高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2_3_1 數(shù)學(xué)歸納法 2_3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5

3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 31數(shù)學(xué)歸納法 32數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,1理解數(shù)學(xué)歸納法原理 2能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟 3會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式 4了解貝努利不等式的應(yīng)用條件.,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(重點(diǎn)) 2貝努利不等式的應(yīng)用(難點(diǎn)),學(xué)法指要,預(yù) 習(xí) 學(xué) 案,1已知某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN)時(shí)該命題成立，那么可以推得nk1時(shí)該命題也成立現(xiàn)已知n5時(shí)該命題不成立，則n4時(shí)該命題_,不成立,1數(shù)學(xué)歸納法的步驟 (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值_時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)_(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng) n_時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立 2對任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有_，稱為貝努利不等式,n0,nk,k1,(1x)n1nx,解析：左端1aa2an1 共n2項(xiàng)，當(dāng)n1時(shí)an1a2 左端1aa2. 答案：C,答案：B,3設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_. 解析：由凸多邊形性質(zhì)知多加了一條邊內(nèi)角和比原來多了. 答案：,課 堂 講 義,思路點(diǎn)撥要證明的等式左邊有2n項(xiàng)，右邊有n項(xiàng)，f(k)與f(k1)相比，左邊增加二項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同，因此，由nk到nk1時(shí)要注意項(xiàng)的合并,用數(shù)學(xué)歸納法證等式,思路點(diǎn)撥用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān) 從nk到nk1，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng),思路點(diǎn)撥用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過放大或縮小等技巧，變換出要證明的目標(biāo)不等式,數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式問題,思路點(diǎn)撥利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察歸納猜想證明即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念： 先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n01)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 (2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍： 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明,數(shù)學(xué)歸納法,在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中，從“nk”到“nk1”的過渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步，它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題一樣，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來，而證明不等式的第二步中，從“nk”到“nk1”，只用拼湊的方法，有時(shí)行不通，因?yàn)閷Σ坏仁絹碚f，它還涉及“放縮”的問題，它可能需通過“放大”或“縮小”的過程，才能利用上歸納假設(shè)，因此，我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來分析從“nk”到“nk1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu),用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx. 證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，由x0得(1x)212xx212x，不等式成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)不等式成立即有(1x)k1kx. 當(dāng)nk1時(shí)，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x. 所以當(dāng)nk1時(shí)不等式成立,貝努利不等式,由(1)(2)可知，貝努利不等式成立 把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)a時(shí)，仍有類似不等式成立，它們是貝努利不等式的更一般的形式： 當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足a1或者a1)； 當(dāng)a是實(shí)數(shù)，并且滿足01),這種方法解決的問題主要是歸納型問題或探索性問題，結(jié)論如何？命題的成立不成立都預(yù)先需要?dú)w納與探索，而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況入手，得到一個(gè)結(jié)論，但這個(gè)結(jié)論不一定正確，因?yàn)檫@是靠不完全歸納法得出的，因此，需要給出一定的邏輯證明，所以，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索一般規(guī)律，其關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，如果歸納不出正確的結(jié)論，那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無法進(jìn)行了.,觀察、歸納、猜想、證明的方法,