（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練（三）不等式選講 理 選修4-5

專項(xiàng)強(qiáng)化練(三)　選修4－5：不等式選講(理獨(dú)) 題型一　含絕對(duì)值不等式 1．解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2. 解：當(dāng)x≤－2時(shí)，不等式化為(2－x)＋x(－x－2)＞2，即－x2－3x>0，解得－3＜x≤－2； 當(dāng)－2＜x＜2時(shí)，不等式化為(2－x)＋x(x＋2)＞2， 即x2＋x>0，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2； 當(dāng)x≥2時(shí)，不等式化為(x－2)＋x(x＋2)＞2， 即x2＋3x－4>0，解得x≥2. 所以原不等式的解集為{x|－3＜x＜－1或x＞0}． 2．解不等式：|x＋2|－|x－1|≤1. 解：令f(x)＝|x＋2|－|x－1|. 當(dāng)x≤－2時(shí)，f(x)＝－(x＋2)－(1－x)＝－3， 此時(shí)f(x)＝|x＋2|－|x－1|≤1恒成立； 當(dāng)－2<x<1時(shí)，f(x)＝(x＋2)－(1－x)＝2x＋1， 令f(x)≤1，即2x＋1≤1，解得x≤0，由于－2<x<1，則有－2<x≤0； 當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝(x＋2)－(x－1)＝3，此時(shí)f(x)≤1不成立． 綜上所述，不等式|x＋2|－|x－1|≤1的解集為(－∞，0]． 3．已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求證：|x＋5y|≤1. 證明：因?yàn)閨x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. 由絕對(duì)值不等式性質(zhì)，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3＋2＝1. 即|x＋5y|≤1. [臨門一腳] 1．形如|x＋a||x－b|≥c(≤c)不等式的解法常用零點(diǎn)分段討論法，其步驟為：(1)求零點(diǎn)；(2)劃分區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，特別注意在分段時(shí)不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值． 2．絕對(duì)值不等式也可用|x－a1||x－a2|的幾何意義求解集． 3．應(yīng)用絕對(duì)值不等式||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|求最值，一定要寫(xiě)出等號(hào)成立的條件． 題型二　基本不等式的應(yīng)用 1．已知a，b是正數(shù)，求證：a2＋4b2＋≥4. 證明：因?yàn)閍，b是正數(shù)， 所以a2＋4b2≥4ab. 所以a2＋4b2＋≥4ab＋≥2 ＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，且ab＝時(shí)取等號(hào)． 即a2＋4b2＋≥4. 2．已知a，b，c均為正數(shù)，求證：a2＋b2＋c2＋＋＋2≥6. 證明：法一：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc)，＋＋≥3(abc)－， 所以2≥9(abc)－. 故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－， 又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，所以原不等式成立． 法二：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.同理＋＋≥＋＋.所以a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ca＋＋＋≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)．所以原不等式成立． [臨門一腳] 1．基本不等式應(yīng)用于證明關(guān)鍵是和積轉(zhuǎn)化，所以進(jìn)行證明前一定要觀察不等式兩邊式子結(jié)構(gòu)的特征系數(shù)、方次． 2．要根據(jù)條件特征選擇使用三元還是兩元的基本不等式，等號(hào)成立條件一定要寫(xiě)． 3．多次使用基本不等式時(shí)要關(guān)注多個(gè)等號(hào)成立條件是否能夠同時(shí)成立． 題型三　柯西不等式的應(yīng)用 1．求函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值． 解：y＝3sin x＋2＝3sin x＋4， 由柯西不等式得 y2＝(3sin x＋4)2≤(32＋42)(sin2x＋cos2x)＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)4sin x＝3|cos x|，即sin x＝，|cos x|＝時(shí)等號(hào)成立，所以ymax＝5. 所以函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值為5. 2．已知a，b，c∈R,4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值． 解：由柯西不等式，得[(2a)2＋b2＋(c)2]≥(2a＋b＋c)2. 因?yàn)?a2＋b2＋2c2＝4，所以(2a＋b＋c)2≤10. 所以－≤2a＋b＋c≤， 所以2a＋b＋c的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝，c＝時(shí)等號(hào)成立． 3．設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz＝1，求證：＋＋≥xy＋yz＋zx. 證明：∵x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz＝1， ∴＋＋＝＋＋， ∴由柯西不等式可得(xy＋yz＋zx)≥2＝2＝(xy＋yz＋zx)2. ∴＋＋≥xy＋yz＋zx. 4．設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝. 求證： ＋＋≥1. 證明：法一：因?yàn)閇(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]≥3 3＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3時(shí)等號(hào)成立． 又a1＋a2＋a3＝. 所以2≥9， 所以＋＋≥1. 法二：由柯西不等式得9＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]＝2＋2＋2[()2＋()2＋()2]≥＋＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)()2＝()2＝()2， 即a1＝a2＝a3＝時(shí)取等號(hào)， 所以＋＋≥1. [臨門一腳] 1．二元柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立． 2．三元柯西不等式可以用向量形式記憶：即|α||β|≥|αβ|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，得α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立． 3．利用柯西不等式來(lái)證明不等式和基本不等式一樣也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次、等號(hào)成立條件，如果不能夠直接使用，要對(duì)所給條件進(jìn)行變形后才能使用． 4．利用柯西不等式求最值等問(wèn)題， 也要關(guān)注式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、系數(shù)、方次，最后一定要寫(xiě)出等號(hào)成立條件. 4