北京郵電大學高等數(shù)學(IV)

二次曲面的定義： 三元二次方程所表示的曲面稱之 相應(yīng)地平面被稱為 一次曲面 討論二次曲面性狀的 截痕法 ： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面 相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后 加以綜合，從而了解曲面的全貌 以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面 一、基本內(nèi)容 o z yx （一）橢球面 12 2 2 2 2 2 czbyax 橢球面與 三個坐標面 的交線： , 0 12 2 2 2 y c z a x . 0 12 2 2 2 x c z b y , 0 12 2 2 2 z b y a x 橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化 . 橢球面與平面 的交線為橢圓 1zz 同理與平面 和 的交線也是橢圓 . 1xx 1yy 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 )()( zz zc c b y zc c a x cz | 1 橢球面的幾種特殊情況： ,)1( ba 12 2 2 2 2 2 czayax 旋轉(zhuǎn)橢球面 12 2 2 2 czax由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成 z 旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的 區(qū)別 ： 12 2 2 22 cza yx方程可寫為 與平面 的交線為圓 . 1zz )|( 1 cz ,)2( cba 12 2 2 2 2 2 azayax 球面 .2222 azyx . )( 1 2 1 2 2 2 22 zz zc c a yx 截面上圓的方程 方程可寫為 （二）拋物面 zqypx 22 22 （ 與 同號） p q 橢圓拋物面 用截痕法討論： （ 1）用坐標面 與曲面相截 )0( zxoy 截得一點，即坐標原點 )0,0,0(O 設(shè) 0,0 qp 原點也叫橢圓拋物面的 頂點 . 與平面 的交線為橢圓 . 1zz 1 1 2 1 2 1 22 zz qz y pz x 當 變動時，這種橢 圓的 中心 都在 軸上 . 1z z )0( 1 z 與平面 不相交 . 1zz )0( 1 z （ 2）用坐標面 與曲面相截 )0( yxoz 0 22 y pzx 截得拋物線 與平面 的交線為拋物線 . 1yy 1 2 12 2 2 yy q y zpx 它的軸平行于 軸 z 頂點 q yy 2,0 2 1 1 （ 3）用坐標面 ， 與曲面相截 )0( xy o z 1xx 均可得拋物線 . 同理當 時可類似討論 . 0,0 qp z x y o x y z o 橢圓拋物面的圖形如下： 0,0 qp 0,0 qp 特殊地：當 時，方程變?yōu)?qp zpypx 22 22 旋轉(zhuǎn)拋物面 )0( p （由 面上的拋物線 繞它的軸 旋轉(zhuǎn)而成的） xoz pzx 22 1 1 22 2 zz pzyx 與平面 的交線為圓 . 1zz )0( 1 z 當 變動時，這種圓 的 中心 都在 軸上 . 1z z zqypx 22 22 （ 與 同號） p q 雙曲拋物面（馬鞍面） 用截痕法討論： 設(shè) 0,0 qp 圖形如下： x y z o （三）雙曲面 單葉雙曲面 12 2 2 2 2 2 czbyax （ 1）用坐標面 與曲面相截 )0( zxoy 截得中心在原點 的橢圓 . )0,0,0(O 0 12 2 2 2 z b y a x 與平面 的交線為橢圓 . 1zz 當 變動時，這種橢 圓的 中心 都在 軸上 . 1z z 1 2 2 1 2 2 2 2 1 zz c z b y a x （ 2）用坐標面 與曲面相截 )0( yxoz 截得中心在原點的雙曲線 . 0 12 2 2 2 y c z a x 實軸與 軸相合， 虛軸與 軸相合 . x z 1 2 2 1 2 2 2 2 1 yy b y c z a x 雙曲線的 中心 都在 軸上 . y 與平面 的交線為雙曲線 . 1yy )( 1 by ,)1( 221 by x實軸與 軸平行 , z虛軸與 軸平行 . ,)2( 221 by z實軸與 軸平行 , x虛軸與 軸平行 . ,)3( 1 by 截痕為一對相交于點 的直線 . )0,0( b , 0 by c z a x . 0 by c z a x ,)4( 1 by 截痕為一對相交于點 的直線 . )0,0( b , 0 by c z a x . 0 by c z a x （ 3）用坐標面 ， 與曲面相截 )0( xy o z 1xx 均可得雙曲線 . 單葉雙曲面圖形 x y o z 平面 的截痕是 兩對相交直線 . ax 雙葉雙曲面 12 2 2 2 2 2 czbyax x y o 橢球面、拋物面、雙曲面、 截痕法 . （熟知這幾個常見曲面的特性） 二、小結(jié) 思考題 方程 3 254 222 x zyx 表示怎樣的曲線？ 思考題解答 3 254 222 x zyx .3 164 22 x zy 表示雙曲線 . 一、 求曲線 3 02 22 z xzy ，在 x o y 面上的投影曲線 的方程，并指出原曲線是什么曲線 . 二、畫出方程所表示的曲面： 1 、 943 22 yxz ； 2 、 64416 222 zyx . 三、 畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形： 1 、 4 ,2,1,0,0 y zyxzx ； 2 、 222 ,0,0,0 Ryxzyx , 222 Rzy ( 在第一卦限內(nèi) ) . 練 習 題 四、 試用截痕法討論雙曲拋物面 z q y p x 22 22 （ 同號與 qp ） . 練習題答案 一、 0 922 z xy , 位于平面 3z 上的拋物線 . x y z o o x y z二、 .1 .2 .2 .1三、 x 1 y z o 2 x y z o R R R