高等數(shù)學(xué)微積分筆記.doc

第一章 函數(shù)、極限和連續(xù) 1.1 函數(shù) 一、 主要內(nèi)容 ㈠ 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), x∈D 定義域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 0 4.反函數(shù): y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 ㈡ 函數(shù)的幾何特性 1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 當(dāng)x1＜x2時(shí),若f(x1)≤f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加( )； 若f(x1)≥f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )； 若f(x1)＜f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對稱 偶函數(shù)：f(-x)=f(x) 奇函數(shù)：f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性： 周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函數(shù) 1.常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c為常數(shù)) 2.冪函數(shù)： y=xn , (n為實(shí)數(shù)) 3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.對數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 1.復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù) 1.2 極 限 一、 主要內(nèi)容 ㈠極限的概念 1. 數(shù)列的極限: 稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列收斂于A. 定理: 若的極限存在必定有界. 2.函數(shù)的極限： ⑴當(dāng)時(shí)，的極限： ⑵當(dāng)時(shí)，的極限： 左極限： 右極限： ⑶函數(shù)極限存的充要條件： 定理： ㈡無窮大量和無窮小量 1． 無窮大量： 稱在該變化過程中為無窮大量。 X再某個(gè)變化過程是指： 2． 無窮小量： 稱在該變化過程中為無窮小量。 3． 無窮大量與無窮小量的關(guān)系： 定理： 4． 無窮小量的比較： ⑴若,則稱β是比α較高階的無窮小量； ⑵若 （c為常數(shù)），則稱β與α同階的無窮小量； ⑶若，則稱β與α是等價(jià)的無窮小量，記作：β～α； ⑷若,則稱β是比α較低階的無窮小量 定理：若：則： ㈢兩面夾定理 1． 數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)： （n=1、2、3…） 且： 則： 2． 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)：對于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn) （點(diǎn)x0除外）有： 且： 則： ㈣極限的運(yùn)算規(guī)則 若： 則：① ② ③ 推論：① ②③ ㈤兩個(gè)重要極限 1． 或 2． 1.3 連續(xù) 一、 主要內(nèi)容 ㈠ 函數(shù)的連續(xù)性 1. 函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義， 1o 2o 左連續(xù)： 右連續(xù)： 2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件： 定理：在處連續(xù)在處極限存在 3. 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件： 定理： 4. 函數(shù)在上連續(xù)： 在上每一點(diǎn)都連續(xù)。 在端點(diǎn)和連續(xù)是指： 左端點(diǎn)右連續(xù)； 右端點(diǎn)左連續(xù)。 a+ 0 b- x 5. 函數(shù)的間斷點(diǎn)： 若在處不連續(xù)，則為的間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)有三種情況： 1o在處無定義； 2o不存在； 3o在處有定義，且存在， 但。 兩類間斷點(diǎn)的判斷： 1o第一類間斷點(diǎn)： 特點(diǎn)：和都存在。 可去間斷點(diǎn)：存在，但 ，或在處無定義。 2o第二類間斷點(diǎn)： 特點(diǎn)：和至少有一個(gè)為∞， 或振蕩不存在。 無窮間斷點(diǎn)：和至少有一個(gè)為∞ ㈡函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì) 1. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算： 設(shè)， 1o 2o 3o 2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 則： 3. 反函數(shù)的連續(xù)性： ㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理： 在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 2. 有界定理： 在上連續(xù)在上一定有界。 3.介值定理： 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ1 ξ2 b x 推論： 在上連續(xù)，且與異號 在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性： 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 2.1 導(dǎo)數(shù)與微分 一、主要內(nèi)容 ㈠導(dǎo)數(shù)的概念 1．導(dǎo)數(shù)：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 2．左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)： 定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在 其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在； 則： （或：） 3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件： 定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件： 定理：存在， 且存在。 5.導(dǎo)函數(shù)： 在內(nèi)處處可導(dǎo)。 y 6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)： 是曲線上點(diǎn) 處切線的斜率。 o x0 x ㈡求導(dǎo)法則 1.基本求導(dǎo)公式： 2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算： 1o 2o 3o 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ，或 ☆注意與的區(qū)別： 表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo)； 表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。 4.高階導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ㈢微分的概念 1.微分：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 其中：與無關(guān)，是比較高 階的無窮小量，即： 則稱在處可微，記作： 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系： 定理： 在處可微在處可導(dǎo)， 且： 3.微分形式不變性： 不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的 微分都具有相同的形式。 2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、主要內(nèi)容 ㈠中值定理 1.羅爾定理: 滿足條件: y a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理：滿足條件: ㈡羅必塔法則：（ 型未定式） 定理：和滿足條件： 1o； 2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且； 3o 則： ☆注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。 即不是型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。 3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對分子、分母 求導(dǎo)，而不是對整個(gè)分式求導(dǎo)。 4o若和還滿足法則的條件， 可以繼續(xù)使用法則，即： 5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變 形，化成或型；若是型可 采用對數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。 ㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1． 切線方程和法線方程： 設(shè)： 切線方程： 法線方程： 2． 曲線的單調(diào)性： ⑴ ⑵ 3.函數(shù)的極值： ⑴極值的定義： 設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點(diǎn)； 若對于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有： 則稱是的一個(gè)極大值（或極小值）， 稱為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。 ⑵極值存在的必要條件： 定理： 稱為的駐點(diǎn) ⑶極值存在的充分條件： 定理一： 當(dāng)漸增通過時(shí)，由（+）變（-）； 則為極大值； 當(dāng)漸增通過時(shí)，由（-）變（+）；則為極小值。 定理二： 若，則為極大值； 若，則為極小值。 ☆注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。 4．曲線的凹向及拐點(diǎn)： ⑴若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（∪）； ⑵若；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（∩）； ⑶ 5。曲線的漸近線： ⑴水平漸近線： ⑵鉛直漸近線： 第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 3.1 不定積分 一、 主要內(nèi)容 ㈠重要的概念及性質(zhì)： 1．原函數(shù)：設(shè)： 若： 則稱是的一個(gè)原函數(shù)， 并稱是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。 2．不定積分： 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體， 稱為函數(shù)的不定積分；記作： 其中：稱為被積函數(shù)； 稱為被積表達(dá)式； 稱為積分變量。 3. 不定積分的性質(zhì)： ⑴ 或： ⑵ 或： ⑶ —分項(xiàng)積分法 ⑷ (k為非零常數(shù)) 4.基本積分公式： ㈡換元積分法： ⒈第一換元法：（又稱“湊微元”法） 常用的湊微元函數(shù)有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法： 第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù)， 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換： 1o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 2o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 3o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 4o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) ㈢分部積分法： 1. 分部積分公式： 2.分部積分法主要針對的類型： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 　 ⑸ 其中： （多項(xiàng)式） 3.選u規(guī)律： ⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡稱“三多選多”。 ⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡稱“指多選多”。 ⑶在多項(xiàng)式乘對數(shù)函數(shù)中，令， 其余記作dv;簡稱“多對選對”。 ⑷在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“多反選反”。 ⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。 ㈣簡單有理函數(shù)積分： 1. 有理函數(shù)： 其中是多項(xiàng)式。 2. 簡單有理函數(shù)： ⑴ ⑵ ⑶ 3.2定積分 f(x) 一． 主要內(nèi)容 （一）.重要概念與性質(zhì) 1. 定積分的定義： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x 定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。 定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x), 直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。 x軸上方的面積取正號， y x 軸下方的面積取負(fù)號。 + + a 0 - b x 2. 定積分存在定理： 若：f(x)滿足下列條件之一: 若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)： 3. 牛頓——萊布尼茲公式： *牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。 4. 原函數(shù)存在定理： 5. 定積分的性質(zhì)： y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a ξ b x （二）定積分的計(jì)算： 1. 換元積分 2. 分部積分 3. 廣義積分 4. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式 (三)定積分的應(yīng)用 1. 平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) ①. 求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖； ②. 確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限； ③. 應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。 2. 旋轉(zhuǎn)體的體積 及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 0 a b x 及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 第四章 多元函數(shù)微積分初步 4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 一. 主要內(nèi)容： 1. 多元函數(shù)的概念 3. 二元函數(shù)的定義： 4. 二元函數(shù)的幾何意義： 二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線） 2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)： 1. 極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件： 2. 連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件： ㈢.偏導(dǎo)數(shù)： ㈣.全微分： 1.定義：z=f(x,y) , 在點(diǎn)(x,y)處的全微分。 3. 全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 , ㈤.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： 1. , 2. ㈥.隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： 1. 2. , ㈦.二階偏導(dǎo)數(shù)： ,,, ㈧.二元函數(shù)的無條件極值 1. 二元函數(shù)極值定義： , , ☆ 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值， 極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 2.極值的必要條件： 兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則： ★ 而非充分條件。 例： , , ∴駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。 5. 極值的充分條件： , 求二元極值的方法： , 極值點(diǎn)。 二倍角公式：(含萬能公式) ① ② ③ ④ ⑤ 29