線性代數(shù) 第5章 特征值與特征向量 - 習(xí)題詳解

第5章 特征值與特征向量5.1 特征值與特征向量練習(xí)5.11. 證明特征值與特征向量的性質(zhì)3.設(shè)是一個(gè)多項(xiàng)式. 又設(shè)是矩陣的一個(gè)特征值, 是其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量, 則是矩陣多項(xiàng)式的一個(gè)特征值, 仍是其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.證 由得再由定義得證. 2. 求矩陣的全部特征值與特征向量. 解 由得的特征值為（二重）. 當(dāng)時(shí)，解齊次方程組得基礎(chǔ)解系所以，屬于的全部特征向量為（）. 當(dāng)時(shí)，解齊次方程組得基礎(chǔ)解系所以，的全部特征向量為（）. 3. 求平面旋轉(zhuǎn)矩陣的特征值. 解 由得矩陣的兩個(gè)特征值為，4. 已知是矩陣的一個(gè)特征向量. 試確定的值及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值. 解 設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征值為，則由, 即，得解之得. 5. 設(shè)3階矩陣的三個(gè)特征值為, 與之對(duì)應(yīng)的特征向量分別為求矩陣. 解 由假設(shè)矩陣可逆，所以6. 設(shè)3階矩陣的特征值為, 求行列式. 解 記的特征值為,則，故的特征值為，計(jì)算得所以7. 設(shè), 證明的特征值只能是或. 解 設(shè)是的特征值，則有特征值由于，故其特征值全為零，所以，從而或. 8. （1）證明一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值；（2）設(shè)為矩陣陣的兩個(gè)不同的特征值, 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為和, 證明（）不是的特征向量.證 （1）設(shè)的對(duì)應(yīng)于特征向量的特征值有和，即由此推出，由于，因此. （2）（反證）假設(shè)是的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為，即由，得移項(xiàng)因線性無關(guān)，所以由得，這與矛盾. 5.2 方陣的對(duì)角化練習(xí)5.21. 證明相似矩陣的性質(zhì)17. 性質(zhì)1 相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系. 即具有：（1）自反性：；（2）對(duì)稱性：；（3）傳遞性：. 證（1）由，得（2）設(shè)，則，（3）設(shè)，則，. 性質(zhì)2 設(shè), 又, 則；證 設(shè)，則性質(zhì)3 設(shè), 又可逆, 則可逆且；證 設(shè)，由于是可逆矩陣的乘積，所以可逆. 且，性質(zhì)4 設(shè), 則；證 見正文. 性質(zhì)5 設(shè), 則與的特征值相同；證 由性質(zhì)4即得證. 性質(zhì)6 設(shè), 則；證 由行列式等于所有特征值的乘積以及性質(zhì)5即得證. 性質(zhì)7 設(shè), 則.證 由跡等于所有特征值之和以及性質(zhì)5即得證. 2. 設(shè)，已知與相似，求. 解 由和得解和. 3. 設(shè), （1）求可逆矩陣使得為對(duì)角矩陣；（2）計(jì)算. 解（1）易求得的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為. 令，則（2）4. 設(shè)（1）求可逆矩陣, 使為對(duì)角矩陣；（2）計(jì)算；（3）設(shè)向量, 計(jì)算. 解 （1）按對(duì)角化的方法易求得，和（2）由所以（3）（方法1）先按（2）先計(jì)算，再計(jì)算. . （方法2）先求在基下的分解，然后再求. 解得所以在基底下的分解為則5. 已知方陣與對(duì)角矩陣相似, 且是的二重特征值. （1）求與的值. （2）求可逆矩陣使為對(duì)角矩陣. 解 （1）（2）求另一個(gè)特征值解得基礎(chǔ)解系（見下面的前兩列），解得基礎(chǔ)解系（見下面的第三列）. ，6. 設(shè)矩陣（1）確定的值使可對(duì)角化. （2）當(dāng)可對(duì)角化時(shí), 求可逆矩陣, 使為對(duì)角矩陣.解 （1）求的特征值可對(duì)角化（2）方法同前， 習(xí)題五1. 設(shè)，證明的特征值只能是1或2.證 設(shè)是的特征值，則有特征值由于，故的特征值全為零，所以從而或. 2. 設(shè)階矩陣的各行元素之和都等于1，證明矩陣的特征值. 提求：,. 證 設(shè),.3. 證明階Householder矩陣（其中）有個(gè)特征值, 有一個(gè)特征值. 提示：方程組有個(gè)線性無關(guān)的解向量記為, 直接驗(yàn)證. 又.證 方程組有個(gè)線性無關(guān)的解向量記為,即于是上式說明有個(gè)特征值. 又上式說明有一個(gè)特征值.綜上，的特征值為. 4. 設(shè)是矩陣, 是矩陣, 證明與有相同的非零特征值. 特別地，如果, 則與的特征值完全相同. 證法1 由（設(shè)）立即得證. 證法2 設(shè)是的一個(gè)非零特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即用左乘上式得只要再證明，上式說明也是的特征值. 如果，將其代入式得左邊，右邊（）矛盾. 因此. 同理，的非零特征值也是的特征值. 5. 設(shè)與都是階矩陣，是的特征多項(xiàng)式，證明可逆的充要條件是矩陣和沒有公共的特征值. 證 設(shè)為的特征值，則從而于是因此（）不是的特征值與沒有公共的特征值. 6. 設(shè)，已知與相似.（1） 求；（2） 求可逆矩陣，使. 提示：與有相同的特征多項(xiàng)式，比較兩個(gè)特征多項(xiàng)式的系數(shù).解 （1）分別求得與的特征多項(xiàng)式由得，即，解得（2） 由于與相似，所以的特征值與的特征值相同，就是的對(duì)角元再求出對(duì)應(yīng)于這些特征值的特征向量分別為令則有. 7. 設(shè)是3階方陣，是3維列向量，矩陣可逆，且求矩陣.解 8. 設(shè)是階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足. （1）證明線性無關(guān). （2）令，求. 解（1）設(shè)兩邊左乘上面兩式相減線性無關(guān)，代入前面式子. 說明線性無關(guān). （2）9. 設(shè)，求解 的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為令，則從而10. 設(shè), . 證明當(dāng)時(shí), 可對(duì)角化；當(dāng)時(shí), 不可對(duì)角化.證 設(shè). 由知有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量. 再設(shè)齊次方程組的個(gè)線性無關(guān)解為，則說明有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為. 綜上，的個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為（它們線性無關(guān)）. 因此，可對(duì)角化. 相應(yīng)的對(duì)角矩陣為設(shè). 由的特征值全是零（重）. 但屬于的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為所以不可對(duì)角化. 11求解微分方程組解 寫成矩陣形式，由初值定出常數(shù)12在某國，每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村. 假設(shè)該國總?cè)丝诓蛔儯疑鲜鋈丝谶w移的規(guī)律也不變. 把n年后的農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖楹停ǎ?（1）求關(guān)系式中的矩陣；（2）設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即，求.解 （1）（2）由得的特征值為再求得對(duì)應(yīng)的特征向量為令，則于是