畫法幾何制圖-平面的投影及相對(duì)位置.ppt

小結(jié),一、各種位置直線的投影特性(三大類七種位置直線), 投影面平行線（一斜兩平行）水平線、正平線、側(cè)平線 在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。, 投影面垂直線（一點(diǎn)兩垂直）鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。, 一般位置直線（三斜無(wú)實(shí)長(zhǎng)）三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。,二、直線上的點(diǎn), 從屬性：點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。, 定比性：點(diǎn)分線段之比在投影中不變。 AB:CB=ac:cb=a”c”:c”b”,三、兩直線的相對(duì)位置, 平行, 相交, 交叉,同面投影互相平行(注意投影面平行線)。,同面投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合點(diǎn)的投影特性。,同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合點(diǎn)的投影特性。所謂“交點(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。,四、相互垂直的兩直線的投影特性, 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。, 兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。, 兩直線均為一般位置直線時(shí)，在三個(gè)投影面上的投影都不反映直角。,直角投影定理,即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。,1.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),兩平行直線,兩相交直線*,平面圖形,1、用幾何元素表示平面,直線及線外一點(diǎn),2.跡線表示法 空間平面與投影面的交線叫平面的跡線。 平面P與H面的交線為水平跡線PH，與V面的交線為正面跡線PV，與W面的交線為側(cè)面跡線PW。,a.一般位置平面的跡線表示法,b.特殊位置平面的跡線表示法,實(shí)形性,類似性,積聚性, 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性,二、平面的投影,平面/投影面 投影反映實(shí)形面,平面投影面 投影積聚成直線,平面投影面 投影類似原平面, 各種位置平面的投影(三類七種情況),投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面,平行于某一投影面， 垂直于另兩個(gè)投影面,與三個(gè)投影面都傾斜,鉛垂面,投影特性： 1. abc積聚為一條線， 與OX、 OYH的夾角反映、角； 2 .abc、 abc為ABC的類似形；,1） 投影面垂直面的投影,正垂面,投影特性： 1. abc 積聚為一條線，與OX、 OZ的夾角反映、 角； 2.abc、abc為 ABC的類似形。,側(cè)垂面,投影特性： 1、 abc積聚為一條線， 與OYW 、 OZ 的夾角反映、角； 2 、 abc、 abc為 ABC的類似形。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,2.另兩個(gè)投影面上的投影有類似性。,是什么位置的平面？,投影特征：一斜兩類似,水平面,投影特性： 1.abc/OX、 abc/OYW，分別積聚為直線; 2 .水平投影abc反映 ABC實(shí)形。,2） 投影面平行面的投影,正平面,投影特性： 1.abc/OX 、 abc /OZ，分別積聚為直線； 2 .正面投影abc反映 ABC實(shí)形。,投影特性： 1.abc/OYY、 abc /OZ，分別積聚為直線； 2.側(cè)平面投影abc 反映 ABC實(shí)形。,側(cè)平面,積聚性,積聚性,實(shí)形性,水平面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。,2.另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。,投影特征：兩線一實(shí)形,一般位置平面,投影特性 1. abc 、 abc 、 abc 均為 ABC的類似形； 2.不反映、 的真實(shí)角度。,3） 一般位置平面的投影（三類似）,例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過(guò)直線AB的正垂面P；過(guò)點(diǎn)C的正平面Q；過(guò)直線DE的水平面R。,a,b,a,b,投影面平行面:兩線一實(shí)形 投影面垂直面:一斜兩類似,平面上取任意直線,三、平面上的直線和點(diǎn),a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一,解法二,根據(jù)定理二,根據(jù)定理一,有無(wú)數(shù)解。,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！, 平面上取點(diǎn),若點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則此點(diǎn)一定在該平面上。,即：點(diǎn)在線上，則點(diǎn)在面上。,先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。,例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,面上取點(diǎn)的方法：,首先面上取線,利用平面的積聚性求解,通過(guò)在面內(nèi)作輔助線(細(xì)實(shí)線)求解,例2 已知ABC給定一平面,試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。,e,e,點(diǎn)D不屬于平面ABC,e,e,點(diǎn)D屬于平面ABC,例3：作出三角形ABC平面內(nèi)三角形DEF的水平投影。,d,e,求線先找兩已知點(diǎn)， 求點(diǎn)先找已知線。,a,a,b,c,c,b,f,e,f,d,1,2,1,2,k,b,例4：AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,找點(diǎn)B先求線DB，求線DB先找點(diǎn)K。,利用平行四邊形對(duì)邊平行,例5：判斷點(diǎn)K是否在平面上（另判斷四點(diǎn)是否在同一平面*）,點(diǎn)在面上,點(diǎn)不在面上(*),點(diǎn)不在面上,例6：已知平面ABCD的邊BC/H面，完成其正面投影。,b,c,1,1,a,d,a,b,c,d,BC為水平線bc/OX,分析：根據(jù)ad想辦法求bc,a,b,c,b,a,c,例7 已知ABC 給定一平面，試過(guò)點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過(guò)點(diǎn)A作屬于該平面 的水平線。,m,n,n,m,正平線上的點(diǎn)Y坐標(biāo)相同，水平線上的點(diǎn)Z坐標(biāo)相同，交點(diǎn)K是既滿足Y坐標(biāo)又滿足Z坐標(biāo)的點(diǎn)。,k,k,k,1,2,1,k,例8：在ABC內(nèi)確定K點(diǎn)，使K點(diǎn)距H面為18mm，距V面為15mm.,分別畫出： 1.距H面18mm的水平線（Z相同=18）。 2.距V面15mm的正平線（Y相同=15）。 3.兩條線的交點(diǎn)滿足K點(diǎn)的條件。,2,例9：在平面ABC上取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K在點(diǎn)A之下15mm（Z）、在點(diǎn)A之前20mm處（Y）。（思考題）,K在點(diǎn)A之下15mm的水平線上,K在點(diǎn)A之前20mm的正平線上,四、 圓的投影,圓的投影特性：,1、圓平面在所平行投影面上的投影反映實(shí)形；(實(shí)形性),2、圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線，其長(zhǎng)度等于圓的直徑；(積聚性),3、圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓。其長(zhǎng)軸是圓的平行于這個(gè)投影面的直徑AB的投影（ab）；短軸是與上述直徑垂直的直徑DE的投影(de)。(類似性)本節(jié)到此,橢圓的近似畫法(四心法)：,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,橢圓的畫法,一節(jié)到此,1.CF=CE=OA-OC,O,2.作AF的中垂線,與兩軸交得1.2兩點(diǎn)，取對(duì)稱點(diǎn)3.4。,3.分別以1.2.3.4點(diǎn)為圓心，1A.3B.2C.4D為半徑作弧，拼成近似橢圓。,四、相互垂直的兩直線的投影特性, 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。, 兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。, 兩直線均為一般位置直線時(shí)，在三個(gè)投影面上的投影不一定反映直角。,直角投影定理,即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。,小結(jié),一、各種位置平面的投影特性, 一般位置平面（三類似）, 投影面垂直面（一斜兩類似）, 投影面平行面（兩線一實(shí)形）,三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。 另外兩個(gè)投影為類似多邊形。,在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。,二、平面上的點(diǎn)與直線(P27-30),1.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置,相對(duì)位置包括平行、相交（垂直）。,一、平行問(wèn)題,直線與平面平行,平面與平面平行, 直線與平面平行,即：將線面/ ，轉(zhuǎn)化為線線/, 直線與平面平行,1. 當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時(shí)，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影，如圖。,2.當(dāng)直線與平面都為特殊情況且平行時(shí)，直線與平面的積聚性投影在同面投影上。,特殊情況：,例1：過(guò)A點(diǎn)作平面平行于線段BC。,作圖：ad/bc， ad/bc 故，BC/平面DAF,分析：線線/，則線面/；過(guò)A點(diǎn)做直線AD/BC。,可過(guò)A點(diǎn)任意作直線AF,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,有無(wú)數(shù)解,分析:過(guò)M點(diǎn)作一條/平面內(nèi)的任意直線的直線,即得.,例2：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。,正平線,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,分析:在平面ABC內(nèi)作一條正平線,MN/此正平線,即得.,例3：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。, 若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。, 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,2. 兩平面平行,平行,舉例,例 判斷下列兩平面是否平行,不平行, 直線與平面相交(實(shí)物),直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)，且交點(diǎn)是直線與平面可見與不可見的分界點(diǎn)。,要討論的問(wèn)題：, 求直線與平面的交點(diǎn)。, 判別兩者之間的相互遮擋的可見性。,我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)元素處于特殊位置的情況（直線特殊或者平面特殊）。,二、相交問(wèn)題(重點(diǎn)與難點(diǎn)),（1）.直線與平面相交（平面為特殊位置）,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1.空間及投影分析,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。, 求交點(diǎn), 判別可見性（V面）,由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上kn為可見。再根據(jù):交點(diǎn)是可見與不可見的分界點(diǎn)，求得k m 上一段不可見。,還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見性。,1(2),2.作圖,例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性,（2） 直線為特殊位置,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直線為特殊位置,1.空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。, 求交點(diǎn), 判別可見性（V面）用重影點(diǎn)判斷,點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于MN上，在后。故k 2為不可見。,1(2),2.作圖,用面上取點(diǎn)法,兩平面相交(實(shí)物),兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)，交線是兩平面可見與不可見的分界線。,要討論的問(wèn)題：, 求兩平面的交線,方法： 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。,只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況（即兩種情況：一個(gè)平面處于特殊，兩個(gè)平面都處于特殊）。, 判別兩平面之間的相互遮擋的可見性。,（1）兩平面都為特殊平面(書),可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),1.空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線。, 求交線, 判別可見性（H面）,2.作圖,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。,例1：求兩平面的交線MN，并判別可見性。,（2）. 其中一平面為特殊平面,F,B,A,C,E,H,a,b,c,M,N,m,n,P,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1.空間及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與efh的交點(diǎn)m 、 b c與efh的交點(diǎn)n,即為兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn是MN的正面投影。, 求交線, 判別可見性(H面),mnb在efh上面，故水平投影mnb可見，其他可見性可根據(jù)投影特點(diǎn)得出。,2.作圖,（2）. 其中一平面為特殊平面（求交線MN）,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N點(diǎn)的水平投影n位于def的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。,互交,三、垂直問(wèn)題,1.直線與平面,與鉛垂面垂直的直線為水平線,H面; 與正垂面垂直的直線是正平線,V面.,與鉛垂線垂直的平面是水平面, V;與正垂線垂直的平面是正平面, H.,1）平面特殊 投影面垂直面的直線是投影面平行線，并在平面積聚性投影上反映直角；即,2）直線特殊 投影面垂直線的平面是投影面平行面，并在平面積聚性投影上反映直角；即,作點(diǎn)A到平面CDEF的距離？（EFD呢？）,2.平面與平面垂直,只介紹兩個(gè)投影面垂直面相垂直： 它們的交線為投影面的垂直線，且在積聚性的投影反映直角;,下面舉例,垂直,垂直,不垂直,e d,(e),1,1,舉例,此點(diǎn)是AB和MN的重影點(diǎn),例 求直線與平面的交點(diǎn),并判別可見性.,V,W,本節(jié)到此,小結(jié)：直線與平面及兩平面的相對(duì)位置, 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時(shí)，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影。, 兩平面平行 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,一、平行問(wèn)題（P38）,二、相交問(wèn)題, 求直線與平面, 平面特殊，利用交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可投在直線的另一個(gè)投影上；可見性直接判斷。(P47), 直線特殊，利用交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合，另一個(gè)投影可利用平面上取點(diǎn)的方法求解；可見性用重影點(diǎn)判斷。(P49), 兩平面相交, 一平面特殊，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)，求出交線；可見性可直接判斷。(P54), 兩平面特殊，交線為投影面的垂直線，可見性可直接判斷(P52)。,三、垂直問(wèn)題,1）.直線與投影面垂直面：與鉛垂面相垂直的直線是水平線，與正垂面相垂直的是正平線，并在平面積聚的投影面上反映直角。,1. 直線與平面垂直,2）.投影面垂直線與平面：與鉛垂線垂直的是水平面，與正垂線垂直的是正平面，并在平面積聚的投影面上反映直角。,垂直 不垂直,2.兩平面垂直,1）兩個(gè)投影面垂直面相垂直：它們的交線為投影面的垂直線，且在兩積聚性的投影反映直角。,完,1,1,1,舉例,此點(diǎn)是CD和MN的重影點(diǎn),舉例,一、各種位置平面的投影特性, 一般位置平面（三類似）, 投影面垂直面（一斜兩類似）, 投影面平行面（兩線一實(shí)形）,三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。 另外兩個(gè)投影類似。,在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。,小 結(jié),二、平面上的點(diǎn)與直線(P27-30),直線與特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。,判斷直線的可見性,特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。,一般位置平面與特殊位置平面相交,求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。,判斷平面的可見性,