無限長單位脈沖響應(yīng)IIR濾波器設(shè)計

第三章 無限長單位脈沖響應(yīng)（ IIR） 濾波器設(shè)計 概述 : 許多信息處理過程，如信號的過濾，檢測、預(yù)測等都 要用到濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中使用得最廣 泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。 數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)字序列 通過一定的運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。 實現(xiàn)方 法主要有兩種：數(shù)字信號處理硬件和計算機(jī)軟件。 數(shù)字濾波器 線性時不變系統(tǒng) 。 N i N i ii inybinxany 0 1 )()()( 數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)描述： 1)差分方程 NM zd zc A zb za ZH N i i M i i N i i i M i i i 一般 1 1 1 1 1 0 )1( )1( 1 )( 2)系統(tǒng)函數(shù) 分類 : 遞歸系統(tǒng) IIR 非遞歸系統(tǒng) FIR 高通 低通 帶通 帶阻 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟： 1） 按照實際需要確定濾波器的性能要求 。 2） 用一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 H(z) 或 h(n) 去逼近這個性 能要求 ， 即求 h(n) 的表達(dá)式 確定系數(shù) 、 或 零 極點 、 ， 以使濾波器滿足給定的性能要求 第三章 、 四章討論 3） 用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù) 。 包括 選擇運算結(jié)構(gòu)：如級聯(lián)型 、 并聯(lián)型 、 卷積型 、 頻率 采樣型以及快速卷積 （ FFT） 型等 ; 選擇合適的字長和有效數(shù)字的處理方法等 (第五章 )。 i ia ib ic id 設(shè)計方法： 1） 先設(shè)計一個合適的模擬濾波器 ， 然后變換成滿足預(yù)定 指標(biāo)的數(shù)字濾波器 。 由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟 模擬濾波器 有簡單而嚴(yán)格的設(shè)計公式 ， 設(shè)計起來方便 、 準(zhǔn)確 、 可將這些 理論推廣到數(shù)字域 ， 作為設(shè)計數(shù)字濾波器的工具 。 2）最優(yōu)化設(shè)計方法 分兩步： a) 確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，如最小均方誤差準(zhǔn)則，即使 設(shè)計出的實際頻率響應(yīng)的幅度特性 （與所要 求的理想頻率響應(yīng) 的均方誤差最小， 此外還有其他多種誤差最小準(zhǔn)則， b) 在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù) 和 通過不斷地迭代運算，改變 、 ，直到 滿足要求為止。 |)(| jeH |)(| jd eH m i n)()( 2 1 M i j d j ii eHeH ia ib ia ib 以上兩種設(shè)計方法中 ， 著重講第一種 ， 因為數(shù)字濾波 器在很多場合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同 ， 如作低 通 、 高通 、 帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等 ， 這時數(shù)字濾波也可看作是 “ 模仿 ” 模擬濾波器 。 在 IIR濾波器設(shè)計中 ， 采用這種設(shè)計 方法目前最普遍 。 由于計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展 ， 最優(yōu)化設(shè)計方 法的使用也逐漸增多 。 1 1- 1 2 c 0 r 通帶 過渡帶 阻帶 3.1 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計 IIR濾波器 利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波 器傳遞函數(shù) Ha(s)設(shè)計數(shù)字渡波器傳遞函數(shù) H（ z），這歸根到 底是一個由 S平面到 Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個 基本原則 ： 1） H（ z）的頻響要能模仿 Ha(s)的頻響，即 S平面的虛軸應(yīng) 映射到 Z平面的單位圓上。 2） Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（ z）后保持不變，即 S平 面的左半平面 ReS 0 應(yīng)映射到 Z平面的單位圓以內(nèi) |Z|1。 je 下面討論兩種常用的映射變換方法： 一、脈沖響應(yīng)不變法 利用模擬濾波器理論設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波 器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。 脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波 器的單位脈沖響應(yīng)序列 h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng) ha(t)的采樣值 ，即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期。 如以 Ha(s) 及 H（ z） 分別表示 ha(t) 的拉氏變換及 h(n) 的 Z 變換，即 Ha(s)=Lha(t) , H(z)=Zh(n) 計算 H(Z) : 脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)傳遞函數(shù) ， 模擬 濾波器的傳遞函數(shù)若只有單階極點 ， 且分母的階數(shù)高于分子階 數(shù) N M， 則可表達(dá)為部分分式形式； 其拉氏反變換為： 單位階躍 對 ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列 N i i i ss AsHa 1 )( N i ts ia tutueAth i 1 )(),()( N i N i nTs i nTs i nueAnueAnThanh ii 1 1 )()()()()( 再對 h(n)取 Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 第二個求和為等比級數(shù)之和，要收斂的話， 必有 所以有 0 1 0 1 1 )()( n N i n nTs N i i nnTs i zeAzeAzH ii kTs kTs ze ze i i 1 1 1 )(1 ,0)( 1 k kTs ze i N i Ts i ze AzH i1 11 )( 比較看到： S平面上的極點 S=Si 變換到 Z平面上是極點 , 而 Ha(s)與 H(Z)中部分分式所對應(yīng)的系數(shù)不變 ， 但要注意 ， 這種 Ha(s)到 H(Z)的對應(yīng)變換關(guān)系 ， 只有將 Ha(s)表達(dá)為部分 分式形式才成立 。 穩(wěn)定性： 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的 ， 則所有極點 Si 都在 S左半平 面 ， 即 Resi 0 , 那么變換后 H(Z)的極點 也都在單 位圓以內(nèi) ， 即 ,因此數(shù)字濾波 器保持穩(wěn)定 。 Tsiez Tsie 1)( TsRTs iei ee 根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系。 理想采樣 的拉氏變換 與模擬信號 的拉氏變換 之間的關(guān)系。 理想采樣 的拉氏變換 與采樣序列 的 Z 變換 之間存在的 S 平面與 Z平面的映 射關(guān)系 . m aa mTjsHTsH 21)( )( tha )(sH a )(tha )(sH a )(sHa )(nh )(zH )( tha n n sT n st st n enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )()( )()()( a a aa n n s Tenh )( n nznhzH )()( sTez s平面與 z平面的映射關(guān)系 以上表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為 數(shù)字濾波器時，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是 以前所討論的拉氏變換到 Z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對 Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射 到 Z 平面上 。 STez 映射關(guān)系 ： S平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將重 疊地映射到 Z平面的整個平面上 : 每一橫帶的左半部分映射到 Z平面單位圓以內(nèi)， 每一橫帶的右半部分映射到 Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對應(yīng)于繞單位圓一周。 STez T2 jj T2 jsrez j ,令 Ter T ,則 因為 e以 2拍為周期 j 0 T T3 T3 T )Im ( zj )Re(z 0 S 平面 Z 平面 : 應(yīng)指出 ， Z=esT的映射關(guān)系反映的是 Ha(s)的周期延拓與 H（ Z） 的關(guān)系 ， 而不是 Ha(s)本身與 H（ Z） 的關(guān)系 ， 因此 ， 使用脈沖響 應(yīng)不變法時 ， 從 Ha(s)到 H(z)并沒有一個由 S平面到 Z平面的一一 對應(yīng)的簡單代數(shù)映射關(guān)系 ， 即沒有一個 S=f(z)代數(shù)關(guān)系式 。 混迭： 由 式 ， 還可看到 ， 數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn) 模擬濾波器的頻響 ， 而是模擬濾波器頻響的周期延拓： 周期為 T mjjH T eH a m j 21 Ts 2 m aa mTjsHTsH 21)( 正如第一章的采樣定律中所討論的 ， 如果模擬濾波器的 頻響帶限于折疊頻率 S/2 以內(nèi) ， 即 20)( s a jH 這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻 響 （ 存在于折疊頻率 S/2以內(nèi) ） 但任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶 限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混淆，如圖，這 時，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有 一定的失真。 模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失 真則越小 ，這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才 能得到良好的效果。 )(1)( TjHTeH aj )( jeH )( TjH a 0 0 脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混淆 雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證 S平面與 Z平面的極點位置有 一一對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系 ， 但這并不是說整個 S平面與 Z平面就存 在這種一一對應(yīng)的關(guān)系 ， 特別是數(shù)字濾波器的零點位置與 S 平面上的零點沒有一一對應(yīng)關(guān)系 ， 而是隨著 Ha(s)的極點 Si 與系數(shù) Ai 的不同而不同 。 例 將一個具有如下傳遞出數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化 。 解： 3 1 1 1 )3)(1( 2)( sssssH TT ezezzH 311 1 1 1 1)( 2431 31 )(1 )( zeeez eez TTT TT 模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 : 示于 P77圖 a 4)3( 2 )3)(1( 2)()( 2 jjjsHjHa js 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為 : 顯然 與采樣間隔 T有關(guān) ,如 P77圖 b, T越小 ,衰減越大 ,混疊越小 ,當(dāng) fs=24Hz ,混疊可忽略不計 ,為什 么混迭呢 ? 243 3 )(1 )()()( jTjTT jTT ez j eeeee eeezHeH j )( jeH 小結(jié) 1)脈沖響應(yīng)不變法的一個重要特點是頻率坐標(biāo)的變換是線性 的， ， 與 是線性關(guān)系。 因此 如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變 換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系 。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法 2)在某些場合， 要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器 的功能時 ，如要實現(xiàn)時域沖激響應(yīng)的模仿， 一般使用脈沖響應(yīng) TjHeH a j /)()( 3)如果 Ha(s)是穩(wěn)定的 ， 即其極點在 S左半平面 ， 映射后得到 的 H(Z)也是穩(wěn)定的 。 4)脈沖響應(yīng)不變法的 最大缺點 ： 有頻譜周期延拓效應(yīng) ，因 此 只能用于帶限的頻響特性 ，如衰減特性很好的 低通或帶通 ， 而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波 器 ,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中 的頻帶，再用脈 沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會增加設(shè)計的復(fù)雜性和濾 波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響 應(yīng)時才采用 。 2 s