信號(hào)與系統(tǒng)分析PPT電子教案-離散系統(tǒng)的z域分析

離散系統(tǒng)的z域分析,引言,求解差分方程的工具，類似于拉普拉斯變換； z變換的歷史可是追溯到18世紀(jì)； 20世紀(jì)5060年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字計(jì)算機(jī)的研究和實(shí)踐，推動(dòng)了z變換的發(fā)展； 70年代引入大學(xué)課程； 今后主要應(yīng)用于DSP分析與設(shè)計(jì)，如語音信號(hào)處理等問題。 本章主要討論： z變換的定義、收斂域、性質(zhì)、與傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系； z逆變換；利用z變換解差分方程； 利用z平面零極點(diǎn)的分布研究系統(tǒng)的特性。,z變換的導(dǎo)出,抽樣信號(hào)的拉氏變換離散信號(hào)的z變換,對(duì) 取拉氏變換,引入復(fù)變量,Z變換的定義與收斂域,對(duì)z變換式的理解,若x(k)為因果序列，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不等。,X(z) = Zx(k) , x(k)= Z-1X(z) ；x(k)X(z),稱為序列x(k)的雙邊z變換,稱為序列x(k)的單邊z變換,收斂域,z變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即,時(shí)，其z變換才存在。上式稱為絕對(duì)可和條件，它是序列x(k)的z變換存在的充分必要條件。,收斂域的定義：,對(duì)于序列x(k)，滿足,所有z值組成的集合稱為z變換X(z)的收斂域。,ROC:Region of convergence,不同x(k)的z變換，由于收斂域不同，可能對(duì)應(yīng)于相同的z變換，故在確定z變換時(shí)，必須指明收斂域。,對(duì)單邊z變換，其收斂域比較簡單，一定是 某個(gè)圓以外的區(qū)域。,兩種判定法,1比值判定法,若有一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，,則： 1：發(fā)散,即令正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),的n次根的極限等于，,則 1：發(fā)散,2根值判定法,求序列Z變換的方法,級(jí)數(shù)求和法,例,常用序列Z變換,單位階躍序列,ROC：,指數(shù)序列,單位序列,單位延時(shí)序列,ROC：全平面,ROC：,斜變序列,已知,兩邊同時(shí)乘以z-1 ，可得,（用間接方法求）,Z變換的幾個(gè)定理,ROC：一般情況下，取二者的重疊部分,某些線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域 可能擴(kuò)大。,線性定理 (表現(xiàn)為疊加性和均勻性）,則,例,零極點(diǎn)相消，收斂域擴(kuò)大為整個(gè)z平面,例,解：,變換,右移位性質(zhì),移序定理,j為正整數(shù),則,ROC：,證明,根據(jù)單邊z變換的定義，可得,左移位性質(zhì),j為正整數(shù),證明,根據(jù)單邊z變換的定義，可得,例:,解：,證明：,z域尺度變換,則,例,解:,方程兩邊取z變換,帶入邊界條件,某離散系統(tǒng)差分方程為：,整理為,乘k定理,共求導(dǎo)m次,例：求f(k)= k(k)的z變換F(z).,解：,初值定理,證明,把x（z）足夠大時(shí)的動(dòng)態(tài)特性與x（k）的初值聯(lián)系起來,推理 x(1)？,終值定理,注意：當(dāng) 收斂，才可用終值定理。,例：,解：,例：,求f(0)，f(1)，f()。,解：,例題,卷積定理,描述：兩序列在時(shí)域中的卷積的z變換等效于在z域中兩序列z變換的乘積。,則,證明時(shí)域卷積定理,因?yàn)?所以,逆z變換,部分分式展開法 冪級(jí)數(shù)展開法 留數(shù)法(刪去),冪級(jí)數(shù)展開法,z變換式一般是z的有理函數(shù)，可直接用長除法進(jìn)行反變換 。,是一個(gè)z的冪級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(k)。,例,將F(z)以z的降冪排列, 然后進(jìn)行長除運(yùn)算。,部分分式展開法,式中m<n,（1）X(z)均為單極點(diǎn),可展開為：,例 已知象函數(shù),其收斂域分別為： z2,解 部分分式展開為,(2) X(z)有一個(gè)重極點(diǎn)p1 和單極點(diǎn),則逆變換為,Z變換與拉氏變換的關(guān)系,Z變換與拉氏變換相互關(guān)系示意圖,差分方程z變換解法,描述離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程。求解 差分方程是分析離散時(shí)間系統(tǒng)的一個(gè)重要途徑。,求解線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種方法： 時(shí)域方法，煩瑣 z變換方法,差分方程經(jīng)z變換代數(shù)方程； 可以將時(shí)域卷積頻域（z域）乘積； 部分分式分解后將求解過程變?yōu)椴楸恚?求解過程自動(dòng)包含了初始狀態(tài)（相當(dāng)于0-的條件）。,應(yīng)用z變換求解差分方程步驟,(1)對(duì)差分方程進(jìn)行z變換（移位性質(zhì)）,(2)由z變換方程求出響應(yīng)Y(z),(3) 求Y(z) 的反變換，得到y(tǒng)(k),單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,差分方程的變換解,取單邊z變換得,例：若某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統(tǒng)的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。,解,方程取z變換,Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-1)z-1 +y(-2)=F(z)+2z-2F(z),離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),定義：,H(z) 求法,1、h(k) H(z) 2、零狀態(tài)下差分方程 H(z) 3、模擬框圖 H(z),系統(tǒng)函數(shù)H(z)的應(yīng)用,2）求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k):,1）求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) h(k):,3）求系統(tǒng)差分方程:,4）系統(tǒng)零極點(diǎn)分析,5）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,例：某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=( 1/2)k(k)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng),求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程。,解,h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k(k),系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分析,例：,極點(diǎn)：,零點(diǎn)：,極點(diǎn)決定系統(tǒng)的固有頻率或自然頻率。,零極點(diǎn)圖：,例：,（2）,在z平面上，畫出H(z)的零極點(diǎn)圖： 極點(diǎn)用表示，零點(diǎn)用表示。,系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,定義: 若一個(gè)系統(tǒng)對(duì)于有界激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生有界的響應(yīng)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,穩(wěn)定性準(zhǔn)則（充要條件）,其中：M為有限正數(shù),即：系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)絕對(duì)可和，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,穩(wěn)定性判斷,極點(diǎn)判斷：,（1） H(z)極點(diǎn)全部位于z平面單位圓內(nèi)： 系統(tǒng)穩(wěn)定 （2）含有單位圓單極點(diǎn)，其余位于單位圓內(nèi)：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 （3）含有單位圓外或單位圓上重極點(diǎn)： 系統(tǒng)不穩(wěn)定,由系統(tǒng)極點(diǎn)判斷,例：,例:,A滿足什么條件，系統(tǒng)穩(wěn)定？,穩(wěn)定條件：-3/4 < A <3/4,(系統(tǒng)穩(wěn)定),極點(diǎn)對(duì)h(k)的影響,（2）,