清華大學(xué)計(jì)算固體力學(xué)第三次課件連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

非線性有限元 第 3章 連續(xù)介質(zhì)力學(xué) 計(jì)算固體力學(xué) 第 2講 連續(xù)介質(zhì)力學(xué) 1 引言 2 變形和運(yùn)動(dòng) 3 應(yīng)變度量 4 應(yīng)力度量 5 守恒方程 6 Lagrangian守恒方程 7 極分解和框架不變性 1 引言 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)是非線性有限元分析的基石。 從描述 變形和運(yùn)動(dòng) 開始。在剛體的運(yùn)動(dòng)中 著重于轉(zhuǎn)動(dòng)的描述。轉(zhuǎn)動(dòng)在非線性連續(xù)介質(zhì)力 學(xué)中扮演了中心的角色，許多更加困難和復(fù)雜 的非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題都是源于轉(zhuǎn)動(dòng)。 1 引言 非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的 應(yīng)力和應(yīng)變 ， 有多種方式 定義 。 在非線性有限元程序中應(yīng)用最頻繁的是： 應(yīng)變度量： Green應(yīng)變張量和變形率 。 應(yīng)力度量： Cauchy應(yīng)力 、 名義應(yīng)力和第二 Piola Kirchhoff應(yīng)力 ， 簡(jiǎn)稱為 PK2應(yīng)力 。 還有許多其它的度量 ， 過多的應(yīng)力和應(yīng)變度量是理 解非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的障礙之一 。 一旦理解了這一領(lǐng) 域 ， 就會(huì)意識(shí)到這么多的度量沒有增加基礎(chǔ)的東西 ， 也 許只是學(xué)術(shù)過量的一種顯示 。 我們只用一種應(yīng)力和應(yīng)變度量的方式進(jìn)行講授 ， 也 涉及到其它的方式 ， 以便能夠理解文獻(xiàn)和軟件 。 1 引言 守恒方程 ， 通常也稱為平衡方程 ， 包括質(zhì)量 、 動(dòng) 量和能量守恒方程 。 平衡方程是在動(dòng)量方程中當(dāng)加速 度為零時(shí)的特殊情況 。 守恒方程既從空間域也從材料 域中推導(dǎo)出來 。 推導(dǎo)并解釋極分解原理 ， 檢驗(yàn) Cauchy應(yīng)力張量的 客觀率 ， 也稱作框架不變率 。 解釋了率型本構(gòu)方程要 求客觀率的原因 ， 然后表述了幾種非線性有限元中常 用的客觀率 。 2 變形和運(yùn)動(dòng) 它們的屬性和響應(yīng)可以用空間變量的平滑函數(shù)來表征 ， 至多具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn) 。 它忽略了非均勻性 ， 諸如分子 、 顆?；蛘呔w結(jié)構(gòu) 。 晶體結(jié)構(gòu)的特性有時(shí)也通過本構(gòu)方程出 現(xiàn)在連續(xù)介質(zhì)模型中 ， 但是假定其響應(yīng)和屬性是平滑的 ， 只 具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn) 。 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的目的就是提供有關(guān)流體 、 固體和組織結(jié) 構(gòu)的宏觀行為的模型 。 Kinematic description: 應(yīng)變是如何度量的 ？ Kinetic description: 應(yīng)力是如何度量的 ？ Mesh description: 網(wǎng)格移動(dòng)如何聯(lián)系連續(xù)體的運(yùn)動(dòng) ？ 2 變形和運(yùn)動(dòng) 在初始域和當(dāng)前 域 域之間的映射 初始構(gòu)形 ),( tX 當(dāng)前構(gòu)形 材料點(diǎn)的位置矢量 ei 直角坐標(biāo)系的單位基矢量， xi 位置矢量的分量。 SDn i iiii XX 1 eeX SDni iiii xx 1 eex 2 變形和運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)描述 txt ii , , XXx 或空間坐標(biāo) 當(dāng)參考構(gòu)形與初始構(gòu)形一致時(shí) ， 在 t 0 時(shí)刻任意點(diǎn)處 的位置矢量 x 與其材料坐標(biāo)一致 0,0, XXxX t,X一致映射 為常數(shù)值的線被蝕刻在材料中 ， 恰似 Lagrangian網(wǎng)格；它們隨著物體變形 ， 當(dāng)在變形構(gòu)形中觀察時(shí) ， 這些線就不再是 Cartesian型 。 這種觀察方式下的材料坐標(biāo)被 稱為 流動(dòng)坐標(biāo) 。 但是 ， 當(dāng)我們?cè)趨⒖紭?gòu)形中觀察材料坐標(biāo)時(shí) ， 它們不隨時(shí)間改變 。 建立的方程 ， 是在參考構(gòu)形上觀察材料坐 標(biāo) ， 因此以固定的 Cartesian坐標(biāo)系推導(dǎo)方程 。 另一方面無論 怎樣觀察 ， 空間坐標(biāo)系都不隨時(shí)間變化 。 材料坐標(biāo) iX 2 變形和運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)描述 在流體力學(xué)中 ， 根據(jù)參考構(gòu)形來描述運(yùn)動(dòng)通常是不可能的 ， 并且沒有必要 。 在固體力學(xué)中 ， 應(yīng)力一般依賴于變形和它的歷史 ， 所以必須指定一個(gè)未變形構(gòu)形 ， 普遍采用 Lagrangian描述 ， 獨(dú)立 變量是材料坐標(biāo) X 和時(shí)間 t。 Xxttt XXXXXu ,0,位移 iii Xxu ijii XtXu , uXuXXv t tt tt ,速度 v,Xu,Xv,X 22 t tt tta加速度 速度是材料點(diǎn)的位置矢量的變化率材料時(shí)間導(dǎo)數(shù) 2 變形和運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)描述 獨(dú)立變量是空間坐標(biāo) x 和時(shí)間 t，稱為空間或 Eulerian描述 tttx ,),( Xvvv j j iij j iii vxvtvt tx tvt tvDt tDv , Xxxx 通過鏈規(guī)則得到材料時(shí)間導(dǎo)數(shù) 空間時(shí)間導(dǎo)數(shù) 對(duì)流項(xiàng)、遷移項(xiàng) vvvvvxvxv g r a d, tt tDt tD 矢量場(chǎng)的左梯度 zfkyfjxfiff g r a d 空間變量 x 和時(shí)間 t 的任何函數(shù)的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以 通過鏈規(guī)則得到 tf ,x 和張量函數(shù) t ij ,x 其材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)給出為 對(duì)于標(biāo)量函數(shù) 2 變形和運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)描述 ftfftfxfvtfDtDf i i g r a d vv vv g r a d ttxvtDtD k ij k ijij yyyx xyxx vv vv , , g r a d vv左梯度矩陣 變形梯度是運(yùn)動(dòng)函數(shù)的 Jacobian矩陣 2 變形和運(yùn)動(dòng) T j i j iij XxXF XxXF 0 或 ijF 第一個(gè)指標(biāo)代表運(yùn)動(dòng)，第二個(gè)指標(biāo)代表偏導(dǎo)數(shù) 材料坐標(biāo)左 梯度的轉(zhuǎn)置 jiji dXFdxdd 或XFx 直角坐標(biāo)系下 二維 的變形梯度給出為 Y y X y Y x X x X x X x X x X x 2 2 1 2 2 1 1 1 F F 的行列式用 J 表示，稱作 Jacobian行列式或變形梯度行列式 FJ det 2 變形和運(yùn)動(dòng) 變形梯度 00 00 , f J dfdJdttfdtf 或Xx 將當(dāng)前構(gòu)形和參考構(gòu)形上的積分聯(lián)系起來 0 , J d X d YYXfd x d yyxf 二維域 i i x vJJJ Dt DJ vd iv Jacobian行列式的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)給出為 左散度 z v y v x v kvjviv z k y j x ivv 321 321d iv 2 變形和運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)條件 除了在有限數(shù)量的零度量集合上，假設(shè)描述運(yùn)動(dòng)和物體變形的映射 t,X 滿足以下條件： 連續(xù)可微，一對(duì)一（ F可逆）， J 0 這些條件保證函數(shù)足夠平滑以至于滿足協(xié)調(diào)性 ， 即在變形物體 中不存在縫隙和重疊 。 運(yùn)動(dòng)及其導(dǎo)數(shù)可以是非連續(xù)或者在零尺度集 合上具有非連續(xù)的導(dǎo)數(shù) （ 如裂紋 ） ， 所以它是分段連續(xù)可微的 。 增 加不包括零尺度集合的附加條件以解釋裂紋形成的可能性 。 在形成 裂紋的表面上 ， 上述條件不滿足 。 零尺度集合在一維情況中是點(diǎn) ， 在二維中是線 ， 三維中是平面 ， 因?yàn)橐粋€(gè)點(diǎn)具有零長(zhǎng)度 ， 一條線具 有零面積 ， 一個(gè)表面具有零體積 。 2 變形和運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)條件 變形梯度通常在材料的界面上是非連續(xù)的 。 在某些現(xiàn)象中 ， 例如擴(kuò)展裂紋 ， 運(yùn)動(dòng)本身也是非連續(xù)的 。 要求在運(yùn)動(dòng)及其導(dǎo)數(shù)中 非連續(xù)的數(shù)量是有限的 。 實(shí)際上發(fā)現(xiàn) ， 有些非線性解答可能擁有 無限數(shù)量的非連續(xù) 。 然而 ， 這些解答非常罕見 ， 不能被有限元有 效地處理 ， 所以將不關(guān)注這些解答 。 第二個(gè)條件 ， 即運(yùn)動(dòng)為一對(duì)一的 ， 要求對(duì)于在參考構(gòu)形上的 每一點(diǎn) ， 在當(dāng)前構(gòu)形上有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng) ， 反之亦然 。 這是 F規(guī) 則的必要充分條件 ， 即 F是可逆的 。 當(dāng)變形梯度 F是正常的 ， 則 ， 因?yàn)楫?dāng)且僅 當(dāng)時(shí) F的逆才存在 。 因此 ， 第二個(gè)條 件和第三個(gè)條件是有聯(lián)系的 。 更強(qiáng)的條件是 J 必須為正而不僅是 非零 ， 在第 3.5.4節(jié)可以看到這遵循了質(zhì)量守恒 。 這個(gè)條件在零尺 度集合上也可以違背 。 例如 ， 在一個(gè)裂紋的表面上 ， 每一個(gè)點(diǎn)都 成為了兩個(gè)點(diǎn) 。 0J 0J 運(yùn)動(dòng)條件 一個(gè) Lagrangian網(wǎng)格的剛 體轉(zhuǎn)動(dòng) ， 顯示在參考 (初始 、 未 變形 )構(gòu)形和當(dāng)前 (變形 )構(gòu)形中 觀察到的材料坐標(biāo) 。 轉(zhuǎn)動(dòng)是正交變換的一個(gè)例子 ， R是正交矩陣 。 一個(gè)矩形單元 的 Lagrangian網(wǎng)格的剛體轉(zhuǎn)動(dòng) ， 如圖所示 。 可以看出 ， 在剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)中單元的邊發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng) ， 但是邊與邊之間的夾角保持不變 。 單元的邊是 X 或 Y 坐標(biāo)為常數(shù)的直線 ， 所以在變形構(gòu)形中觀察 時(shí) ， 當(dāng)物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)材料坐標(biāo)也轉(zhuǎn)動(dòng) 。 txXtRtxttt TijijiT , , XxXRXx ijTijijT RRR 11 ,RRIRR T 一個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)和繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和坐標(biāo) 轉(zhuǎn)換的關(guān)系為 2 變形和運(yùn)動(dòng) y x y x yyxy yxxx y x r r r r RR RR r r c oss i n s i nc os二維問題 角速度 txXtRtxttt TijijiT , , XxXRXx 或 TTTTT xxxxxxRRxv 空間坐標(biāo) TRR 角速度張量或角速度矩陣 偏對(duì)稱張量也稱作反對(duì)稱張量 0000 3 3 12 12 二維問題 TT vxxxv 動(dòng)力學(xué)教材中的剛體運(yùn)動(dòng)方程 2 c os1 , 2 s in1 2 s in12 , 2 c os12 0 x 33 22 11 t btty t bttx t atty t attx tyt 例 3.1 3節(jié)點(diǎn)三角形有限元，設(shè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為 求解變形梯度和 Jacobian行列式為時(shí)間的函數(shù)， 當(dāng) Jacobian行列式保持常數(shù)時(shí)求出 a和 b的值。 2 變形和運(yùn)動(dòng) (1) 332211 332211, , tytytytyty txtxtxtxtx II II 三角形 3節(jié)點(diǎn)線性位移單元的構(gòu)形 解： 在初始構(gòu)形中， t = 0 332211 332211 )0,( )0,( YYYyY XXXxX 12 1 12212112 31131331 23322323 3 2 1 y x yxyxxy yxyxxy yxyxxy A 面積坐標(biāo) JIJI xxx JIJI yyy )(2 32122132 yxyxA 2 變形和運(yùn)動(dòng) (2) 將未變形構(gòu)形中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入上式 332211 332211 )0,( )0,( YYYyY XXXxX 在初始構(gòu)形中， t = 0 031 XX 22 X 021 YY 13 Y 32 ,2 YX 得到三角形坐標(biāo)與材料坐標(biāo)之間的關(guān)系 即 YX 32 ,21 2 c o s1 2 s in1, 2 s in1 2 c o s1, tbtYtatXty tbtYtatXtx X X 得到運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式 變形梯度為 2c o s12s in1 2s in12c o s1 tbttat tbttat Y y X y Y x X x F 2 變形和運(yùn)動(dòng) 將 (1) 和 (3) 代入 (2) (3) 在單元中的位移是材料坐標(biāo)的線性函數(shù) ， 變形梯度僅為時(shí)間 函數(shù) ， 若給定時(shí)間 ， F 為常數(shù) 。 Jacobian行列式給出為 2c o s12s i n1 2s i n12c o s1 tbttat tbttat Y y X y Y x X x F變形梯度為 btatttbtatJ 112s i n2c os11de t 22 F 0 ba當(dāng) 1JJ的行列式為常數(shù)， 這種運(yùn)動(dòng)是沒有變形的轉(zhuǎn)動(dòng)； atab 1/當(dāng) 一個(gè)剪切變形和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng) ， 其中單元的面積保持常數(shù) 。 這種類型 的變形稱為等體積變形； 不可壓縮材料的變形就是等體積變形 。 2 變形和運(yùn)動(dòng) J行列式也保持常數(shù)，這種情況對(duì)應(yīng)于 例 3.3 一個(gè)單位正方形 4節(jié)點(diǎn)單元 ， 其中 3個(gè)節(jié)點(diǎn)固定 。 求導(dǎo)致 Jacobian行列式等于零時(shí)節(jié)點(diǎn) 3位置的軌跡 。 除節(jié)點(diǎn) 3之外所有節(jié)點(diǎn)均固定，矩形單元的位移場(chǎng)由雙線性場(chǎng)給 出 XYuYXuXYuYXu yyxx 33 , , 2 變形和運(yùn)動(dòng) 沿著由節(jié)點(diǎn) 1和 2以及節(jié)點(diǎn) 1和 4所定義的邊界上位移場(chǎng)為零，運(yùn)動(dòng)為 XYuYuYy XYuXuXx yy xx 3 3 變形梯度 XuYu XuYu yy xx 33 33 1 1F 則 Jacobian行列式為 XuYuJ yx 331de t F 1,0X 1,0Y 檢驗(yàn)什么時(shí)候 Jacobian行列式為零，只需考慮單元未變形構(gòu)形中材料點(diǎn) 的 Jacobian行列式，即單位正方形 顯然 0 3 xu 且 0 3 yu J是最小 當(dāng) 1 YX 01010 3333 yxyx uuXuYuJ 0J 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡由節(jié)點(diǎn)位移的線性函數(shù)給定 0J 節(jié)點(diǎn) 3越過未變形單元的對(duì)角線 2 變形和運(yùn)動(dòng) 例 3.4 小變形情況下一個(gè)擴(kuò)展裂紋周圍的位移場(chǎng)給出為 初始未開裂的構(gòu)形和裂紋沿軸擴(kuò)展的兩個(gè)隨后構(gòu)形 2 變形和運(yùn)動(dòng) 2 s in 2 c os2 2 c os 2 s in2 2 2 brkfu arkfu y x ctXctXYYctXr 對(duì)于 , ,/t a n , 1222 這個(gè)位移場(chǎng)對(duì)應(yīng)于沿著 X軸的開口裂紋 ， 且裂尖速度為 c。 求出沿著直線 上的位移間斷 。 并問這個(gè)位移場(chǎng)是 否滿足運(yùn)動(dòng)連續(xù)性要求 ？ ctXY ,0 解： 2 變形和運(yùn)動(dòng) xuXx yuYy 運(yùn)動(dòng)為 ， 。 位移場(chǎng)的間斷是在公式中關(guān)于 和 的差值： brkfuubrkfuu yxyx ,0,0 所以位移的跳躍或間斷為 brkfruruururuu yyyxxx 2, ,0, 其它任何地方的位移場(chǎng)都是連續(xù)的 。 這個(gè)運(yùn)動(dòng)滿足第 14頁(yè)所給出函數(shù)連續(xù)性準(zhǔn)則 ， 因?yàn)椴?連續(xù)僅僅發(fā)生在一條線上 ， 在二維中這是一個(gè)零尺度的集 合 。 從圖中可以看出 ， 在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中裂紋尖端后面的線被 分成兩條線 。 在設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)時(shí)也可能該線并不分離 ， 只是在 切線位移場(chǎng)上發(fā)生間斷 。 現(xiàn)在這兩種運(yùn)動(dòng)都常常應(yīng)用在非 線性有限元分析中 。 3 應(yīng)變度量 1. Green應(yīng)變 E 2. 變形率張量 D 許多應(yīng)變和應(yīng)變率度量出現(xiàn)在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的文獻(xiàn)中；然而 ， 在有限元方法中應(yīng)用最普遍的是上面兩種度量 。 在描述本構(gòu)方程 時(shí) ， 如果需要 ， 有時(shí)使用其它度量更加有利 。 對(duì)于任何剛體運(yùn)動(dòng) (含剛體轉(zhuǎn)動(dòng) )， 應(yīng)變度量必須為零 。 如果 在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中應(yīng)變度量不為零 ， 預(yù)示著有非零應(yīng)變 ， 結(jié)果導(dǎo)致非 零應(yīng)力 。 下面看一個(gè)例子 3.6。 一個(gè)單元繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)了 角。計(jì)算線性應(yīng)變 例 3.6 XRx Y X u u Y X y x y x 1c o ss i n s i n1c o s c o ss i n s i nc o s 02 ,1c o s ,1c o s XuYuYuXu yxxyyyxx 取它們對(duì)材料坐標(biāo)求導(dǎo) 如果 較大，伸長(zhǎng)應(yīng)變不為零。 對(duì)于任何剛體運(yùn)動(dòng) (含剛體轉(zhuǎn)動(dòng) )， 應(yīng)變度量必須為零 。 這 就是為什么在非線性理論中放棄一般的線性應(yīng)變位移方程的關(guān) 鍵因素 。 3 應(yīng)變度量 3 應(yīng)變度量 下面將看到在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中 E和 D為零 。 應(yīng)變度量也應(yīng)該滿足其 它的準(zhǔn)則 ， 比如 ， 當(dāng)變形增大時(shí)它也相應(yīng)的增大 ， 等等 。 然而 ， 能夠表示剛體運(yùn)動(dòng)是至關(guān)重要的 ， 并且指明什么時(shí)候使用幾何非 線性理論 。 到底多么大的轉(zhuǎn)動(dòng)需要進(jìn)行非線性分析？ 21211c o s 242 Ox 說明在轉(zhuǎn)動(dòng)中線性應(yīng)變的誤差是二階的 ， 線性分析的適用性 在于容許誤差的量級(jí) ， 最終取決于感興趣的誤差大小 。 因此，線性應(yīng)變張量不能用于大變形問題。 線性分析的適用性則在于能夠容許誤差的量級(jí) ， 最終取 決于感興趣的應(yīng)變的大小 。 如果感興趣的應(yīng)變量級(jí)是 10-2， 那么 1 的誤差是能夠接受的 （ 幾乎總是這樣 ） 。 如果感興趣 的應(yīng)變更小 ， 可接受的轉(zhuǎn)動(dòng)更小 ， 對(duì)于 10-4量級(jí)的應(yīng)變 ， 為 滿足 1 的誤差 ， 轉(zhuǎn)動(dòng)必須是 10-3 弧度量級(jí)的 。 這些指導(dǎo)數(shù)據(jù)假設(shè)平衡解答是穩(wěn)定的 ， 即不可能發(fā)生屈 曲 。 然而 ， 屈曲是可能的 ， 即使是在很小的應(yīng)變下 ， 所以當(dāng) 可能發(fā)生屈曲時(shí) ， 應(yīng)該使用能適合應(yīng)付大變形的度量 。 3 應(yīng)變度量 3 應(yīng)變度量 jijiiiii dXEdXdXdXdxdxdddSds 2 222 或XEX Green應(yīng)變張量定義 材料矢量 dX長(zhǎng)度平方的變化 。 Green應(yīng)變度量了當(dāng)前 (變形 ) 構(gòu)形和參考 (未變形 )構(gòu)形中一個(gè)微小段長(zhǎng)度的平方的差 。 利用變 形梯度公式 ,將公式左邊重新寫成為矩陣形式 XFFXXFFXXFXF XFXFxx dddddd dddd TTTT 02 XEXXIXXFFX dddddd T 整理上面公式為 提出相同的項(xiàng)得到 02 XEIFFX dd T 對(duì)于任何 dX都成立 ijkjTikijT FFE 21 21 或IFFE ijkjTikijT FFE 21 21 或IFFE 3 應(yīng)變度量 Green應(yīng)變張量 E ij j k i k i j j i kj j k ki i k j k j k i k i k i k ki j k i k kjkikj T ik X u X u X u X u X u X u Xxu X X X u X X X u X x F X x X x FFFF 根據(jù) 轉(zhuǎn)置定義和 以位移的形式使用指標(biāo)寫法 j k i k i j j iijTT XuXuXuXuE 21 ,21 0000 uuuuE 代入上式，表示為位移梯度的形式 3 應(yīng)變度量 在任何剛體運(yùn)動(dòng)中 ， Green應(yīng)變張量為零 ， 滿足了應(yīng)變度量的 一個(gè)重要要求 。 02121 IIIRRE T TxXRx 考慮剛體運(yùn)動(dòng) 由變形梯度 F 定義 ，繞原點(diǎn)純轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 給出為 F R （證明見例 3.2) ijkjTikijT FFE 21 21 或IFFE IRR T 式中 轉(zhuǎn)動(dòng) 張量 滿足正交 性 ， R是正交矩陣 Green應(yīng)變張量 E 第二個(gè)運(yùn)動(dòng)度量 D， 稱為速度應(yīng)變 , 是變形的率度量 , 定義速度梯度 3 應(yīng)變度量 變形率張量 D j iijTT x vL g r a d 或vv x vL 速度梯度張量可以分解為對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分為 jiijjiijijTT LLLLL 2121 2121 或LLLLL i j j iijT x v x vD 2 1 2 1 或LLD i j j iijT x v x v 2 1 W 2 1 或LLW 令 變形率 (對(duì)稱 ) 轉(zhuǎn)動(dòng) (反對(duì)稱 ) 二階張量或方陣的標(biāo)準(zhǔn)分解：以上面的方式，任何一個(gè)二階張量 都可以表示為它的對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分的和 ijijjiijT WDvL , 或WDvL所以 沒有變形，轉(zhuǎn)動(dòng)張量和角速度張量相等： W 。 由速度梯度定義，在剛體運(yùn)動(dòng)中變形率 D 0，所以 L W ，積分 jiji dxLdvdd 或xLv TT vxxWv 其中 xT和 vT是積分常數(shù)，對(duì)比剛體動(dòng)力學(xué)公式： 得到 在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中 ， 轉(zhuǎn)動(dòng)和角速度張量是相同的 。 當(dāng)剛體除了 轉(zhuǎn)動(dòng)之外還有變形時(shí) ， 轉(zhuǎn)動(dòng)張量一般區(qū)別于角速度張量 。 TT vxxxv 3 應(yīng)變度量 變形率張量 D xxDxXxXx dddtdtdtdst 2,2 變形率是微小材料線段長(zhǎng)度的平方的變化率度量 證明在剛體運(yùn)動(dòng)中變形率 D 0 3 應(yīng)變度量 變形率張量 D rT xxxv jiij i j j i ij vvx v x vD 2 1 2 1 kjijki xev ri r jkjjkkjri r kijkri r kij exexev , 0 rj r ii r jj r ii r j eevv 3 應(yīng)變度量 變形率的 Green應(yīng)變率形式 將變形率與 Green應(yīng)變張量的率聯(lián)系起來 ， 首先得到速度場(chǎng)的 材料梯度 ， 并通過鏈規(guī)則表示為空間梯度的形式 j k k i j iij xXXvxvL ,xXXvxvL jiij XxF / 取變形梯度 的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù) j i j iij XvX ttFtt , , X X v X XF 應(yīng)用鏈規(guī)則展開恒等式 ijji xx / 得到 x XF 11 或 j kkjij j kikij j k k i xXFxXFxXXx 11 , kjikij FFL FFL代入上面公式，有 3 應(yīng)變度量 變形率的 Green應(yīng)變率形式 將變形率與 Green應(yīng)變張量的率聯(lián)系起來 TTT FFFFLLD 12121 FFFFIFFE TTTDtD 2121 將變形率 D前面點(diǎn)積 FT，后面點(diǎn)積 F，得到 FFFFFDF TTT 21 ijklTikijT FDFE 或所以 FDFE 11 , kjikij FFL FFL 這兩種度量是看待相同過程的兩種方式： Green應(yīng)變率是在參 考構(gòu)形中表達(dá)的，變形率是在當(dāng)前構(gòu)形中表達(dá)的 。 兩種形式的性質(zhì)的區(qū)別是，在例 3.7中將會(huì)看到 Green應(yīng)變率對(duì) 時(shí)間積分是與路徑無關(guān)的，而變形率對(duì)時(shí)間積分是與路徑有關(guān)的。 11 ljklTikijT FEFD 或FEFD逆變換得到 前推運(yùn)算 后拉運(yùn)算 例 3.5 拉伸和轉(zhuǎn)動(dòng)聯(lián)合作用下的應(yīng)變度量 tYbttXattx 2s in12c os1, X tYbttXatty 2c os12s in1, X 考慮運(yùn)動(dòng) 其中 a和 b是正常數(shù) 。 計(jì)算作為時(shí)間函數(shù)的變形梯度 F， Green應(yīng)變 和變形率張量 ， 并驗(yàn)證在 t 0與 t 1時(shí)的值 。 定義 tstcbttBattA 2s i n ,2c o s ,1 ,1 計(jì)算變形梯度 F BcAs BsAc Y y X y Y x X x F 以上變形包括同時(shí)沿著 X和 Y軸材料線的拉伸和單元轉(zhuǎn)動(dòng) 。 在任何時(shí)刻在單元中的變形梯度是常數(shù) ， 應(yīng)變度量也是常數(shù) 。 得 到 Green應(yīng)變張量 ， 由公式給出 F， 這樣得到： 22 22 2 2 20 02 2 1 10 01 0 0 2 1 10 01 2 1 2 1 tbbt taat B A BcAs BsAc BcBs AsAcT IFFE 得到 Green應(yīng)變張量 當(dāng) t 0時(shí)，有 x X和 E 0， 計(jì)算變形率，先獲得速度，取運(yùn)動(dòng)的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù) YBcbsXAsacv x 22 YBsbcXAcasv y 22 在 t 0時(shí)， x X， y Y， c 1， s 0， A B 1，速度梯度在 t 0時(shí)為 01 102 ,0 0 2 2 WDvL b a b aT 例 3.5 拉伸和轉(zhuǎn)動(dòng)聯(lián)合作用下的應(yīng)變度量 為了確定變形率的時(shí)間歷史，計(jì)算變形梯度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)和逆 AcAs BsBcABBscBAcsA BcsBAscA tt tt 1 , , , 1 22 22 FF 01 10 2 1 22 221 A b cB a sAbBacs AbBacsA b sB a c ABFFL 等式右邊的第一項(xiàng)是變形率，因?yàn)樗撬俣忍荻鹊膶?duì)稱部分， 而第二項(xiàng)是轉(zhuǎn)動(dòng)，它是反對(duì)稱部分。變形率在 t 1時(shí)給出為 abaabbabbaBaAbAB 0 01 10 01D 因此，當(dāng)在中間步驟中，剪切速度應(yīng)變是非零的， 在 t 1時(shí)刻的構(gòu)形中只有伸長(zhǎng)的速度應(yīng)變是非零的。 當(dāng) t 1時(shí)刻的 Green應(yīng)變率通過對(duì)變形率后拉運(yùn)算給出 2 2 0 0 0 0 bb aa Bb AaE FDFE T 例 3.5 拉伸和轉(zhuǎn)動(dòng)聯(lián)合作用下的應(yīng)變度量 一個(gè)單元經(jīng)歷了圖示的變形階段 。 在這些階段之間的運(yùn)動(dòng) 是時(shí)間的線性函數(shù) 。 計(jì)算每一階段的變形率張量 D， 對(duì)于回到 未變形構(gòu)形的整個(gè)變形循環(huán) ， 獲得變形率的時(shí)間積分 。 例 3.7 計(jì)算變形率的時(shí)間積分 假定變形的每個(gè)階段都發(fā)生在一個(gè)單位時(shí)間間隔內(nèi) 。 時(shí)間 標(biāo)定與結(jié)果無關(guān) ， 從構(gòu)形 1到構(gòu)形 2的運(yùn)動(dòng)為： 10 , , tYtya t YXtx XX 101 ,000 ,101 1 ataat FFF 確定變形梯度 得到速度梯度和變形率為 例 3.7 計(jì)算變形率的時(shí)間積分 002121 ,0001010001 a aaata TLLDFFL 這樣 ， 變形率就是一個(gè)純剪切 ， 即兩個(gè)拉伸分量都為零 。 由公 式 (3.3.5)得到 Green應(yīng)變?yōu)椋?taa ataat atT 222 2021 ,02121 EIFFE 比較上面兩式 ， E22非零 ， 而 D22 0， 當(dāng) a為小量時(shí) ， E22也小 。 從構(gòu)形 2到構(gòu)形 3剪切與 y向拉伸的聯(lián)合運(yùn)動(dòng)： 1 ,21 ,1, , tttYbttyaYXtx XX bbtbbt T 0 001 121 ,0 001 11 LLDFFL 120 0021 ,202121 2 btbbtbtaa aT EIFFE 例 3.7 計(jì)算變形率的時(shí)間積分 從構(gòu)形 3到構(gòu)形 4純剪切運(yùn)動(dòng)： 2 ,32 ,1, ,1, tttYbtyYtaXtx XX 0012 121 ,0001 11 a abab TLLDFFL 從構(gòu)形 4到構(gòu)形 5 y向拉伸 （ 壓縮 ） 運(yùn)動(dòng)： 3 ,43 ,1, , tttYbtbtyXtx XX LDFFL ,0 001 11 bbtb 在構(gòu)形 5中的 Green應(yīng)變?yōu)榱?， 因?yàn)樵?t=4時(shí)的變形梯度是單位張 量 ， F I。 變形率對(duì)時(shí)間的積分給出為 01 10121ln0 000012 11ln0 000021D40 babba abba adtt 例 3.7 計(jì)算變形率的時(shí)間積分 變形率在回到初始構(gòu)形結(jié)束的整個(gè)循環(huán)上的積分不為零 。 這個(gè)問題的最后構(gòu)形對(duì)應(yīng)于未變形構(gòu)形 ， 所以應(yīng)變的度量應(yīng)該 為零 ， 變形率的積分不為零 ， 變形率的積分是路徑相關(guān)的 。 對(duì)于第 5章描述的次彈性材料 ， 這是一個(gè)重要的詮釋 。 它同 時(shí)也暗示變形率的積分不是整個(gè)應(yīng)變的一個(gè)很好的度量 。 必須 注意到 D在一個(gè)循環(huán)上的積分結(jié)果是表征變形的二階常數(shù) ， 所以 只要這些常數(shù)非常小 ， 誤差是可以忽略不計(jì)的 。 Green應(yīng)變率在 任何閉合循環(huán)上的積分等于零 ， 因?yàn)樗?Green應(yīng)變 E的時(shí)間導(dǎo) 數(shù) 。 換句話說 ， Green應(yīng)變率的積分是路徑無關(guān)的 。 01 10121ln0 000012 11ln0 000021D40 babba abba adtt 4 應(yīng)力度量 1 Cauchy應(yīng)力， 2 名義應(yīng)力張量， P 3 PK2應(yīng)力張量， S dd tn 0000 dd tPn 00100 dd tFSn 法向矢量通常在左邊 pii 3131 t r a c e 以 Cauchy應(yīng)力的形式表示面力 ， 稱為 Cauchy定理 ， 或者 Cauchy假 定 。 它包括當(dāng)前表面的法線和面力 （ 每單位面積上的力 ） ， 稱為物理應(yīng)力 或真實(shí)應(yīng)力 。 例如 ， Cauchy應(yīng)力的跡 ， 這是流體力學(xué)中普遍使用的真實(shí)壓力 p。 應(yīng)力度量 P和 S的跡沒有給出真 實(shí)壓力 ， 因?yàn)樗鼈儏⒖嘉醋冃蔚拿娣e 。 使用約定 ， 在拉伸中 Cauchy應(yīng)力的 法向分量為正 ， 由公式 ， 在壓縮時(shí)壓力是正的 。 在角動(dòng)量守恒中將看到 ， Cauchy應(yīng)力張量是對(duì)稱的 ， 即 T 。 4 應(yīng)力度量 1 Cauchy應(yīng)力， 2 名義應(yīng)力張量， P 3 PK2應(yīng)力張量， S dd tn 0000 dd tPn 00100 dd tFSn 4 應(yīng)力度量 名義應(yīng)力 P表示是在參考表面上的面積和法線，即未變形表面， 它的定義類似于 Cauchy應(yīng)力的定義。名義應(yīng)力是 非對(duì)稱的 。 名義應(yīng)力的轉(zhuǎn)置稱作為 PK1(第一 Piola-Kirchhoff)應(yīng)力。 PK2應(yīng)力為 對(duì)稱的 ，它和 Green應(yīng)變率在功率上是共軛的。 PK2應(yīng)力被廣泛應(yīng)用于路徑無關(guān)材料，如橡膠 (勢(shì)能）。 010010 , dFJndndJd jiji Fnn 在 Nanson關(guān)系中，當(dāng)前法線與參考法線通過下式聯(lián)系起來 為了說明如何得到不同應(yīng)力度量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將以 Cauchy應(yīng)力的形式建立名義應(yīng)力的表達(dá)式。 00 ddd Pnnf 00010 ddJ PnFn 通過 Nanson關(guān)系 4 應(yīng)力度量 由于上式對(duì)于任意的 n0都成立，所以有 kj k iijkjikij xXJPJFPJ 11 或或FP 對(duì)于任意的 n0都成立，有 kjikij PFJJ 或PF 作矩陣變換 從公式可以看到， PPT (FFT)， 即名義應(yīng)力張量是非對(duì)稱的。 Cauchy應(yīng)力， PK2應(yīng)力，名義應(yīng)力的關(guān)系 TljklikijT FJFSJ 11 或FFS jkikTkjikijT FSFSP 或FSP TljklikijT FSFJJ 11 或FSF 后拉 前推 參考構(gòu)形 S和 之間的關(guān)系 ， 只依賴于變形梯度 F和 J行列式 J det(F) 只要變形已知 ， 應(yīng)力狀態(tài)總能夠表示為 、 P或者 S的形式 。 可以看出 ， 如果 Cauchy應(yīng)力對(duì)稱 ， 那么 S也是對(duì)稱： S ST 。 在物體中的每個(gè)點(diǎn)都構(gòu)造了一個(gè)坐標(biāo)系 。 這個(gè)坐標(biāo)系隨著材料或 單元一起轉(zhuǎn)動(dòng) 。 通過將這些張量表達(dá)在一個(gè)隨材料而轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo) 系中 ， 很容易處理結(jié)構(gòu)單元和各向異性材料 。 旋轉(zhuǎn)應(yīng)力和變形率 4 應(yīng)力度量 在旋轉(zhuǎn)方法中，用基矢量 ie 變形率也表示為其旋轉(zhuǎn)分量的形式， ijD 它可以從總體分量中得到，也可以直接從速度場(chǎng)中得到。 4 應(yīng)力度量 旋轉(zhuǎn)應(yīng)力和變形率 變形率也可以表示為旋轉(zhuǎn)分量 ijD jij i i j j i ij v x v x v x vD , s y m21 ijiv e,事實(shí)上，速度 v的正確梯度是 旋轉(zhuǎn)方法經(jīng)常迷惑一些有經(jīng)驗(yàn)的力學(xué)工作者，他們把它解釋為一種 用基矢量 i e 的曲線坐標(biāo)系統(tǒng)，是 x的函數(shù)，從而會(huì)給出一個(gè)矢量 iiv e 錯(cuò)誤地認(rèn)為速度 v的梯度是 jiiiji vv , ee 每個(gè)點(diǎn)可能有不同的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) 旋轉(zhuǎn) Cauchy應(yīng)力和旋轉(zhuǎn)變形率定義為 4 應(yīng)力度量 旋轉(zhuǎn)應(yīng)力和變形率 ljklTikijT RR 或RR ljklTikijT RDRD 或RDRD 旋轉(zhuǎn) Cauchy應(yīng)力張量與 Cauchy應(yīng)力是同一個(gè)張量， 但是它被表示為隨材料而轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系的分量形式。 嚴(yán)格的講，一個(gè)張量不依賴于表示它的分量的坐標(biāo)系。 “ 戴帽子 ” 的那個(gè)坐標(biāo)系是隨著材料 （ 或單元 ） 運(yùn)動(dòng)的 ， 有限元中一般定義三套坐標(biāo)系統(tǒng)：總體 ， 單元 ， 節(jié)點(diǎn) , xxx i 0 0 0 0 0 y x t 例 3.8 平面問題 設(shè)給定初始狀態(tài)的 Cauchy應(yīng)力和運(yùn)動(dòng)形式為 應(yīng)力嵌入在材料中，當(dāng)物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，初始應(yīng)力也跟著轉(zhuǎn)動(dòng)， 計(jì)算初始構(gòu)形以及 t /2時(shí)構(gòu)形的 PK2應(yīng)力，名義應(yīng)力和旋轉(zhuǎn)應(yīng)力。 在初始狀態(tài)， F I，有 0 0 0 0 y x PS 在 t /2時(shí)的變形構(gòu)形中，變形梯度給出為 1d e t ,01 102/c o s2/s i n 2/s i n2/c o s FF J YXtt ttyxtt c o ss in s inc o sXRx 4 應(yīng)力度量 例：平面問題 因?yàn)閼?yīng)力是嵌入在材料中，在轉(zhuǎn)動(dòng) t /2構(gòu)形中的應(yīng)力狀態(tài)為 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 01 10 0 0 0 0 1 y x x yJ FP 0 0 0 0 0 0 01 10 0 0 y x y xT FPS 由于這個(gè)問題中的映射為純剛體轉(zhuǎn)動(dòng)， R F，所以當(dāng) t /2時(shí) S 在純轉(zhuǎn)動(dòng)中， PK2應(yīng)力是不變的； PK2應(yīng)力行為好像是被嵌入在材料中。 材料坐標(biāo)隨著材料轉(zhuǎn)動(dòng)，而 PK2應(yīng)力的分量始終與材料坐標(biāo)的取向保持關(guān)聯(lián)。 5 守恒方程 tf ,x如果 知識(shí)準(zhǔn)備 是 C 1連續(xù)的，且對(duì)于 的任何子域 有 0, dtf x 那么在 上，對(duì)于任何 tt ,0 有 0, tf x 1. 質(zhì)量守恒 2. 線動(dòng)量守恒 ， 常稱為動(dòng)量守恒 3. 能量守恒 4. 角動(dòng)量守恒 5 守恒方程 1 質(zhì)量守恒 dtm ,X 質(zhì)量守恒要求任意材料域的質(zhì)量為常數(shù) ， 沒有穿過材料域的邊界 ， 不考 慮質(zhì)量到能量的轉(zhuǎn)化 。 根據(jù)能量守恒原理 ， m()的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零 ， 即 材料域 的質(zhì)量為 0 dDtDDtDm 對(duì)上式應(yīng)用 Reynold轉(zhuǎn)換定理得到 0di v dDtD v 0, 0, 0di v iiii vvDtDDtD 或或v 由于上式對(duì)于任意的子域 都成立，可以得到 質(zhì)量守恒方程 ，稱其為連續(xù)性方程，是一階偏微分方程。 z v y v x v kvjviv z k y j x ivv 321 321)d i v ( 5 守恒方程 Reynold轉(zhuǎn)換定理 一個(gè)積分的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)是在材料域上積分的變化率 。 材料域隨 著材料而運(yùn)動(dòng) ， 在邊界上的材料點(diǎn)始終保持在邊界上 ， 且不發(fā)生質(zhì)量 流動(dòng)跨過邊界 。 材料域類似于 Lagrangian網(wǎng)格；對(duì)于材料時(shí)間導(dǎo)數(shù) 的各種積分形式稱為 Reynold轉(zhuǎn)換定理 。 0 dDtDDtDm dfdtftfdDtD tt ,1lim 0 xx 將右邊的兩個(gè)積分轉(zhuǎn)換到參考域上 00 000 ,1lim dJfdtJtftfdDtD t XXXX t是同一材料點(diǎn)在 t時(shí)刻所占據(jù)的空間域。 積分域經(jīng)過這種變換， f 成為材料坐標(biāo)的函數(shù)。 積分域現(xiàn)在是時(shí)間獨(dú)立，將極限運(yùn)算拉入積分內(nèi)進(jìn)行，取極限得到 0 0 , dtJtftfdDtD XX 5 守恒方程 1 質(zhì)量守恒 獨(dú)立的空間變量是材料坐標(biāo)，被積函數(shù)中對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)是材料時(shí)間導(dǎo)數(shù) 0 0 , dtJtftfdDtD XX 00 00 , dtJfJtfdtJtftfdDtD XX 0 0dxvfJJtffdDtD i i i ixvJJJDtDJ vd iv 將上式右邊的積分轉(zhuǎn)換到當(dāng)前域上，并把獨(dú)立變量改為 Eulerian描述，給出 dxvfDt tDfdtfDtD i i, xx ttfDttDf ,/, XxReynold轉(zhuǎn)換定理一種形式 5 守恒方程 1 質(zhì)量守恒 d x fv t fdf x v x fv t ffd Dt D i i i i i i 0 0dxvfJJtffdDtD i i Reynold轉(zhuǎn)換定理另一種形式 dftffdDtD vdi v dfdtffdDtDdnfvdtffdDtD ii nv 或 對(duì)上式右邊的第二項(xiàng)應(yīng)用 Gauss定理 0di v dDtD v質(zhì)量守恒方程 質(zhì)量守恒方程的幾種特殊形式 5 守恒方程 (1) 當(dāng)材料不可壓縮時(shí)，密度的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零 , 即速度場(chǎng)的散度為零 0, 0d iv iiv或v (2) 對(duì)于 Lagrangian描述，將質(zhì)量守恒方程對(duì)時(shí)間積分，得到密度的代數(shù)方程 0 00 dd 常數(shù) 將上式左邊的積分轉(zhuǎn)換到參考域 0 0 00 dJ 00 , JtJt 或XXX 代數(shù)方程常常應(yīng)用于 Lagrangian網(wǎng)格中以保證質(zhì)量守恒 (固體力學(xué) ), 在 Eulerian網(wǎng)格中質(zhì)量守恒的代數(shù)形式不能應(yīng)用 ， 通過偏微分方程 ， 即 連續(xù)性方程保證質(zhì)量守恒 (流體力學(xué) )。 0, iiiiii vtvvt zvyvxv 3210 5 守恒方程 2 線動(dòng)量守恒 從線動(dòng)量守恒原理得出的方程是非線性有限元程序中的一個(gè)關(guān)鍵方程 。 線動(dòng)量守恒等價(jià)于 Newton第二運(yùn)動(dòng)定律 ， 它將作用在物體上的力與它的 加速度聯(lián)系起來 。 這個(gè)原理通常稱為動(dòng)量守恒原理 ， 或 動(dòng)量平衡原理 。 i j jii b xDt Dv Dt D d i v 或bbv 稱為 動(dòng)量方程 ；也稱為線動(dòng)量平衡方程 。 左邊的項(xiàng)代表動(dòng)量的變化 ， 稱為 慣性或運(yùn)動(dòng)項(xiàng) 。 根據(jù)應(yīng)力場(chǎng)的散度 ， 右邊的第一項(xiàng)是每單位體積的凈合內(nèi) 力 。 這種形式的動(dòng)量方程均適用于 Lagrangian格式和 Eulerian格式 。 0 b 0 i j ji b x 平衡方程 平衡過程是靜態(tài)的 , 荷載緩慢施加到物體上，不包括加速度。 動(dòng)量和平衡方程都是張量方程 , 代表了 NSD個(gè)標(biāo)量方程。 5 守恒方程 3 角動(dòng)量守恒 用位置矢量 x叉乘相應(yīng)的線動(dòng)量原理中每一項(xiàng) ， 得到角動(dòng)量 守恒的積分形式 dddDtD txbxvx jiijT 或 式中 角動(dòng)量守恒方程要求 Cauchy應(yīng)力為對(duì)稱張量 。 所以 ， 在二 維問題中 Cauchy應(yīng)力張量代表著 3個(gè)不同的相關(guān)變量 ， 在三維 問題中為 6個(gè) 。 當(dāng)使用 Cauchy應(yīng)力時(shí) ， 角動(dòng)量守恒不會(huì)產(chǎn)生任 何附加的方程 。 4 能量守恒 5 守恒方程 考慮熱力學(xué)過程 ， 僅有的能量源為機(jī)械功和熱量 。 能量守恒原理 ， 即能量平衡原理 ， 說明整個(gè)能量的變化率等于體力和面力做的功加上 由熱流量和其它熱源傳送到物體中的熱能 。 每單位體積的內(nèi)能用 wint表示 ， 其中 wint是每單位質(zhì)量的內(nèi)能 。 每單位面積的熱流用矢量 q表示 ， 其量綱是 功率除以 面積 ， 每單位體積的熱源用 s表示 。 能量守恒則要求在物體中總能量的變化率 ， 包括內(nèi)能和動(dòng)能 ， 等 于所施加的力和在物體中由熱傳導(dǎo)和任何熱源產(chǎn)生的能量的功率 。 5 守恒方程 4 能量守恒 在域內(nèi)由體積力 ,和在表面上由面力做的功率為 在物體中總能量的變化率為 dDtDpdwDtDpppp vv 21 , , k i ni n ti n tk i ni n tt o t dtvdbvdbdp iiii tvve x t 由熱源 s和熱流 q提供的功率為 dqnsddsdp ii qnh e a t 其中熱流一項(xiàng)的符號(hào)是負(fù)的，因?yàn)檎臒崃魇窍蛭矬w外面流出的 h e a te x tk i ni n t pppp 能量守恒 5 守恒方程 4 能量守恒 即物體內(nèi)總能量的變化率 （ 包括內(nèi)能和動(dòng)能 ） 等于外力的功率和由 熱流及熱能源提供的功率 。 這是已知的 熱力學(xué)第一定律 。 內(nèi)能的支配依賴于材料 。 在彈性材料中 ， 它以內(nèi)部彈性能的形式 存儲(chǔ)起來 ， 并在卸載后完全恢復(fù)；在彈塑性材料中 ， 部分內(nèi)能轉(zhuǎn)化為 熱 ， 部分由于材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化而耗散了 。 h e a te x tt o t ppp dsddddwDtD qntvbvvv 21i n t 應(yīng)用 Reynold定理將求導(dǎo)數(shù)移入積分內(nèi) ， 然后將面積分轉(zhuǎn)換為域 積分 d Dt D Dt Dw d Dt D Dt Dw dw Dt D v v vv vv i n t i n t i n t 2 1 2 1 5 守恒方程 4 能量守恒 將 Cauchy定律和 Gauss定理應(yīng)用于面力邊界積分，得到 dsddddwDtD qntvbvvv 21i n t 的反對(duì)稱性的對(duì)稱性及根據(jù) 使用 W vntv , 9.3.3 , , dvD dvWD dvvdv dvndd jjiijiji jjiijijijiji jjiijijijiji ijij dvD : 代入能量守恒公式，對(duì)熱流積分應(yīng)用 Gauss定理，并整理各項(xiàng)得 到 0:i n t dDtDsDtDw bvvqD 動(dòng)量方程 ,為 0 5 守恒方程 4 能量守恒 sDtDw qD :i n t 由域的任意性 ,得到能量守恒的偏微分方程 當(dāng)沒有熱流和熱源時(shí)，即為一個(gè)純機(jī)械過程，能量方程成為 ijij DDt Dw DD :i n t 這不再是一個(gè)偏微分方程 ， 它以應(yīng)力和應(yīng)變率度量的形式 ， 定義了給予 物體單位體積的能量變化率；稱為 內(nèi)能變化率或內(nèi)部功率 。 由變形率和 Cauchy應(yīng)力的縮并給出內(nèi)部功率 。 變形率和 Cauchy應(yīng)力在功率上是耦合的 。 功率上的耦合有助于弱形式的建立：在功率上耦合的應(yīng)力和應(yīng)變率的度 量可以用于構(gòu)造虛功原理或虛功率原理 ， 即動(dòng)量方程的弱形式 。 在功率上耦 合的變量也可以說 在功或者能量上是耦合的 ， 但是常常使用功率耦合的說法 ， 因?yàn)樗訙?zhǔn)確 。 5 守恒方程 6 Lagrangian守恒方程 以應(yīng)力和應(yīng)變的 Lagrangian度量形式 ， 在參考構(gòu) 形中直接建立守恒方程是有益的 。 在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的 文獻(xiàn)中 ， 這些公式稱為 Lagrangian描述 ， 而在有限元 的文獻(xiàn)中 ， 這些公式稱為完全的 Lagrangian格式 。 對(duì)于完全的 Lagrangian 格式 ， 總是使用 Lagrangian網(wǎng)格 。 在 Lagrangian框架中的守恒方程與 剛剛建立的守恒方程基本上是一致的；它們只是以不 同的變量表示 。 實(shí)際上將看到 ， 可以通過框 3.2中的 轉(zhuǎn)換關(guān)系和鏈規(guī)則得到它們 。 6 Lagrangian守恒方程 在完全的 Lagrangian格式中 ， 獨(dú)立變量是材料坐標(biāo) X和時(shí) 間 t。 主要的相關(guān)變量是初始密度 0(X， t)， 位移 u(X， t)以及 應(yīng)力和應(yīng)變的 Lagrangian度量 。 使用名義應(yīng)力 P(X， t)作為應(yīng)力的度量 。 這導(dǎo)致動(dòng)量方程 與 Eulerian描述的動(dòng)量方程 (3.5.33)驚人的相似 ， 所以非常容 易記憶 。 變形將通過變形梯度 F(X， t)描述 。 對(duì)于構(gòu)造本構(gòu)方程 ， 使用成對(duì)的 P和 F不是特別有用的 ， 因 為 F在剛體運(yùn)動(dòng)中不為零 ， 而 P是不對(duì)稱的 。 因此 ， 本構(gòu)方程通 常表示為 PK2應(yīng)力 S和 Green應(yīng)變 E的形式 。 然而 ， 通過框 3.2中 的轉(zhuǎn)換關(guān)系 ， S和 E之間的關(guān)系可以很容易的轉(zhuǎn)換為 P和 E之間的 關(guān)系 。 6 Lagrangian守恒方程 7 極分解和框架不變性 目的是探討剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的作用： 1. 表述極分解定理 ， 該定理能夠從任何運(yùn)動(dòng)中得到剛體轉(zhuǎn) 動(dòng) 。 2. 考慮剛體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于本構(gòu)方程的影響 。 證明對(duì)于 Cauchy應(yīng) 力 ， 需要對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行修改建立率本構(gòu)方程 。 這就 是 框架不變性或者應(yīng)力的客觀率 。 3. 表述三種框架不變率： Jaumann率 。 Truesdell率和 Green Naghdi率 。 4. 展示了由于次彈性本構(gòu)方程和這些不同變化率的錯(cuò)誤應(yīng) 用 ， 在結(jié)果中的驚人誤差 。 極分解定理 7 極分解和框架不變性 在大變形問題中 ， 闡明轉(zhuǎn)動(dòng)作用的基本原理就是極分解定理 。 這個(gè)定 理表述為 ， 任何變形梯度張量 F可以乘法分解為一個(gè)正交矩陣 R和一個(gè)對(duì) 稱張量 U的乘積 ， 稱 U為右伸長(zhǎng)張量 (先伸長(zhǎng)再轉(zhuǎn)動(dòng) )。 kjik j iij URXxF 或URF TT UURR 1 XURx dd 物體的任何運(yùn)動(dòng)包括一個(gè)變形 ， 由對(duì)稱映射 U表示 ， 和一個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng) R；所有的正交變換都是轉(zhuǎn)動(dòng) 。 在這個(gè)方程中沒有出現(xiàn)剛體平動(dòng) ， 因?yàn)?dx 和 dX分別是在當(dāng)前和參考構(gòu)形中的微分線段 ， 而且微分線段的映射不受 平動(dòng)的影響 。 如果將方程積分得到 x (X,t)的形式 ， 那么剛體平動(dòng)將作為一個(gè)積分 常數(shù)出現(xiàn) 。 在剛體平動(dòng)中 ， F I， 和 dx dX。 其中 有 7 極分解和框架不變性 極分解定理證明 UUUURURURURUFF TTTTT 2/1FFU T TT UURR 1 得到 1 UFR URF 右邊總是一個(gè)正矩陣，所以矩陣 U的所有特征值總是正值，故 U的逆矩陣存在 矩陣 U與工程應(yīng)變聯(lián)系得非常緊密。它的主值是在矩陣 U的主方向上線段的 伸長(zhǎng)。其吸引人之處在于建立本構(gòu)方程。張量 U I 稱為 Biot應(yīng)變張量 。 一個(gè)運(yùn)動(dòng)也可以分解為一個(gè)左伸長(zhǎng)張量和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的形式 RVF 稱 V為左伸長(zhǎng)張量（先轉(zhuǎn)動(dòng)再伸長(zhǎng)）。 7 極分解和框架不變性 0 3 22 2x 2 2 33 22 11 tyattx atatyatt attyatatx 通過極分解定理分別求在 t 1.0 和 t 0.5 時(shí)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和伸長(zhǎng)張量 考慮三角形單元的運(yùn)動(dòng)，其中節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) xI (t)和 yI (t)分別為 例 3.10 在面積坐標(biāo)的形式下，運(yùn)動(dòng)描述為 7 極分解和框架不變性 332211, txtxtxtx 332211, tytytyty 將面積坐標(biāo)表示為材料坐標(biāo) ， t=1時(shí)刻 2321333231, 321 YaaYaXaYXaaax X Xay 20021, 321 X 02 5.00 Y y X y Y x X x F變形梯度 5.00 0225.00 04 2/12/1FFU T伸長(zhǎng)張量 U 例 3.10 7 極分解和框架不變性 01 1020 05.002 5.001FUR 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 R y x y x r r r r c o ss in s inc o s 這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)是一個(gè)逆時(shí)針 90 的旋轉(zhuǎn) 這個(gè)變形包含節(jié)點(diǎn) 1和 3之間線段 的伸長(zhǎng) ， 放大系數(shù)為 2（ U11） ， 和節(jié)點(diǎn) 3和 2之間線段的縮短 ， 放 大系數(shù)為 0.5（ 見 U22） ， 導(dǎo)致沿 x 方向發(fā)生平移 3a和 90 的旋轉(zhuǎn) 5.00 0225.00 04 2/12/1FFU T 在式 (E3.10.1)中取 t 1所表示的運(yùn)動(dòng) 例 3.10 7 極分解和框架不變性 客觀率 D:C DklDi j k lij DtDDCDtD 或 考慮率本構(gòu)方程的最簡(jiǎn)單例子，應(yīng)力率與變形率為線性關(guān)系的次彈性定律 Cauchy應(yīng)力張量為什么需要客觀率？ 本構(gòu)方程有效嗎？ 7 極分解和框架不變性 客觀率 回答是否定的 ， 考慮圖中的桿 ， 在初始構(gòu)形中所受的應(yīng)力為 x 0。 現(xiàn)在假設(shè)桿以 恒定長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng) ， 所以不存在變形 ， 即 D 0。 回顧在剛體運(yùn)動(dòng)中初始應(yīng)力 （ 或預(yù)應(yīng)力 ） 嵌入在固體中的狀態(tài) ， 即 在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中沒有發(fā)生變形 ， 觀察者所看到的隨著物體運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力 （ 在 單元坐標(biāo)系中 ） 也不應(yīng)該變化 。 在固定坐標(biāo)系下 ， Cauchy應(yīng)力的分量在轉(zhuǎn)動(dòng)中將發(fā)生變化 ， 所以 應(yīng)力的材料導(dǎo)數(shù)必須是非零的 。 但是 ， 對(duì)于純剛體轉(zhuǎn)動(dòng) ， 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過 程中公式的右邊將為零 ， 因?yàn)橐呀?jīng)證明了在剛體運(yùn)動(dòng)中變形率為零 。 因 此 ， 在公式中一定是漏掉了什么東西： D 0， 但是 D/Dt不應(yīng)該為零 ！ D:C DklDi j k lij DtDDCDtD 或 公式的不足在于它不能解釋材料的轉(zhuǎn)動(dòng) 。 通過應(yīng)力張量的客觀 率可以解釋材料的轉(zhuǎn)動(dòng)；稱為 框架不變率 。 考慮三種客觀率： Jaumann率， Truesdell率， Green Naghdi率 。 框架不變性的核心是應(yīng)力的 (變化 )材料導(dǎo)數(shù)不受剛體位移的影響。 所有這些都應(yīng)用于當(dāng)前的有限元軟件中 ， 如 ABAQUS。 還有許多 其它的客觀率將在后面討論 。 7 極分解和框架不變性 客觀率 黃先生書描述固體本構(gòu)大變形給出 3種定義： 1 SO(Simo-Ortiz)定義來自于 Green Naghdi率本構(gòu)模型 ， 只 不過將后者從參考構(gòu)型前推到卸載構(gòu)形 (令溫度和結(jié)構(gòu)不變 ， 應(yīng)力全部卸除后的殘余變形 ， 也稱為中間構(gòu)形 )和當(dāng)前構(gòu)型； 2 MOS(Moran-Ortiz-Shih)本構(gòu)理論來自于 Jaumann率 ， 將變 形張量分解為對(duì)稱 (平動(dòng) )和反對(duì)稱部分 (轉(zhuǎn)動(dòng) )。 在中間構(gòu) 形建立本構(gòu)關(guān)系 ， 把中間構(gòu)形中的 Green應(yīng)變率定義為彈性 變形率 D， dE/dt D既反映了當(dāng)前構(gòu)形 、 也反映了中間構(gòu)形 的變化 。 3 RH(Rice-Hill)與 SO的差別是不分別定義 Green應(yīng)變的彈性 和塑性部分 ， 而是分解 Green應(yīng)變率為彈性和塑性部分 。 Cauchy應(yīng)力與 Jaumann率構(gòu)成 ABAQUS的核心部分 。 7 極分解和框架不變性 客觀率 Cauchy應(yīng)力的 Jaumann率 7 極分解和框架不變性 TkjikkjikijJijTJ WWDtDDtD 或WW 一個(gè)適當(dāng)?shù)拇螐椥员緲?gòu)方程給出為 klJi j k lJijJJ DC : 或DC Cauchy應(yīng)力張量的材料率 r o t a t i o n Tm a t e r i a lJTJDtD WWDCWW : 材料響應(yīng)被指定為一個(gè)客觀應(yīng)力率的形式 ， 這里是 Jaumann率 。 Cauchy應(yīng)力的材料導(dǎo)數(shù)由兩部分組成：由于材料響應(yīng)的變化率 ， 反映 在客觀率中 ， 和由于轉(zhuǎn)動(dòng)的應(yīng)力變化 ， 對(duì)應(yīng)于公式中的最后兩項(xiàng) 。 Jaumann率的核心是扣除由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的應(yīng)力變化 ， 僅為變 形引起的應(yīng)力 ， 應(yīng)力的客觀性是指應(yīng)力不受坐標(biāo)變化的影響 。 小變形 大變形 7 極分解和框架不變性 7 極分解和框架不變性 例 3.12 考慮一個(gè)物體在 x y平面內(nèi)以角速度 繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) ， 原始構(gòu) 形如圖 。 運(yùn)動(dòng)為剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 。 使用 Jaumann率計(jì)算 Cauchy應(yīng)力的材料 時(shí)間導(dǎo)數(shù) ， 并將其積分得到關(guān)于時(shí)間函數(shù)的 Cauchy應(yīng)力 。 r o t a t i o n Tm a t e r i a lJTJDtD WWDCWW : cs scsc cscs sc 1 , , FFRF 7 極分解和框架不變性 01 10 2 1 01 101 T cs sc sc cs LLW