北師大版初中數(shù)學(xué)第一章 小結(jié)與復(fù)習(xí)課件

優(yōu) 翼 課 件 要點梳理 考點講練 課堂小結(jié) 課后作業(yè) 八年級數(shù)學(xué)下（ BS） 教學(xué)課件 小結(jié)與復(fù)習(xí) 第一章 三角形的證明 (4)_、底邊上的中線和底邊上的高互相重 合， 簡稱“三線合一” . 頂角平分線 (3)兩個 _相等，簡稱“等邊對等角” ; 底角 (2)軸對稱圖形 ,等腰三角形的 頂角平分線所在的直線 是它的對稱軸 ; 一、等腰三角形的性質(zhì)及判定 1.性質(zhì) (1)兩腰相等 ; 要點梳理 2.判定 (1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形 ; (2)如果一個三角形中有兩個角相等 ,那么這兩個角 所對的邊也相等 （簡寫成“ _”） . 等角對等邊 二、等邊三角形的性質(zhì)及判定 1.性質(zhì) 等邊三角形的三邊都相等 ; 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等 ,并且每一個角都 等于 _; 是 軸對稱圖形 ，對稱軸是三條高所在的直線 ; 任意角平分線、角對邊上的中線、對邊上的高 互相重合，簡稱“三線合一” . 60 2.判定 三條邊都相等的三角形是等邊三角形 . 三個角都相等的三角形是等邊三角形 . 有一個角是 60 的 _是等邊三角形 . 等腰三角形 (5)在直角三角形中， 30 的角所對的直角邊等 于斜邊的一半 . 直角三角形的性質(zhì)定理 1 直角三角形的兩個銳角 _. 互余 直角三角形的判定定理 1 有兩個角 _的三角形是直角三角形 . 互余 三、直角三角形 勾股定理表達(dá)式的常見變形： a2 c2 b2, b2 c2 a2， . 勾股定理分類計算：如果已知直角三角形的兩邊是 a,b(且 a b)，那么，當(dāng)?shù)谌?c是斜邊時， c _； 當(dāng) a是斜邊時，第三邊 c _. 四、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的 . 即：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別 為 a、 b，斜邊為 c ，那么一定有 . 平方 注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運用時要 分清直角邊和斜邊 2 2 2 2 2 2,c a b a c b b c a a2 b2 c2 22ab 22ab 五、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a、 b、 c有關(guān)系： a2 b2 ， 那么這個三角形是直角三角形 利用此定理判定直角三角形的一般步驟： (1)確定最大邊； (2)算出最大邊的平方與另兩邊的 ； (3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等， 則說明這個三角形是 三角形 到目前為止判定直角三角形的方法有： (1)說明三角形中有一個角是 ； (2)說明三角形中有兩邊互相 ； (3)用勾股定理的逆定理 平方和 直角 直角 垂直 注意 運用勾股定理的逆定理時，要防止出現(xiàn)一開始就寫 出 a2 b2 c2之類的錯誤 c2 1互逆命題 在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命 題的 ，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題 的 ，那么這兩個命題叫做互逆命題 2逆命題 每一個命題都有逆命題，只要將原命題的條件改 成 ，并將結(jié)論改成 ，便可以得到原 命題的逆命題 結(jié)論 條件 結(jié)論 條件 六、逆命題和互逆命題 3逆定理 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么， 它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一 個叫做另一個的 定理 注意 每個命題都有逆命題，但一個定理不一定有 逆定理如“對頂角相等”就沒有逆定理 逆 1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等 . 2.逆定理： 到線段兩端點的距離相等的點在 線段的垂直平分線上 . 七、線段的垂直平分線 3常見的基本作圖 (1)過已知點作已知直線的 ； (2)作已知線段的垂直 線 垂線 平分 4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)： 三角形的三邊的垂直平分線相交于一點，且到三個頂點 的距離相等 . 1.性質(zhì)定理： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等 . 2.判定定理： 在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平 分線 . 3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)： 三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點，且到三邊的 距離相等 . 八、角平分線的性質(zhì)與判定 考點一 等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定 例 1 如圖所示，在 ABC中， AB=AC,BD AC于 D. 求證 ： BAC = 2 DBC. A B C D 1 2 E 【 分析 】 根據(jù)等腰三角形“三線合一”的 性質(zhì)，可作頂角 BAC的平分線，來獲取 角的數(shù)量關(guān)系 . 考點講練 A B C D 1 2 E 證明：作 BAC的平分線 AE,交 BC于點 E,如圖所示， 則 1 1 = 2 = .2 BAC AB=AC, AE BC. 2+ ACB=90 . BD AC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2 DBC. 等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點之一，它 們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形 的特殊情形 等邊三角形的性質(zhì)與判定應(yīng)用也很廣泛， 有一個角是 30 的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間 的倍份關(guān)系的重要手段 . 方法總結(jié) 1. 如圖，在 ABC中， AB=AC時， (1) AD BC， _= _;_=_. (2) AD是中線， _ _; _= _. (3) AD是角平分線， _ _;_=_. B A C D BAD CAD BD CD AD BC BAD CAD AD BC BD CD 針對訓(xùn)練 例 2 在 ABC中，已知 BD是高， B 90， A、 B、 C的對邊分別是 a、 b、 c，且 a 3， b 4， 求 BD的長 解： B 90 ， b 是斜邊， 則在 Rt ABC中，由勾股定理，得 又 S ABC bBD ac， 2 2 2 24 3 7 ,c b a 6 7 3 7 . 84 acBD b 12 12 考點二 勾股定理 在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時，先 用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡 便在用勾股定理時，一定要清楚直角所對的邊才是斜邊， 如在本例中不要受勾股數(shù) 3， 4， 5的干擾 方法總結(jié) 2已知一個直角三角形的兩邊長分別為 3和 4， 則第三邊長的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或 25 針對訓(xùn)練 D 例 3 已知在 ABC中， A， B， C的對邊分 別是 a， b， c， a n2 1， b 2n， c n2 1(n 1)， 判斷 ABC是否為直角三角形 考點三 勾股定理的逆定理 解：由于 a2 b2 (n2 1)2 (2n)2 n4 2n2 1， c2 (n2 1)2 n4 2n2 1， 從而 a2 b2 c2， 故可以判定 ABC是直角三角形 運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是 直角三角形的一般步驟：先判斷哪條邊最大； 分別用代數(shù)方法計算出 a2 b2和 c2的值 (c邊最大 )； 判斷 a2 b2和 c2是否相等，若相等，則是直角三角 形；若不相等，則不是直角三角形 方法總結(jié) 3.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形 的格點 上，可以判定三角形是直角三角形的 有 _ 針對訓(xùn)練 (2)(4) 例 4 判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命 題并判斷它們的真假 (1)如果 a 0，那么 ab 0； (2)如果點 P到線段 AB兩端點的距離相等，那么 P在 線段 AB的垂直平分線上 解： (1)原命題是真命題 原命題的逆命題是： 如果 ab 0，那么 a 0.逆命題為假 (2)原命題是真命題 原命題的逆命題是： 如果 P在線段 AB的垂直平分線上，那么 點 P到線段 AB兩端點的距離相等其逆命題也是真命題 考點四 命題與逆命題 針對訓(xùn)練 4.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假： （ 1）若 x=1，則 x2=1；（ 2） 若 |a|=|b|，則 a=b. 解： （ 1）逆命題： 若 x2=1，則 x=1是假命題 . （ 2） 逆命題： 若 a=b，則 |a|=|b|是真命題 . 解： AD 是 BC 的垂直平分線， AB =AC， BD=CD. 點 C 在 AE 的垂直平分線上， AC =CE, AB=AC=CE, AB+BD=DE. 例 5 如圖 ， AD是 BC的垂直平分線 ， 點 C 在 AE 的 垂直平分線上 ， AB， AC， CE 的長度有什么關(guān)系 ？ AB+BD與 DE 有什么關(guān)系 ？ A B C D E 考點五 線段的垂直平分線 5.如圖，在 ABC中， DE是 AC的垂直平分 線， AC=5厘米， ABD的周長等于 13厘米， 則 ABC的周長是 . A B D E C 18厘米 常常運用線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的 點到線段兩端的距離相等 ” 進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)換來求線段之間 的關(guān)系及周長的和差等 ,有時候與等腰三角形的 “ 三線合一” 結(jié)合起來考查 . 方法總結(jié) 針對訓(xùn)練 6.下列說法： 若點 P、 E是線段 AB的垂直平分線上兩點，則 EA EB， PA PB； 若 PA PB， EA EB， 則直線 PE垂直平分線段 AB； 若 PA PB， 則點 P必是線段 AB的垂直平分線上的點； 若 EA EB，則經(jīng)過點 E的直線垂直平分線段 AB 其中正確的有 （填序號） . 例 6 如圖，在 ABC中， AD是角平分線，且 BD = CD, DE AB, DF AC.垂足分別為 E , F. 求證： EB=FC. A B C D E F 【 分析 】 先利用角平分線的性質(zhì)定理得 到 DE=DF，再利用“ HL”證明 Rt BDE Rt CDF. 考點六 角平分線的性質(zhì)與判定 A B C D E F 證明： AD是 BAC的角平分線， DE AB, DF AC， DE=DF, DEB= DFC=90 . 在 Rt BDE 和 Rt CDF中， DE=DF， BD=CD， Rt BDE Rt CDF(HL). EB=FC. 8. ABC中 , C=90 , AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,則 點 D到 AB的距離是 . A B C D 3 E 7. 如圖， DE AB， DF BG， 垂足分別是 E， F， DE =DF， EDB= 60 ， 則 EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 針對訓(xùn)練 9. 如圖所示，已知 ABC中， PE AB交 BC于點 E， PF AC交 BC于點 F， 點 P是 AD上一點，且 點 D到 PE的距離與到 PF的距離 相等，判斷 AD是否平分 BAC，并說明理由 解： AD平分 BAC理由如下： D到 PE的距離與到 PF的距離相等， 點 D在 EPF的平分線上 1 2 又 PE AB， 1 3 同理， 2 4 3 4， AD平分 BAC A B C E F D ( 3 4 1 2 P 考點七 本章的數(shù)學(xué)思想與解題方法 例 7 等腰三角形的周長為 20cm,其中兩邊的差為 8cm,求這個等 腰三角形各邊的長 . 【 分析 】 要考慮腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況 . 解：若腰比底邊長，設(shè)腰長為 xcm,則底邊長為 （ x-8)cm， 根據(jù)題意 得 2x+x-8=20, 解得 x= , x-8= ; 若腰比底邊短，設(shè)腰長為 ycm,則底邊長為 （ y+8)cm,根據(jù)題意得 2y+y+8=20,解得 y=4, y+8=12,但 4+4=812,不符合題意 . 故此等腰三角形的三邊長分別為 28 3 4 3 28 cm, 3 28 cm, 3 4cm. 3 分類討論思想 10.等腰三角形的兩邊長分別為 4和 6，求它的周長 . 解：若腰長為 6，則底邊長為 4，周長為 6+6+4=16； 若腰長為 4，則底邊長為 6，周長為 4+4+6=14. 故這個三角形的周長為 14或 16. 針對訓(xùn)練 例 8 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC 6 cm， BC 8 cm， 將 ABC折疊，使點 B與點 A重合， 折痕是 DE，求 CD的長 【分析】 欲求的線段 CD在 Rt ACD中， 但此三角形只知一邊，可設(shè)法找出另兩 邊的關(guān)系，然后用勾股定理求解 方程思想 解：由折疊知： DA DB， ACD為直角三角形 在 Rt ACD中 ， AC2 CD2 AD2， 設(shè) CD x cm， 則 AD BD (8 x)cm， 代入 式，得 62 x2 (8 x)2， 化簡，得 36 64 16x， 所以 x 1.75， 即 CD的長為 1.75 cm. 7 4 方法總結(jié) 勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊 的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時，也可用勾股定 理求出未知邊，這時往往要列出方程求解 針對訓(xùn)練 11.如圖，在矩形紙片 ABCD中， AB=12， BC=5，點 E在 AB上，將 DAE沿 DE折 疊，使點 A落在對角線 BD上的點 A 處，則 AE的長為 . 103 課堂小結(jié) 三角形 的證明 等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的判定 勾股定理 等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的判定 直角三角形 直角三角形的性質(zhì) 兩個直角三角形全等的判定（ HL） 直角三角形的判定 等邊三角形 勾股定理的逆定理 垂 直 平 分 線 的 性 質(zhì) 角 平 分 線 的 性 質(zhì) 課后作業(yè) 見章末練習(xí)