2019-2020年高三四模（5月） 數(shù)學(xué) 含答案.doc

2019-2020年高三四模（5月） 數(shù)學(xué) 含答案一、填空題：(共14題，總分70分)1已知集合，則等于 2已知虛數(shù)滿足，則 3對(duì)一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，樣本容量為400，右圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間25，30)的為一等品，在區(qū)間20，25)和30，35)的為二等品，其余均為三等品則樣本中三等品的件數(shù)為 10152025304035（第3題）0.01250.05000.06250.02500.0375長度/毫米4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”是“雙曲線的漸近線方程為”成立的 條件(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一種)5. 下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的的值是 。6如果實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則的最小值等于 7. 為強(qiáng)化安全意識(shí)，某校擬在周一至周五的五天中隨機(jī)選擇2天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好為連續(xù)2天的概率是 8 設(shè)，為三條不同的直線，給出如下兩個(gè)命題： 若，則；若，則 試類比以上某個(gè)命題，寫出一個(gè)正確的命題：設(shè)，為三個(gè)不同的平面， 9.若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，k稱為公比和已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，則 10函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為 11已知，則的值為 12如果將直線：向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得直線與圓：相切，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為 13已知點(diǎn)為的重心，且，則的值為 14若冪函數(shù)(a)及其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性一致(同為增函數(shù)或同為減函數(shù))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，A3C.(1) 求cosC的值；(2) 求sinB的值；(3) 若b3，求ABC的面積16. (本小題滿分14分)如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B平面AA1C1C，D、E分別為A1B1、C1C的中點(diǎn)求證：(1) BC1平面AB1C；(2) DE平面AB1C.17.(本小題滿分14分)如圖，某水域的兩直線型岸邊l1，l2 成定角120o，在該水域中位于該角角平分線上且與頂點(diǎn)A相距1公里的D處有一固定樁現(xiàn)某漁民準(zhǔn)備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC（B，C分別在l1和l2上），圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū)，且AB和AC都不超過5公里設(shè)ABx公里，ACy公里 （1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；（2）該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)？18（本題滿分16分） 定義：如果一個(gè)菱形的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)橢圓上，那么該菱形叫做這個(gè)橢圓的內(nèi)接菱形，且該菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)為這個(gè)橢圓的中心如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為（1）求中菱形的最小的面積；（2）是否存在定圓與中的菱形都相切?若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，求這條邊所在的直線的方程19（本題滿分16分） 設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， 其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （1）求，的表達(dá)式； （2）設(shè)，證明：.20. 己知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列（1）若（nN*），求證：為等比數(shù)列；（2）設(shè)（nN*），其中是公差為2的整數(shù)項(xiàng)數(shù)列，若，且當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列使得是等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列滿足：對(duì)任意，N*,或者恒成立或者存在正常數(shù)，使恒成立，求證：數(shù)列為等差數(shù)列附加題1. （本小題滿分10分）已知矩陣（1）求；（2）滿足AX=二階矩陣X2. （本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），且曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線的普通方程；（2）若是曲線上的兩點(diǎn)，求的值3、（本小題滿分10分）某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為和(1)(1) 如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用X表示投資收益(收益回收資金投資資金)，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(2) 若10萬元資金投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求的取值范圍4（本小題滿分10分）設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)（1）證明：；（2）結(jié)合等式“”證明： 江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三數(shù)學(xué)五月質(zhì)量檢測參考答案一、填空題：(共14題，總分70分)1已知集合，則等于 12已知虛數(shù)滿足，則 23 對(duì)一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，樣本容量為400，右圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間25，30)的為一等品，在區(qū)間20，25)和30，35)的為二等品，其余均為三等品則樣本中三等品的件數(shù)為 3. 【答案】100 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”是“雙曲線的漸近線方程為”成立的 條件(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一種)4.【答案】充分非必要5. 下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的的值是 5.596如果實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則的最小值等于 6. 7. 為強(qiáng)化安全意識(shí)，某校擬在周一至周五的五天中隨機(jī)選擇2天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好為連續(xù)2天的概率是 來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K7. 8 設(shè)，為三條不同的直線，給出如下兩個(gè)命題： 若，則；若，則 試類比以上某個(gè)命題，寫出一個(gè)正確的命題：設(shè)，為三個(gè)不同的平面， 8.若，則9.若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，k稱為公比和已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，則 9.10函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為 10.答案：8 方程即，令，這兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間內(nèi)共有8個(gè)零點(diǎn)，從左往右記為，則，故所有零點(diǎn)和為811已知，則的值為 11.【解析】 12如果將直線：向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得直線與圓：相切，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為 12.易得直線：，即，圓：的圓心到直線：的距離，解得或13如圖，點(diǎn)為的重心，且，則的值為 13.以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則， 設(shè)，則， 因?yàn)镺AOB，所以，從而， 化簡得， 所以14若冪函數(shù)(a)及其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性一致(同為增函數(shù)或同為減函數(shù))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 14【答案】【解析】易得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上得，二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，A3C.(1) 求cosC的值；(2) 求sinB的值；(3) 若b3，求ABC的面積15. 解：(1) 因?yàn)锳BC，A3C，所以B2C.(2分)又由正弦定理，得，化簡，得cosC.(5分)(2) 因?yàn)镃(0，)，所以sinC.所以sinBsin2C2sinCcosC2××.(8分)(3) 因?yàn)锽2C，所以cosBcos2C2cos2C12×1.(10分)因?yàn)锳BC，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC××.(12分)因?yàn)椋琤3，所以c.所以ABC的面積SbcsinA×3××.(14分)16. (本小題滿分14分)如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B平面AA1C1C，D、E分別為A1B1、C1C的中點(diǎn)求證：(1) BC1平面AB1C；(2) DE平面AB1C. 16. 證明：(1) 四邊形AA1C1C為矩形， ACC1C.(1分)又平面CC1B1B平面AA1C1C，平面CC1B1B平面AA1C1CCC1， AC平面CC1B1B.(3分) C1B平面CC1B1B, ACC1B.(4分)又四邊形CC1B1B為菱形， B1CBC1.(5分) B1CACC，AC平面AB1C, B1C平面AB1C， BC1平面AB1C.(7分)(2) 取AA1的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF. 四邊形AA1C1C為矩形，E，F(xiàn)分別為C1C，AA1的中點(diǎn)， EFAC.又EF平面AB1C，AC平面AB1C， EF平面AB1C.(9分) D，F(xiàn)分別為邊A1B1，AA1的中點(diǎn)， DFAB1.又DF平面AB1C，AB1平面AB1C， DF平面AB1C. EFDFF，EF平面DEF，DF平面DEF， 平面DEF平面AB1C.(12分) DE平面DEF, DE平面AB1C.(14分)17.(本小題滿分14分)如圖，某水域的兩直線型岸邊l1，l2 成定角120o，在該水域中位于該角角平分線上且與頂點(diǎn)A相距1公里的D處有一固定樁現(xiàn)某漁民準(zhǔn)備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC（B，C分別在l1和l2上），圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū)，且AB和AC都不超過5公里設(shè)ABx公里，ACy公里 （1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；（2）該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)？ 試題解析：解：(1)由SABDSACDSABC得xsin60ºysin60ºxysin120º 2分所以x+y=xy，所以y 4分又0y5，0x5，所以x5 所以定義域?yàn)閤|x5 6分 18（本題滿分16分） 定義：如果一個(gè)菱形的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)橢圓上，那么該菱形叫做這個(gè)橢圓的內(nèi)接菱形，且該菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)為這個(gè)橢圓的中心如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為（1）求中菱形的最小的面積；（2）是否存在定圓與中的菱形都相切?若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，求這條邊所在的直線的方程 18.解：（1）如圖，設(shè)， 當(dāng)菱形的對(duì)角線在坐標(biāo)軸上時(shí)，其面積為； 當(dāng)菱形的對(duì)角線不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)直線的方程為：， 則直線的方程為：， 又橢圓， 由得， 從而， 同理可得，（3分） 所以菱形的面積為 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立), 綜上得，菱形的最小面積為；（6分）（2）存在定圓與中菱形的都相切，設(shè)原點(diǎn)到菱形任一邊的距離為，下證：， 證明：由(1)知，當(dāng)菱形的對(duì)角線在坐標(biāo)軸上時(shí)， 當(dāng)菱形的對(duì)角線不在坐標(biāo)軸上時(shí)， ，即得， 綜上，存在定圓與中的菱形都相切；（12分）（3）設(shè)直線的方程為，即， 則點(diǎn)到直線的距離為， 解得， 所以直線的方程為（16分）19（本題滿分16分） 設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， 其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （1）求，的表達(dá)式； （2）設(shè)，證明：. 解：（1）由得， 因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)， 所以， 從而，(4分) （2）當(dāng)時(shí)， 所以，.(6分) 由（1）得，(8分) 當(dāng)時(shí)， ， 設(shè)函數(shù)，(10分) 則，(12分) 若，則，故為上增函數(shù)， 所以， 若，則，故為上減函數(shù)， 所以， 綜上知，.（16分）20. 己知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列（1）若（nN*），求證：為等比數(shù)列；（2）設(shè)（nN*），其中是公差為2的整數(shù)項(xiàng)數(shù)列，若，且當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列使得是等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列滿足：對(duì)任意，N*,或者恒成立或者存在正常數(shù)，使恒成立，求證：數(shù)列為等差數(shù)列（1）證明：，設(shè)公差為且，公比為，=常數(shù)，為等比數(shù)列3分（2）由題意得：對(duì)恒成立且對(duì)恒成立，5分 對(duì)恒成立 7分對(duì)恒成立 9分而或或. 10分（3）證明：設(shè)不妨設(shè)，即. 13分若，滿足，若，則對(duì)任給正數(shù)M，則取內(nèi)的正整數(shù)時(shí)，與矛盾.若，則對(duì)任給正數(shù)T=，則取內(nèi)的正整數(shù)時(shí)=，與矛盾.，而是等差數(shù)列，設(shè)公差為，為定值，為等差數(shù)列. 16分附加題答案 1.已知矩陣（1）求；（2）滿足AX=二階矩陣X1.解：(1) 4分 (2) 10分2.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），且曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線的普通方程；（2）若是曲線上的兩點(diǎn)，求的值(1) (2) 3、某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為和(1)(1) 如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用X表示投資收益(收益回收資金投資資金)，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(2) 若10萬元資金投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求的取值范圍3. 解：(1) 依題意，X的可能取值為1，0，1，(2分)X的分布列為X101P (4分)E(X)1×1×.(5分)(2) 設(shè)Y表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益，則Y的分布列為Y22P (8分) E(Y)2242，依題意要求42， 1.(10分)23（本小題滿分10分）設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)（1）證明：；（2）結(jié)合等式“”證明： 證明：（1）當(dāng)時(shí)，即證； 假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立， 則當(dāng)時(shí)， ， 故命題對(duì)時(shí)也成立， 由得，；（5分） （2）由（1）知， 其實(shí)部為； ， 其實(shí)部為， 根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部也相等可得： （10分）