng)的齊次線性方程組知道，屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量組只能是任一非零常數(shù). 這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零或非零的常數(shù).,例4 平面上全體向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個二維 線性空間，1例1中旋轉(zhuǎn) 在直角坐標(biāo)系下的矩陣為它的特征多項(xiàng)式為 當(dāng) 時(shí)，這個多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根。因之，當(dāng) 時(shí)， 沒有特征值。從幾何上看，這個結(jié)論是明顯的。,對于線性變換 A 的任一個特征值 ，全部適合條件 的向量 所成的集合，也就是A 的屬于 的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V的一個子空間,稱為 A 的一個特征子空間,記為 . 顯然 的維數(shù)就是屬于 的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)。用集合記號可寫為,矩陣的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，在,的展開式中， 有一項(xiàng)是主對角線上元素的連乘積,特征多項(xiàng)式中含 的n次與n-1次的項(xiàng) 只能在主對角線上元素的連乘積中出現(xiàn)， 它們是,在特征多項(xiàng)式中令 ,即得常數(shù)項(xiàng),因此，如果只寫出特征多項(xiàng)式的前兩項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，就有 由根與系數(shù)的關(guān)系可知， A的全體特征值的和為 (稱為A的跡)。而A的全體特征值的積為|A|.,隨著基的不同，線性變換的矩陣一般是不同的。但是這些矩陣是相似的，對于相似矩陣我們有,相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,證明 設(shè)AB，即有可逆矩陣X，使B=X-1AX。 于是 定理6正好說明，線性變換的矩陣的特征多項(xiàng)式與基的選擇無關(guān)，它是直接被線性變換決定的。因此，以后就可以說線性變換的特征多項(xiàng)式了。 相似矩陣有相同的行列式。因此，以后就可以說線性變換的行列式了。,應(yīng)該指出，上述結(jié)論的逆是不對的，特征多項(xiàng)式相同的矩陣不一定是相似的。例如 它們的特征多項(xiàng)式都是 ，但A和B不相似，因?yàn)楹虯相似的矩陣只能是A本身。 最后，我們指出特征多項(xiàng)式的一個重要性質(zhì)。,哈密爾頓-凱萊(Hamilton-Caylay)定理 設(shè)A是數(shù)域F上一個nn矩陣， 是A的特征多項(xiàng)式，則,證明 設(shè) 是 的伴隨矩陣，由行列式的性質(zhì)，有 因?yàn)榫仃?的元素是 的各個代數(shù)余子式，都是 的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過n-1。因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)， 可以寫成 其中 都是nn數(shù)字矩陣。,再設(shè) 則而,比較(6)和(7)，得 以 依次從右邊乘(8) 的第一式，第二式， ，第n式，第n+1式，得,把(9)的n+1 個式子一起加起來，左邊變成零，右邊即為f(A).故 f(A)=0.定理得證。 因?yàn)榫€性變換和矩陣的對應(yīng)是保持運(yùn)算的，所以由這定理得,推論 設(shè)A 是有限維空間V的線性變換， 是 A 的特征多項(xiàng)式，那么,BACK,線性變換可對角化,對角矩陣可以認(rèn)為是矩陣中最簡單的一種?，F(xiàn)在我們來考察，究竟哪一些線性變換的矩陣在一組適當(dāng)?shù)幕驴梢允菍蔷仃嚒?定理11 設(shè) A是n維線性空間V的一個線性變換， A 的矩陣可以在某一組基下為對角矩陣的充分必要條件是，A 有n個線性無關(guān)的特征向量。 證明 設(shè)A 在基 下具有對角矩陣,這就是說，因此， 就是 A 的n個線性無關(guān)的特征向量。 反過來，如果A 有n個線性無關(guān)的特征向量 那么就取 為基，顯然，在這組基下A 的矩陣是對角矩陣。,結(jié)論1 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的 證明 對特征值的個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。由于特征向量是不為零的. 所以單個的特征向量必然線性無關(guān). 現(xiàn)在設(shè)屬于k個不同特征值的特征向量線性無關(guān)，我們證明屬于k+1個不同特征值 的特征向量 也線性無關(guān). 假設(shè)有關(guān)系式成立. 等式兩端乘以 ，得,(1)式兩端同時(shí)施行變換A，即有,(3)減去(2)得到,根據(jù)歸納法假設(shè)， 線性無關(guān)，于是 但 所以 這時(shí)(1)式 變成 . 又因?yàn)?, 所以只有 這就證明了 線性無關(guān).根據(jù)歸納法原理，定理得證.,從上面這兩個定理就得到 結(jié)論2 如果在n維線性空間V中， 線性變換A 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域F中 有n個不同的根，即A 有n個不同的特征值， 那么A 在某組基下的矩陣是對角形的.,因?yàn)樵趶?fù)數(shù)域上的線性空間中， 如果線性變換A 的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根， 那么A 在某組基下的矩陣是對角形的. 在一個線性變換沒有n個不同的特征值 的情形，要判別這個線性變換的矩陣能不能 成為對角形，問題就要復(fù)雜些，為了利用定理 7，我們把定理8推廣為,結(jié)論3 如果 是線性變換A 的不同的特 征值，而 是屬于特征值 的線性無關(guān)的 特征向量， ，那么向量組 也線性無關(guān).,根據(jù)這個定理，對于一個線性變換， 求出屬于每個特征值的線性無關(guān)的特征向量， 把它們合在一起還是線性無關(guān)的. 如果它們的個數(shù)等于空間的維數(shù)， 那么這個線性變換在一組合適的基下的 矩陣是對角矩陣； 如果它們的個數(shù)少于空間的維數(shù)， 那么這個線性變換在任何一組基下的矩陣 都不能是對角形的.,換句話說， 設(shè)A 全部不同的特征值是 ，于是A在某一組基下的矩陣成對角形的充分必要條件是A的特征子空間 的維數(shù)之和等于空間的維數(shù)。 應(yīng)該看到，當(dāng)線性變換A 在一組基下的矩陣A是對角形時(shí)：,A的特征多項(xiàng)式就是因此，如果線性變換A 在一組基下的矩陣是對角形，那么主對角線上的元素除排列次序外是確定的，它們正是A 的特征多項(xiàng)式全部的根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).,從而一個線性變換的矩陣 能不能在某一組基下是對角形的問題 就相當(dāng)于一個矩陣是不是相似于一個 對角矩陣的問題.,例 1 我們已經(jīng)算出線性變換A 的特征值是-1(二重)與5，而對應(yīng)的特征向量是 由此可見，A 在基 下的矩陣為對角矩陣,而由 到 的過渡矩陣是 于是，,BACK,6 不變子空間,這一節(jié)我們再來介紹一個關(guān)于線性變換的重要概念不變子空間. 同時(shí)利用不變子空間的概念，來說明線性變換的矩陣的化簡與線性變換的內(nèi)在聯(lián)系. 定義10 設(shè)A 是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，W是V的子空間。如果對于W中任一向量 有 ，我們就稱W是A 的不變子空間，簡稱A-子空間。,例1 整個空間V和零子空間0，對于每個線性變換A來說都是A-子空間。例2 A的值域與核都是A-子空間。 例3 若線性變換A與B是可交換的，則B的核與值域都是A-子空間。 在B 的核 中任取一向量 ，則 即 這就證明了 是A-子空間。,在B的值域BV中任取一 向量 ， 則因此BV也是A-子空間。 例4 任何一個子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間。 這是由于，按定義子空間對于數(shù)量乘法是封閉的。,特征向量與一維不變子空間之間有著緊密的關(guān)系。A 的屬于特征值 的特征子空間 也是A的不變子空間。 我們指出，A-子空間的和與交還是A-子空間。,設(shè)A 是線性空間V的線性變換，W是A 的不變子空間。由于W中向量在A 下的象仍在W中，把A 看成是W的一個線性變換，稱為A 在不變子空間W上引起的變換。為了區(qū)別起見，我們用符號A |W來表示它；但是在很多情況下，仍然可用A 來表示而不致引起混淆.,不難看出，如果線性空間V的子空間W是由向量組 生成的，即 ，則W是A-子空間的充分必要條件為 全屬于W。 必要性是顯然的. 現(xiàn)在來證充分性: 如果 全屬于W，由于W中每個向量 都可以被 線性表示,即有,所以 下面討論不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系。 1) 設(shè)A是n維線性空間V的線性變換，W是V的A-子空間。在W中取一組基 ，并且把它擴(kuò)充成V的一組基那么，A在這組基下的矩陣就具有下列形狀,并且左上角的k 級矩陣 就是A|W在W的基 的矩陣. 這是因?yàn)閃是A-子空間,所以 象 仍在W中，它們可以通過W的基 線性表示,從而A在基(1)下的矩陣具有形狀(2)，A|W在W的基 下的矩陣是 。,設(shè)V分解成若干個A-子空間的直和： 在每一個A-子空間 中取基,反之，如果A 在基(1)下的矩陣是(2)， 那么不難證明， 由 生成的子空間W是A 的不變子空間。,并把它們合并起來成為V的一組基。則在這組基下，A 的矩陣具有準(zhǔn)對角形狀其中 就是 在基(3)下的矩陣。,為不變子空間的直和是相當(dāng)?shù)摹?反之，如果線性變換A 在基(3)下的矩陣是 準(zhǔn)對角形(4)， 則由 (3)生成的子空間 是A-子空間。 由此可知，矩陣分解為準(zhǔn)對角形與空間分解,下面我們應(yīng)用哈密爾頻-凱萊定理將空間V按特征值分解成不變子空間的直和。定理 設(shè)線性變換A 的特征多項(xiàng)式為 ，它可分解成一次因式的乘積則V可分解成不變子空間的直和 其中,證明 ：令,則 是 的值域。由本節(jié)的例3知道 是A 的 不變子空間。顯然 滿足下面來證明,為此要證明兩點(diǎn)，第一，要證V中每個向量 都可表成其次，向量的這種表示法是唯一的。,顯然 ，因此有多項(xiàng)式 使于是這樣對V中每個向量 都有其中這就證明了第一點(diǎn)。,為證明第二點(diǎn)，設(shè)有其中 滿足,現(xiàn)在證明任一個,因 ,所以 用 作用于(5)的兩邊，即得又所以有多項(xiàng)式使于是現(xiàn)在設(shè),其中 當(dāng)然 滿足所以 由此可得到第一點(diǎn)中的表示法是唯一的。,再設(shè)有一向量 的核。把 表示成即令 ，則 是滿足(5)和(6)的向量。 所以 ， 于是 ，這就證明了 是 的核，即,返回,