高等數(shù)學(xué)微積分筆記.doc

第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D 當(dāng)x1x2時(shí),若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )； 若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 偶函數(shù)：f(-x)=f(x) 奇函數(shù)：f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性： 周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn , (n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a0、a1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: 稱(chēng)數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱(chēng)數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 左極限： 右極限：函數(shù)極限存的充要條件：定理：無(wú)窮大量和無(wú)窮小量1 無(wú)窮大量： 稱(chēng)在該變化過(guò)程中為無(wú)窮大量。 X再某個(gè)變化過(guò)程是指： 2 無(wú)窮小量： 稱(chēng)在該變化過(guò)程中為無(wú)窮小量。3 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系： 定理：4 無(wú)窮小量的比較： 若,則稱(chēng)是比較高階的無(wú)窮小量； 若 （c為常數(shù)），則稱(chēng)與同階的無(wú)窮小量； 若，則稱(chēng)與是等價(jià)的無(wú)窮小量，記作：； 若,則稱(chēng)是比較低階的無(wú)窮小量定理：若：則：兩面夾定理1 數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)： （n=1、2、3） 且： 則： 2 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)：對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn) （點(diǎn)x0除外）有：且： 則：極限的運(yùn)算規(guī)則 若： 則： 推論：兩個(gè)重要極限 1 或 2 1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義， 1o 2o 左連續(xù)： 右連續(xù)：2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件： 定理：在處連續(xù)在處極限存在 3. 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件： 定理：4. 函數(shù)在上連續(xù)： 在上每一點(diǎn)都連續(xù)。 在端點(diǎn)和連續(xù)是指： 左端點(diǎn)右連續(xù)； 右端點(diǎn)左連續(xù)。 a+ 0 b- x5. 函數(shù)的間斷點(diǎn)：若在處不連續(xù)，則為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況： 1o在處無(wú)定義； 2o不存在；3o在處有定義，且存在， 但。 兩類(lèi)間斷點(diǎn)的判斷： 1o第一類(lèi)間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和都存在?？扇ラg斷點(diǎn)：存在，但，或在處無(wú)定義。 2o第二類(lèi)間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和至少有一個(gè)為， 或振蕩不存在。無(wú)窮間斷點(diǎn)：和至少有一個(gè)為函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算： 設(shè)， 1o 2o 3o 2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 則：3. 反函數(shù)的連續(xù)性： 函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理： 在上連續(xù)在上一定有界。 3.介值定理： 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推論： 在上連續(xù)，且與異號(hào) 在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性： 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念 1導(dǎo)數(shù)：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 2左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)： 定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在； 則： （或：）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件： 定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件： 定理：存在， 且存在。 5.導(dǎo)函數(shù)： 在內(nèi)處處可導(dǎo)。 y 6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)： 是曲線上點(diǎn) 處切線的斜率。 o x0 x求導(dǎo)法則 1.基本求導(dǎo)公式： 2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算： 1o 2o 3o 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ，或 注意與的區(qū)別： 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)； 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念 1.微分：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 其中：與無(wú)關(guān)，是比較高 階的無(wú)窮小量，即： 則稱(chēng)在處可微，記作： 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系： 定理：在處可微在處可導(dǎo)，且： 3.微分形式不變性： 不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式。2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理 1.羅爾定理: 滿足條件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：滿足條件: 羅必塔法則：（ 型未定式）定理：和滿足條件：1o；2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；3o 則：注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。 即不是型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。 3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母 求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。 4o若和還滿足法則的條件， 可以繼續(xù)使用法則，即： 5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變 形，化成或型；若是型可 采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程：設(shè)：切線方程：法線方程：2 曲線的單調(diào)性： 3.函數(shù)的極值：極值的定義：設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點(diǎn)；若對(duì)于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有：則稱(chēng)是的一個(gè)極大值（或極小值），稱(chēng)為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。 極值存在的必要條件：定理：稱(chēng)為的駐點(diǎn) 極值存在的充分條件： 定理一：當(dāng)漸增通過(guò)時(shí)，由（+）變（-）；則為極大值； 當(dāng)漸增通過(guò)時(shí)，由（-）變（+）；則為極小值。定理二： 若，則為極大值； 若，則為極小值。注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。 4曲線的凹向及拐點(diǎn)：若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（）；若；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（）； 5。曲線的漸近線： 水平漸近線： 鉛直漸近線：第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：設(shè)： 若： 則稱(chēng)是的一個(gè)原函數(shù)， 并稱(chēng)是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。2不定積分： 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體， 稱(chēng)為函數(shù)的不定積分；記作： 其中：稱(chēng)為被積函數(shù)； 稱(chēng)為被積表達(dá)式； 稱(chēng)為積分變量。 3. 不定積分的性質(zhì)： 或： 或： 分項(xiàng)積分法 (k為非零常數(shù)) 4.基本積分公式：換元積分法： 第一換元法：（又稱(chēng)“湊微元”法） 常用的湊微元函數(shù)有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法： 第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)， 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換： 1o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 2o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 3o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 4o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))分部積分法： 1. 分部積分公式： 2.分部積分法主要針對(duì)的類(lèi)型： 其中： （多項(xiàng)式） 3.選u規(guī)律： 在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“三多選多”。 在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“指多選多”。 在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令， 其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“多對(duì)選對(duì)”。 在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù) 為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“多反選反”。 在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù) 為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“指三任選”。簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分： 1. 有理函數(shù)： 其中是多項(xiàng)式。 2. 簡(jiǎn)單有理函數(shù)： 3.2定積分 f(x)一 主要內(nèi)容（一）.重要概念與性質(zhì)1. 定積分的定義： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號(hào)， yx 軸下方的面積取負(fù)號(hào)。 + + a 0 - b x2. 定積分存在定理： 若：f(x)滿足下列條件之一:若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)： 3. 牛頓萊布尼茲公式：*牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問(wèn)題。4. 原函數(shù)存在定理： 5. 定積分的性質(zhì)： y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x（二）定積分的計(jì)算：1. 換元積分 2. 分部積分 3. 廣義積分 4. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式 (三)定積分的應(yīng)用1. 平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) . 求出曲線的交點(diǎn)，畫(huà)出草圖； . 確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限；. 應(yīng)用公式寫(xiě)出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。2. 旋轉(zhuǎn)體的體積及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 0 a b x及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 第四章 多元函數(shù)微積分初步4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一. 主要內(nèi)容：1. 多元函數(shù)的概念3. 二元函數(shù)的定義： 4. 二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1. 極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：2. 連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：.偏導(dǎo)數(shù)： .全微分：1.定義：z=f(x,y) ,在點(diǎn)(x,y)處的全微分。3. 全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1. , 2. .隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1.2. ,.二階偏導(dǎo)數(shù)：,.二元函數(shù)的無(wú)條件極值1. 二元函數(shù)極值定義： , , 極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。 2.極值的必要條件：兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則： 而非充分條件。例：, 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。5. 極值的充分條件：,求二元極值的方法：, 極值點(diǎn)。 二倍角公式：(含萬(wàn)能公式) 29