《理學理論力學》PPT課件.ppt

動量定理的回顧 質(zhì)點 質(zhì)點系 動量的改變 外力（外力系主矢） 動量定理： 質(zhì)心運動定理： 質(zhì)心的運動 外力（外力系主矢） 當質(zhì)心為固定軸上一點時， vC= 0，則其 動量恒等于零，質(zhì)心無運動。此時，應(yīng)用 動 量定理無法解釋物體轉(zhuǎn)動與受力之間的相互 關(guān)系 需要討論 動量矩定理 第十二章 動 量 矩 定 理 質(zhì)點的動量對點 O的矩 vmrvmM )(0 FrFM )(0 r vm )( vmM o 12-1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩 1質(zhì)點的動量矩 （ 矢 量） 方向： 右手螺旋法則 大小 : O ABvmM O 2)( 12-1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩 1質(zhì)點的動量矩 對 z 軸的動量矩 )()()( xyxyOz yvxvmvmMvmM （ 代數(shù)量 ） 結(jié)論 :力對點之矩的矢量在某一軸上的 投影 ,等于這一力對該軸之矩 )()( FMFM zzo 力對軸之矩與力對 點之 矩的關(guān)系 質(zhì)點對點 O的動量矩矢在 z軸上 的投影，等于對 z軸的動量矩 )()( vmMvmM zzo 單位 :kgm2/s O 已知： m， r， w， vr。 ve vr w r m 求： MO(mv)。 x y 解： i iiiO m vrL 1. 對定點 “ O ”的動量矩 : x z y O m1 mn mi m3 m2 vi ri i iizOz mM )( vL 2.對定軸 “ z” 的動量矩 : 3.兩者之間的關(guān)系： zzO L L O x y zL L i L j L k 即 2質(zhì)點系的動量矩 （ 1） 剛體平移 .可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心 , 作為一個質(zhì)點來計算 . x z y O Cv rC C vi ri mi m i iiiO m vrL Ci vv C i iiO m vrL )( Cmr CCO m vrL iiiiizz rvmvmML )( 2iiiii rmrrm ww 2iiz rmJ wzz JL （ 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動慣量 dd( ) ( ) OM m v r m vtt dd ()r m v r m v tt 12-2 動量矩定理 1質(zhì)點的動量矩定理 設(shè) O為定點 ,有 0v m v d () d m v Ft 其中 : d d r v t （ O為定點） d ( ) ( ) d xxM m v M Ft d ( ) ( ) d yyM m v M Ft d ( ) ( ) d zzM m v M Ft 投影式 : d ( ) ( ) d OOM m v M Ft 因此 稱為 質(zhì)點的動量矩定理 :質(zhì)點對某定點的動量矩對 時間的一階導數(shù) ,等于作用力對同一點的矩 . 則 常量 常矢 )( )( v vM mM m x O 若作用于質(zhì)點上的力對某定點 (或某定 軸）的矩為零，則質(zhì)點對該點（或軸）的動 量矩保持不變 質(zhì)點動量矩守恒定律 。 2、守恒形式 0)( FM O 0)( FxM 或 若 ddd( ) ( ) d d d O O i i O i i LM m v M m v t t t ()d () d eeO O i O L M F M t 得 稱為 質(zhì)點系的動量矩定理 :質(zhì)點系對某定點 O 的動量矩對時間的導數(shù) ,等于作用于質(zhì)點系的 外力對于同一點的矩的矢量和 . ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) d ie O i i O i O iM m v M F M Ft ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) d ie O i i O i O iM m v M F M Ft 2. 質(zhì)點系的動量矩定理 由于 ()( ) 0iOiMF ()d () d eex x i x L M F M t ()d () d y ee y i y L M F M t 投影式 : ()d () d eez z i z L M F M t 內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩 . 2、 守恒形式 若 常量則 常矢則 xix OiO LFM LFM 0)( 0)( e e 即：當質(zhì)系所受合外力對某定點（或某定軸）的 矩為零，則質(zhì)系對該點（或該軸）的動量矩保持 不變 質(zhì)點系動量矩守恒定律。 e d d O O M t L e d d z z ML t RmgMM eO s in)( RmgMm v RJt w s i ndd 2 2 s in mRJ m g RMRa 例 1 已知： ,小車不計摩擦 . , MJR m a求 :小車的加速度 . RvmJL O w解 : R vw a t v d d 由 , ， 得 A B r1 r2 例 2 兩個鼓輪的總質(zhì)量 m，對水平轉(zhuǎn)軸 O的轉(zhuǎn)動慣量 JO ；鼓輪 的半徑是 r1 和 r2 。繩端懸掛的重物 A和 B 質(zhì)量分別是 m1 和 m2 ，且 m1 m2。試求鼓輪的角加速度 。 m1g m2g v2 v 1 w FO mg 1、 選系統(tǒng)（ 含鼓輪，重物 A , B） 為研究對 象 解 : 2、 運動分析 設(shè)鼓輪的角速度為 w， 物 A的速度： v1= r1w 物 B的速度： v2= r2w w)( 222211 rmrmJL OO 3、 受力分析 重力 mg， m1g ， m2g 軸 O處約束力 FO A B r1 r2 w FO mg v2 m2g v1 m1g grmrmM O )( 2211 w)( 222211 rmrmJL OO O O M t L d d 力矩 : 4、 應(yīng)用動量矩定理 trmrmJ O d d)( 2 22 2 11 w grmrm )( 2211 g rmrmJ rmrm t O 222211 2211 d d w 轉(zhuǎn)向為逆時針 求：剪斷繩后 , 角時的 . w 例 3：兩小球質(zhì)量皆為 ,初始角速度 m 0w 020 221 ww maamaL z w 2)s in(22 lamL z 時 , 0 0 時 , 2 0 2 )s in( ww la a 由 , 得 12zzLL 解 ： O P W 例 4 均質(zhì)圓輪半徑為 R、 質(zhì)量為 m。 圓輪在重 物 P帶動下繞固定軸 O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為 W。 求：重物下落的加速度 w aP 解：設(shè)圓輪的角速度和角加速度分別為 w 和 ， 重物的加速度為 aP。 圓輪對 O軸 的 動量矩 重物對 O的 軸動量矩 系統(tǒng)對 O的 軸總動量矩 系統(tǒng)對 O的 軸總動量矩 應(yīng)用動量矩定理 其中 aP=R 12-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程 12, , , nF F F 主動力 : 12,NNFF 約束力 : d ( ) ( ) ( ) d iz z i z NJ M F M Ft w ()ziMF d () dz z iJ M Ft w 即 : ()zzJ M F 或 2 2 d () dzzJ M Ft 或 轉(zhuǎn)動 微分 方程 1、 當 Mz(Fie) = 常量 ， 因為 Jz 不變 ,所以 =常量 剛體作勻變速轉(zhuǎn)動 2、 當 Mz(Fie) = 0， 因為 Jz 不變 ， 所以 =0 剛體作勻速轉(zhuǎn)動 3、 當 Mz(Fie) = 常量 ， Jz 、 ；反之 Jz 、 。 表明 Jz的大小，反映了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的 難易程度。因此， Jz是度量轉(zhuǎn)動剛體慣性大小的 物理量。 注意 ： 由于 M z(Fie) 和 （ w 、 ）都是代數(shù)量， 解題時要注意其正、負號。 求：制動所需時間 . t 例 4：已知： ，動滑動摩擦系數(shù) ， RFJ NO , 0w f 0 0 0 dd tONJ fF R t w w 0O N Jt fF R w d dONJ F R f F Rt w 解 ： FOx FOy W 應(yīng)用小結(jié) 質(zhì)點系動量矩定理 ： )(dd eizz FMtL 求解剛體系統(tǒng)繞同一定軸轉(zhuǎn)動的動力學問題 定軸轉(zhuǎn)動微分方程： )( eizz FMJ 求解單個剛體繞一定軸轉(zhuǎn)動的動力學問題 2 1 ii n iz rmJ 12-4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 單位： kgm2 1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算 (1)均質(zhì)細直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量 3d 3 2 0 lxxJ ll lz 2 3 1 mlJ z lm l由 ，得 42)d2( 4 0 2 RrrrJ A R AO 222 mRmRRmJ iiz （ 2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 Aiii rrm d2 （ 3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 2R m A 式中 ： 2 2 1 mRJ O 或 2. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） m J z z 2zz mJ 或 2 CzzJ J m d 3平行軸定理 Cz dz z 式中 軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸， 為 Cz與 軸之間的距離。 即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過 質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量 與兩軸間距離平方的乘積 . 2211() CziJ m x y )( 222 yxmrmJ iiz )( 2121 dyxm i iii mdymdyxm 212121 2)( 01 i i C m ymy 證明 ： 因為 2 CzzJ J m d 01 ym i有 ，得 2 3 1 mlJ z lm, 例 6：均質(zhì)細直桿，已知 . Cz求：對過質(zhì)心且垂直于桿的 軸的轉(zhuǎn)動慣量。 要求記住三個轉(zhuǎn)動慣量 2 2mR （ 1） 均質(zhì)圓盤對盤心軸的 轉(zhuǎn)動慣量 3 2ml （ 2） 均質(zhì)細直桿對一端的 轉(zhuǎn)動慣量 12 2ml （ 3） 均質(zhì)細直桿對中心軸 的轉(zhuǎn)動慣量 12)2( 2 2 mllmJJ zzC 則 z 對一端的 軸，有 解： 21 JJJ z 2 22 2 11 2 1 2 1 RmRm )(21 4241 RRlJ z 解 ： lRm 222 lRm 211 其中 mRRl )( 2221由 ， 得 )(21 2221 RRmJ z )(21 22212221 RRRRl 21 , RRm 例 7：已知： ， zJ 求 . 4組合法 5實驗法 O例：求對 軸的轉(zhuǎn)動慣量 . 將曲柄懸掛在軸 O上，作微幅擺動 . m g l JT 2由 lm, T J其中 已知 , 可測得，從而求得 . 解 ： 6. 查表法 均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量 薄壁圓 筒 細直桿 體積 慣性半徑 轉(zhuǎn)動慣量 簡 圖 物體的 形狀 2 12 l mJ Cz 2 3 l mJ z 32 l Cz 3 l z 2mRJ z Rz Rlh2 薄壁空 心球 空心圓 柱 圓柱 )3( 12 2 1 22 2 lR m JJ mRJ yx Z )3( 12 1 2 22 lR R yx z lR2 )(2 22 rRmJ z )(21 22 rRz )( 22 rRl 232 mRJ z R z 3 2 Rh23 圓環(huán) 圓錐體 實心球 2 5 2 mRJ Z Rz 5 2 343 R )4( 80 3 10 3 22 2 lrm JJ mrJ yx Z )4( 80 3 10 3 22 lr r yx z lr23 )43( 22 rRmJ Z 22 43 rRz Rr 222 矩形薄 板 長方體 橢圓形 薄板 2 2 22 4 4 )( 4 b m J a m J ba m J y y Z 2 2 2 1 22 b a ba y x z abh )( 12 )( 12 )( 12 22 22 22 cb m J ca m J ba m J y y Z )( 12 1 )( 12 1 )( 12 1 22 22 22 cb ca ba y x z abc 2 2 22 12 12 )( 12 b m J a m J ba m J y y Z b a ba y x z 289.0 289.0 )(121 22 abh 動 力 學 )( e i iCC i yC i xC MJ Fym Fxm F 靜 力 學 0)( 0 0 e i iC i y i x M F F F 靜力學是動力學的特殊情形 動量矩定理主要應(yīng)用于分析具有轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的動 力學問題。 對于定軸問題， 系統(tǒng)各部分對定軸的角速度必須 是同一慣性參考系中的角速度，也就是絕對角速度。 計算動量矩以及外力矩時，都要采用相同的正負 號規(guī)則 右手定則 。 應(yīng)用動量矩定理時 關(guān)于突然解除約束問題 O FOy FOx W=mg 解除約束前： FOx=0, FOy=mg/2 O FOx FOy W=mg 解除約束前： FOx=0, FOy=mg/2 突然解除約束瞬時： FOx=？ , FOy=？ O FOx FOy W=mg A C 應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程 l glmgml 2 3, 23 1 2 OxF lm 0 2 2w應(yīng)用質(zhì)心運動定理 OyFmg lm 2 Oy Ox Fmg l m F l m w 2 0 2 2 42 0 mgl mmgF F Oy Ox 突然解除約束問題的特點： 1. 系統(tǒng)的自由度一般會增加； 2. 解除約束的前、后瞬時，速度與角速度連續(xù)， 加速度與角加速度將發(fā)生突變。