無限長單位脈沖響應IIR濾波器設計中

二 、 雙 線 性 變 換 法 脈 沖 響 應 不 變 法 的 主 要 缺 點 是 頻 譜 交 疊 產(chǎn) 生 的 混淆 ， 這 是 從 S平 面 到 Z平 面 的 標 準 變 換 z esT的 多 值 對 應關 系 導 致 的 ,為 了 克 服 這 一 缺 點 ， 設 想 變 換 分 為 兩 步 ： 第 一 步 ： 將 整 個 S平 面 壓 縮 到 S1平 面 的 一 條 橫 帶 里 ； 第 二 步 ： 通 過 標 準 變 換 關 系 將 此 橫 帶 變 換 到 整 個 Z平面 上 去 。 由 此 建 立 S平 面 與 Z平 面 一 一 對 應 的 單 值 關 系 ， 消 除多 值 性 ， 也 就 消 除 了 混 淆 現(xiàn) 象 。 s平 面 s1平 面 z平 面雙 線 性 變 換 法 的 映 射 關 系 為 了 將 S平 面 的 j軸 壓 縮 到 S1平 面 j1軸 上 的 /T到/T 一 段 上 ， 可 通 過 以 下 的 正 切 變 換 實 現(xiàn) ： 0)2(tg 1Tc 這 里 C是 待 定 常 數(shù) ， 下 面 會 講 到 用 不 同 的 方 法 確 定 C，可 使 模 擬 濾 波 器 的 頻 率 特 性 與 數(shù) 字 源 波 器 的 頻 率 特性 在 不 同 頻 率 點 有 對 應 關 系 。 經(jīng) 過 這 樣 的 頻 率 變 換 ， 當 由 時 , 1由 -/T經(jīng) 過 變 化 到 /T ， 即 S平 面 的 整 個 j軸 被壓 縮 到 S1平 面 的 2/T 一 段 。 通 常 取 C=2/T,)2/(2 tgT Ts TseecTscs 1111)2(th 1 zzTsTsez 1考 慮 z = ej, jjT jTeeTs jj)2(tg2 2cos )2/sin(2112 再 將 S1 平 面 通 過 標 準 變 換 關 系 映 射 到 Z平 面 ， 即 令將 這 一 關 系 解 析 擴 展 至 整 個 S平 面 ， 則 得 到S平 面 到 S1平 面 的 映 射 關 系 ： 最 后 得 S平 面 與 Z平 面 的 單 值 映 射 關 系 ： 雙 線 性 變 換 法 的 主 要 優(yōu) 點 是 S平 面 與 Z平 面 一 一 單 值 對 應， S平 面 的 虛 軸 (整 個 j)對 應 于 Z平 面 單 位 圓 的 一 周 ， S平 面的 =0處 對 應 于 Z平 面 的 =0處 ， 對 應 即 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響應 終 止 于 折 疊 頻 率 處 ， 所 以 雙 線 性 變 換 不 存 在 混 迭 效 應 。 zzTs sT sTz )/( )/( 現(xiàn) 在 我 們 看 看 ， 這 一 變 換 是 否 符 合 我 們 一 開 始 提出 的 由 模 擬 濾 波 器 設 計 數(shù) 字 濾 波 器 時 ， 從 S平 面 到 Z平面 映 射 變 換 的 二 個 基 本 要 求 ： 當 時 ， 得 ：jez jjtgTeeTs jj 22112 js 22 22 221 221|,221 221 TT TTzTjT TjTz 0 1|,0;1| zz 時0對 單 位 圓 , 即 S平 面 的 虛 軸 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 。時 即 s左 半 平 面 映 射 在 單 位 圓 內 ， s右 半 平 面 映 射 在 單 位 圓 外 ，因 此 穩(wěn) 定 的 模 擬 濾 波 器 通 過 雙 線 性 變 換 后 ， 所 得 到 的 數(shù) 字 濾 波器 也 是 穩(wěn) 定 的 。 如 圖 1。 圖 雙 線 性 變 換 的 頻 率 非 線 性 關 系 小 結 1) 與 脈 沖 響 應 不 變 法 相 比 ， 雙 線 性 變 換 的 主 要 優(yōu) 點 ： S平 面 與 Z平 面 是 單 值 的 一 一 對 應 關 系 （ 靠 頻 率 的 嚴 重 非 線 性 關 系 得到 的 ） ， 即 整 個 j軸 單 值 的 對 應 于 單 位 圓 一 周 ， 關 系 式 為 ： 可 見 ， 和 為 非 線 性 關 系 ， 如 圖 2。 22 tgT 圖 2 雙 線 性 變 換 的 頻 率 非 線 性 關 系 由 圖 中 看 到 ， 在 零 頻 率 附 近 ， 接 近 于 線 性 關 系 ， 進一 步 增 加 時 ， 增 長 變 得 緩 慢 ， (終 止 于 折 疊頻 率 處 )， 所 以 雙 線 性 變 換 不 會 出 現(xiàn) 由 于 高 頻 部 分 超 過 折 疊 頻 率而 混 淆 到 低 頻 部 分 去 的 現(xiàn) 象 。 ,時 2)雙 線 性 變 換 缺 點 ： 與 成 非 線 性 關 系 ， 導 致 ： a. 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 頻 響 應 相 對 于 模 擬 濾 波 器 的 幅 頻 響 應 有 畸變 ， (使 數(shù) 字 濾 波 器 與 模 擬 濾 波 器 在 響 應 與 頻 率 的 對 應 關 系 上發(fā) 生 畸 變 )。 例 如 ， 一 個 模 擬 微 分 器 ， 它 的 幅 度 與 頻 率 是 直 線 關 系 ，但 通 過 雙 線 性 變 換 后 ， 就 不 可 能 得 到 數(shù) 字 微 分 器bktgjHeH bkjH tgj 2)()( )( 2 b. 線 性 相 位 模 擬 濾 波 器 經(jīng) 雙 線 性 變 換 后 ， 得 到 的 數(shù) 字 濾 波 器 為非 線 性 相 位 。 c.要 求 模 擬 濾 波 器 的 幅 頻 響 應 必 須 是 分 段 恒 定 的 ， 故 雙 線 性變 換 只 能 用 于 設 計 低 通 、 高 通 、 帶 通 、 帶 阻 等 選 頻 濾 波 器 。 雖 然 雙 線 性 變 換 有 這 樣 的 缺 點 ， 但 它 目 前 仍 是 使用 得 最 普 遍 、 最 有 成 效 的 一 種 設 計 工 具 。 這 是 因 為 大多 數(shù) 濾 波 器 都 具 有 分 段 常 數(shù) 的 頻 響 特 性 ， 如 低 通 、 高通 、 帶 通 和 帶 阻 等 ， 它 們 在 通 帶 內 要 求 逼 近 一 個 衰 減為 零 的 常 數(shù) 特 性 ， 在 阻 帶 部 分 要 求 逼 近 一 個 衰 減 為 的 常 數(shù) 特 性 ， 這 種 特 性 的 濾 波 器 通 過 雙 線 性 變 換 后 ，雖 然 頻 率 發(fā) 生 了 非 線 性 變 化 ， 但 其 幅 頻 特 性 仍 保 持 分段 常 數(shù) 的 特 性 。 例 如 ， 一 個 考 爾 型 的 模 擬 濾 波 器 Ha(s)， 雙 線 性變 換 后 ， 得 到 的 H(z)在 通 帶 與 阻 帶 內 都 仍 保 持 與 原模 擬 濾 波 器 相 同 的 等 起 伏 特 性 ， 只 是 通 帶 截 止 頻 率 、過 渡 帶 的 邊 緣 頻 率 ， 以 及 起 伏 的 峰 點 、 谷 點 頻 率 等臨 界 頻 率 點 發(fā) 生 了 非 線 性 變 化 ， 即 畸 變 。 這 種 頻 率點 的 畸 變 可 以 通 過 預 畸 來 加 以 校 正 。 預 畸 變 ： 即 將 模 擬 濾 波 器 的 臨 界 頻 率 事 先 加 以 畸 變 ， 然 后 通 過 雙 線性 變 換 后 正 好 映 射 到 所 需 要 的 頻 率 上 。 利 用 關 系 式 ： 將 所 要 設 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 臨 界 頻 率 點 ， 變 換 成 對 應 的 模 擬域 頻 率 ， 利 用 此 設 計 模 擬 濾 波 器 ， 再 通 過 雙 線 性 變 換 ，即 可 得 到 所 需 的 數(shù) 字 濾 波 器 ， 其 臨 界 頻 率 正 是 。 如 圖 所 示。 22 ii tgT ii i i 雙 線 性 變 換 時 頻 率 的 預 畸 )計 算 H(Z) 雙 線 性 變 換 比 脈 沖 響 應 法 的 設 計 計 算 更 直 接 和 簡 單 。 由 于 s與 z之 間 的 簡 單 代 數(shù) 關 系 ， 所 以 從 模 擬 傳 遞 函 數(shù) 可 直 接 通 過 代 數(shù)置 換 得 到 數(shù) 字 濾 波 器 的 傳 遞 函 數(shù) 。 置 換 過 程 : 頻 響 ： 11112 112)()( 11 zzTHsHzH azzTsa 22)()( 22 tgTjHjHeH atgTaj 這 些 都 比 脈 沖 響 應 不 變 法 的 部 分 分 式分 解 便 捷 得 多 ， 一 般 ， 當 著 眼 于 濾 波 器的 時 域 瞬 態(tài) 響 應 時 ， 采 用 脈 沖 響 應 不 變法 較 好 ， 而 其 他 情 況 下 ， 對 于 IIR的 設 計， 大 多 采 用 雙 線 性 變 換 。 3.2 常 用 模 擬 低 通 濾 波 器 特 性 為 了 方 便 學 習 數(shù) 字 濾 波 器 ， 先 討 論 幾 種 常 用 的 模 擬 低 通 濾 波器 設 計 方 法 ， 高 通 、 帶 通 、 帶 阻 等 模 擬 濾 波 器 可 利 用 變 量 變 換方 法 ， 由 低 通 濾 波 器 變 換 得 到 。 模 擬 濾 波 器 的 設 計 就 是 根 據(jù) 一 組 設 計 規(guī) 范 設 計 模 擬 系 統(tǒng) 函 數(shù)Ha(s)， 使 其 逼 近 某 個 理 想 濾 波 器 特 性 。 因 果 系 統(tǒng) 中式 中 h a(t)為 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應 ， 是 實 函 數(shù) 。 不 難 看 出 0 )()( dtethjH tjaa 0 sincos)()( dttjtthjH aa )()( jHjH aa 定 義 振 幅 平 方 函 數(shù) 式 中 Ha(s)模 擬 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(j)濾 波 器 的 頻 率 響 應 |Ha(j)|濾 波 器 的 幅 頻 響 應又 S=j， 2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j )1()()()()()( )()()()( 2 22 jsaaaa aaa sHsHjHjHA jHjHjHA 問 題 ： 由 A(-S2)Ha(S) 對 于 給 定 的 A(-S2)， 先 在 S復 平 面 上 標 出 A(-S2)的 極點 和 零 點 ， 由 (1)式 知 ， A(-S2)的 極 點 和 零 點 總 是 “ 成 對出 現(xiàn) ” ， 且 對 稱 于 S平 面 的 實 軸 和 虛 軸 ， 選 用 A(-S2)的對 稱 極 、 零 點 的 任 一 半 作 為 Ha(s)的 極 、 零 點 ， 則 可 得到 Ha(s)。 為 了 保 證 Ha(s)的 穩(wěn) 定 性 ， 應 選 用 A(-S2)在 S左 半 平 面的 極 點 作 為 Ha(s)的 極 點 ， 零 點 可 選 用 任 一 半 。 Nca jjjHA 222 1 1)()( )( 2AN為 濾 波 器 階 數(shù) ， 如 圖 1其 幅 度 平 方 函 數(shù) ：特 點 ： 具 有 通 帶 內 最 大 平 坦 的 振 幅 特 性 ， 且 隨 f ， 幅 頻 特 性 單 調 。 三 種 模 擬 低 通 濾 波 器 的 設 計 ：1） 巴 特 沃 茲 濾 波 器 (Butterworth 濾 波 器 ) (巴 特 沃 茲 逼 近 ) 圖 1 巴 特 沃 茲 濾 波 器 振 幅 平 方 函 數(shù) 通 帶 : 使 信 號 通 過 的 頻 帶 阻 帶 ： 抑 制 噪 聲 通 過 的 頻 帶 過 渡 帶 ： 通 帶 到 阻 帶 間 過 渡 的 頻 率 范 圍 c ： 通 帶 邊 界 頻 率 。 過 渡 帶 為 零 ， 阻 帶 |H(j)|=0 通 帶 內 幅 度 |H(j)|=const.， H(j)的 相 位 是 線 性 的 。 理 想 濾 波 器 圖 1中 ， N增 加 ， 通 帶 和 阻 帶 的 近 似 性 越 好 ， 過 渡 帶 越 陡 。在 過 渡 帶 內 ， 階 次 為 的 巴 特 沃 茲 濾 波 器 的 幅 度 響 應 趨 于斜 率 為 -6NdB/倍 頻 程 的 漸 近 線 。 通 帶 內 ， 分 母 /c1， ( /c)2N 1, 增 加 ， A(2)快速 減 小 。 = c, ， ,幅 度 衰 減 ， 相 當于 3dB衰 減 點 。 21)0( )( 2 AA c 2121)( 2 A 振 幅 平 方 函 數(shù) 的 極 點 ： 令 分 母 為 零 ， 得 可 見 ， Butterworth濾 波 器 的 振 幅 平 方 函 數(shù) 有 2N個 極 點， 它 們 均 勻 對 稱 地 分 布 在 |S|=c的 圓 周 上 。 例 ： 為 N=3階 BF振 幅 平 方 函 數(shù) 的 極 點 分 布 ， 如 圖 。Ncaa jSSHSH 2)(1 1)()( )()1( 21 cNP jS 圖 2 三 階 A(-S2)的 極 點 分 布 考 慮 到 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 ， 知 DF的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 是 由 S平 面 左 半 部 分的 極 點 （ SP3， SP4， SP5） 組 成 的 ， 它 們 分 別 為 ： 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 ： 令 ， 得 歸 一 化 的 三 階 BF： 如 果 要 還 原 的 話 ， 則 有 3254323 , jcpcpjcp eSSeS )()()( 543 3 ppp ca SSSSSSsH 1 c 122 1)( 23 SSSsHa 1)/(2)/(2)/( 1)( 23 ccca ssssH MATLAB設 計 模 擬 Butterworth filterz,p,k=buttap(N)確 定 N階 歸 一 化 的 Butterworth filter 的 零 點 、 極 點 和 增 益 (gain)( ) ( (1)( (2) ( ( )kH s s p s p s p N num,den=butter(N,Wc,s)確 定 階 數(shù) 為 N， 3-db截 頻 為 Wc(radian/s)的 Butterworth filter分 子 和 分 母 多 項 式 。 s 表 示 模 擬 域 。N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s)確 定 模 擬 Butterworth filter的 階 數(shù) N和 3-db截 頻 Wc。Wc是 由 阻 帶 參 數(shù) 確 定 的 。 例 ： 設 計 滿 足 下 列 條 件 的 模 擬 Butterworth低 通 濾 波 器 fp=1kHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den = butter(N,Wc,s);omega = 0: 200: 12000*pi;h = freqs(num,den,omega);gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB); 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-50-40-30-20-100 Frequency in HzGain in dB N=4 Ap= 0.1098 dB As= 40.0000 dB 2） 切 比 雪 夫 （ chebyshev） 濾 波 器 (切 比 雪 夫 多 項 式 逼 近 ) 特 點 ： 誤 差 值 在 規(guī) 定 的 頻 段 上 等 幅 變 化 。 巴 特 沃 茲 濾 波 器 在 通 帶 內 幅 度 特 性 是 單 調 下 降 的 ， 如 果 階次 一 定 ， 則 在 靠 近 截 止 頻 率 處 ， 幅 度 下 降 很 多 ， 或 者 說 ，為 了 使 通 常 內 的 衰 減 足 夠 小 ， 需 要 的 階 次 （ N） 很 高 ， 為 了 克服 這 一 缺 點 ， 采 用 切 比 雪 夫 多 項 式 逼 近 所 希 望 的 。 切 比 雪 夫 濾 波 器 的 在 通 帶 范 圍 內 是 等 幅 起 伏 的 ，所 以 同 樣 的 通 帶 衰 減 ， 其 階 數(shù) 較 巴 特 沃 茲 濾 波 器 要 小 。 可 根 據(jù)需 要 對 通 帶 內 允 許 的 衰 減 量 （ 波 動 范 圍 ） 提 出 要 求 ， 如 要 求 波動 范 圍 小 于 1db。 c 2)( jH2)( jH 振 幅 平 方 函 數(shù) 為 )(1 1)()( 2222 cNa VjHA c 1)coshcosh( 1)coscos()( 11 xxN xxNxVN )(,1 1)(,1 xVxx xVx NN時有 效 通 帶 截 止 頻 率與 通 帶 波 紋 有 關 的 參 量 ， 大 ， 波 紋 大 。 0 1 VN（ x） N階 切 比 雪 夫 多 項 式 ， 定 義 為 如 圖 1,通 帶 內 變 化 范 圍 1 c ， 隨 /c ， 0 (迅 速 趨 于 零 )當 =0時 ， N為 偶 數(shù) ， ， min ， N為 奇 數(shù) ， ， max， )2(cos1 1)0arccos(cos1 1)( 2222 0 NNjHa 22 0 1 1)( jHa 1)( 02 jH a 1)2(cos2 N 0)2(cos2 N 21 11c 2a )( jH 2a )( jH 切 比 雪 夫 濾 波 器 的 振 幅 平 方 特 性 2minmax 111lg20)( )(lg20 jH jH aa )1lg(10 2 110 1.02 )(dB 22 1)(, AjH ar 時 給 定 通 帶 波 紋 值 分 貝 數(shù) 后 ， 可 求 。 有 關 參 數(shù) 的 確 定 : a、 通 帶 截 止 頻 率 c ， 預 先 給 定 b、 通 帶 波 紋 為 c、 階 數(shù) N由 阻 帶 的 邊 界 條 件 確 定 。 （ 、 A事 先 給定 ） 222 11 1 AV crN r22 1)(, AjH ar 時 )/cosh( /1cosh( )coshcosh()(,1 2 crNar AarN xNarxVx 得 時 MATLAB設 計 模 擬 type I Chebyshev filterz,p,k=cheb1ap(N,Ap);確 定 N階 歸 一 化 的 Chebyshev filter 的 零 點 、 極 點 和 增 益 (gain)num,den=cheby1(N,Ap,Wc,s)確 定 階 數(shù) 為 N， 通 帶 截 頻 為 Wc(radian/s)的 Chebyshev filter。s 表 示 模 擬 域N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s)確 定 模 擬 Chebyshev filter的 階 數(shù) N。 Wc=Wp(rad/s) 例 ： 設 計 滿 足 下 列 條 件 的 模 擬 CB I型 低 通 濾 波 器 fp=1KHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den = cheby1(N,Ap,Wc,s);omega=Wp Ws; h = freqs(num,den,omega); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10(abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10(abs(h(2);omega = 0: 200: 12000*pi;h = freqs(num,den,omega);gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB); Ap= 1.0000 As= 47.8467117233 11 102187.11088.4102099.6 102187.1)( ssssH 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-60-50-40-30-20-100 Frequency in HzGain in dB 3、 橢 圓 濾 波 器 （ 考 爾 濾 波 器 ） 特 點 ： 幅 值 響 應 在 通 帶 和 阻 帶 內 都 是 等 波 紋 的 ， 對 于 給 定的 階 數(shù) 和 給 定 的 波 紋 要 求 ， 橢 圓 濾 波 器 能 獲 得 較 其 它 濾 波 器 更窄 的 過 渡 帶 寬 ， 就 這 點 而 言 ， 橢 圓 濾 波 器 是 最 優(yōu) 的 。 其 振 幅 平 方 函 數(shù) 為RN（ ， L） 雅 可 比 橢 圓 函 數(shù)L表 示 波 紋 性 質 的 參 量 ),(1 1)()( 2222 LRjHA Na N=5， 的 特 性 曲 線 可 見 ， 在 歸 一 化 通 帶 內 （ -11） ， 在 （ 0， 1）間 振 蕩 ， 而 超 過 L后 ， 在 間 振 蕩 。這 一 特 點 使 濾 波 器 同 時 在 通 帶 和 阻 帶 具 有 任 意 衰 減 量 。 ),(25 LR 2L ),(25 LR ),(25 LR 下 圖 為 典 型 的 橢 園 濾 波 器 振 幅 平 方 函 數(shù) 橢 圓 濾 波 器 的 振 幅 平 方 函 數(shù) 圖 中 和 A的 定 義 同 切 比 雪 夫 濾 波 器r r 當 c、 r、 和 A確 定 后 ， 階 次 N的 確 定 方 法 為 ： )1()( )1()( 1/ 21 2121 kKkK kKkKN Akk rc 確 定 參 量確 定 參 數(shù) 2/1222/1210 )1()1()( tkt dtkK 式 中 為 第 一 類 完 全 橢 圓 積 分 MATLAB設 計 橢 圓 低 通 濾 波 器N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s)確 定 橢 圓 濾 波 器 的 階 數(shù) N。 Wc=Wp。num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,s)確 定 階 數(shù) 為 N， 通 帶 參 衰 減 為 Ap dB， 阻 帶 衰 減 為 As dB的 橢 圓 濾 波 器 的 分 子 和 分 母 多 項 式 。 Wc是 橢 圓 濾 波 器 的 通帶 截 頻 。 上 面 討 論 了 三 種 最 常 用 的 模 擬 低 通 濾 波 器 的 特 性 和設 計 方 法 ， 設 計 時 按 照 指 標 要 求 ， 合 理 選 用 。 一 般 ， 相 同 指 標 下 ， 橢 圓 濾 波 器 階 次 最 低 ， 切 比 雪夫 次 之 ， 巴 特 沃 茲 最 高 ， 參 數(shù) 的 靈 敏 度 則 恰 恰 相 反 。 以 上 討 論 了 由 A（ 2 ） Ha (s),下 面 討 論 由Ha(s) H(Z)的 變 換 設 計 法 。