《理學(xué)線性代數(shù)》PPT課件.ppt

第二節(jié) 矩陣的秩,一、矩陣秩的概念和性質(zhì) 二、矩陣秩的求法 三、小結(jié),難,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),1. 矩陣的子式,強(qiáng)調(diào)： 矩陣的子式是行列式（數(shù)字）。,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),零子式和非零子式,強(qiáng)調(diào)：矩陣的子式是行列式(數(shù)字)。,最高階子式階數(shù)是多少？,最高階非零子式階數(shù)是多少？,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),2. 矩陣的秩的概念,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),思考題：,4. 在秩為 r 的矩陣中，有沒(méi)有等于0的 r - 1階子式？有沒(méi)有等于0的 r 階子式？,答：可能有。例如，矩陣,但是A的等于0的3階子式和2階子式同時(shí)存在.,思考題：,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),5. n階可逆矩陣A的秩是什么？,思考題：,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),結(jié)論：,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),總結(jié)矩陣可逆 的充要條件（7個(gè)）,3. 滿(mǎn)秩矩陣和降秩矩陣,一、矩陣秩的概念和性質(zhì),4. 矩陣的秩的性質(zhì),矩陣秩的其他性質(zhì)詳見(jiàn)課本69-70頁(yè),請(qǐng)同學(xué)們課下自學(xué)，較難理解，不作更高要求。,解：,練習(xí)題：,二、矩陣秩的求法,?,二、矩陣秩的求法,初等變換求矩陣秩的方法：,利用初等行變換把矩陣化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.,當(dāng)矩陣行數(shù)和列數(shù)較大時(shí)，該法簡(jiǎn)單.,解法一: 利用定義,而A的3階子式(四個(gè))，,練習(xí)題：,解法二：利用初等變換將矩陣化為行階梯形矩陣.,顯然，非零行的行數(shù)為2，,此方法簡(jiǎn)單!,練習(xí)題：,例,二、矩陣秩的求法,解:,解:,由行階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知,二、矩陣秩的求法,下面求矩陣A的一個(gè)最高階非零子式。,（首先取定矩陣A的行階梯形矩陣的非零行的第一個(gè)非零元所在的列，對(duì)應(yīng)到原矩陣中，而后再去驗(yàn)證取定A的哪些行時(shí)所得子式恰好非零。）,二、矩陣秩的求法,則這個(gè)子式便是 的一個(gè)最高階非零子式.,則這個(gè)子式也是 的一個(gè)最高階非零子式.,二、矩陣秩的求法,(2)初等變換法常用方法,1. 矩陣秩的概念,3. 求矩陣秩的方法,(1)利用定義,(利用初等行變換把矩陣化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).,(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));,三、小結(jié),2. 矩陣秩的性質(zhì)（69-70頁(yè)）,第三節(jié) 線性方程組的解,一、矩陣的秩與線性方程組 二、線性方程組的解法 三、小結(jié),一、矩陣的秩與線性方程組,練習(xí)題：,寫(xiě)出以B為增廣矩陣的線性方程組，并求解。,練習(xí)題：,寫(xiě)出以B為增廣矩陣的線性方程組，并求解。,練習(xí)題：,寫(xiě)出以B為增廣矩陣的線性方程組，并求解。,非齊次線性方程組的增廣矩陣為,則當(dāng)k取何值時(shí)方程組無(wú)解？當(dāng)k取何值時(shí)方程組有無(wú)窮解？,練習(xí)題：,k=0，k=2,思考：,齊次線性方程組的系數(shù)矩陣滿(mǎn)足什么條件時(shí)有非零解？什么條件時(shí)只有零解？,R(A) = n,R(A) < n,齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為,則當(dāng)k取何值時(shí)方程組有非零解？,練習(xí)題：,k任意取值,設(shè)有線性方程組,解:,練習(xí)題：(P80 習(xí)題三 16),練習(xí)題答案：,練習(xí)題答案：,此時(shí)方程組無(wú)解。,練習(xí)題答案：,此時(shí)方程組有無(wú)窮多解。,第二行和第三行都除以（1-）,練習(xí)題答案：,此時(shí)方程組有唯一解。,首先寫(xiě)出與方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣； 將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣； 求與行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組的解，這個(gè)解就是原方程組的解。,高斯消元法步驟：(復(fù)習(xí)),二、線性方程組的解法,例 求解非齊次線性方程組,解：,對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，,故方程組無(wú)解,二、線性方程組的解法,首先寫(xiě)出與方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣； 將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣； 求與行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組的解，這個(gè)解就是原方程組的解。,將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，進(jìn)而判斷方程組是否有解；若有解，進(jìn)行第二步。,二、線性方程組的解法,高斯消元法步驟： （非齊次線性方程組）,例 求解非齊次方程組的通解,解：對(duì)方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使 其成為行階梯形矩陣,由此可知，故方程組有解.,二、線性方程組的解法,進(jìn)一步將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形：,則與原方程組同解的方程組為,k1,k2,二、線性方程組的解法,k2,k1,2k2,二、線性方程組的解法,則方程組的向量形式的解為：,向量形式的通解,求解齊次線性方程組,解:,練習(xí)題：,即得與原方程組同解的方程組,練習(xí)題答案：,由此即得,練習(xí)題答案：,二、線性方程組的解法,高斯消元法步驟： （齊次線性方程組）,首先寫(xiě)出與方程組對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣； 將系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣； 求與行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組的解，這個(gè)解就是原方程組的解。,三、小結(jié),2.高斯消元法求解線性方程組 (齊次和非齊次),1.利用矩陣秩判定線性方程組解的情況,總結(jié)作業(yè)：,(P79)習(xí)題三 13(1), 14(4),課后作業(yè)：,利用矩陣的初等變換可以： 1）求逆矩陣； 2）求矩陣方程； 3）求解線性方程組； 4）求矩陣的秩。 請(qǐng)各舉一例進(jìn)行說(shuō)明。,總結(jié)矩陣可逆的充要條件（7個(gè)）,