數(shù)字信號(hào)處理-第七章-有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì).ppt

第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7.1 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR濾波器 7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR濾波器 7.4 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì) FIR濾波器 7.5 IIR和 FIR數(shù)字濾波器的比較 7.1 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 對(duì)于長(zhǎng)度為 N的 h(n)， 傳輸函數(shù)為 1 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) N j j n n jj g H e h n e H e H e (7.1.1) (7.1.2) 式中 ， Hg()稱(chēng)為 幅度特性 ， ()稱(chēng)為 相位特性 。 注意： 這里 Hg()不同于 |H(ej)|,Hg()為 的實(shí)函數(shù) ， 可能取 負(fù)值 ， 而 |H(ej)|總是正值 。 1 線性相位 FIR 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ()d d 稱(chēng)兩種情況為線性相位 ，)( 起始相位， 00)( 線性相位 FIR濾波器是指 ()是 的線性函數(shù)，即 嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí) ()不具有線性相位特性，但以上 兩種情況都滿(mǎn)足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)， 第二類(lèi)線性相位 第一類(lèi)線性相位 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1) 第一類(lèi)線性相位對(duì) h(n)的約束條件 第一類(lèi)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù) ()=-， 由式 （ 7.1.1）和（ 7.1.2）得到 : 1 j j j g 0 (e ) ( )e ( )e N n n H h n H （ 7.1.5） 1 g 0 ( ) ( c o s j s in ) ( ) ( c o s j s in ) N n h n n n H 2. 線性相位 FIR的時(shí)域約束條件 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 由式（ 7.1.5）得到 : 1 0 1 0 ( ) c os c os sin ( ) sin N n N n h n n h n n 將（ 7.1.6）式中兩式相除得到： 1 g 0 1 g 0 ( ) c o s ( ) c o s ( ) sin ( ) sin N n N n H h n n H h n n （ 7.1.6） 11 00 ( ) c o s s in ( ) s in c o s NN nn h n n h n n 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 簡(jiǎn)得到 : 函數(shù) h(n)sin(n )關(guān)于求和區(qū)間的中心 (N 1)/2奇對(duì)稱(chēng)，是滿(mǎn) 足（ 7.1.7）式的一組解。因?yàn)?sin(n )關(guān)于 n=奇對(duì)稱(chēng)，如果 取 =(N 1)/2，則要求 h(n)關(guān)于 (N 1)/2偶對(duì)稱(chēng)，所以要求 和 h(n) 滿(mǎn)足如下條件 : 1 0 ( ) s in ( ) 0 N n h n n （ 7.1.7） （ 7.1.8） 1( ) , 2 ( ) ( 1 ), 0 1 N h n h N n n N 第一類(lèi)線性相位特性： h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于 n=(N 1)/2點(diǎn)偶對(duì)稱(chēng)。 當(dāng) N確定時(shí)， FIR數(shù)字濾波器的相位特性是一個(gè)確知的線性函數(shù)， 即 ()= (N 1)/2。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第二類(lèi)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的相位 :()=-/2-， 類(lèi)似推 導(dǎo)可得到 : 1 j j j( / 2 ) g 0 ( e ) ( ) e ( ) e N n n H h n H 2) 第二類(lèi)線性相位對(duì) h(n)的約束條件 函數(shù) h(n)cos (n )關(guān)于求和區(qū)間的中心 (N 1)/2奇對(duì)稱(chēng)， 是滿(mǎn)足式（ 7.1.9）的一組解，因?yàn)?cos (n )關(guān)于 n=偶對(duì) 稱(chēng)，所以要求 和 h(n)滿(mǎn)足如下條件： 1 0 ( ) c o s ( ) 0 N n h n n （ 7.1.9） 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第二類(lèi)線性相位特性： h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于 n=(N 1)/2點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng)。 （ 7.1.10） 1( ) , 22 ( ) ( 1 ), 0 1 N h n h N n n N N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí) h(n)的對(duì)稱(chēng)情況分別如表 7.1.1中情況 3和 情況 4 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2 線性相位 FIR濾波器幅度特性 Hg() 的特點(diǎn) 1 , 2 N 1 2 NM FIR濾波器時(shí)域約束條件： h(n)= h(N n 1) 為了推導(dǎo)方便，引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào)： 情況 1： h(n)=h(N n 1), N為奇數(shù) 將時(shí)域約束條件 h(n)=h(N n 1)和 ()= 代入式 （ 7.1.1）和（ 7.1.2），得到 : 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) n1 0 )()( jN n j enheH n1 2/1 2/)1(n2/3 0 )()2 1()()( jN Nn NjjN n j enheNhenheH ）（ ）（ m)/3 m /)(n/3 m()()()( 12 0 212 0 12 1 NjNNjjN n j eNheNhenheH （）（）（ ） n1m N令 )(c o s ()()()( / ）（ nnhheeH 3N n jj 2 0 2 )()()( )-n()-n( /3 /)( 2 1 2 12 0 21 2 1 NjNjN n Njj eenhNheeH ）（ 1 , 2 N 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 呈偶對(duì)稱(chēng)對(duì) ,2,0)( g H )nc o s ()n()()( n g 1 0 2 M hhH 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )(gH 仿照情況 1的推導(dǎo)方法得到 : 1 j j j j g 00 (e ) ( )e = ( )e e 2 ( ) c o s ( ( ) ) NM n nn H H h n h n n （ 7.1.12） g 0 ( ) 2 ( ) c o s ( ) M n H h n n 式中： ( 1 ) / 2 / 2 1 / 2NN c o s ( ) c o s s in 0 22 NNn n n 情況 2： h(n)=h(N n 1), N為偶數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 呈奇對(duì)稱(chēng) 呈偶對(duì)稱(chēng)對(duì) , ,)(g 20H 不適合高通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )(gH n1 0 )()( jN n j enheH )()()( - 1 )n(n NjjM n j enNhenheH 1 0 )()()( - 1 )n(n NjjM n j enhenheH 0 )()( )-n()-n(/)( 2 12 11 0 21 NjNjM n Njj eenheeH 1 , 2 N 情況 3： h(n)= h(N n 1)， N為奇數(shù) )n(i n )n(j)( n sheeH Mjj 1 0 2 )n(in)n()( n 2 ）（ sheeH Mjj 1 0 2 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾 波器的設(shè)計(jì) 呈奇對(duì)稱(chēng)對(duì) ,)(g 20H 不適合低通、高通，帶阻濾波器 )n(in)n()( n g shH M 1 0 2 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 用情況 3的推導(dǎo)過(guò)程可以得到 : g 0 ( ) 2 ( ) s i n ( ) M n H h n n 情況 4： h(n)= h(N n 1)， N為偶數(shù) 式中， N是偶數(shù)， =(N 1)/2=N/2 1/2。所以，當(dāng) =0, 2 時(shí)， sin (n ) =0；當(dāng) =時(shí)， sin (n ) =( 1)n N/2, 為峰值點(diǎn)。而且 sin (n )關(guān)于過(guò)零點(diǎn) =0和 2兩點(diǎn)奇 對(duì)稱(chēng)，關(guān)于峰值點(diǎn) =偶對(duì)稱(chēng)。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 呈偶對(duì)稱(chēng) 呈奇對(duì)稱(chēng)對(duì) , ,)( 20gH 不適合低通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )(gH 表 7.1.1 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾 波器的設(shè)計(jì) 四種線性相位 FIR濾波器 相位 特性 幅度特性 適用 特點(diǎn) 1 )( 0 )n1N(h)n(h 2 1N)(N奇 呈偶對(duì)稱(chēng)，對(duì) 20 2 N偶 偶對(duì)稱(chēng) 呈奇對(duì)稱(chēng)對(duì) 20 , , )n1N(h)n(h 22 1N)( )( 0 3N奇 呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì) 20 4 N偶 偶呈對(duì)稱(chēng)對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì) 20 低通 高通 帶通 帶阻 低通 帶通 帶通 高通 帶通 )nc o s ()n()()( ng 1 0 2M hhH g 0( ) 2 ( ) c o s ( ) M n H h n n )n(in)n()( ng shH M 1 0 2 g 0 ( ) 2 ( ) s i n ( ) M n H h n n 3. 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布特點(diǎn) （ 7.1.14） 1 0 ( ) ( ) N n n H z h n z 11 00 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 0 ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) NN nn nn N N m N m H z h n z h N n z h m z z H z 將 h(n)= h(N 1 n)代入上式 , 得到 : 的零點(diǎn)是若 )Z(HZZ i ）的零點(diǎn)（一定是 ZHZZ 1i 的零點(diǎn)是）實(shí)序列： )Z(HZZ ih ( n ）的零點(diǎn)（一定是）（ ZHZZ 1i 線性相位 FIR濾波器零點(diǎn)：互為倒數(shù)的共軛對(duì)，確定其中一個(gè)，另 外三個(gè)零點(diǎn)也就確定了 . 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例如： FIR線性相位濾波器的 h(n)是實(shí)數(shù)且 n6時(shí)， h(n) 0， 如果 h(0) 1且系統(tǒng)函數(shù)在 z=3和各 有一個(gè)零點(diǎn)，求 H(Z) 3je5.0z 必有一個(gè)則在 有一個(gè)復(fù)零點(diǎn)，在 3 3 50 50 j j ez ezH . .z)( )ze5.01)(ze5.01()z(H )z(H)z(H 13j13j 1 1 ：必含有因子 解： ： z)e5.0(1z)e5.0(1)z(H )z(H 113j113j ：兩個(gè)零點(diǎn)倒數(shù)包含因子 2 2 )311)(31)(421)(16.04.01( 112121 zzzzzzA )z 3 1)(z1()z(H )z(H3z 11 13 3 3 ：及其倒數(shù)包含因子 整理多項(xiàng)式： 由 h(0) 1 得： A=1 )z(H)z(H)z(AH)z(H 1 32則系統(tǒng)函數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4. 線性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè) N為偶數(shù) ， 則有 1 11 2 00 2 ( ) ( ) ( ) ( ) N NN n n n Nnm n H z h n z h n z h n z 令 m=N-n-1,則有 11 22 ( 1 ) 00 ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) NN n N m nm H z h n z h N m z h n h N n 1 2 ( 1 ) 0 ( ) ( ) N n N n n H z h n z z (7.1.22) 如果 N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng) h (N-1)/2單獨(dú)列出， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (7.1.23) ( 1 ) 12 1 ( 1 ) 2 0 ( ) ( ) ( 1 )2 N N n N n n NH z h n z z h z 圖 7.1.2 第一類(lèi)線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x ( n ) y ( n ) z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 1) x ( n ) y ( n ) z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N 1 ) / 2 ) N 偶數(shù) N 奇數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.1.3 第二類(lèi)線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x ( n ) y ( n ) z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 1) x ( n ) y ( n ) z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N 1 ) / 2 ) N 偶數(shù) N 奇數(shù) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )e(H jd )n(h d )n()n(h)n(h d 7.2.1窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理 )e(H j de)e(H2 1)n(h njjdd 截 斷 逼 進(jìn) 一、設(shè)計(jì)思想 nj1N 0n j e)n(h)e(H 7.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 相應(yīng)的單位取樣響應(yīng) hd(n)為 , () 0, ja cj d c e He (7.2.1) 1 s i n ( ( )() 2 ( ) c c j a j n c d nah n e e d na (7.2.2) h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3) 例如：設(shè)計(jì)一個(gè) FIR低通 filter,其理想頻響為 ： 為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為 N的線性相位濾波器 ， 只有將 hd(n)截取一段 ， 并保證截取的一段對(duì) (N-1)/2對(duì)稱(chēng) 。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 實(shí)際的濾波器單位取樣響應(yīng)為 h(n),長(zhǎng)度為 N， 其系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)， 圖 7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗 1 0 ( ) ( ) N n n H z h n z 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 吉布斯（ Gibbs）效應(yīng)： 用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列 h(n)去代替 hd(n)，肯 定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是引起過(guò)渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi) 的波動(dòng)，尤其使阻帶的衰減小，從而滿(mǎn)足不了技術(shù)上的要求。這種 吉布斯效應(yīng)是由于將 hd(n)直接截?cái)嘁鸬?，也稱(chēng)為 截?cái)嘈?yīng) 。 Hd(ej)是一個(gè)以 2為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級(jí)數(shù)，即 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 hd(n)。 設(shè)計(jì) FIR濾波器就是 根據(jù)要求找到 N個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) h(n)， n=1, 2, , N 1，以 N項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)去近似代替無(wú)限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)，這樣在 一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)引起較大誤差，這種誤差就是截?cái)嘈?yīng) 。 n nnhH j d j d e)()e( 傅氏級(jí)數(shù)法： 顯然，選取傅氏級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但 項(xiàng)數(shù)增多即 h(n)長(zhǎng)度增加，也使成本和濾波計(jì)算量加大，應(yīng)在滿(mǎn) 足技術(shù)要求的條件下，盡量減小 h(n)的長(zhǎng)度。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 二、窗函數(shù)對(duì)頻響的影響 )n(w)n(h)n(h d deWeHeH jRjdj )()()( )(2 1 j Rg )(j jj R e)( )/s i n ( )/s i n ( e ee)()( W N nWeW N N n n N n nj R 2 21 2 1 1 0 1 0 )( jwd eH21 )e(H j )( jR eW 2 1 )2/s i n ( )2/s i n ()( Rg NNW ， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 0 ( ) ( ) j j addH e H e 按照 (7.2.1)式 ， 理想低通濾波器的幅度特性 Hd()為 1, () 0, c d c H 將 Hd(e j)和 WR(e j)代入 (7.2.4)式 ， 得到： () g g 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 j j a j a dR ja dR H e H e W e d e H W d g gg ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 j j a dR H e H e H H W d )(dH 0 c c 1 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ,0 H(0) 為 在 面積的積分 )(RgW 1).當(dāng) cc 到 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） 時(shí)， 正好與 的一半相重疊。這時(shí) 有 c )( RgW)(H d 5.0)0(H/)(H c 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3） 時(shí)， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。 N 2 c )( RgW )(H d 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4） 時(shí)，主瓣全部在通帶外，出現(xiàn)負(fù)的肩峰。 Nc /2 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （ 5）當(dāng) 時(shí)，隨 增加，左邊旁瓣的起伏部 分掃過(guò)通帶，卷積也隨著 在通帶內(nèi)的旁瓣的 面積變化而變化，故 將圍繞著零值而波動(dòng)。 N 2 c )(g H )(g RW N 2 c (6)當(dāng) 時(shí)， 的右邊旁瓣將進(jìn)入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而 波動(dòng)。 )(g RW )(H d )(H )0(H 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 0.0895 -0.0895 1 0 0.5 )(gH c - c 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.2.2 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響 （ 1） 在理想特性不連續(xù)點(diǎn) =c附近形成過(guò)渡帶。 過(guò)渡帶的寬度近似等于 WRg()主瓣寬度 4/N （ 2） 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在 c 2/N處。 阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在 c+2/N處。通帶與阻 帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)， WRg()旁瓣幅 度的大小直接影響 Hg()波紋幅度的大小。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 以上兩點(diǎn)就是對(duì) hd(n)用矩形窗截?cái)嗪?，在頻域的反映， 稱(chēng)為吉布斯效應(yīng)。這種效應(yīng)直接影響濾波器的性能。通帶內(nèi) 的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi) 的衰減，可能使最小衰減不滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求。當(dāng)然，一般 濾波器都要求過(guò)渡帶愈窄愈好。 加窗影響： 直觀上，好像增加矩形窗的長(zhǎng)度 N，就可以減少吉布斯效應(yīng)， 但 實(shí)際上加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 。 我們分析一下 N加大時(shí) WRg()的變化，在主瓣附近， WRg() 可近似為 該函數(shù)的性質(zhì)是隨 x加大（ N加大），主瓣幅度加高，同時(shí)旁 瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變； 另一方面， N加大時(shí)， WRg()的主瓣和旁瓣寬度變窄，波動(dòng)的 頻率加快。 三種不同長(zhǎng)度的矩形窗函數(shù)的幅度特性 WRg()及其設(shè)計(jì)的 FIR濾波器的幅度特性 Hg()曲線如圖 7.2.4所示 Rg s in ( / 2 ) s in() /2 NxWN x 減少吉布斯效應(yīng)的影響： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表明： 當(dāng) N加大時(shí)， Hg()的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善，只能使 Hg() 過(guò)渡帶變窄（過(guò)渡帶近似為主瓣寬度 4/N）。因此加大 N, 并不是 減小吉布斯效應(yīng)的有效方法。 圖 7.2.4 矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度的影響 例如：設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為 的數(shù)字低通濾波器 4/cw 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 對(duì)于同一個(gè)的窗函數(shù)當(dāng)隨著 N的增加，阻帶衰減越快， 但是第一旁瓣值不變， N越大，過(guò)渡帶越窄，旁瓣越多， 通帶越寬。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 以上分析說(shuō)明： 調(diào)整窗口長(zhǎng)度 N只能有效地控制過(guò) 渡帶的寬度，而要減少帶內(nèi)波動(dòng)以及增大阻帶衰減，只 能從窗函數(shù)的形狀上找解決問(wèn)題的方法。構(gòu)造新的窗函 數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣 幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動(dòng)減小，從而 加大阻帶衰減。但這樣總是以加寬過(guò)渡帶為代價(jià)的。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7.2.2 典型窗函數(shù)介紹 1 矩形窗（ Rectangle Window） wR(n)=RN(n) 其幅度函數(shù)為 下面均以低通為例， Hd(ej)取理想低通， c=/2，窗函數(shù) 長(zhǎng)度 N=31。 Rg s i n ( / 2 )() s i n ( / 2 ) NW 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 矩形窗的四種波形如圖 7.2.5所示 . 圖 7.2.5 矩形窗的四種波形 旁瓣峰值： n= 13 dB； 過(guò)渡帶寬度： Bg=4/N; 阻帶最小衰減： s= 21 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2 三角形窗（ Bartlett Window） 其頻譜函數(shù)為 （ 7.2.8） 1)1( 2 1 1 2 2 )1( 2 1 0 1 2 )(B NnN N n Nn N n n ， ， 2 1j2 j B e)2/s i n ( 4/s i n2)e( N N N W 其幅度函數(shù)為： 2 Bg 2 s i n ( / 4 )() s i n ( / 2 ) NW N 三角窗的四種波形如圖 7.2.6所示 . 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.2.6 三角窗的四種波形 參數(shù)為 : n= 25 dB; Bg=8/N; s= 25 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3 漢寧（ Hanning）窗 升余弦窗 （ 7.2.11） H n N 2( ) 0 . 5 1 c o s ( ) 1 nw n R n N j H n H n 1 j 2 Rg Rg Rg 1 j 2 H n g 1 j j 2 R N Rg ( e ) ( ) 2 2 0.5 ( ) 0.25 e 11 ( ) e ( e ) ( ) ( ) e N N N W F T W n W W W NN W W F T R n W 其頻譜函數(shù)為 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 當(dāng) N1時(shí)， N 1N H n g R g R g R g 2 2 ( ) 0 . 5 ( ) 0 . 2 5W W W W NN 漢寧窗的幅度函數(shù) WHng()由三部分相加，旁瓣互相對(duì)消， 使能量更集中在主瓣中。 漢寧窗的四種波形如圖 7.2.7 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.2.7 漢寧窗的四種波形 參數(shù)為 : n= 31 dB; Bg=8/N; s= 44 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4 哈明（ Hamming）窗 改進(jìn)的升余弦窗 )e(23.0)e(23.0)e(54.0)e( 1 2 R1 2j RERjHm N EN WWWW )( 1 2c o s46.054.0)( NHm nRN nn （ 7.2.12） 其頻譜函數(shù)為： 其幅度函數(shù) WHmg()為： 當(dāng) N時(shí)，其可近似表示為 1223.01223.0)(54.0)( RgRgRgH m g NWNWWW NWNWWW 223.0223.0)(54.0)( RgRgRgH m g 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 這種改進(jìn)的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能 量約占 99.96%，瓣峰值幅度為 40 dB，但其主瓣寬度和漢 寧窗的相同，仍為 8/N?？梢?jiàn)哈明窗是一種高效窗函數(shù)， 所以 MATLAB窗函數(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)的默認(rèn)窗函數(shù)就是哈明窗。 哈明窗的四種波形如圖 7.2.8所示 . 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.2.8 哈明窗的四種波形 參數(shù)為 : n= 41 dB; Bg=8/N; s= 53 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 5 布萊克曼（ Blackman）窗 其頻譜函數(shù)為 （ 7.2.13） )(14c o s08.012c o s5.042.0)(Bl nRN nN nn N ）（）（ ）（ 1 4 j R 1 4 j R 1 2 j R 1 2 j R j R j Bl ee04.0 e)e(25.0)e(42.0)e( NN NN WW WWWW 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 其幅度函數(shù)為 這樣其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同， 且幅度也不同的 WRg()函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。旁瓣 峰值幅度進(jìn)一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的 3倍。 布萊克曼窗的四種波形如圖 7.2.9所示 . 1 4 1 4 04.0 1 2 1 2 25.0)(42.0)( RgRg RgRgRgB l g N W N W N W N WWW 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.2.9 布萊克曼窗的四種波形 參數(shù)為 : n= 57 dB; B=12/N; s= 74 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6 凱塞 貝塞爾窗（ Kaiser-Basel Window） 以上五種窗函數(shù)都稱(chēng)為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗 函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞 貝塞爾窗是一種 參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。 2 1 1 21 N n 10)( )()( 0 0k Nn I In ， （ 7.2.15） 其中： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) I0()是零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算： 一般 I0()取 1525項(xiàng)，便可以滿(mǎn)足精度要求。 參數(shù)可以 控制窗的形狀。一般 加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小 ， 典型數(shù)據(jù)為 4 9。當(dāng) =5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。 =7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設(shè)計(jì)指標(biāo)給定時(shí)， 可以調(diào)整 值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu) . 凱塞（ Kaiser）給出的估算 和濾波器階數(shù) N的公式如下 : 2 0 1 1( ) 1 !2 k k I k 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 式中， Bt=|s p|, 是數(shù)字濾波器過(guò)渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注 意，因?yàn)槭剑?7.2.17）為階數(shù)估算，所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié) 果進(jìn)行檢驗(yàn)。另外，凱塞窗函數(shù)沒(méi)有獨(dú)立控制通帶波紋 幅度，實(shí)際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。 凱塞窗的幅度函數(shù)為： （ 7.2.16） ss 0.4 s s s s 0. 11 2( 8. 7 ) , 50 d B 0. 58 42 ( 21 ) 0. 07 88 6( 21 ) , 21 50 d B 0 , 21 （ 7.2.17） s t 8 2.285N B 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ( 1 ) / 2 kg k k 1 ( ) ( 0) 2 ( ) c os N n W w w n n 對(duì) 的 8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表 7.2.1中， 供設(shè)計(jì)者參考。由表可見(jiàn) , 當(dāng) =5.568 時(shí) , 各項(xiàng)指標(biāo)都 好于哈明窗。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表 7.2.1 凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表 7.2.2 6種窗函數(shù)的基本參數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例如：設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為 的數(shù)字低通濾波器 4/cw 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 矩形窗過(guò)渡帶最窄，布拉克曼窗過(guò)渡帶最寬，但是對(duì) 于阻帶最小衰減性矩形窗最差，只有 21dB，布萊克曼 窗最好，達(dá)到 75dB。漢明窗與漢明窗的過(guò)渡帶稍寬， 阻帶衰減性也較好，是較為常用的窗函數(shù)。 N=20 改變 N只能改變過(guò)渡帶寬窄，不能改變阻帶的衰減 性； 阻帶的衰減性由窗函數(shù)類(lèi)型決定，矩形窗最差，布 萊克曼窗最好 ; 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一般希望濾波器既要有很好過(guò) 渡性又要有很好的阻帶衰減性。過(guò)渡帶窄時(shí)，但阻帶 衰減不好；阻帶衰減好時(shí)，但過(guò)渡帶寬；因此，實(shí)際 中窗函數(shù)的選擇往往是它們的折衷。 結(jié)論： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表中過(guò)渡帶寬和阻帶最小衰減是用對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)設(shè)計(jì)的 FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)指標(biāo)。隨著數(shù)字信號(hào)處理的 不斷發(fā)展，學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達(dá)幾十種，除了上 述 6種窗函數(shù)外，比較有名的還有 Chebyshev窗、 Gaussian窗 5, 6 。 MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了 14種 窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，下面列出上述 6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù) 及其調(diào)用格式： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) Matlab窗函數(shù) 產(chǎn)生函數(shù) 窗函數(shù) 矩形窗 三角窗 寧漢窗 MATLAB 函數(shù) MATLAB 函數(shù) 窗函數(shù) wn=boxcar(N) wn=triang(N) wn=hanning(N) wn=hamming(N) wn=blackman(N) wn=Kaiser(N,beta) 哈明窗 布萊克曼 凱澤窗 表中列向量 wn中返回長(zhǎng)度為 N窗函數(shù) w(n) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR (1)根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求，選擇窗 函數(shù)的類(lèi)型，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度 N。 先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類(lèi)型。原則是在保證阻 帶衰減滿(mǎn)足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。 然后根據(jù)過(guò)渡帶寬度估計(jì)窗口長(zhǎng)度 N。待求濾波器的過(guò) 渡帶寬度 Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長(zhǎng) 度 N成反比， NA/Bt， A取決于窗口類(lèi)型。 7.2.3 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR濾波器的步驟 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ej )，即 對(duì)所謂的“標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法”，就是選擇 Hd(ej)為線性相位 理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。 以低通濾波器為例， Hdg()應(yīng)滿(mǎn)足： j j ( 1 ) / 2 d dg( e ) ( ) e NHH c dg c 1 | |() 0 | | H （ 7.2.19） 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 由圖 7.2.2知道，理想濾波器的截止頻率 c近似位于最 FIRDF 的過(guò)渡帶的中心頻率點(diǎn)，幅度函數(shù)衰 減一半（約 6 dB）。所以如果設(shè)計(jì)指標(biāo)給定通帶邊界頻 率和阻帶邊界頻率 p和 s， 一般取 (3) 計(jì)算 hd(n) 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為 Hd(ej)，那么單位 脈沖響應(yīng)用下式求出： 2 sp c （ 7.2.20） 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 的線性相位理想低通濾波器作為 Hd(ej)，其單位脈沖響應(yīng) hd(n)： 為保證線性相位特性， =(N 1)/2 c d s in ( ( ) )() ( ) nhn n （ 7.2.21） jjdd de)e(2 1)( nHnh c dg c 1 | |() 0 | | H 對(duì)： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2 j dd( ) ( e ) kM MH k H 根據(jù)頻域采樣理論， hdM(n)與 hd(n)應(yīng)滿(mǎn)足如下關(guān)系： dd( ) I D F T ( ) M M Mh n H k dd( ) ( ) ( )MM r h n h n rM R n 如果 Hd(ej)較復(fù)雜或者不能用封閉公式表示 可以對(duì) Hd(ej)從 =0到 =2采樣 M點(diǎn)，采樣值為： k=0 ,1, 2, , M 1，進(jìn)行 M點(diǎn) IDFT(IFFT) 得到： 如果 M選得較大，可以保證在窗口內(nèi) hdM(n)有效逼近 hd(n) (4) 加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果： h(n)=hd(n)w(n) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 7.2.1 用矩形窗 、 漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì) FIR低通濾 波器 ， 設(shè) N=11,c=0.2rad。 解 用理想低通作為逼近濾波器 ， 0 1 0 1 ( 1 ) 5 2 sin ( 0 .2 ( 5 ) ) ( ) , 0 1 0 ( 5 ) d n N n h n n n 相應(yīng)的單位取樣響應(yīng) hd(n)為： 1 s i n ( ( )() 2 ( ) c c j a j n c d nah n e e d na ,() 0, ja cj d c eHe 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 用漢寧窗設(shè)計(jì)： ( ) ( ) ( ), 0 1 0 2 ( ) 0 . 5 ( 1 co s ) 10 d H n Hn h n h n n n n n 用布萊克曼窗設(shè)計(jì)： 11 ( ) ( ) ( ) 22 ( ) ( 0 . 4 2 0 . 5 co s 0 . 0 8 co s ) ( ) 1 0 1 0 d B l Bl h n h n n nn n R n 用矩形窗設(shè)計(jì)： 10( ) ( ) ( ) dh n h n R n 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 例 7.2.1的低通幅度特性 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 7.2.2】 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通 FIRDF，要求通帶 截止頻率 p=/2 rad，阻帶截止頻率 s=/4 rad，通帶最大衰 減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=40 dB。 解 (1） 選擇窗函數(shù) w(n)，計(jì)算窗函數(shù)長(zhǎng)度 N。 窗函數(shù)： 已知阻帶最小衰減 s=40 dB，由表（ 7.2.2）可知 漢寧窗和哈明窗均滿(mǎn)足要求，我們選擇漢寧窗。 過(guò)渡帶： 本例中過(guò)渡帶寬度 Btp s=/4， 漢寧窗的精 確過(guò)渡帶寬度 Bt=6.2/N，所以要求 Bt=6.2/N/4 N24.8。 對(duì)高通濾波器 N必須取奇數(shù)，取 N=25。 25( ) 0.5 1 c os ( )12 nw n R n 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （ 2） 構(gòu)造 Hd(ej): j jc d c e , (e ) 0 , 0 H sp c 131 2 , 22 N 式中： （ 3） 求出 hd(n): jj dd 1( ) ( e ) e d 2 nh n H c c j j j j1 e e d e e d 2 nn cs in ( )s in ( ) ( ) ( ) nn nn 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 將 =12代入得 ： d s i n 3 ( 1 2 ) / 8 ( ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) nh n n n (n 12)對(duì)應(yīng)全通濾波器， 是截止頻率為 3/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，二者之差就是理 想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。這就是求理想高通濾波器 的單位脈沖響應(yīng)的另一個(gè)公式。 s in 3 ( 1 2 ) / 8 ( 1 2 ) n n d( ) ( ) ( )h n h n w n （ 4） 加窗 : 25 s in 3 ( 1 2 ) / 8 ( 1 2 ) 0 . 5 0 . 5 c o s ( ) ( 1 2 ) 1 2 nnn R n n 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (1) fir1 fir1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的工具箱 函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)。 這里的所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，是指在設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻 FIR濾波器時(shí)， Hd(ej)分別表示相應(yīng)的線性相位理想低通、 高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。因而將所設(shè)計(jì)的 7.2.4 窗函數(shù)法的 MATLAB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) hn=fir1(M, wc) 返回 6 dB截止頻率為 wc的 M階（單位脈沖響應(yīng) h(n)長(zhǎng) 度 N=M+1） FIR低通（ wc為標(biāo)量）濾波器系數(shù)向量 hn，默 認(rèn)選用哈明窗。 濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)與向量 hn h(n)=hn(n+1) n=0, 1, 2, , M 滿(mǎn)足線性相位條件 : h(n)=h(N 1 n) wc為對(duì) 0wc1 當(dāng) wc= wcl, wcu時(shí)，得到的是帶通濾波器，其 6 dB通 帶為 wclwcu 調(diào)用格式及功能： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) hn=fir1(M, wc, ftype) 可設(shè)計(jì)高通和帶阻 FIR濾波器。當(dāng) ftype=high時(shí)，設(shè)計(jì) 高通 FIR濾波器；當(dāng) ftype=stop，且 wc= wcl, wcu時(shí)，設(shè) 計(jì)帶阻 FIR濾波器。 應(yīng)當(dāng)注意，在設(shè)計(jì)高通和帶阻 FIR濾波器時(shí)，階數(shù) M 只能取偶數(shù)（ h(n)長(zhǎng)度 N=M+1為奇數(shù)）。不過(guò)，當(dāng)用戶(hù)將 M設(shè)置為奇數(shù)時(shí)， fir1會(huì)自動(dòng)對(duì) M加 1 hn=fir1(M, wc, window)， 可以指定窗函數(shù)向量 window。如果缺省 window參數(shù)，則 fir1默認(rèn)為哈明窗。 例如 : 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) hn=fir1(M, wc, bartlett(M+1)，使用 Bartlett窗設(shè)計(jì)； hn =fir1(M, wc, blackman(M+1)，使用 blackman窗設(shè)計(jì)； hn=fir1(M, wc, ftype, window) 通過(guò)選擇 wc、 ftype和 window參數(shù)（含義同上），可以設(shè) 計(jì)各種加窗濾波器。 (2) fir2 fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)函數(shù)，用 fir2設(shè)計(jì) 時(shí)，可以指定任意形狀的 Hd(ej)，它實(shí)質(zhì)是一種頻率采樣法與 窗函數(shù)法的綜合設(shè)計(jì)函數(shù)。主要用于設(shè)計(jì)幅度特性形狀特殊的 濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。用 help命令查閱其 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 7.2.2 的設(shè)計(jì)程序 ep721.m如下 : ep721.m: 例 7.2.2 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通 FIR wp=pi/2; ws=pi/4; Bt=wp-ws; N0=ceil(6.2*pi/Bt); 根據(jù)表 7.2.2漢寧窗計(jì)算所 需 h(n)長(zhǎng)度 N0， ceil(x)取大于等于 x N=N0+mod(N0+1, 2); 確保 h(n)長(zhǎng)度 N wc=(wp+ws)/2/pi; 計(jì)算理想高通濾波器通帶 截止頻率 (關(guān)于 歸一化 ) hn=fir1(N-1, wc, high, hanning(N); 調(diào)用 fir1計(jì)算高通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n) 略去繪圖部分 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 運(yùn)行程序得到 h(n)的 25個(gè)值 : h(n)= 0.0004 0.0006 0.0028 0.0071 0.0000 0.0185 0.0210 0.0165 0.0624 0.0355 0.1061 0.2898 0.6249 0.2898 0.1061 0.0355 0.0624 0.0165 0.0210 0.0185 0.0000 0.0071 0.0028 0.0006 0.0004 高通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)及損耗函數(shù)如圖 7.2.9所示。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 7.2.2 高通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 7.2.3】 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理，要求通帶 0f 1.5kHz內(nèi)衰減小于 1 dB， 阻帶 2.5kHzf 上衰減大于 40 dB。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線性相位 FIR數(shù)字濾波器實(shí) 現(xiàn)上述濾波，采樣頻率 Fs=10 kHz。用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)滿(mǎn)足要 求的 FIR數(shù)字低通濾波器，求出 h(n)，并畫(huà)出損耗函數(shù)曲線。 解 （ 1） 確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo) : 通帶截止頻率為 3.0 10000 150022 s p p F f 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為 s =40 dB （ 2） 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR數(shù)字低通濾波器，為了 降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（ 7.2.16）計(jì)算凱塞窗 的控制參數(shù)為 5.01 0 0 0 02 5 0 022 s ss F f 0 . 4ss0 . 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 . 0 7 8 8 6 ( 2 1 ) 3 . 3 9 5 3 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 指標(biāo)要求過(guò)渡帶寬度 Bt=s p=0.2，根據(jù)式（ 7.2.17）計(jì)算 濾波器階數(shù)為 取滿(mǎn)足要求的最小整數(shù) M=23。所以 h(n)長(zhǎng)度為 N=M+1=24。 如果用漢寧窗， h(n)長(zhǎng)度為 N=40。 理想低通濾波器的通帶截止頻率 c=(s+p)/2=0.4，所以得 到 : 式中， w(n)是長(zhǎng)度為 24（ =3.395 s t 8 4 0 8 2 2 .2 8 8 7 2 .2 8 5 2 .2 8 5 0 .2M B d s i n 0 . 4 ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 . 5 ( ) 2 nNh n h n w n w n n 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 實(shí)現(xiàn)本例設(shè)計(jì)的 MATLAB程序?yàn)?ep722.m ep722.m: 例 7.2.3 用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位低通 FIR fp=1500;fs=2500;rs=40; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs; Bt=ws-wp; % alph=0.5842*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21); %根據(jù) (7.2.16)式計(jì)算 kaiser窗的控制參數(shù) N=ceil(rs-8)/2.285/Bt); %根據(jù) (7.2.17)式計(jì)算 kaiser窗 所需階數(shù) N 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) wc=(wp+ws)/2/pi; %計(jì)算理想高通濾波器通帶截止頻率 (關(guān)于 hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph); %調(diào)用 kaiser計(jì)算低通 FIRDF 的 h(n) 以下繪圖部分省去 運(yùn)行程序得到 h(n)的 24個(gè)值 : h(n)= 0.0039 0.0041 0.0062 0.0147 0.0000 0.0286 0.0242 0.0332 0.0755 0.0000 0.1966 0.3724 0.3724 0.1966 0.0000 0.0755 0.0332 0.0242 0.0286 0.0000 0.0147 0.0062 0.0041 0.0039 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 7.2.3 低通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 7.2.4】 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位 FIR帶阻濾 波器。要求通帶下截止頻率 lp =0.2，阻帶下截止頻率 ls=0.35，阻通帶上截止頻率 us=0.65，通帶上截止頻 率 up=0.8， 通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=60 dB 解 本例直接調(diào)用 fir1函數(shù)設(shè)計(jì)。因?yàn)樽鑾ё钚∷p s=60 dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過(guò)渡帶寬度選 擇濾波器長(zhǎng)度 N，布萊克曼窗的過(guò)渡帶寬度 Bt=12/N，所 以 l p l s 12 0.3 5 0.2 0.1 5 N 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 解之得 N=80 l p l s us up c ,2 2 設(shè)計(jì)程序?yàn)?ep723.m ep723.m: 例 7.2.4 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位帶阻 FIR wlp=0.2*pi;wls=0.35*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi; % B=wls-wlp; % N=ceil(12*pi/B); %計(jì)算階數(shù) N,ceil(x)為大于 等于 x 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) wp= (wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi ; %設(shè)置 hn=fir1(N,wp,stop,blackman(N+1); %帶阻 濾波器要求 h(n)長(zhǎng)度為奇數(shù)，所以取 N+1 省略繪圖部分 程序運(yùn)行結(jié)果 : N=81 由于 h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出 h(n)的波形及 損耗函數(shù)曲線，如圖 7.2.11所示。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 7.2.4 帶阻 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )( jd eH nk N N n d WkHNnh 1 0 1 )()( kNeHkH jdd 2)()( 一、設(shè)計(jì)思想 7.3頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR濾波器 1 0 N n nn) zhzH ()( kN 2 采樣 1 0 11 1 N k k N d N ZW kH N ZzH )()( )( jeH 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1） FIR濾波器具有線性相位的條件是 h(n)為實(shí)序列，且 滿(mǎn)足 h(n)=h(N n 1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是： j j ( )d d g( e ) ( ) eHH （ 7.3.5） （ 7.3.6） 2 1)( N (7.3.7) d g d g( ) ( 2 )HH N = 奇數(shù) (7.3.8) dg dg( ) ( 2 )HH N = 偶數(shù) 二、設(shè)計(jì)線性相位濾波器時(shí)對(duì) Hd(k)的約束條件 呈偶對(duì)稱(chēng)對(duì)為奇數(shù)： ,)( 20dgHN 呈偶對(duì)稱(chēng)對(duì)呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì)為偶數(shù)： ,)( 20 HN dg 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 在 =02區(qū)間上 N個(gè)等間隔的采樣頻點(diǎn)為 將 =k代入（ 7.3.5） （ 7.3.8）式中，并寫(xiě)成 k的函數(shù)： kNk 2 k = 0， 1， 2， ， N 1 （ 7.3.9） )(j gd e)()( kkHkH （ 7.3.10） kNNkN Nk 122 1 )( （ 7.3.11） )()( kNHkH gg N = 奇數(shù) （ 7.3.12） )()( kNHkH gg N = 偶數(shù) Hd(k)的約 束條件 ： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 設(shè)用理想低通作為希望逼近的濾波器 Hd(ej)，截止頻率為 c， 采樣點(diǎn)數(shù)為 N， Hg(k)和 (k)用下列公式計(jì)算： （ 7.3.13） 1210 1 )( 1210)( 2101)()( cccg cgg Nkk N N k kNkkkkH kkkNHkH ， ， ， g g c c c gc ( ) 1 0 , 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , 1 ( ) 1 1 , 2 , , 1 () 0 , 1 , 2 , , 1 c H k k k H k k k k N k H N k k k N k k k N N 式中 kc是通帶內(nèi)最后一個(gè)采樣點(diǎn)的序號(hào)， kc值取不大于 cN/(2) 的最大整數(shù)。另外，對(duì)于高通和帶阻濾波器，這里 N只能取奇數(shù)。 N為偶 數(shù)時(shí)， N為奇 數(shù)時(shí)， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） FIR濾波器具有線性相位的條件是 h(n)為實(shí)序列，且滿(mǎn)足 h(n)=-h(N n 1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是： )()( kNHkH gg N = 奇數(shù) )()( kNHkH gg N = 偶數(shù) Hd(k)的約 束條件 ： 2 11 22 12 )()( Nk Nk Nk 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3 逼近誤差及其改進(jìn)措施 如果待逼近的濾波器為 Hd(ej)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為 hd(n)，則由頻率域采樣定理知道，在頻域 02范圍等間隔采 樣 N點(diǎn)，利用 IDFT得到的 h(n)應(yīng)是 hd(n)以 N為周期的周期延拓 的主值區(qū)序列，即 如果 Hd(ej)有間斷點(diǎn)，那么相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) hd(n)應(yīng)是無(wú) 限長(zhǎng)的。這樣，由于時(shí)域混疊及截?cái)啵?h(n)與 hd(n)有偏差。 所以，頻域的采樣點(diǎn)數(shù) N愈大，時(shí)域混疊愈小，設(shè)計(jì)出的濾 波器頻響特性愈逼近 Hd(ej) d( ) ( ) ( )N m h n h n m N R n 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 頻域采樣定理表明，頻率域等間隔采樣 H(k)，經(jīng)過(guò) IDFT得 到 h(n)，得到 H(ej)=FT h(n)的內(nèi)插表示形式： 1 0 j 2)()e( N k k N kHH 2 1j e )2/s i n ( )2/s i n (1)( N N N 在采樣點(diǎn)上實(shí)際頻率響應(yīng)嚴(yán)格等于理想頻率響應(yīng) 采樣點(diǎn)之間實(shí)際頻響由各采樣點(diǎn)加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸而成，因 而有誤差，誤差大小和理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān) 改進(jìn)：在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)的邊緣點(diǎn)加上一些過(guò)渡的采樣點(diǎn) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.3.1 頻域幅度采樣序列 Hg(k)及其內(nèi)插波形 Hg() Hdg()特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈?。惶匦郧€間斷點(diǎn)處，誤差最大。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)變成傾斜下降的過(guò)渡帶曲線，過(guò) 渡帶寬度近似為 2/N。通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生震蕩波紋，且 間斷點(diǎn)附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，往往不能 滿(mǎn)足技術(shù)要求。 當(dāng)然，增加 N可以使過(guò)渡帶變窄，但是通帶最大衰 減和阻帶最小衰減隨 N的增大并無(wú)明顯改善。且 N太大， 會(huì)增加濾波器的階數(shù)，即增加了運(yùn)算量和成本。 N=15和 N=75兩種情況下的幅度內(nèi)插波形 Hg()如圖 7.3.2所示，圖中的空心圓和實(shí)心圓點(diǎn)分別表示 N=15和 N=75時(shí)的頻域幅度采樣。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 7.3.2 N=15和 N=75的幅度內(nèi)插波形