CH3無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器IIR的設(shè)計方法.ppt

Slide 1 第 章 無 限 長 單 位 脈 沖 響 應(yīng) (IIR) 數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 Slide 2 內(nèi) 容 3.2 常 用 模 擬 低 通 濾 波 器 （ LPF） 特 性 3.1 根 據(jù) 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計 IIR濾 波 器 3.3 從 模 擬 LPF原 型 到 各 種 濾 波 器 的 頻 率變 換 3.4 從 數(shù) 字 LPF原 型 到 各 種 數(shù) 字 濾 波 器 的頻 率 變 換 Slide 3 q許 多 信 息 處 理 過 程 ， 如q 信 號 的 過 濾 ， 檢 測 、 預(yù) 測 等q都 要 用 到 濾 波 器 ， 數(shù) 字 濾 波 器 是 數(shù) 字 信 號 處 理中 使 用 得 最 廣 泛 的 一 種 線 性 系 統(tǒng) 環(huán) 節(jié) ， 是 數(shù) 字信 號 處 理 的 重 要 基 礎(chǔ) 。q數(shù)字濾波器的功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。q數(shù)字濾波器線性時不變系統(tǒng)。q實 現(xiàn) 方 法 主 要 有 兩 種 ：q 數(shù) 字 信 號 處 理 機q 計 算 機 軟 件 Slide 4 設(shè) 計 數(shù) 字 濾 波 器 的 步 驟 ： 一 般 包 括 以 下 三 步 ： (1)按 照 任 務(wù) 的 要 求 ， 確 定 濾 波 器 的 性 能指 標 任 務(wù) 包 括 ： 需 要 濾 除 哪 些 頻 率 分 量 保 留 哪 些 頻 率 分 量 保 留 的 部 分 允 許 有 多 大 的 幅 度 或 相 位 失 真 (2)用 一 個 因 果 穩(wěn) 定 的 離 散 線 性 時 不 變 系統(tǒng) 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 去 逼 近 這 一 性 能 要 求 系 統(tǒng) 函 數(shù) 可 以 分 為 IIR和 FIR兩 類 系 統(tǒng) Slide 5 DF的 分 類 （ 補 充 ）v系 統(tǒng) 函 數(shù)v遞 歸 系 統(tǒng)v非 遞 歸 系 統(tǒng)v系 統(tǒng) 響 應(yīng)v IIRvFIRv 頻 率 響 應(yīng)v高 通 、 低 通v帶 通 、 帶 阻 Slide 6 (3)數(shù) 字 濾 波 器 的 實 現(xiàn)選 擇 運 算 結(jié) 構(gòu)確 定 運 算 和 系 數(shù) 存 儲 的 字 長選 用 通 用 計 算 機 及 相 應(yīng) 的 軟 件 專 用 數(shù) 字 濾 波 器 硬 件 實 現(xiàn) 這 一 系 統(tǒng) 。 Slide 7 數(shù) 字 濾 波 器 的 數(shù) 學(xué) 描 述1)差 分 方 程 Ni Ni ii inybinxany 0 1 )()()(2)系 統(tǒng) 函 數(shù) NM zd zcAzbzaZH Ni iMi iNi iiMi ii 一 般1 11 110 )1( )1(1)( Slide 8 系 統(tǒng) 的 組 成一 般 ， MN,這 類 系 統(tǒng) 稱 為 N階 系 統(tǒng)當 M N時 ， H(z)可 看 成 是 一 個 N階IIR子 系 統(tǒng) 與 一 個 (M-N)階 的 FIR子 系統(tǒng) 的 級 聯(lián) 。IIR(N階 ) FIR(M-N階 )X(n) y(n) Slide 9 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng) 幅 度 特 性 的 容 限 圖 1 1 11 )(ejH 通帶 過渡帶 阻帶 2 o 1 11 1|)(|1 jeH |c 2|)(| jeH r| Slide 10 IIR濾 波 器 的 逼 近 問 題 尋 找 濾 波 器 的 各 系 數(shù) ai和 bi， 使 其 逼近 一 個 所 要 求 的 特 性 。 通 常 有 以 下 兩 種 方 法 ： 1.模 擬 濾 波 器 =預(yù) 定 指 標 的 DF。 優(yōu) 點 ： 經(jīng) 典 方 法 ， 成 熟 ， 方 便 ， 準 確 要 求 ： 掌 握 Slide 11 2.最 優(yōu) 化 設(shè) 計 方 法(1)確 定 一 種 最 優(yōu) 準 則 例 : 設(shè) 計 出 的 實 際 頻 率 響 應(yīng) 的 幅 度 特 性|H(ej)|與 所 要 求 的 理 想 頻 率 響 應(yīng) |Hd(ej)|的 均方 誤 差 最 小 準 則 ， 或 最 大 誤 差 最 小 準 則(2)求 此 準 則 下 的 濾 波 器 系 數(shù) ai和 bi。 特 點 ： (1)直 接 法 : 不 需 要 模 擬 濾 波 器 作 為 之 間 環(huán) 節(jié) (2)現(xiàn) 代 方 法 ， 需 要 大 量 的 迭 代 運 算 Slide 12 3.1 根 據(jù) 模 擬 濾 波 器 來 設(shè) 計 IIR濾 波 器 教 材 p100 從 已 知 的 模 擬 濾 波 器 傳 遞 函 數(shù) Ha(s)設(shè) 計 DF傳 遞 函 數(shù)H(z)。 由 s平 面 到 z平 面 的 變 換 ， 滿 足 兩 條 基 本 要 求 ： (1)H(z)的 頻 響 要 能 模 仿 Ha(s)的 頻 響gs平 面 的 虛 軸 映 射 到 z平 面 的 單 位 圓 ej上 。 (2)因 果 穩(wěn) 定 的 Ha(s)能 映 射 成 因 果 穩(wěn) 定 的 H(z) gS平 面 的 左 半 平 面 Res 0=z平 面 的 單 位圓 內(nèi) |z| 1 Slide 13 模 擬 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法1.巴 特 沃 茲 濾 波 器 （ 了 解 ）2.切 比 雪 夫 濾 波 器 （ 了 解 ）3.橢 圓 濾 波 器 （ *） Slide 14 兩 種 映 射 方 法由 DF模 仿 AF的 特 性 ， 也 即 從 AF映 射成 DF的 問 題 。 1.脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 （ 重 點 ） 2.雙 線 性 變 換 法 （ 重 點 ）各 有 優(yōu) 勢 Slide 15 3.1.1 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 教 材 P101使 DF的 h(n)模 仿 模 擬 濾 波 器 的ha(t)， T為 采 樣 周 期 。 即 h(n)=ha(nT) (1) 假 設(shè) Ha(s)=Lha(t)， H(z)=Zh(n) Ni iia ss AsH 1)( (2) Slide 16 從 Ha(s)到 H(z)結(jié) 論 通 過 N階 模 擬 濾 波 器 的 Ha(s)的Ai和 si， 可 以 求 出 DF的 H(z)。 Ni tSia tueAth i1 )()( (3) Ni nTSia tueAnThnh i1 )()()( (4) Ni Tsi zeAzH i1 11)( (5) 教 材 P101 Slide 17 理 想 采 樣 的 拉 氏 變 換 與 采 樣 序 列 h(n)的 z變 換 H(z)之 間 存 在 著 s平 面 與 z平面 的 映 射 關(guān) 系 n nznhzH )()( STez (3.7) Slide 18 z的 模 r僅 對 應(yīng) 于 s的 實 部 z的 幅 角 僅 對 應(yīng) 于 s的 虛 部 。 (1)=0時 ， r=1， s平 面 虛 軸 映 射 為 z平面 的 單 位 圓 。 (2) 0時 ， r 1； 當 0時 ， r 1。 s左 半 平 面 映 射 為 z平 面 的 單 位 圓 內(nèi) 部 ，而 s右 半 平 面 則 映 射 為 z平 面 單 位 圓 外 部 jsrez j ,令 Ter T ,則 Slide 19 (3)=T， 當 自 0至 變 化 時 ， 的對 應(yīng) 值 為 0至 /T。 s平 面 上 每 一 條 寬 為 2/T的 橫 帶 部 分 ， 都 將 重 疊地 映 射 到 z平 面 的 整 個 平 面 上 。 每 一 橫 帶 的 左 半 部 分 映 射 在 z平 面 單 位 圓 內(nèi) ； 橫帶 的 右 半 部 分 映 射 在 單 位 圓 以 外 j軸 映 射 到 單 位 圓 上 ， 但 j軸 上 的 每 一 段 2/T都 對 應(yīng) 于 繞 單 位 圓 一 周 。 Slide 20 圖 3.1 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 的 映 射 關(guān) 系 Slide 21 混 疊 失 真 不 可 避 免 任 何 一 個 實 際 的 模 擬 濾 波 器 的 頻 響都 不 可 能 真 正 是 帶 限 的 ， 這 就 不 可避 免 地 會 產(chǎn) 生 混 疊 失 真 因 而 AF的 頻 響 在 折 疊 頻 率 以 上 處 衰減 越 大 ， 這 個 失 真 就 越 小 。 Slide 22 (1)穩(wěn) 定 性 (1)如 果 Ha(s)是 穩(wěn) 定 的 ， 即 其 極 點 全部 都 在 s左 半 平 面 內(nèi) 由 映 射 關(guān) 系 可 知 ， 對 應(yīng) 的 H(z)的 極 點也 全 部 都 在 z平 面 的 單 位 圓 內(nèi) 所 以 H(z)也 是 穩(wěn) 定 的 。 Slide 23 (2)相 位 線 性 H(s)的 虛 軸 均 映 射 到 H(z)的 單 位 圓 上 ， 逼近 程 度 在 -(/T)(/T)的 范 圍 內(nèi) 是 好 的 在 此 范 圍 內(nèi) 與 之 間 呈 線 性 的 對 應(yīng) 關(guān) 系， 即 =T。 一 個 線 性 相 位 的 模 擬 濾 波 器 Bessel濾 波 器 可 以 映 射 成 一 個 線 性 相 位 的 DF。 Slide 24 (3)局 限 性 -頻 率 混 疊 效 應(yīng) P103-104 該 方 法 只 適 用 于 帶 限 的 AF。 高 通 和 帶 阻 濾 波 器 不 宜 采 用 脈 沖 響應(yīng) 不 變 法g否 則 要 加 保 護 濾 波 器 ， 濾 掉 高 于 折 疊頻 率 以 上 的 分 量 。 帶 通 和 低 通 濾 波 器 ， 需 充 分 地 帶 限 g阻 帶 衰 減 越 大 ， 則 混 疊 效 應(yīng) 越 小 Slide 25 例 1 將 已 知 傳 遞 函 數(shù) 的 模 擬 濾 波 器 數(shù) 字 化圖 3.3 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 的 幅 頻 特 性 Slide 26 3.1.2 雙 線 性 變 換 法 P105頻 譜 交 疊 產(chǎn) 生 的 混 淆 : 從 S平 面 到 Z平 面 的變 換 z esT的 多 值 對 應(yīng) 關(guān) 系建 立 S平 面 與 Z平 面 一 一 對 應(yīng) 的 單 值 關(guān) 系設(shè) 想 變 換 分 為 兩 步1.將 整 個 S平 面 壓 縮 到 S1平 面 的 一 條 橫帶 里2.通 過 變 換 關(guān) 系 將 此 橫 帶 變 換 到 整 個 Z平 面 Slide 27 圖 3.3 雙 線 性 變 換 的 映 射 關(guān) 系將 S平 面 的 j軸 壓 縮 到 S1平面 j1軸 上 的 一 段 上 ， 可 通過 正 切 變 換 實 現(xiàn) ： 21Ttgc Slide 28 通 過 標 準 變 換 將 橫 帶 變 換 到 整 個 Z平 面將 S1平 面 通 過 標 準 變 換 關(guān) 系 映 射 到 Z平 面代 入 ， 有將 jezjs , )2/(tgc 通 常 取 c=2/T1111 zzcSTsez 1 Slide 29 S平 面 與 Z平 面 單 值 映 射 關(guān) 系 雙 線 性 變 換v優(yōu) 點 不 存 在 混 疊 效 應(yīng) ：vS平 面 虛 軸 對 應(yīng) 于 Z平 面 單 位 圓 的 一 周vS平 面 的 =0處 對 應(yīng) 于 Z平 面 的 =0處v對 應(yīng) 于 DF的 頻 率 響 應(yīng) 終 止 于 折 迭 頻 率 處 )2/(1 )2/(1 112 11Ts Tsz zzTs Slide 30 討 論 ： 變 換 的 性 質(zhì)1. s平 面 的 虛 軸 映 射 到 z平 面 單 位 圓 上 z=ej,代 入 ， 得 s平 面 上 的 正 虛 軸 和 負 虛 軸 分 別 被 映 射 到 z平 面 上 單 位 圓 的 上 半 部 和 下 半 部 。 (3.20)圖 3.5 jjtgTeeTs jj 22112 Slide 31 圖 3.5 雙 線 性 變 換 的 頻 率 特 性2. s平 面 的 左 半 部 映 射 到 單 位 圓 的 內(nèi) 部 s平 面 的 右 半 部 映 射 到 單 位 圓 的 外 部 。 證 明 Slide 32 3. 穩(wěn) 定 性 s 的 實 部 為 負 時 ， 因 子 的 幅 度 小 于 1， 相當 于 單 位 圓 的 內(nèi) 部 。 反 之 ， s 的 實 部 為 正 時 ， 該 比 值 的 幅 度 大于 1， 相 當 于 單 位 圓 的 外 部 。 結(jié) 論 ： 使 用 雙 線 性 變 換 法 能 從 穩(wěn) 定 的 AF獲 得 穩(wěn) 定 的 DF )2/(1 )2/(1 Ts Ts考 察 比 值 因 子 Slide 33 4.避 免 了 混 疊 問 題代 價 ： 在 頻 率 軸 上 引 進 了 失 真 在 零 頻 率 附 近 與 之 間 的 頻 率變 換 關(guān) 系 接 近 于 線 性 關(guān) 系 當 增 加 時 ， 變 換 關(guān) 系 是 非 線 性注 意 ： 只 有 當 容 忍 或 能 補 償 這 種 失 真時 ， 這 種 設(shè) 計 法 才 是 實 用 的 Slide 34 5. DF幅 頻 響 應(yīng) 相 對 于 原 AF會 有 畸 變頻 率 之 間 的 非 線 性 變 換 關(guān) 系例 一 個 模 擬 微 分 器 ， 它 的 幅 度 與 頻率 是 直 線 關(guān) 系 通 過 雙 線 性 變 換 后 ， 不 可 能 得 到數(shù) 字 微 分 器 。 Slide 35 6.對 于 分 段 頻 響 為 常 數(shù) 的 濾 波 器 （ *） 變 換 后 仍 得 到 幅 頻 特 性 為 分 段 常 數(shù)的 濾 波 器 但 是 各 個 分 段 邊 緣 的 臨 界 頻 率 點 產(chǎn)生 了 頻 率 畸 變 可 以 通 過 頻 率 的 預(yù) 畸 變 加 以 校 正 Slide 36 3.2 常 用 模 擬 低 通 濾 波 器 特 性q目 的 ： 方 便 學(xué) 習(xí) 數(shù) 字 濾 波 器q任 務(wù) ： 討 論 常 用 的 模 擬 LPF設(shè) 計 方 法q高 通 、 帶 通 、 帶 阻 等 模 擬 濾 波 器 可 利用 變 量 變 換 方 法 ， 由 LPF變 換 得 到 。q模 擬 LPF的 種 類 Butterworth 濾 波 器 Chebyshev 濾 波 器 橢 圓 （ Elliptic、 Cauer型 ） 濾 波 器 Slide 37 模 擬 濾 波 器 的 設(shè) 計 （ 逼 近 ）q根 據(jù) 一 組 設(shè) 計 規(guī) 范 設(shè) 計 模 擬 系 統(tǒng) 函 數(shù)Ha(s)， 使 其 逼 近 理 想 濾 波 器 特 性 。 在 逼 近 中 常 使 用 “ 振 幅 平 方 函 數(shù) ” 來 表 示: A(2)=|Ha(j)|2=Ha(j)H*a(j) (3.21) 由 于 濾 波 器 沖 激 響 應(yīng) ha(t)是 實 函 數(shù) ， 因 而 H *a(j)=Ha(-j) (3.22) A(2)=Ha(j)Ha(-j)=Ha(s)Ha(-s)|s=j (3.23) Slide 38 問題: 由已知的A(2)求得Ha(s)。 在 穩(wěn) 態(tài) 條 件 下 ,s=j 2=-s2， 所 以 A(2)=A(-s2)|s=j。 先 在 s復(fù) 平 面 上 標 出 A(-s2)的 極 點 和 零 點 由 (3.23)式 ， A(-s2)的 極 點 、 零 點 總 是 “ 成對 地 ” 對 稱 于 s平 面 的 實 軸 與 虛 軸 選 用 A(-s2)的 對 稱 極 點 、 零 點 的 任 一 半 作為 Ha(s)的 極 點 和 零 點 從 而 可 得 到 系 統(tǒng) 函 數(shù) H a(s) Slide 39 極 點 、 零 點 在 左 半 平 面 、 右 半 平 面 ？ 選 用 極 點 時 為 了 保 證 Ha(s)的 穩(wěn) 定 選 用 A(-s2)在 s左 半 平 面 的 極 點 作 為Ha(s)的 極 點 ， 零 點 則 可 用 A(-s2)的 對 稱零 點 的 任 一 半 在 要 求 設(shè) 計 的 Ha(s)具 有 最 小 相 位 性質(zhì) 時 選 用 A(2)在 s左 半 平 面 的 零 點 作 為H a(s)的 零 點 。 Slide 40 例 2 設(shè) 已 知 A(2)， 求 對 應(yīng) 的 Ha(s)。 四 個 極 點 和 兩 個 零 點 在 s平 面 上 的 分布 如 圖 3.5。 21212121 22)s(1 )s-(2)( 422 jsjsjsjs ssSA 422 12)( A Slide 41 圖 3.5 從 A(2)求 Ha(s) Slide 42 構(gòu) 成 Ha(s)的 極 點 、 零 點 按 穩(wěn) 定 條 件 取 左 半 平 面 的 兩 個 極 點 按 最 小 相 位 條 件 來 選 取 取 左 半 平 面 上 的 一 個 零 點 2121 2)( jsjs ssH a三 種 最 常 用 模 擬 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 Slide 43 3.2.1 巴 特 沃 茲 (Butterworth)濾 波 器 特 點 (1)具 有 通 帶 內(nèi) 最 大 平 坦 的 振 幅 特 性 (2)隨 著 頻 率 的 升 高 而 單 調(diào) 地 下 降 。 幅 度 平 方 函 數(shù) : Nca jjHA 222 j1 1)()( (3.24) Slide 44 A(2)的 特 性N為 濾 波 器 的 階 數(shù) ,N越 大 通 帶 和 阻 帶 的 近 似 性 越 好 ， 過 渡 帶 也 越 陡(1)在 通 帶 內(nèi) /c 1則 (/c)2N非 常 小 而使 函 數(shù) A(2)接 近 于 1(2)在 過 渡 帶 和 阻 帶 內(nèi) /c 1,(/c)2N 則遠 大 于 1， 使 函 數(shù) 值 驟 然 下 降(3)在 c處 ， 響 應(yīng) 等 于 直 流 時 的 0.5。 這 相當 于 幅 度 響 應(yīng) 的 0.707或 3dB衰 減 點 Slide 45 圖 3.6 Butterworth濾 波 器 的 幅 度 平 方 函 數(shù) Slide 46 振 幅 平 方 函 數(shù) 的 極 點 sp有 2N個 ， 等 角 度 分 布 在 |s|=c的 圓 周 上 Ncaa jssHsH 2)/(1 1)()( (3.25) )()1( 21 cNp js (3.26) Slide 47 分 析 ： N=3階 的 振 幅 平 方 函 數(shù) 的 極 點 分 布 系 統(tǒng) 函 數(shù) 是 由 s平 面 左 半 部 的 極 點(sp3,sp4,sp5) 組 成 。 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 ： )()()( 543 3 ppp ca sssssssH (3.27) 分 子 的 3c使 得 s=0時 ， Ha(s)=1。令 c=1， 便 得 到 歸 一 化 的 三 階 LPF： 122 1)( 231 SSSsHa (3.28) Slide 48 圖 3.7 N=3階 的 振 幅 平 方 函 數(shù) 的 極 點 分 布 Slide 49 3.2.2 切 比 雪 夫 (Chebyshev)濾 波 器 顯 著 特 點 : 逼 近 誤 差 峰 值 在 一 個 規(guī) 定 的 頻 段 上 為 最 小 。誤 差 值 在 規(guī) 定 的 頻 段 上 是 等 波 紋 的 誤 差 值 等 幅 地 在 極 大 值 和 極 小 值 之 間 擺 動 。切 比 雪 夫 濾 波 器 的 振 幅 平 方 函 數(shù) 為 )(1 1)(j)A( 22222a2 cN xVH (3.29) Slide 50 N階 切 比 雪 夫 多 項 式 c為 有 效 通 帶 截 止 頻 率 為 小 于 1的 正 數(shù) ， 與 通 帶 波 紋 有 關(guān) 值 愈 大 通 帶 波 動 愈 大 VN(x)是 N階 切 比 雪 夫 多 項 式 ： 1)coshcosh( 10)coscos()( 11 xxN xxNxVN (3.30) Slide 51 N階 切 比 雪 夫 多 項 式 的 變 化 規(guī) 律 當 |x|1時 ， |VN(x)|1； 在 |x| 1的 區(qū) 間 內(nèi) VN(x)隨 x而 單 調(diào) 地 增 加 在 |x|1間 隔 內(nèi) ， 1+(x)的 值 將 在 1與 1+2之 間 變 化 。 |x|1即 為 |/c|1(通 帶 ),此 時 的|Ha(j)|2在 1與 1/(1+2)之 間 波 動 。 在 |x| 1時 ， 即 c時 ， 隨 著 /c的 增 大|Ha(j)| 2迅 速 趨 于 零 。 Slide 52 圖 3.6 Chebyshev濾 波 器 的 振 幅 平 方 特 性 N=even， |Ha(j)|2在 =0處 為 最 小 值 ； N=odd， |H a(j)|2在 =0處 為 1， 最 大 值 Slide 53 有 關(guān) 參 數(shù) 的 確 定 方 法 (c 、 、 N)1.c一 般 是 預(yù) 先 給 定 的2.求 是 與 通 帶 波 紋 有 關(guān) 的 參 數(shù) ， 波 紋 ： minmax2min2max )( )(lg20)( )(lg10 jH jHjH jH aaaa |Ha(j)|max=1而 Ha(j)|min=1/(1+2)2=10/10-1 Slide 54 (3)求 階 數(shù) N N對 濾 波 特 性 有 極 大 的 影 響 ， N越 大 逼 近 特 性 越 好 相 應(yīng) 的 濾 波 器 結(jié) 構(gòu) 也 越 復(fù) 雜 。 N的 值 根 據(jù) 阻 帶 的 邊 界 條 件 來 確 定 的 當 =s時 ， |Ha(js)|21/A2 )( )1(1 1 21 CSch AchN Slide 55 N、 c、 給 定 后 ， 就 可 以 求 得 濾 波器 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s) 查 閱 有 關(guān) 模 擬 濾 波 器 手 冊 。 Slide 56 3.2.3 橢 圓 濾 波 器 特 點 : 其 幅 值 響 應(yīng) 在 通 帶 和 阻 帶 內(nèi) 都 是 等波 紋 的 對 于 給 定 的 階 數(shù) 和 給 定 的 紋 波 要 求 ， 除橢 圓 濾 波 器 外 ， 其 他 濾 波 器 均 不 能 獲 得較 窄 的 過 渡 帶 寬 就 這 一 點 ， 橢 圓 濾 波 器 是 最 優(yōu) 的 。 Slide 57 橢 圓 函 數(shù) (Jacobi Elliptic Function) 振 幅 特 性 由 雅 可 比 橢 圓 函 數(shù) 決 定 這 種 濾 波 器 的 振 幅 平 方 函 數(shù) 為 ),(1 1|)(|)( 2222 LRjHA Na RN(， L)-雅 可 比 橢 圓 函 數(shù)L是 一 個 表 示 紋 波 性 質(zhì) 的 參 量 Slide 58 圖 3.10 橢 圓 濾 波 器 的 振 幅 平 方 函 數(shù) Slide 59 三 種 最 常 用 模 擬 濾 波 器 的 選 型按 照 技 術(shù) 指 標 選 用 哪 種 型 式 由 設(shè) 計 者 決 定關(guān) 于 階 數(shù) ： 橢 圓 濾 波 器 的 階 次 可 最 低 切 比 雪 夫 濾 波 器 次 之 巴 特 沃 茲 濾 波 器 最 高關(guān) 于 參 數(shù) 的 靈 敏 度 恰 恰 相 反 。 從 設(shè) 計 指 標 設(shè) 計 A(2)設(shè) 計 出 Ha(s) 討 論 從 H a(s)至 H(z)的 變 換 設(shè) 計 法 。 Slide 60 3.3 從模擬原型LPF到各種DF的頻率變換兩 種 設(shè) 計 方 法 ：1.兩 步 法 (1)把 一 個 歸 一 化 的 原 型 模 擬 LPF經(jīng) 模擬 頻 帶 變 換 成 所 需 類 型 的 模 擬 濾 波 器 。(AAC) (2)通 過 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 或 雙 線 性 變 換法 轉(zhuǎn) 換 為 所 需 類 型 的 DF。 (ADC) Slide 61 圖 3.11 設(shè) 計 IIR濾 波 器 的 頻 率 變 換 法 2.一 步 法 直 接 從 模 擬 低 通 歸 一 化 原 型 通 過 一 定 的頻 率 變 換 關(guān) 系 ， 一 步 完 成 各 類 型 數(shù) 字 濾波 器 的 設(shè) 計模 擬 原 型 模 擬 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻 數(shù) 字 低 通 、 高通 帶 通 、 帶 阻 Slide 62 3.3.1 低 通 變 換1.確 定 數(shù) 字 濾 波 器 的 指 標 確 定 各 臨 界 頻 率 k2.指 標 轉(zhuǎn) 換 將 DF的 性 能 要 求 轉(zhuǎn) 換 為 與 之 相 對 應(yīng) 的AF的 性 能 要 求 由 變 換 關(guān) 系 將 k映 射 到 模 擬 域 ， 得 出模 擬 濾 波 器 的 臨 界 頻 率 值 k。 Slide 63 3.設(shè) 計 模 擬 濾 波 器 根 據(jù) k設(shè) 計 模 擬 濾 波 器 的 Ha(s) 用 查 表 的 方 法 用 解 析 的 方 法4.濾 波 器 數(shù) 字 化 將 AF的 Ha(s)數(shù) 字 化 為 所 需 的 DF的 H(z) 通 過 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 /雙 線 性 變 換 法 Slide 64 1)脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 例 3 T=250s (fs=4kHz)， 設(shè) 計 一 個 三階 Butterworth濾 波 器 ， 其 3dB截 止頻 率 為 fc=1kHz。 32221 1)( ssssHa 解 ： 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 的 頻 率 關(guān) 系 是 線 性的 ， 所 以 可 直 接 按 c =2fc設(shè) 計 Ha(s)。 以截 止 頻 率 c 歸 一 化 傳 遞 函 數(shù) 為 ： Slide 65 然 后 以 s/c代 替 其 歸 一 化 頻 率 ， 得 32 )/()/(2)/(21 1)( ccca ssssH o將 c=2fc代 入 ， 就 完 成 了 三 階 模 擬濾 波 器 的 計 算 。o具 體 數(shù) 值 應(yīng) 該 放 在 完 成 了 DF的 變 換后 一 次 代 入 ， 以 簡 化 運 算 。 Slide 66 將 Ha(S)上 式 寫 成 部 分 分 式 結(jié) 構(gòu) ： 2/)31( 3/2/)31( 3/)( 6/6/ jcs ecjcs eccs csHa jj 6/211 3/;, jcc ecAsA 2/)31(,3/;2/)31( 36/32 jsecAjs cjc Ni TS i ZeAZH i1 11)( Slide 67 把 Tcc / 代 入 ， 得 ： 12/)31( 6/12/)31( 6/1 1 )3/(1 )3/(1 /)( Ze eTZe eTZe TZH j jcj jcC ccc 合 并 上 式 后 兩 項 ， 并 將 5.02 Tfcc 代 入 21 11 2079.01905.01 5541.0571.12079.01 571.11)( ZZ ZZTZH Slide 68 H(z)與 采 樣 周 期 T有 關(guān) 越 小 ， H(z)的 相 對 增 益 越 大 。 在 實 際 應(yīng) 用 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 時 稍 微 作 一 點 修 正 在 求 得 了 H(z)以 后 ， 再 乘 以 一 因 子 T 使 得 H(z)只 與 fc/fs有 關(guān) ， 而 與 fs沒 有 直 接 的 關(guān) 系 fs=4kHz， fc=1kHz與 fs=40kHz， fc=10kHz的 數(shù)字 濾 波 器 將 具 有 同 一 個 傳 遞 函 數(shù) 。 21 11 2079.01905.01 5541.0571.12079.01 571.1)( zz zzZH Slide 69 2) 雙 線 性 變 換 法例 4 設(shè) 計 指 標 與 上 題 相 同 ， fs=4kHz， fc=1kHz，試 設(shè) 計 一 三 階 巴 特 沃 茲 低 通 濾 波 器 。解 1. 確 定 數(shù) 字 截 止 頻 率 c=2fcT=0.5 2. 用 c=(2/T)tg(c/2)確 定 預(yù) 畸 變 的 濾 波 器 臨 界 頻 率 c=(2/T)tg(0.25)=2/T 3. 歸 一 化 的 三 階 巴 特 沃 模 擬 濾 波 器 傳 遞 函 數(shù) 32 )/()/(2)/(21 1)( ccca ssssH 4. 代 入 c=2/T, 得 Slide 70 5. 將 雙 線 性 變 換 關(guān) 系 代 入 ， 得 DF的 傳 遞 函 數(shù) 31121111112 111121121 1)()( 11 zzzzzzsHZH zzTsa Slide 71 231112 31 21111211 31 311131 31 31111131 31 3112121131 313121113 1 2122122211 111141 1 1111121 1 11121121 1 zzzzz z zzzzzzzz zzzzz z zzzzzz z zzzzzz z Slide 72 注 意 : 模 擬 濾 波 器 Ha(s)的 通 帶 截 止 頻 率 已不 是 DF所 要 模 仿 的 截 止 頻 率 fc=1kHz。 兩 種 設(shè) 計 方 法 所 得 到 的 頻 響 的 比 較 ： 雙 線 性 變 換 法 : z=-1即 =處 有 一 個 三 階 傳 輸零 點 , 正 是 模 擬 濾 波 器 在 =處 的 三 階 傳 輸零 點 通 過 映 射 形 成 的 。 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 : 混 疊 效 應(yīng) 使 得 過 渡 帶 和 阻帶 的 衰 減 特 性 變 差 ， 并 且 不 存 在 傳 輸 零 點 。 Slide 73 圖 3.12 兩 種 設(shè) 計 方 法 所 得 到 的 頻 響 的 比 較脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法雙 線 性 變 換 法 Slide 74 3.3.2 高 通 變 換 由 模 擬 低 通 濾 波 器 至 高 通 濾 波 器 的 變 換 就是 s變 量 的 倒 量 變 換 。 將 雙 線 性 變 換 中 的 s用 其 倒 數(shù) 1/s代 替 ， 就可 以 得 到 數(shù) 字 高 通 濾 波 器 ， 即 11112 zzTs Slide 75 倒 量 變 換 沒 有 改 變 模 擬 濾 波 器 的 穩(wěn) 定 條 件也 不 會 影 響 雙 線 性 變 換 后 的 穩(wěn) 定 條 件 。令 s=j,z=ej， 則 =(-T/2)ctg(/2) 或 |=(T/2)ctg(/2) 例 5 設(shè) 計 一 數(shù) 字 高 通 濾 波 器 ， 它 的 通 帶 為 400 500Hz， 容 許 有 0.5dB的 波 動 阻 帶 內(nèi) 衰 減 在 317Hz的 頻 帶 內(nèi) 至 少 為 19dB 采 樣 頻 率 為 1000Hz。 Slide 76 |=(T/2)ctg(/2) Slide 77 解 利 用 切 比 雪 夫 濾 波 器 ， 預(yù) 畸 變 的 模 擬截 止 頻 率 等 于 c=(T/2)ctg(2 400)/(2 1000)=(T/2) 0.32492 s為 模 擬 低 通 濾 波 器 的 阻 帶 邊 界 頻 率 。 s=(T/2)ctg(2 317)/(2 1000)=(T/2) 0.6498 將 c與 s以 及 s均 對 (T/2)歸 一 化 ， 得 Slide 78 =c/(T/2)=0.32492 =s/(T/2)=0.64982 確 定 模 擬 Chebyshev濾 波 器 的 另 兩 個 參 數(shù) ： 對 應(yīng) 于 0.5dB的 波 動 ， 即 =1/2, 2=0.1220184。 求 得 最 小 的 濾 波 器 階 數(shù) N=3。 根 據(jù) 這 些 參 數(shù) ， 可 以 查 表 /計 算 獲 得 傳 遞 函 數(shù) 為 0255842155.0166563075.04127346.0 0255842155.0)( 23 ssssHa cs c Slide 79 三 階 切 比 雪 夫 高 通 頻 響 321 3111 45376786.052427784.197486024.11 )1(01594149.0)()( 11 zzz zsHZH zzsaq模 擬 濾 波 器 在 =處 的 三 階 傳 輸零 點 通 過 高 通 變 換 后 出 現(xiàn) 在=0(z=1)處q高 通 濾 波 器 所 希 望 得 到 的 。 Slide 80 數(shù) 字 低 通數(shù) 字 低 通 H p(ej)和 H(ej)都 是 低 通 函 數(shù) 截 止 頻 率 不 相 同 當 由 變 到 時 ， 相 應(yīng) 也 應(yīng) 由 變 到 全 通 函 數(shù) 的 階 數(shù) 應(yīng) 為 =1 zzzGu 式 中 以 滿 足 G(1)=1, G(-1)=-1的 變 換 關(guān) 系 ，且 需 。 Slide 81 代 入 u = ej， z=ej， 則 得 頻 率 間 關(guān) 系 為 jjj eee cos12 sin1arctg 22