離散系統(tǒng)湖南大學(xué)自動(dòng)化.ppt

1 第九章 線性離散控制系統(tǒng) 2 本章主要內(nèi)容 1. 引言 2. 信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn) 3. 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 4. 脈沖傳遞函數(shù) 5. 離散系統(tǒng)的 z域分析法 6. 離散系統(tǒng)的頻域分析法 7. 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法 8. 離散系統(tǒng)的綜合 了解 熟悉 掌握 3 7.1引言 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 又稱模擬信號(hào)。值上，均連續(xù)的信號(hào).連續(xù)信號(hào)：在時(shí)間和幅 。各處的信號(hào)均連續(xù)連續(xù)系統(tǒng)： 。離散的脈沖序列是間上 在時(shí)，續(xù)的處或數(shù)處的信號(hào)不是連離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中的一 采樣器 Gh(s) Gp(s) H(s) e(t) e*(t) r(t) c(t) - T 保持器 被控對(duì)象 反饋裝置 b(t) Gc(s) 脈沖控制器 4 采樣系統(tǒng)的組成 控制系統(tǒng)。 統(tǒng)或計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系把數(shù)字序列形式的離散 統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。 為采樣控制系列形式的離散系統(tǒng)，稱離散信號(hào)是脈沖脈沖序 A/D D/A 數(shù)字控制器 受控對(duì)象 反饋裝置 e*(t) 計(jì)算機(jī) r(t) e(t) u*(t) uh(t) c(t) _ 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型原理圖 5 )t(e t0 )t(eh 0 t T )t(e* 0 t 連續(xù)信號(hào) 離散化信號(hào) 復(fù)現(xiàn)信號(hào) 6 的方式采樣 。即采樣時(shí)間是隨機(jī)變量：隨機(jī)采樣 進(jìn)行采樣。 期的采樣器對(duì)信號(hào)同時(shí)用兩個(gè)具有不同采樣周：多速采樣 PWM) 似的，但具有周期性(類即采樣時(shí)間間隔是不等:多階采樣 量. ) ，T 為常0,1,2,k其中即采樣時(shí)間為k T (:等周期采樣 7 7.2.1采樣過程 7.2.2離散信號(hào)的復(fù)現(xiàn) 7.2信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn) 8 7.2.1采樣過程 e(t) t e*(t) t e(t) e*(t) T 程。序列的過程稱為采樣過為在時(shí)間上離散的脈沖 樣，將其變換間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采采樣：按照一定的時(shí)間 ( 采樣開關(guān)) 。過程的裝置稱為采樣器采樣器：用來實(shí)現(xiàn)采樣 。0地認(rèn)為 采樣控制系統(tǒng)時(shí)，近似分的時(shí)間常數(shù)，在分析 系統(tǒng)中連續(xù)部采樣周期T ，也遠(yuǎn)小于采樣持續(xù)時(shí)間 遠(yuǎn)小于 1、定義 9 2、數(shù)學(xué)描述 脈沖調(diào)制過程。采樣過程可看成是一個(gè) n T * n TT nT) (te(t)(t)e(t) (t)e (t)為：的輸出信號(hào)e脈沖調(diào)制器(采樣器) 采樣周期，式中T,nT) (t(t)(t)單位脈沖序列 : )t(T t 0 )t(e t0 )t(e* t0 T 調(diào)制器 )t(e )t(e * )t(T 10 nT) (tLe(nT) nT) (tLe(nT)nT)e(nT) (tL(s)E(t)eL 為：該式的拉普拉斯變換式 nT) (te(nT)nT) (te(t)(t)e 0,0時(shí)，e(t)當(dāng)t一般 0n 0n0n * 0n 0n * nTs nTs 0 stnTs- e (t)Ledt (t)eenT) (t由位移定理：L 0n nTs* e ( n T ) e( s )E( t )eL 11 怎樣進(jìn)行采樣，才能保證采樣信號(hào) e*(t) 反映 e(t)的變化規(guī)律？ ( t ) 中恢復(fù)過來。e可以完滿地從采樣信號(hào)就信號(hào)e ( t ) ），為采樣角頻率其中 2 即： （ 2 2 T 期T 滿足下列條件：率分量，則只要采樣周 的頻到，并且有直e ( t ) 具有有限帶寬如果采樣器的輸入信號(hào) * shs h h 。2 般取 在控制工程實(shí)踐中，一 hs 7.2.2離散信號(hào)的復(fù)現(xiàn) 香農(nóng)采樣定理 12 保持器 器。前者為比較常用的保持 。保持器稱為一階保持器把采用線性外推規(guī)律的 ；保持器稱為零階保持器把采用恒值外推規(guī)律的 eh(t) e*(t) e*(t) t 零階保持器 eh(t) t 13 。1)T一個(gè)采樣時(shí)刻( n) 不增不減地保持到下n T 的采樣值e ( n T 把前一采樣時(shí)刻外推規(guī)律的保持器，它零階保持器是采用恒值 采樣前的連續(xù)信號(hào) 零階保持其輸出信號(hào) 零階保持器的中點(diǎn)連線 )e(1 s 1 e s 1 s 1 (t)gL(s)G ：零階保持器傳遞函數(shù)為 T)1(t1(t)(t)g：零階保持器可以表示為 TsTs hh h 14 7.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 7.3.1 差分方程與離散狀態(tài)方程 7.3.2 Z變換 15 7.3.1 差分方程與離散狀態(tài)方程 。方程來描述的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程用差分離散線性 )：模型統(tǒng)的輸入輸出1 、差分方程( 離散系 Gh(s) e(t) e*(t) r(t) c(t) - T s1 eh(t) 這就是差分方程。r(k)Tc(k)1)(T1)c(k 16 r ( k )b1)mr(kbm)r(kb c ( k )a2)nc(ka1)nc(kan)c(k ：其一般形式可表示如下 分方程，n 階線性離散系統(tǒng)的差 01mm 02n1n 1)(kx1)ny(k(k)x 1)(kx2)y(k(k)x 1)(kx1)y(k(k)x y(k)(k)x 若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量： u(k)y(k)a2)ny(ka1)ny(kan)y(k ：的輸入輸出差分方程為設(shè)單變量線性離散系統(tǒng) 1nn 23 12 1 02n1n 間模型：2 、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空 17 :為系統(tǒng)的一階差分方程組 )k(x)k(y 1 u(k)(k)xa(k)-xa(k)xa1)(kx (k)x1)(kx (k)x1)(kx n1n2110n 32 21 狀態(tài)空間模型 )k(cx)k(y )k(bu)k(Ax)1k(x 18 _ _ _ 解。r(i)T)(1Tc(0)T)(1c(k) c(3)2令k r(1)Tr(0)TT)(1c(0)T)(1c(2)1令k r(0)TT)c(0)(1c(1)0令k r(0)TT)c(0)(1c(1)0,令k 1k 0i i1kk 2 , , , 程的解法3 、線性常系數(shù)差分方 、迭代法、Z 變換法。常用的方法有：經(jīng)典法 c ( k ) 。試用迭代法求輸出序列 r ( k ) ，Tc ( k )1)(T1)c ( k 例：已知差分方程為： 解： 19 1 0 0 b,001 100 010 C aaaa A n 的系數(shù)陣。其中：11,nn,C ：分別為nb,A, 或控制變量)離散系統(tǒng)的輸入變量(:u(k) , (k)x (k)x (k)x 其中：x ( k ) 1-n210 n 2 1 20 7.3.2 Z變換 0n nTs* 0n * 0 st f(nT)e(s)F 拉普拉斯變換式為：其 nT)(nT) (t(t) (t)(t)的采樣信號(hào)為設(shè) dt(t)e(t)LF(s) 普拉斯變換式為連續(xù)函數(shù)f(t)的拉 變換的定義Z、1 ff ff ff 一、Z 變換的定義： 21 變換( t ) 的Z采樣函數(shù)-(nT)zF(z)(t)Z 則有：,e：令 0n n* Ts fff z 、說明2 補(bǔ)充。與拉氏變換表達(dá)式互為變換Z 刻之間的特性。，而不能反映在采樣時(shí)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性 式只能表征連續(xù)用于離散函數(shù)，z 變換嚴(yán)格地講，z 變換只適 。不是唯一的卻數(shù)f ( t )( t ) 所對(duì)應(yīng)的連續(xù)函離散函數(shù)但 是唯一的，反之亦然。( t ) 所對(duì)應(yīng)的z 變換采樣后的函數(shù) * * f f 22 二、Z 變換的方法 n21 nTs2TsTs* 0n z(nT)z(2T)z(T)1(0)或：F ( z ) e(nT)e(2T)e(T)1(0)(s)F ，可得：逐項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯變換 。nT) (t(nT)2T) (t(2T) T) (t(1T) (t)(0T)nT)(nT) (t(t) ( t ) 展開如下：將離散函數(shù) 級(jí)數(shù)求和法、1 ffff ffff ff ffff f ( t ) 的Z 變換.例、求單位階躍函數(shù)1 23 1 上式為收斂的。z在 1)z( 1z z z1zz1 (2T)z(T)z1(0)F(z) 0,1,2n1數(shù)為：1 ( n T )單位階躍函數(shù)的采樣函 1 n21 21 fff )( 解 (t)的Z變換，求 nT) (t(t)e(t) 想脈沖序列例2、設(shè)e(t)為理 T 0n T 24 1)z，這里( 1-z z z1 1 F ( z ) 1 時(shí)上式收斂。z當(dāng) z1zf ( n T )F ( z ) n T ) (t( t )( t )e 1 1 1 0n 0n nn 0n T * 解 形式一樣。 變式相同，則他們的若其離散化后的函數(shù)形函數(shù)離散化處理后 。因此，不同的連續(xù)( t ) 的Z 變換相等可見, 1 ( t ) 與 、例由例 T Z, 21 25 aT aT1aT 1at nnaT22aT1aT1aT 1aT nnaT22aT1aT 0n n anT e這里z, ez z ze1 1 F(z) 1,)zeF(z)(1 兩式相減得 zezezeF(z)ze z同乘e zezeze1zf(nT)F(z) ef(nT)(t)f 的Z 變換.e0 時(shí)f ( t )例、求t at 解： 26 2 、部分分式法 n 1i tp i tp i tp i i n 1i i i i i i ez zA F(z) ez zA 由上例可知其Z變換為 ,e對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為A ps A ps A F(s) :展開為部分分式的形式 )為有理函數(shù)，并可以拉普拉斯變換式F(s設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的 27 s i n t的z變換例：求f ( t ) 解： 12zcos Tz zsin T z(2cos T)z1 (sin T)z ze1 1 2j 1 ze1 1 2j 1 F(z) ze1 1 其Z 變換為,的原函數(shù)為e j s 1 j s 2j 1 j s 2j 1 s 變換為：F ( s )( t ) 它所對(duì)應(yīng)的拉氏 221 1 1j T1j T 1j T) j t 22 ( f 28 三、Z 變換的基本定理 線性定理、1 0I ii n 1i nn2211ii (z)Fa則F ( z ) (t)a(t)a(t)a(t)a(t)設(shè)：函數(shù)為 fffff 位移定理)2 、遲后定理：( 實(shí)數(shù) F ( z ) .zkT)f(tZ 則：z),為0 ，其z 變換為F (0 時(shí)連續(xù)函數(shù)f ( t )設(shè)在t k 3 、初值定理 。F(z)f(0) F ( z ) 存在，則并且變換為F ( z ) ,設(shè)：函數(shù)f ( t ) 的Z lim lim z z 29 終值定理：、4 1)F(z)-(z)F(z)z(1(nT)(t) ，則有：?jiǎn)挝粓@上和園外無極點(diǎn) 心的F ( z ) 在以原點(diǎn)為園)而且( 1z),( t ) 的Z 變換為F (設(shè)函數(shù) limlimlimlim 1z 1 1znt 1 ff zf )超前定理( 正偏移定理、5 F(z)zkT)(tZ 則超前定理可表示為0,1)T(k(T)(0)若滿足 (nT)zzF(z)zkT)(t則Z ,(nT)zF(z) ( t ) 的Z 變換為設(shè)函數(shù) k 1k 0n nkk 0n n f fff ff f f 30 復(fù)數(shù)偏移定理、6 )F ( z e( t ) e則Z z ) ,( t ) 的Z 變換為F (設(shè)函數(shù) aTat f f 卷積和定理、7 r(nT)ZR(z),g(nT)ZG(z),c(nT)Z其中C ( z ) R(z)G(z)C(z) 為：則卷積和定理可以表示 r(nT)g(nT)，c ( n T )正整數(shù)，當(dāng)n 為負(fù)數(shù)時(shí)0,1,2,式中n r(nT)n)T(kg設(shè)c ( k T ) k 0n 0 31 四、Z 反變換 ( t )fF ( z )Z Z 反變換可表示為 *1 1 、長(zhǎng)除法 nT) (tCT) (tC ( t )C(t)f 上式的Z 反變換為： zCzCzCCF ( z ) :用分母除分子可得 n,通常m zazaza1 zbzbzbb F ( z ) n10 * 0n n n 2 2 1 10 n n 2 2 1 1 m m 2 2 1 10 32 部分分式法、2 再展開為部分分式。 然后將F ( z ) 除以z ,通常都含有z ，因此先由于F ( z ) 在分子中 。試求其Z 反變換, )e)(z(z )ze(1F(z) 例：設(shè)z 變換函數(shù)為 aT1 aT 解： aT aTaT1 aT ez z 1z z F(z) ez 1 1z 1 )e)(z(z e1 z F(z) 33 。試求其Z 反變換, )e)(z(z )ze(1F(z) 例：設(shè)Z 變換函數(shù)為 aT1 aT 0n anT aT aTaT1 aT nT) (te(1(t)即： 函數(shù)為：查表知：其對(duì)應(yīng)的時(shí)間 ez z 1z z F(z) ez 1 1z 1 )e)(z(z e1 z F(z) f 解： 34 7.4脈沖傳遞函數(shù) 7.4.1脈沖傳遞函數(shù)定義 7.4.2脈沖傳遞函數(shù)求法 7.4.3開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 7.4.4閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 35 7.4.1脈沖傳遞函數(shù)定義 脈沖傳遞函數(shù)定義1、 遞函數(shù)。之比稱為系統(tǒng)的脈沖傳離散輸入信號(hào)的Z 變換 Z 變換與系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)的把初始條件為零情況下 R(z) C(z)G(z) 可包含的項(xiàng)數(shù)越少。遞函數(shù)G(z)的展開越快，則相應(yīng)的脈沖傳 t)衰減即其單位脈沖響應(yīng)g(系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快， Zg(nT)G(z)C(z) 若輸入為單位脈沖信號(hào) 0n n , 2、意義 36 7.4.2脈沖傳遞函數(shù)求法 脈沖傳遞函數(shù)：求差分方程已知1、 n 1i i i m 0j k j n 1i m 0j j j i i n 1i m 0j ji za1 zb R(z) C(z) G(z) zR(z)bC(z)zaC(z) 定理，可得： 應(yīng)用Z變換的實(shí)數(shù)位移對(duì)上式進(jìn)行Z變換，并，零初始條件下在 ,j)T(nrbi)T(ncac(nT) ：為的差分方程描述線性定常離散系統(tǒng)如果已知 37 ( z )2 、已知G ( s ) 求G 式展開，然后查表。把G ( s ) 進(jìn)行部分分 由G ( s ) 直接查表 7.4.3開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 樣器1 、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采 R(z) G1(s) C(z) K1 K2 G2(s) R(s) X(z) C(s) G(z) X(s) K3 G1(z) G2(z) 38 R(z)(z)G(z)GX(z)(z)GC(z) C(z）(z)GX(z) R(z)(z)GX(z) 212 2 1 ( z )G( z )GR ( z )C ( z )G ( z ) 21 樣器。2 、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采 G1(s) R(z) C(z) K1 K 2 G2(s) R(s) C(s) G(z) X(s) 39 ( z ) .GG( s )( s ) GGZR ( z )C ( z )G ( z ) 2121 ( z )( z ) GG( z )G通常G 2121 函數(shù)求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞, as a(s)G, s 1(s)G 中，圖兩例：設(shè)在上面 21 解： aT z 21 ez a 1z z(z)G(z)GG(z)，中前圖 )e1)(z(z )ez(1a)s(s aZ(s)G(s)GZG(z)，圖中后 aTaT21 40 。開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)3 、有零階保持器時(shí)的 Gh(s) R(z) C(z) K1 Gp(s) R(s) C(s) K3 s e1)s(G sT h R(z) K1 R(s) 1 sTe + - C(z) C(s) K3 s )s(Gp 41 R(z) s (s)G ZzR(z) s (s)G ZC(z) (s)R s (s)G )e(1C(s) p1p *psT s (s)GZ)z(1 R(z) C(z)G(z) p1 42 7.4.4閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 。接影響其脈沖傳遞函數(shù)采樣器的設(shè)置位置將直 G (s) E (z) C(z) K1 H(s) R(s) C(s) K3 E(s) - B(z) R(z) 1、閉環(huán)脈沖傳函 43 R ( z ) H G ( z )1 G ( z ) C ( z )R ( z ) ; H G ( z )1 1 E ( z ) ：上面兩式取Z 變換后得 (s)R (s)HG1 (s)G (s)E(s)G(s)EG ( s )(s)C (s)HG1 (s)R (s)E (s)( s ) EHG(s)R(s)E 對(duì)上式作離散化處理： (s)EH ( s ) G ( s )R ( s )E ( s ) 。H ( s ) C ( s )R ( s )E ( s ) G ( s )(s)EC ( s ) * * * * * * * * * * * * 44 HG(z)1 G(z) R(z) C(z) (z) 為：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) HG(z)1 1 R(z) E(z) (z) 誤差脈沖傳遞函數(shù)： e , 征方程2 、閉環(huán)離散系統(tǒng)的特 0G H ( z )1D ( z ) (s)Z(z), (s)Z (z)即 ( s ) 求Z 變換得來。函數(shù)不能從 (s)和閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞 ee e 注 意 45 傳遞函數(shù).控制器采樣系統(tǒng)的脈沖求如圖結(jié)構(gòu)的離散數(shù)字：例 D (s) E*(s) K1 H(s) R(s) C(s) K3 E(s) - R*(s) G (s) X(s) X*(s) C*(s) B*(s) 解： C(s)H(s)(s)R(s)E (s)D(s)EX(s) (s)G(s)XC(s) * * * D(z)GH(z)1 D(z)G(z) R(z) C(z) R(z) GH(z)D(z)1 D(z)G(z) C(z) (s)R H(s)G(s)(s)D1 (s)G(s)D (s)C * * * * 46 7.5離散系統(tǒng)的 z域分析法 7.5.1 z平面與 s平面的映射關(guān)系 7.5.2 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 7.5.3 極點(diǎn)分布與暫態(tài)特性的關(guān)系 7.5.4 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 7.5.5 離散系統(tǒng)的頻域分析法 47 7.5.1 z平面與 s平面的映射關(guān)系 、基本關(guān)系1 樣時(shí)間采T為e：z復(fù)變量z 與s 的關(guān)系為 Ts 、分析2 平面的單位圓平面的虛軸對(duì)應(yīng)s z 單位園外 平面的平面的右半面對(duì)應(yīng)平面的單位園內(nèi)，平面的左半面對(duì)應(yīng) zszs 48 j 0 Tj Tj T2j T2j S j 1 Tj Tj Z zs Tsez 49 n21 ,其特征根為： 0;GH(z)1 式為：該采樣系統(tǒng)的特征方程 樣器)( 只在e ( t ) 后有采 GH(z)1 G(z) R(z) C(z) 為：若系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 1。的模 閉環(huán)特征根的單位園之內(nèi)，即要求z 平面上以原點(diǎn)為園心 極點(diǎn)) 均位于即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的系統(tǒng)特征方程所有根( i 分和必要條件是：閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充 7.5.2 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定的充要條件： 50 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 據(jù)能直接應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判對(duì)于線性采樣系統(tǒng)，不 新坐標(biāo)系的虛軸。 射為z 平面上的單位園，映 ，使必須采用一種變換方法 變換。雙線性變換，又稱為w 1z 1z則w 1w 1w設(shè)z 51 j 1 z j 0 w wz 1z 1zw 52 值范圍。統(tǒng)穩(wěn)定的k0.25s，求能使系采樣周期T1,H(s) , 4)s(s k )圖如下，其中：G(s例：設(shè)采樣系統(tǒng)的方框 1 1 G (s) E (z) C(z) K1 H(s) R(s) C(s) K3 E(s) - B(z) R(z) 53 0)0.158K(2.7361.264ww0.158K 0 1w 1w 0.158K0.368) 1w 1w (1) 1w 1w ( 0.25sT, 1w 1w 令z 0)ze(1 4 K )e1)(z(zG(z)1 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為： )e1)(z(z )ze(1 4 K ) 4s 1 s 1 ( 4 K Z 4)s(s K ZG(z) 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為： 1 2 1 1 4T14T 4T 4T 111 解： 54 1 7 . 3 之間。應(yīng)在0增益范圍是：K系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán) 17.3K，即00.158K有2 . 7 3 6為使系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須 0.158K2.736w 01.64w 0.158K2.7360.158w 使用勞斯判據(jù)： 1 11 1 0 1 1 2 穩(wěn)定的。時(shí)，采樣系統(tǒng)會(huì)變?yōu)椴?大超過一定程度器之后，當(dāng)系統(tǒng)增益增然而在系統(tǒng)中加了采樣 統(tǒng)總是穩(wěn)定的，可知，二階線性連續(xù)系從線性連續(xù)系統(tǒng)的理論 性會(huì)得到改善.率增高時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定一般情況下，當(dāng)采樣頻 也不絕對(duì). 定性不利，但下加入采樣器對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)應(yīng)當(dāng)指出，在許多情況 注 意 55 7.5.3 極點(diǎn)分布與暫態(tài)特性的關(guān)系 離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)、一 性能的影響采樣器和保持器對(duì)動(dòng)態(tài) 的零點(diǎn)。影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 點(diǎn)，僅開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極采樣器和保持器不影響 。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)影響 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。采樣器和保持器會(huì)影響 保持器時(shí)動(dòng)態(tài)性能( 3 ) 既有采樣器又有 ( 2 ) 只有采樣器， 器，( 1 ) 無采樣器及保持 試討論該系統(tǒng)在，l(s)Tl(t),已知：r ( t )，例：如圖 56 K1 R(s) C(s) - se Ts1 )1s(s k 。時(shí)，該系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)既無采樣器又無保持器 解： )60sin(0.866t1.154e1 cos )t1sin( e 1 1 1c(t) 故其單位階躍響應(yīng)為：10.5 1ss 1 (s) 0.5t 2 n nt 2 n 2 ar c 57 保持器只有采樣器而沒有零階 54 321 23 2 2 1.01z1.117z 1.207z1.097z0.632z上式C(z) 級(jí)數(shù)展開法冪應(yīng)用 0.3681.104z1.736zz 0.632z R(z) (z)C(z) 1z z 而系統(tǒng)輸入R(z) , 0.3680.736zz 0.632z G(z)1 G(z) (z) 則閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)： 0.368)1)(z(z 0.632z 1)s(s 1 ZG(z) 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為： 1.117C(4T) 1.207C(3T) 1.097C(2T) 0.632C(T) 0C(0) 58 時(shí)既有采樣器又有保持器 54321 23 2 2 2 T T 2 p1 Ts 1.147z1.399z1.399zz0.368z 0.6321.632z2zz 0.264z0.368z R(z) (z)C(z) 0.632zz 0.2640.368z G(z)1 G(z) (z) 0.3681.368zz 0.2640.368z )e1)(z(z )ze(1 1)(z Tz G(z) s (s)G Z)z(1 s e1 1)s(s 1 ZG(z) 1.474C(5T) 1.399C(4T) 1.399C(3T) 1C(2T) 0.368C(T) 0C(0) 59 連續(xù)系統(tǒng) 離散系統(tǒng)（無保持器） 離散系統(tǒng)（有保持器） 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 2 3 6 4 5 7 13 9 11 10 8 12 t 1 c(t) 60 振蕩次數(shù)增加。調(diào)解時(shí)間加長(zhǎng)，超調(diào)、零階保持器使系統(tǒng)峰值 性。反而會(huì)提高系統(tǒng)的穩(wěn)定但在大遲后的系統(tǒng)中， 增大，故穩(wěn)定性降低，時(shí)間略有減小，但超調(diào)可見采樣器使峰值調(diào)節(jié) 1.50.50.5振蕩次數(shù) 40.020.716.3超調(diào)量 1255.3調(diào)節(jié)時(shí)間( s ) 433.6峰值時(shí)間( s ) 器)離散( 有采樣器和保持離散( 只有采樣器)連續(xù)系統(tǒng) 系統(tǒng)性能指標(biāo)為： 61 應(yīng)的關(guān)系：二、閉環(huán)極點(diǎn)與動(dòng)態(tài)響 n 1k k k n 1k k k ki n 1k k m 1i i o o n 1n 1 n 0 m 1m 1 m 0 Pz zC 1z z D(1) M(1) C(z) pz C 1z 1 D(1) M(1) z C(z) 展成部分分式： 1z z D(z) M(z) R(z) (z)C(z) l(t)時(shí)，當(dāng)輸入為r ( t ) 。它們均不相等而且為極點(diǎn)，P為零點(diǎn),其中Zn),設(shè)(m )P(z )z(z a b azaza bzbzb D(Z) M(z) (z) ：設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 62 以下幾種情況討論：的取值，分P根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn) k 穩(wěn)態(tài) 1 時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為0D(1)M(1)為穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng),D(1)M(1) 暫態(tài) 以下幾種情況討論：的取值，分P根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn) k 為正實(shí)軸上的單極點(diǎn)a.P k ）lnp T 1 令a這里，(eCPC(nT)C pz zC Z(t)c:瞬態(tài)分量為為正實(shí)數(shù)。它所對(duì)應(yīng)的設(shè)P k anT k n kkk k k1- k * k 時(shí)為負(fù)實(shí)軸上的單調(diào)極點(diǎn)b . 當(dāng)P k 63 1 -1 j n n 1 n n n n 1 Z平面 64 數(shù)極點(diǎn)時(shí)c . 當(dāng)P 為閉環(huán)共軛復(fù) 1 -1 j Z平面 n 1 n n 65 態(tài)過程性能不好。衰減交替變號(hào)脈沖，動(dòng) ，輸出脈沖為平面上左邊單位園內(nèi)時(shí)當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于 振蕩形態(tài)。極點(diǎn)時(shí)，輸出呈現(xiàn)周期當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù) 態(tài)；點(diǎn)時(shí)，輸出呈現(xiàn)單調(diào)形當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)為純實(shí)數(shù)極 沖形態(tài)。外時(shí)，輸出呈現(xiàn)發(fā)散脈當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位園 沖形態(tài)；上時(shí)，輸出呈現(xiàn)等幅脈當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位園 沖形態(tài)；內(nèi)時(shí)，輸出呈現(xiàn)衰減脈當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位園 z 近原點(diǎn)處。半單位園內(nèi)，且盡量靠 平面的右把閉環(huán)極點(diǎn)安置在在離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng) z 小結(jié) 66 的z變換。 函數(shù)輸入信號(hào)r(t)采樣:z)(t)的z變換；R(采樣誤差信號(hào)e:E(z) R(z) G(z)1 E(z) 變換為：z其誤差1,H(s)假設(shè) * 1 統(tǒng)的跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差變換的終值定理求解系、利用1 z 7.5.4 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 G (s) E (z) C(z) K1 H(s) R(s) C(s) K3 E(s) - B(z) R(z) 67 ) E ( z )z(1(t)ee 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值：離散 z 變換的終值定理設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù) 1 1z sr t sr l i ml i m 差離散系統(tǒng)的跟蹤穩(wěn)態(tài)誤典型輸入信號(hào)下、2 ）1 ( t ) 時(shí)r ( t )（數(shù)輸入信號(hào)為單位階躍函 。離散系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn) 作為劃分?jǐn)?shù)重1 的極點(diǎn)( z ) 具有z把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G 型別階保持器不影響的系統(tǒng)零 68 系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。G ( z )1k k 1 G ( z )1 1 e將R ( z ) 代入式得： 1z z R ( z ) l i m l i m 1z p p1z sr 0e,1 的極點(diǎn)，這時(shí)，k具有一個(gè)z )個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，G ( z，即G ( s ) 中包含一當(dāng)采樣系統(tǒng)為1 型系統(tǒng) srp ）t時(shí)r ( t )（號(hào)輸入信號(hào)為單位斜坡信 vsr 1z v v sr k0,e當(dāng)系統(tǒng)為2 型系統(tǒng)時(shí)， 速度誤差系數(shù)。1 ) G ( z )(zk， k Te l i m 69 ）t21r ( t )（信號(hào)。輸入信號(hào)為單位拋物線 2 為加速誤差系數(shù)G ( z )1)(zk，kTe 2 1z a a 2 sr l i m 小結(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)類型、系統(tǒng)的型、采樣時(shí) 間及開環(huán)增益有關(guān)； 系統(tǒng)的型越高，跟蹤能力越強(qiáng)。 70 7.5.5 離散系統(tǒng)的頻域分析法 中來。 性采樣系統(tǒng)據(jù)的基本結(jié)論推廣到線可以把乃奎斯特穩(wěn)定判 0)G(j 1 為虛擬頻率。上式就為其中 ,j 若令復(fù)變量w 0G(w)代入上式：1 w1 w1 令z 0G(z)1 統(tǒng)的特征方程：設(shè)已知單位反饋采樣系 w ww 。仍使用雙線性變換 71 定性.試用伯德圖分析閉環(huán)穩(wěn) 0 . 3 6 8 )1 ) ( z(z z 2 . 5 2 8G ( z ) 脈沖傳遞函數(shù)為：例：設(shè)圖中所示的開環(huán) G (s) E (z) C(z) K1 R(s) C(s) K3 E(s) - B(z) R(z) 72 22且該系統(tǒng)穩(wěn)定，作圖并應(yīng)用頻率判據(jù)得 )2.165j (1j )j )(1j 2(1 )G(j 擬頻率特性為代入上式，可得開環(huán)虛j 令w 2.165w)w(1 w)w)(12(1 G(w) 得：代入G(z), w1 w1 令z ww ww w w 解： 73 -180 -90 L() () 20 74 7.8離散系統(tǒng)的綜合 7.8.1數(shù)字控制器 7.8.2最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì) 7.8.3無紋波最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì) 75 7.8.1數(shù)字控制器 R(z) G (s) E (z) C(z) T H(s) R(s) C(s) T E(s) - B(z) D (s) T M(z) ?？汕蟪鯠(z)就G(z)、(z) 或G(z)、若已知 (z)， R(z) E(z) D(z)G(z)1 1 (z) 誤差脈沖傳遞函數(shù)： R(z) C(z) D(z)G(z)1 G(z)D(z) (z) 為：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) e e 76 ） (z)1(z)顯然( (z)G(z) (z)1 ）D(z或者： (z)1G(z) (z) D(z) e e e 7.8.2最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì) 誤差的離散系統(tǒng)。且在采樣時(shí)刻上無穩(wěn)態(tài)，拍結(jié)束響應(yīng)過程 以有限在典型輸入作用下，能所謂最少拍系統(tǒng)，是指 的定義：系統(tǒng)1 、最少拍 77 函數(shù)的特點(diǎn)、最少拍系統(tǒng)脈沖傳遞2 拍系統(tǒng))即為有限拍系統(tǒng)(最少即只有n項(xiàng)，則此系統(tǒng) ,zdzdzdd輸出：c(z) 時(shí) za bb1zzb (z) 0時(shí)，即aa而當(dāng)前面表達(dá)式中a 統(tǒng)。 非最少拍系過程為無限長(zhǎng)，它屬于這表明系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) zgzgc(z) :項(xiàng)窮多)可以展成無c出，輸在單位脈沖信號(hào)作用下 nm; azaza bmzbzb (z) n n 2 2 1 10 n 0 m1mm 0 n21 1nm 2 nm 1 n 1n 1 n 0 1m 1 m 0 z( 78 原理3 、最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì) ).的脈沖傳遞函數(shù)D( z 的數(shù)學(xué)控制器目的，從而確定所需要為0 ，達(dá)到完全跟蹤的 時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差能使輸出序列在各采樣經(jīng)最少采樣周期后, 型輸入作用下， ( z ) ，使系統(tǒng)在典選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) ；) 無遲延且穩(wěn)定中廣義被控對(duì)象G( z假設(shè)圖 最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則 79 31 112 2 21 1 11 )z(1 )z(1zT 2 1 t 2 1 單位加速度信號(hào)：Z )z(1 Tz t單位斜坡信號(hào)：Z )z(1 1 l(t)單位階躍信號(hào)：Z m1 )z(1 A ( z )( z )它們的一般形式為：R 為常見的典型輸入z 變換 80 (z) )z(1 A(z) )z(1E(z)z(1 由Z 變換的終值定理： )z(1 A(z)(z) R(z)(z)E(z) em1 1 1z 1 1z m1 e e limlim)e( t 面的原點(diǎn)處。全部極點(diǎn)均應(yīng)位于z 平上式說明， (z)的 0)時(shí)可使e ()z(1(z)即當(dāng) )z(1(z)1.取F ( z ) ( z ) 最簡(jiǎn)單，可) 因子的多項(xiàng)式. 為使z1式中F ( z ) 為不含( F(z)z(1(z)的因子. 即： )z( z ) 中必須包含( 1 :) 為零的條件是使e ( m1 e m1 e e 1 m1 e m1 e , ) 的表達(dá)式穩(wěn)態(tài)誤差e ( 81 拍內(nèi)降為0.的e(nT)則在最少拍，且E(z)所對(duì)應(yīng) A(z)為有限A(z) )z(1 )z(1 )z(1 A(z)(z)這樣E(z) m1 m1 m1 e 的設(shè)計(jì)控制器字最少拍系統(tǒng)數(shù) 3T 2T T ts t 1(t) D(z) (z) e(z) r(t) 1z1 1z )z(G)z1( z 1 1 21 )z1( 21 zz2 )z(G)z1( )z2(z 21 11 2t 2 1 31 )z1( 3 21 z z3z3 )z(G)z1( )zz33(z 31 211 82 小結(jié) 其動(dòng)態(tài)過程均為二拍。輸入作用下 系統(tǒng)，在各種典型斜坡輸入設(shè)計(jì)的最少拍從快速性而言，按單位 , 。為常量 時(shí)刻上的穩(wěn)態(tài)誤差單位加速度輸入，采樣刻均無穩(wěn)態(tài)誤差，但對(duì) 坡輸入，在采樣時(shí)單位階躍輸入和單位斜從準(zhǔn)確性而言，系統(tǒng)對(duì) 2T 拍系統(tǒng)，適應(yīng)性較差。 型輸入設(shè)計(jì)的最少的超調(diào)量，故按某種典性能較差，有百分之百 單位階躍輸入響應(yīng)此而設(shè)計(jì)的，但系統(tǒng)對(duì)因?yàn)橄到y(tǒng)本身就是針對(duì) 應(yīng)性能較好，這是對(duì)單位斜坡輸入下的響從動(dòng)態(tài)性能而言，系統(tǒng) 用。只有理論意義，并不實(shí)少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法， 械磨損，故上述最波，從而增加系統(tǒng)的機(jī)采樣時(shí)刻一般均存在紋 入穩(wěn)態(tài)以后，在非典型輸入作用下系統(tǒng)進(jìn)從平穩(wěn)性而言，在各種