無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計

第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念 6.2 模擬濾波器的設(shè)計 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾波器 6.4 用雙線性變換法設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾波器 6.5 數(shù)字高通 、 帶通和帶阻濾波器的設(shè)計 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念 濾波的目的 為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變 信號頻譜中各頻率分量的相對比例 濾波技術(shù)包括 : 濾波器設(shè)計 :根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得 滿足該特性的傳輸函數(shù) 濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方 式達到對輸入信號的進行濾波的目的 數(shù)字濾波器 輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過 一定運算關(guān)系改變輸入信號所含的頻率成分的相對 比例或者濾出某些頻率成分的器件 經(jīng)典濾波器 A、按頻率特性分類 可分為 低通 、 高通 、 帶通 、 帶阻 和 全通 。 B、按實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分類 可分為 無限長脈沖響應(yīng) （ IIR）濾波器； 有限長脈沖響應(yīng) （ FIR）濾波器。 0 1 1 0 () 1 ( ) ( ) M i i i N i i i N n n bz Hz az H z h n z (6.1.1) (6.1.2) 1、 數(shù)字濾波器的分類： 經(jīng)典濾波器（有用頻率與濾掉頻率占用不同頻帶） 低通、高通、帶通、帶阻等 現(xiàn)代濾波器（維納濾波器、卡爾曼濾波器等） 圖 6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(e j H )(e j H )(e j H )(e j H 0 低通 0 高通 0 帶通 0 帶阻 2 2 2 2 2 2 2 2 2、 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于 選頻濾波器 。 假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) H(e j)用下式表示： ()( ) ( )j j jH e H e e 圖 6.1.2 低通濾波器的技術(shù)要求 通帶邊界頻率 阻帶截止頻率 p s | H(e j) | 幅頻特性， 表示信號通過該濾波器后各 頻率成分衰減的情況 相頻特性， 反映各頻率成分通過濾波器 后時間上的延時情況 )( 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用 dB(分貝 )數(shù)表 示 ， 通帶內(nèi)允許的最大衰減用 p表示 ， 阻帶內(nèi)允許的 最小衰減用 s表示 ， p和 s分別定義為： 0 0 () 20 lg () () 20 lg () p s j p j j s j He dB He He dB He (6.1.3) (6.1.4) 如將 |H(ej0)|歸一化為 1， (6.1.3)和 (6.1.4)式則表示成： 2 0 lg ( ) 2 0 lg ( ) p s j p j s H e d B H e d B (6.1.5) (6.1.6) 3、 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述 IIR濾波器設(shè)計方法有兩類： 1）借助模擬 filter的設(shè)計方法 （ 1）將 DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成 AF的技術(shù)指標(biāo)； （ 2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計模擬低通 filter的 ； （ 3）將 ； （ 4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通 AF的技術(shù)指標(biāo)。 2）計算機輔助設(shè)計法（最優(yōu)化設(shè)計法） 先確定一個最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，最大誤差 最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下 ， 確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。 FIR濾波器設(shè)計：窗函數(shù)法和頻率采樣法 )s(Ha )()( zHsH a 6.2 模擬濾波器的設(shè)計 IIR濾波器的設(shè)計是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)而完成 的 簡單介紹模擬濾波器設(shè)計的一些基本概念，并介紹兩 種常用的濾波器的設(shè)計方法 ： 巴特沃思 (Butterworth)濾波器 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 圖 6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性 )(j a H 低通 帶通 帶阻 高通 )(j a H )(j a H )(j a H 0 0 0c 1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法 濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函 數(shù) ( ) ( ) |a a s jH j H s 工程設(shè)計中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用 反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來定義 2( ) 1 0 l g | ( ) | 2 0 l g | ( ) |aaA H j H j d B 模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo) 有 p, p,s和 s。 其中 p和 s分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率 p是通帶 (=0p)中的最大衰減系數(shù) ， s是阻帶 s的最小衰減系數(shù) ， 對于單調(diào)下降的幅度特性 ， 可表示成： 2 2 2 2 () 10 lg () () 10 lg () a p ap a s as Hj Hj Hj Hj (6.2.1) (6.2.2) 如果 =0處幅度已歸一化到 1， 即 |Ha(j0)|=1,p和 s 表示為 以上技術(shù)指標(biāo)用圖 6.2.2表示 。 圖中 c稱為 3dB截 止頻率 。 2 2 1 0 lg ( ) 1 0 lg ( ) p a p s a s Hj Hj (6.2.3) (6.2.4) 圖 6.2.2 低通濾波器的幅度特性 濾波器的技術(shù)指標(biāo) p,p,s和 s給定后 ， 根據(jù)模方函 數(shù)需要設(shè)計一個傳輸函數(shù) Ha(s)， 一般濾波器的單位沖激 響應(yīng)為實數(shù) 。 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a s j aa H j H s H s H j H j (6.2.5) 從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法 a、令 s= 代入模方函數(shù)得到 ,并求其零極點 j ( ) ( ) aaH s H s b、取 所有在左半平面的極點作為 的極點 () aHs c、按需要的相位條件 (最小相位 ,混合相位等 )取 一半的零點構(gòu)成 的零點 () aHs ( ) ( )aaH s H s ( ) ( )aaH s H s 2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) |Ha(j)|2用下 式表示： 2 2 1() 1 ( ) a N c Hj (6.2.6) 圖 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N的關(guān)系 將幅度平方函數(shù) |Ha(j)|2寫成 s的函數(shù)： 2 1( ) ( ) 1 ( ) aa N c H s H s s j (6.2.7) 此式表明幅度平方函數(shù)有 2N個極點 ， 極點 sk用下式表示： 1 1 2 1() 2 2 2( 1 ) ( ) kj NNk c cs j e (6.2.8) 為形成穩(wěn)定的濾波器， 2N個極點中只取 s平面左半平面 的 N個極點構(gòu)成 Ha(s)，而右半平面的 N個極點構(gòu)成 Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為 1 0 () () N c a N k k Hs ss 2 2 1() 1 ( ) a N c Hj (6.2.9) 設(shè) N=3， 極點有 6個 ， 它們分別為 2 3 01 21 33 23 1 3 45 j cc jj cc j cc s e s s e s e s s e ， ， ， 取 s平面左半平面的極點 s0,s1,s2 組成 Ha(s)： 3 22 33 () ( ) ( ) ( ) c a jj c c c Hs s s s 圖 6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點分布 由于各濾波器的幅頻特性不同 ， 為使設(shè)計統(tǒng)一 ， 將所有的頻率歸一化 。 這里采用對 3dB截止頻率 c歸 一化 ， 歸一化后的 Ha(s)表示為 式中 ， p=s/c=j/c。 令 =/c， 稱為歸一化頻率；令 p=j， p稱為歸 一化復(fù)變量 ， 這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為 1 0 1() () a N k k cc Hs ss (6.2.10) 1 0 1() () a N k k Hp pp (6.2.11) 1 0 () () N c a N k k Hs ss 式中， pk為歸一化極點，用下式表示： 將極點表示式 (6.2.12)代入 (6.2.11)式 ， 得到的 Ha(p) 的分母是 p的 N階多項式 ， 用下式表示： 1 2 1() 22 , 0 , 1 , , 1 kj Nkp e k N (6.2.12) 12 1 2 1 0 1() .a N N NNNHp p b p b p b p b (6.2.13) 所以，總結(jié)求濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)的步驟如下： 1 0 1() () a N k k Hp pp 將 =p代入 (6.2.6)式中 ， 再將 |Ha(jp)|2代入 (6.2.3)式中 ， 得到： 將 =s代入 (6.2.6)式中 ， 再將 |Ha(js)|2代入 (6.2.4)式中 ， 得到： 由 (6.2.14)和 (6.2.15)式得到： /1 0 /1 0 1 0 1() 1 0 1 s p a Ns a p 令 / 10 / 10 1 0 1/, 1 0 1 s p a sp s p sp ak ,則 N由下式表示： lg lg sp sp kN (6.2.16) /1 021 ( ) 1 0 pap N c (6.2.14) (6.2.15) 1、階數(shù) N的確定方法：由技術(shù)指標(biāo) p, p,s和 s確定 2 2 1() 1 ( ) a N c Hj 2 2 1 0 lg ( ) 1 0 lg ( ) p a p s a s Hj Hj (6.2.3) (6.2.4) (6.2.6) /1021 ( ) 10 saNs c 如果求出的 N可能有小數(shù)部分， 應(yīng)取大于等于 N的最小整數(shù)。 可以按照 (6.2.14)式或 (6.2.15)式求出 10 .1 2( 10 1 )pa Ncp 由 (6.2.15)式得到： (6.2.17) (6.2.18) /1 021 ( ) 1 0 pap N c (6.2.14) (6.2.15) /1021 ( ) 10 saNs c 2、 3dB截止頻率 c的確定：由技術(shù)指標(biāo) p, p,s和 s確定 由 (6.2.14)式得到： 10 . 1 2( 1 0 1 )sa Ncs 總結(jié)以上 ， 低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟 如下： (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo) p,p,s和 s， 用 (6.2.16)式求出濾 波器的階數(shù) N。 (2)按照 (6.2.12)式 ， 求出歸一化極點 pk， 將 pk代入 (6.2.11)式 ， 得到歸一化傳輸函數(shù) Ha(p)。 (3)將 Ha(p)去歸一化 。 將 p=s/c代入 Ha(p)， 得到實 際的濾波器傳輸函數(shù) Ha(s)。 lg lg sp sp kN (6.2.16) 1 2 1() 22 , 0 , 1 , , 1 kj Nkp e k N (6.2.12) 1 0 1() () a N k k Hp pp (6.2.11) 表 6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 例 6.2.1 已知通帶截止頻率 fp=5kHz， 通帶最大衰減 p=2dB ， 阻帶截止頻率 fs=12kHz， 阻帶最小衰減 s=30dB， 按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器 。 解 ： (1) 確定階數(shù) N。 0.1 0.1 10 1 41.32 23 10 1 2 2.4 2 l g 41.32 23 4.25 , 5 l g 2.4 s p a sp a s sp p k f f NN (2) 按照 (6.2.12)式 ， 其極點為 34 55 01 6 5 23 7 5 4 , , jj j j j p e p e p e p e pe 按照 (6.2.11)式 ， 歸一化傳輸函數(shù)為 4 0 1() () a k k Hp pp 1 2 1() 22 , 0 , 1 , , 1 kj Nkp e k N (6.2.12) 1 0 1() () a N k k Hp pp (6.2.11) 直接查表 6.2.1， 由 N=5， 直接查表得到： 極點： -0.3090 j0.9511,-0.8090 j0.5878; -1.0000 5 4 3 2 4 3 2 1 0 1() aHp p b p b p b p b p b 式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3) 將 Ha(p)去歸一化 ， 先求 3dB截止頻率 c。 按照 (6.2.17)式 ， 得到： 1 0 . 1 2 1 0 . 1 2 ( 1 0 1 ) 2 5 .2 7 5 5 / ( 1 0 1 ) 2 1 0 .5 2 5 / p s a N cp a N sc k r a d s k r a d s 將 c代入 (6.2.18)式 ， 得到： 將 p=s/c代入 Ha(p)中得到： 5 5 4 2 3 3 2 4 5 4 3 2 () 10ca c c c c c Hs s b s b s b s b s b 10 .1 2( 10 1 )pa Ncp (6.2.17) (6.2.18) 10 . 1 2( 1 0 1 )sa Ncs 介紹切比雪夫 型濾波器的設(shè)計方法 。 圖 6.2.5分別畫出 階數(shù) N為奇與偶數(shù)時的切比雪夫 型濾波器幅頻特性 。 其 幅度平方函數(shù)用 A2()表示： 22 22 1 ( ) ( ) 1 ( ) a N p A H j C (6.2.19) 圖 6.2.5 切比雪夫 型濾波器幅頻特性 3.切比雪夫濾波器的設(shè)計方法 式中 ， 為小于 1的正數(shù) ， 表示通帶內(nèi)幅度波動的 程度 ， 愈大 ， 波動幅度也愈大 。 p稱為通帶截止頻率 。 令 =/p， 稱為對 p的歸一化頻率 。 CN(x)稱為 N階切 比雪夫多項式 ， 定義為 c o s( a r c c o s ) , 1 () ( ) , 1N N x x Cx c h N a rc h x x 當(dāng) N=0時 ， C0(x)=1； 當(dāng) N=1時 ， C1(x)=x； 當(dāng) N=2時 ， C2(x)=2x 2-1； 當(dāng) N=3時 ， C3(x)=4x 3-3x。 由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) (6.2.20) 22 22 1( ) ( ) 1 ( ) a N p A H j C 圖 6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多項式曲線 圖 6.2.6示出了階數(shù) N=0,4,5時的切比雪夫多項式特性。 由圖可見： (1)切比雪夫多項式的過零點在 |x|1的范圍內(nèi)； (2)當(dāng) |x|1時， |CN(x)|1,在 |x|1時， CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨 x單調(diào)上升。 按照 (6.2.19)式 ， 平方幅度函數(shù)與三個參數(shù)即 ,p 和 N有關(guān) 。 其中 與通帶內(nèi)允許的波動大小有關(guān) ， 定義 允許的通帶內(nèi)最大衰減 p用下式表示： 下 2 m a x 2 m in 2 m a x m in 2 () 1 0 l g () 1 ( ) 1 , ( ) 1 p A A A (6.2.21) 因此 2 0 . 12 1 0 l g (1 ) 1 0 1p p (6.2.22) 22 22 1( ) ( ) 1 ( ) a N p A H j C (6.2.19) 圖 6.2.7 切比雪夫 型與巴特沃斯低通的 A2()曲線 設(shè)阻帶的起始點頻率 (阻帶截止頻率 )用 s表示 ， 在 s處的 A2(s)用 (6.2.19)式確定： 2 22 1 () 1 ( ) s s N P A C (6.2.23) 令 s=s/p， 由 s1， 有 2 2 2 11 ( ) ( ) 1 () 11 1 () () 1 1 1 1 () N s s s s s sp s C c h Narc h A arc h A N arc h arc h NA (6.2.24) (6.2.25) 可以解出 3dB截止頻率用 c表示 ， 2 22 2 1 () 2 ( ) 1 , 1 ( ) ( ) c c N c c p N c c A C C ch N a r ch 按照 (6.2.19)式 ， 有 通常取 c1， 因此 上式中僅取正號，得到 3dB截止頻率計算公式： 11 ( ) cp c h a rc hN (6.2.26) 22 22 1( ) ( ) 1 ( ) a N p A H j C (6.2.19) 以上 p,和 N確定后 ， 可以求出濾波器的極點 ， 并 確定 Ha(p)， p=s/p。 求解的過程請參考有關(guān)資料 。 下 面僅介紹一些有用的結(jié)果 。 設(shè) Ha(s)的極點為 si=i+ji， 可以證明： 2 22 1() 1 ( ) s s N p A C (6.2.23) 令 s=s/p， 由 s1， 有 2 2 11 1 () () 1 1 1 1 () s s sp s ar c h A N ar c h ar c h NA (6.2.24) (6.2.25) 上式中僅取正號 ， 得到 3dB截止頻率計算公式： 11 ( ) cp c h A rchN (6.2.26) 設(shè) Ha(s)的極點為 si=i+ji， 可以證明： 21 si n( ) 2 , 1 , 2 , 3 , , 21 c o s( ) 2 ip ip i ch N iN i ch N (6.2.27) 式中 22 2 2 2 2 11 () 1ii pp Arsh N sh sh (6.2.28) (6.2.28)式是一個橢圓方程 ， 長半軸為 pch(在虛 軸上 )， 短半軸為 psh(在實軸上 )。 令 bp和 ap分別 表示長半軸和短半軸 ， 可推導(dǎo)出： 11 11 2 1 () 2 1 () 2 11 1 NN NN a a (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 圖 6.2.8 三階切比雪夫濾波器的極點分布 設(shè) N=3， 平方幅度函數(shù)的極點分布如圖 6.2.8所示 (極點用 X表示 )。 為穩(wěn)定 ， 用左半平面的極點構(gòu)成 Ha(p)， 即 1 1() () a N i i Hp c p p (6.2.32) 式中 c是待定系數(shù) 。 根據(jù)幅度平方函數(shù) (6.2.19)式 可導(dǎo)出： c=2 N-1， 代入 (6.2.32)式 ， 得到歸一化的 傳輸函數(shù)為 1 1 1 () 2 ( ) a N N i i Hp pp (6.2.33a) 去歸一化后的傳輸函數(shù)為 1 1 () 2 ( ) N p a N N ip i Hs sp (6.2.33b) 下面介紹切比雪夫 型濾波器設(shè)計步驟 。 1) 確定技術(shù)要求 p,p,s和 s p是 =p時的衰減系數(shù)， s是 =s時的衰減系數(shù)， 它們?yōu)?22 22 11 10 l g 10 l g ( ) ( ) 11 10 l g 10 l g ( ) ( ) p p a p s s s s A H j A H j (6.2.34) (6.2.35) 2) 求濾波器階數(shù) N和參數(shù) 。 歸一化頻率 由 (6.2.19)式 ， 得到： 1, sps p 2 2 2 2 1 1 ( ) () 1 1 ( ) () Np p Ns s C A C A 22 22 1( ) ( ) 1 ( ) a N p A H j C (6.2.19) 將以上兩式代入 (6.2.34)式和 (6.2.35)式，得到： 2 2 11 0 l g 1 0 l g 1 ( ) ()p N pp C A 2 2 110 l g 10 l g 1 ( ) ()s N ss C A 0 . 1 2 2 2 2 0 . 1 2 2 2 0 . 1 2 0 . 1 1 0 1 ( ) 1 c o s ( a r c c o s 1 ) 1 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 0 1 () 1 0 1 p s s p Np N s s s CN C c h N a rc h c h N a rc h 令 0 .1 1 1 0 .1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 () () s p a a s s k c h N a r c h k a r c h k N a r c h (6.2.36) (6.2.37) 求出階數(shù) N，最后取大于等于 N的最小整數(shù) 按照 (6.2.22)式求 。 0 .12 1 0 1p (6.2.22) 3) 求歸一化傳輸函數(shù) Ha(p) 求 Ha(p)， 先按照 (6.2.27)式求出歸一化極點 pk,k=1,2,:,N。 21 si n( ) 2 , 1 , 2 , 3 , , 21 c o s( ) 2 ip ip i ch N iN i ch N (6.2.27) ( 2 1 ) ( 2 1 )sin c os 22k kkp c h jc h NN 將極點 pk代入 (6.2.33)式，得到 ： 4) 將 Ha(p)去歸一化，得到實際的 Ha(s)，即 (6.2.38) (6.2.39) /( ) ( ) pa a p sH s H p 1 1 1() 2 ( ) a N N i i Hp pp 例 6.2.2 設(shè)計低通切比雪夫濾波器 ， 要求通帶截止頻率 fp=3kHz， 通帶最大衰減 p=0.1dB， 阻帶截止頻率 fs=12kHz， 阻帶最小衰減 s=60dB。 解 (1) 濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 0.1 , 2 60 , 2 1 , 4 p p p p s s s ps p dB f dB f f f (2) 求階數(shù) N和 ： 1 1 0.1 1 1 0.1 0.1 0.01 () () 10 1 6553 10 1 ( 65 53 ) 9.4 7 4.6 , 5 ( 4) 2.0 6 10 1 10 1 0.1 52 6 s p p s a a a ar c h k N ar c h k ar c h NN ar c h 0 .12 1 0 1p (3) 求 Ha(p): 5 1 ( 5 1 ) 11 11() 2 ( ) 0.1526 2 ( ) a N N ii ii Hp p p p p 由 (6.2.38)式求出 N=5時的極點 pi， 代入上式 ， 得到： 22 11() 2 . 4 4 2( 0 . 5 3 8 9 )( 0 . 3 3 3 1 1 . 1 9 4 9 ) 0 . 8 7 2 0 0 . 6 3 5 9aHp p p p p p (4)將 Ha(p)去歸一化 ， 得到： / 7 2 6 1 4 2 7 1 4 1 ( ) ( ) ( 1 .0 1 5 8 1 0 ) ( 6 .2 7 8 8 1 0 4 .2 4 5 9 1 0 ) 1 1 .6 4 3 7 1 0 2 .2 5 9 5 1 0 pa a p s H s H p s s s ss ( 2 1 ) ( 2 1 )sin c os 22k kkp c h jc h NN (6.2.38) 4.模擬濾波器的頻率變換 模擬高通 、 帶通 、 帶阻濾波器的設(shè)計 1) 低通到高通的頻率變換 和 之間的關(guān)系為 上式即是 低通到高通的頻率變換公式 ， 如果已知 低通 G(j)， 高通 H(j)則用下式轉(zhuǎn)換： 1 (6.2.41) 1( ) ( )H j G j (6.2.40) 和 分別是模擬低 通濾波器和高通濾 波器的歸一化頻率 圖 6.2.9 低通與高通濾波器的幅度特性 阻帶邊界頻率 s 通帶邊界頻率 p 模擬高通濾波器 的設(shè)計步驟如下： (1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率 p， 阻帶 邊界頻率 s ， 通帶最大衰減 p， 阻帶最小衰減 s。 (2) 確定歸一化低通技術(shù)指標(biāo)：按照 (6.2.40)式 ， 將高通濾 波器的歸一化頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的歸一化頻率 (3)設(shè)計歸一化低通濾波器 G(p)。 (4)求模擬高通的 H(s)。 將 G(p)按照 (6.2.40)式 ， 轉(zhuǎn)換成歸 一化高通 H(p)， 為去歸一化 ， 將 p=p/s代入 G (p)中 ， 得 ( ) ( ) pp sH s G p (6.2.42) 1 (6.2.40) 解 高通技術(shù)指標(biāo)： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率 1 , 0 . 5p sps pp f f ff 低通技術(shù)指標(biāo)： 1 1 , 2 3 , 1 5 ps s psd B d B 例 6.2.3 設(shè)計巴特沃斯高通濾波器 ,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度 特性單調(diào)下降， fp處最大衰減為 3dB，阻帶最小衰減 s=15dB。 /p 設(shè)計歸一化低通 G(p)。 采用巴特沃斯濾波器 ， 故 / 10 / 10 32 10 1 5.56 10 1 2 lg 2.47 , 3 lg 1 () 2 2 1 s p a sp a s sp p sp sp k k NN Gp p p p 求模擬高通 H(s)： 3 3 2 2 3( ) ( ) 22pp c c cs sH s G p s s s 圖 6.2.10 帶通與低通濾波器的幅度特性 表 6.2.2 與 的對應(yīng)關(guān)系 2) 低通到帶通的頻率變換 低通與帶通濾波器的幅度特性如圖 6.2.10所示 。 12 12 2 0 , , s s l s s l u u l u B B B B 通帶下邊界頻率 l ， 通帶上邊界頻率 u 阻帶下邊界頻率 s1 ， 阻帶上邊界頻率 s2 通帶中心頻率 20=lu ， 通帶寬度 B=u-l 由 與 的對應(yīng)關(guān)系 ， 得到： 22 0 22 0 1 u p u l u 由表 6.2.2知 p對應(yīng) u， 代入上式中 ， 有 (6.2.43)式稱為 低通到帶通的頻率變換公式 。 利用 該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率 。 下面 推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式 。 由于 pj (6.2.43) 將 (6.2.43)式代入上式 ， 得到： 22 0pj 22 0qp q 將 q=j代入上式 ， 得到： 為去歸一化 ， 將 q=s/B代入上式 ， 得到： 2 2 2 0 () lu ul ssp s s B (6.2.44) (6.2.45) 上式就是由歸一化 低通直接轉(zhuǎn)換成帶通 的計算公式 。 2 + () ( ) ( ) lu ul sp s H s G p 下面總結(jié) 模擬帶通的設(shè)計步驟 。 (1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo) ， 即： 通帶下邊界頻率 l ， 通帶上邊界頻率 u 阻帶下邊界頻率 s1 ,阻帶上邊界頻率 s2 通帶中心頻率 20=lu， 通帶寬度 B=u-l 與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下： 12 12 2 0 , , s s l s s l u u l u B B B B (2) 確定歸一化低通技術(shù)要求： s與 -s的絕對值可能不相等 ， 一般取絕對值小的 s， 這樣保證在較大的 s處更能滿足要求 。 通帶最大衰減仍為 p， 阻帶最小衰減亦為 s。 (3) 設(shè)計歸一化低通 G(p)。 (4) 由 (6.2.45)式直接將 G(p)轉(zhuǎn)換成帶通 H(s)。 2 2 2 2 2 0 1 0 21 1 , ,ssp s s ss (6.2.45) 2 + () ( ) ( ) lu ul sp s H s G p 例 6.2.4 設(shè)計模擬帶通濾波器，通帶帶寬 B=2 200rad/s， 中心頻率 0=2 1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減 p=3dB，阻帶 s1=2 830rad/s,s2=2 1200rad/s，阻帶最小衰減 s=15dB。 解 (1) 模擬帶通的技術(shù)要求： 0=2 1000rad/s,p=3dB s1 =2 830rad/s,s2=2 1200rad/s,s=15dB B=2 200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6 (2) 模擬歸一化低通技術(shù)要求： 2 2 2 2 2 0 1 0 21 1 , 1 . 8 3 3 , 1 . 8 7 4ssp s s ss 取 s=1.833,p=3dB,s=15dB。 12 12 2 0 , , s s l s s l u u l u B B B B (3)設(shè)計模擬歸一化低通濾波器 G(p)：采用巴特沃斯型 ， 有 0. 1 0. 1 10 1 5.56 10 1 1.833 lg 2.83 lg s p sp s sp p sp sp k k N 取 N=3， 查表 6.2.1， 得 32 1() 2 2 1Gp p p p (4) 求模擬帶通 H(s)： 2 3 6 5 2 2 4 2 3 3 00 4 2 2 2 4 6 1 0 0 0 0 ( ) 2 ( 3 2 ) ( 4 ) ( 3 2 ) 2 SH s s B s B B s B B s B s Bs 2 () ( ) ( ) lu ul sp s H s G p 3) 低通到帶阻的頻率變換 低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖 6.2.11所示。 圖 6.2.11 低通與帶阻濾波器的幅頻特性 通帶下邊界頻率 l， 通帶上邊界頻率 u 阻帶的下邊界頻率 s1， 阻帶上邊界頻率 s2 阻帶中心頻率 20=ul， 阻帶帶寬 B=u-l 相應(yīng)的歸一化邊界頻率 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B s2=s2/B, 20=ul 表 6.2.3 與 的對應(yīng)關(guān)系 根據(jù) 與 的對應(yīng)關(guān)系 ， 可得到： 且 u-l=1， p=1， (6.2.46)式稱為 低通到帶阻的頻 率變換公式 。 將 (6.2.46)式代入 p=j， 并去歸一化 ， 可 得 22 0 (6.2.46) 2 2 2 0 ()ul ul sB sp ss (6.2.47) 22 0 ( ) ( ) sB p s H s G p (6.2.48) 上式就是由歸一化 低通直接轉(zhuǎn)換成帶阻 的計算公式 。 下面總結(jié)設(shè)計 帶阻濾波器的步驟 ： (1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求 ， 即： 通帶下邊界頻率 l， 通帶上邊界頻率 u 阻帶下邊界頻率 s1， 阻帶上邊界頻率 s2 阻帶中心頻率 20=lu， 阻帶寬度 B=u-l 它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul 以及通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s。 (2) 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求 ， 即： 取 s和 -s的絕對值較小的 s；通帶最大衰減為 p， 阻帶最小衰減為 s。 (3) 設(shè)計歸一化模擬低通 G(p)。 (4) 按照 (6.2.48)式直接將 G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器 H(s)。 12 2 2 2 2 1 0 2 0 1 , ,ssp s s ss 22 0 ( ) ( ) sB p s H s G p (6.2.48) 例 6.2.5 設(shè)計模擬帶阻濾波器 ， 其技術(shù)要求為： l=2 905rad/s, s1=2 980rad/s, s2= 2 1020rad/s,u=2 1105rad/s,p=3dB, s=25dB。 試設(shè)計巴特沃斯帶阻濾波器 。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： l=2 905,u=2 1105; s1=2 980,s2=2 1020; 20=lu=4+2 1000025,B=u-l=2 200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸一化低通的技術(shù)要求： 12 2 2 2 2 1 0 2 0 1 , 4 .9 5 , 4 .9 6 3 , 2 5 ss p s s ss ps d B d B (3)設(shè)計歸一化低通濾波器 G(p): 0.1 0.1 2 10 1 17.794 10 1 4.95 lg 1.8 , 2 lg 1 () 21 s p sp s sp p sp sp k k NN Gp pp (4) 帶阻濾波器的 H(s)為 22 0 4 2 2 4 00 4 2 2 2 2 2 4 0 0 0 2( ) ( ) 2 ( 2 ) 2sBp ss ssH s G p s B B s B s 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字低通濾波器 用模擬濾波器設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想： s 平面 z 平面 模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng) ( ) ( )aH s H z 1、 H(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓，頻率間成線性關(guān)系 2、因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1 設(shè)計方法： - 脈沖響應(yīng)不變法 - 雙線性變換法 ( ) ( )a t n Th n h t 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng) ()hn ()aht 12 12 a k a k H j j k TT H s j k TT 1、脈沖響應(yīng)不變法變換原理 ( ) ( ) ( )sT aazeH z H s H j T 抽樣周期 ()Hz ()aHs 表明將模擬信號 ha(t)的拉 氏變換在 s平面上沿虛軸按 照周期 s=2/T延拓后 ， 再 按照映射關(guān)系 ， 映射到 z平 面上 ， 就得到 H(z) 圖 6.3.1 z=esT,s平面與 z平面之間的映射關(guān)系 2、頻譜混疊 12 () 12 () j a k jT a k k H e H j TT k H e H j j TT ( ) 0 2 saHj T 1() j aH e H jTT 才能使數(shù)字濾波器的頻響不會發(fā)生頻譜混疊，即： 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周 期延拓 ， 周期為 。 若在時域抽樣時滿足時域 采樣定理 ， 即模擬濾波器的頻響是帶限于折疊頻率 之內(nèi)的 ， 即 2/T 圖 6.3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 3、模擬濾波器的數(shù)字化方法 1 () N k a k k AHs ss 1 1 1 k N k sT k A ez ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h n T h n H z 1 1 ( ) ( ) ( )k N st a a k k h t L H s A e u t 1 ( ) ( ) ( )k N s n T ak k h n h n T A e u n T 1 ()k N n sT k k A e u n ( ) ( ) n n H z h n z 01 k N n sT n k nk A e z 1 10 k N n sT k kn A e z 1)極點映射： 設(shè) Ha(s)只有單階極點 ， 且分母多項式的 階次高于分子多項式的階次 ， 將 Ha(s)用部分分式表示： 系數(shù)相同： kA 1 () N k a k k AHs ss 11 ( ) 1 k N k sT k AHz ez 極點： s 平面 z 平面 kss ksTze 穩(wěn)定性不變： s 平面 z 平面 Re 0ks 1ksTe 1 1 () 1 k N k sT k TAHz ez 數(shù)字濾波器頻響與采樣間隔 T成反比，故當(dāng)采樣頻 率很高時，即 T 很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易 溢出。因此，希望數(shù)字濾波器增益與采樣間隔 T無 關(guān)。故作以下修正： ( ) ( )ah n Th n T令 ： 2() j a k kH e H j T 則： aHj T 若 ，則 ( ) ( )ah n h nT 1() j aH e H jTT 2)修正 一般 Ha(s)的極點 sk是一個復(fù)數(shù) ， 且以共軛成對 的形式出現(xiàn) ， 在 式中將一對復(fù)數(shù)共軛 極點放在一起 ， 形成一個二階基本節(jié) 。 如果模擬 濾波器的二階基本節(jié)的形式為 1 1122 11() s j s (6.3.11) 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié) (只有實數(shù)乘法 )的形式為 1 11 1 1 212 1 1 co s 1 2 co s T TT z e T z e T z e (6.3.12) 1 () N ka k k AHs ss 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 1 11 1 1122 11 -1 1 -212 1 , () sin 1 2 c o s T TT j s z e T z e T z e 極點為 (6.3.13) (6.3.14) 4、優(yōu)缺點 優(yōu)點 ： 缺點 ： 頻率響應(yīng)混疊 只適用于限帶的低通、帶通濾波器 h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng) 時域逼近良好 ()aht 頻率變換是線性關(guān)系： T 5、脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計步驟 1） 按照給定的數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo) ， 利用模擬 濾波器設(shè)計技術(shù)設(shè)計原型模擬濾波器 ， 得 。 （ 如果是非低通濾波器則需進行變換 ） 2） 把 分解成部分分式求和形式 ， 其中： 是系統(tǒng)極點 。 （ 求出極點和系數(shù) ） 3） 用變換式： 對 進行變換 ， 得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) 。 )(sHa )(sHa ks ,kksA 1 11 1 ksTks s e z )(sHa 1 1 () 1 k N k sT k AH z T ez 1 () N ka k k AHs ss 例 6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系 統(tǒng)函數(shù) H(z)。 解 ：首先將 Ha(s)寫成部分分式： 2 0.5012() 0. 64 49 0. 70 79aHs ss 0 . 3 2 2 4 0 . 3 2 2 4() 0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2 0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2a jjHs s j s j 極點為 12( 0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2 ) , ( 0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2 )s j s j 那么 H(z)的極點為 1212 ,s T s Tz e z e 按照 (6.3.4)式 ， 并經(jīng)過整理 ， 得到 1 1 12 1 2 12 0.3276 () 1 1.03 28 0.24 7 0.0485 () 1 1.93 07 0.93 75 z Hz zz z Hz zz 轉(zhuǎn)換時 ， 也可以直接按照 (6.3.13),(6.3.14)式進行轉(zhuǎn)換 。 首先將 Ha(s)寫成 (6.3.13)式的形式 ， 如極點 s1,2=1 j1,則 11 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 .5 0 1 2( ) 0 .6 4 4 9 ( ) ( )aHs ss 再按照 (6.3.14)式 ， H(z)為 1 11 1 1 212 1 s in( ) 0 . 6 4 4 9 1 2 c o s T TT z e THz z e T z e 0 . 3 2 2 4 1 1 0 . 3 2 2 4 0 . 6 4 4 9 2 2 * 0 . 3 2 2 4 s i n (0 . 7 7 7 2 )() 1 2 c o s (0 . 7 7 7 2 ) T T e T zHz z e T e z 設(shè) T=1s時用 H1(z)表示 ， T=0.1s時用 H2(z)表示 ， 則 1 () N k a k k AHs ss 2 2 1 1() 4 3 1 3aHs s s s s 試用脈沖響應(yīng)不變法，設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器 例 6.3.2：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 1 3 1() 11TT TTHz e z e z 31 3 1 4 21 TT T T T T e e z e e z e z 1 () N k a k k AHs ss 1 1 () 1 k N k sT k TAHz ez 1 12 0. 31 8() 1 0. 41 77 0. 01 83 1 zHz zz 設(shè) T = 1s，則 1 12 0. 31 8() 1 0. 41 77 0. 01 83 1 zHz zz 模擬濾波器的頻率響應(yīng) ： 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)： 2 0. 31 8() 1 0. 41 77 0. 01 83 1 j j jj eHe ee 2 2() ( 3 ) 4aHj j 2 2() 43aHs ss 6.4 用雙線性變換法設(shè)計 IIR數(shù)字 低通濾波器 為了克服脈沖響應(yīng)不變法會產(chǎn)生 頻譜混疊 這一缺點 ， 采 用非線性頻率壓縮法 正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： 1 21ta n( ) 2 TT (6.4.1) 圖 6.4.1 雙線性變換法的映射關(guān)系 1、變換原理 式中 T是采樣間隔 ， 當(dāng) 1從 -/T經(jīng)過 0變化到 /T時 ， 則由 -經(jīng)過 0變化到 +， 實現(xiàn)了 s平面上整個虛軸完全壓 縮到 s1平面上虛軸的 /T之間的轉(zhuǎn)換 。 雙線性變換的映射過程 脈沖響應(yīng)不變法的映射過程 再通過 轉(zhuǎn)換到 z平面上 ， 得到： 1sTze 1 1 21 1 2 2 z s Tz s T z s T (6.4.3) (6.4.4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 2 / 2 / 2 / 2 21 t a n( ) 2 2 2 1 2 1 11 j T j T j T s T j T j T j T s T s j j T T e e e e T e e T e T e (6.4.2) 令 s=j,z=e j， 并代入 (6.4.3)式中 ， 有 21 1 21 ta n 2 j j e j Te T (6.4.5) 圖 6.4.2 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 1 1 21 1 zs Tz (6.4.3) 2、模擬濾波器的數(shù)字化 1 1 1 21 1 1 21( ) ( ) ( ) 1 zaas T z zH z H s H Tz 2 ta n 2 2( ) ( ) ta n 2 j aa T H e H j H j T 3、優(yōu)缺點 優(yōu)點 ： 避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象 2 ta n 2T 00 s 平面與 z 平面為單值變換 00 除了零頻率附近， 與 之間嚴重非線性 缺點 ： 例 6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法 將圖 6.4.4所示的 RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 。 解 首先按照圖 6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s) 為 1( ) , aHs s R C 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函 數(shù) H1(z)為 1 1() 1 THz ez 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H2(z)為 1 1 1 1 2 121 2 1 12 ( 1 ) ( ) ( ) 1 2 , 22 a z s T z z H z H s az TT TT H1(z)和 H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖 6.4.5(a),(b)所示 。 圖 6.4.5 例 6.4.1圖 H1(z)和 H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1(z); (b)H2(z) 圖 6.4.6例 6.4.1 圖 數(shù)字濾波器 H1(z)和 H2(z)的幅頻特性 下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾 波器的步驟 。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻 率 p、 通帶衰減 p、 阻帶截止頻率 s、 阻帶衰減 s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通 濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 脈沖響應(yīng)不變法 雙線性變換法 通帶截止頻率 /pp T 阻帶截止頻率 /ss T 通帶截止頻率 2 ta n ( / 2 )ppT 阻帶截止頻率 2 ta n ( / 2 )ssT (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通 濾波器。 (4)將模擬濾波器 Ha(s)，從 s平面轉(zhuǎn)換到 z平面，得 到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 巴特沃斯低通濾波器 切比雪夫低通濾波器 脈沖響應(yīng)不變法 雙線性變換法 例 6.4.2 設(shè)計低通數(shù)字濾波器 ， 要求在通帶內(nèi)頻率 低于 0.2rad時 ， 容許幅度誤差在 1dB以內(nèi)；在頻率 0.3到 之間的阻帶衰減大于 15dB。 指定模擬濾波器采 用巴特沃斯低通濾波器 。 試分別用脈沖響應(yīng)不變法和 雙線性變換法設(shè)計濾波器 。 解 (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器 。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù) N及 3dB 截止頻率 c。 0.1 0.1 lg lg 0 .3 1 .5 6 8 0 .2 1 0 1 1 0 .8 7 5 1 1 0 1 l g 1 0 .8 7 5 1 5 .3 0 5 6 l g 1 .5 6 8 s p sp sp s sp p sp k N k N 取 N=6。 為求 3dB截止頻率 c， 將 p和 p代入 (6.2.17)式 ， 得到 c=0.7032rad/s， 顯然此值滿足通帶 技術(shù)要求 ， 同時給阻帶衰減留一定余量 ， 這對防止頻 率混疊有一定好處 。 根據(jù)階數(shù) N=6， 查表 6.2.1， 得到歸一化傳輸函數(shù)為 2 3 4 5 6 1() 1 3 . 8 6 3 7 7 . 4 6 4 1 9 . 1 4 1 6 7 . 4 6 4 1 3 . 8 6 3 7aHp p p p p p p 為去歸一化，將 p=s/c代入 Ha(p)中，得到實際的 傳輸函數(shù) Ha(s) 10 .1 2( 10 1 )pa Ncp (6.2.17) 6 2 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 5 4 3 2 () 3 . 8 6 3 7 7 . 4 6 4 1 9 . 1 4 1 6 7 . 4 6 4 1 3 . 8 6 3 7 0 . 1 2 0 9 2 . 7 1 6 3 . 6 9 1 3 . 1 7 9 1 . 8 2 5 0 . 1 2 1 0 . 1 2 0 9 a c c c c c c Hs s s s s s s s s s s s s 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成 H(z)。 首先將 Ha(s)進行部分分式 ， 按照下式變換得到： 11 1 2 1 2 1 12 0 .2 8 7 1 0 .4 4 6 6 2 .1 4 2 8 1 .1 4 5 4 () 1 0 .1 2 9 7 0 .6 9 4 9 1 1 .0 6 9 1 0 .3 6 9 9 1 .8 5 5 8 0 .6 3 0 4 1 0 .9 9 7 2 0 .2 5 7 0 zz Hz z z z z z zz 1 () N k a k k AHs ss 1 1 () 1 k N k sT k TAHz ez 圖 6.4.7 例 6.4.2圖 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 (2) 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器 。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 21 t a n , 1 2 2 t a n 0 .1 0 .6 5 / , 1 2 t a n 0 .1 5 1 .0 1 9 / , 1 5 pp Pp ss T T r a d s d B r a d s d B 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器 。 階數(shù) N計算如下： 0.1 0.1 lg lg 1 .0 1 9 1 1 .5 6 8 0 .6 4 9 8 1 0 1 1 0 .8 7 5 1 1 0 1 l g 1 0 .8 7 5 1 5 .3 0 5 6 l g 1 .5 6 8 s p sp sp s sp p sp k N k N 取 N=6。 為求 c,將 s和 s代入 (6.2.18)式中 ， 得 到 c=0.7662rad/s。 這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求 ， 通 帶指標(biāo)已經(jīng)超過 。 (6.2.18) 10 . 1 2( 1 0 1 )sa Ncs 根據(jù) N=6， 查表 6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù) Ha(p) 與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同 。 為去歸一化 ， 將 p=s/c代入 Ha(p)， 得實際的 Ha(s)， 用雙線性變換法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 H(z)： 2 2 2 0 . 2 0 2 4() ( 0 . 3 9 6 0 . 5 8 7 1 )( 1 . 0 8 3 0 . 5 8 7 1 )( 1 . 4 8 0 0 . 5 8 7 1 )aHs s s s s s s 1 1 16 1 2 1 21 2 1 12 0 . 0 0 0 7 3 7 8 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 . 2 6 8 0 . 7 0 5 1 )( 1 1 . 0 1