數(shù)學(xué)模型第四版姜啟源ch6代數(shù)方程與差分方程模型

6.1 投 入 產(chǎn) 出 模 型6.2 CT技 術(shù) 的 圖 像 重 建6.3 原 子 彈 爆 炸 的 能 量 估 計(jì) 與 量 綱 分 析6.4 市 場(chǎng) 經(jīng) 濟(jì) 中 的 蛛 網(wǎng) 模 型6.5 減 肥 計(jì) 劃 節(jié) 食 與 運(yùn) 動(dòng)6.6 按 年 齡 分 組 的 人 口 模 型第 六 章 代 數(shù) 方 程 與 差 分 方 程 模 型 國(guó) 民 經(jīng) 濟(jì) 各 個(gè) 部 門 之 間 存 在 著 相 互 依 存 和 制 約 關(guān) 系 ，每 個(gè) 部 門 將 其 他 部 門 的 產(chǎn) 品 或 半 成 品 經(jīng) 過 加 工 （ 投 入 ）變 為 自 己 的 產(chǎn) 品 （ 產(chǎn) 出 ） . 根 據(jù) 各 部 門 間 投 入 和 產(chǎn) 出 的 平 衡 關(guān) 系 ， 確 定 各 部門 的 產(chǎn) 出 水 平 以 滿 足 社 會(huì) 的 需 求 . 20世 紀(jì) 30年 代 由 美 國(guó) 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 家 列 昂 節(jié) 夫 提 出 和 研 究 . 從 靜 態(tài) 擴(kuò) 展 到 動(dòng) 態(tài) ， 與 數(shù) 量 經(jīng) 濟(jì) 分 析 方 法 日 益 融 合 ，應(yīng) 用 領(lǐng) 域 不 斷 擴(kuò) 大 .6.1 投 入 產(chǎn) 出 模 型背 景建 立 靜 態(tài) 投 入 產(chǎn) 出 數(shù) 學(xué) 模 型 ， 討 論 具 體 應(yīng) 用 . 投 入 產(chǎn) 出 表 國(guó) 民 經(jīng) 濟(jì) 各 部 門 間 生 產(chǎn) 和 消 耗 、 投 入 和 產(chǎn) 出 的 數(shù) 量 關(guān) 系 產(chǎn) 出投 入 農(nóng) 業(yè) 工 業(yè) 建 筑業(yè) 運(yùn) 輸郵 電 批 零餐 飲 其 他服 務(wù) 外 部需 求 總 產(chǎn) 出農(nóng) 業(yè) 464 788 229 13 127 13 1284 2918工 業(yè) 499 8605 1444 403 557 1223 4083 16814建 筑 業(yè) 5 9 3 20 23 124 2691 2875運(yùn) 輸 郵 電 62 527 128 163 67 146 477 1570批 零 餐 飲 79 749 140 43 130 273 927 2341其 他 服 務(wù) 146 1285 272 225 219 542 2725 5414 初 始 投 入 1663 4851 659 703 1218 3093總 投 入 2918 16814 2875 1570 2341 5414中 國(guó) 2002年 投 入 產(chǎn) 出 表 （ 產(chǎn) 值 單 位 ： 億 元 ） 直 接 消 耗 系 數(shù) 表 產(chǎn) 出投 入 農(nóng) 業(yè) 工 業(yè) 建 筑 業(yè) 運(yùn) 輸 郵 電 批 零 餐 飲 其 他 服 務(wù)農(nóng) 業(yè) 0.159 0.047 0.080 0.008 0.054 0.002工 業(yè) 0.171 0.512 0.502 0.257 0.238 0.226建 筑 業(yè) 0.002 0.001 0.001 0.013 0.010 0.023運(yùn) 輸 郵 電 0.021 0.031 0.045 0.104 0.029 0.027批 零 餐 飲 0.027 0.045 0.049 0.027 0.056 0.050其 他 服 務(wù) 0.050 0.076 0.095 0.143 0.094 0.100一 個(gè) 部 門 的 單 位 產(chǎn) 出 對(duì) 各 個(gè) 部 門 的 直 接 消 耗 中 國(guó) 2002年 直 接 消 耗 系 數(shù) 表 由 投 入 產(chǎn) 出 表 直 接 得 到 農(nóng) 業(yè) 每 1億 元 產(chǎn) 出 直 接 消 耗 0.159億 元 農(nóng) 業(yè) 產(chǎn) 品 直 接 消 耗 0.171億 元 工 業(yè) 產(chǎn) 品 反 映 國(guó) 民 經(jīng) 濟(jì) 各 個(gè) 部 門 之 間 的 投 入 產(chǎn) 出 關(guān) 系 投 入 產(chǎn) 出 的 數(shù) 學(xué) 模 型 xi第 i部 門 的 總 產(chǎn) 出 di對(duì) 第 i部 門 的 外 部 需 求xij第 i部 門 對(duì) 第 j部 門 的 投 入aij直 接 消 耗 系 數(shù) 第 j部 門 單 位 產(chǎn) 出對(duì) 第 i部 門 的 直 接 消 耗 xij第 j部 門 總 產(chǎn) 出 對(duì) 第 i部 門 的 直 接 消 耗每 個(gè) 部 門 的 總 產(chǎn) 出 等 于 總 投 入 x j第 j部 門 的 總 投 入 inj iji dxx 1 jijij xxa / ijnj iji dxax 1 設(shè) 共 有 n個(gè) 部 門 nnijaA )( T1( , , )nx x x T1( , , )nd d d dAxx 技 術(shù) 水 平 沒 有 明 顯 提 高模 型 應(yīng) 用 假 設(shè) 直 接 消 耗 系 數(shù) 不 變 問 題 1 如 果 某 年 對(duì) 農(nóng) 業(yè) 、 工 業(yè) 、 建 筑 業(yè) 、 運(yùn) 輸 郵電 、 批 零 餐 飲 和 其 他 服 務(wù) 的 外 部 需 求 分 別 為 1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000億 元 , 問 這 6個(gè) 部 門 的 總 產(chǎn)出 分 別 應(yīng) 為 多 少 ？d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由 直 接 消 耗 系 數(shù) 表 給 出6個(gè) 部 門 的 總 產(chǎn) 出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（ 億 元 ） .dAxx ( ) ,I A x d dAIx 1)( 求 解 模 型 應(yīng) 用 dAxx ( ) ,I A x d dAIx 1)( dAIx 1)(總 產(chǎn) 出 對(duì) 外 部 需 求 線 性dd增 加 1個(gè) 單 位 x的 增 量若 農(nóng) 業(yè) 的 外 部 需 求 增 加 1單 位 Td )0,0,0,0,0,1(1)( AIx為 的 第 1列 6個(gè) 部 門 的 總 產(chǎn) 出 分 別 增 加 1.2266， 0.5624，0.0075， 0.0549， 0.0709， 0.1325單 位 . 問 題 2 如 果 6個(gè) 部 門 的 外 部 需 求 分 別 增 加 1個(gè) 單 位 , 問 它 們 的 總 產(chǎn) 出 應(yīng) 分 別 增 加 多 少 ？求 解其 余 外 部 需 求 增 加 1單 位 1)( AIx為 的 其 余 各 列 6.2 CT技 術(shù) 的 圖 像 重 建 CT(計(jì) 算 機(jī) 斷 層 成 像 )技 術(shù) 是 20世 紀(jì) 50至 70年 代 由美 國(guó) 科 學(xué) 家 科 馬 克 和 英 國(guó) 科 學(xué) 家 豪 斯 費(fèi) 爾 德 發(fā) 明 的 . 1971年 第 一 代 供 臨 床 應(yīng) 用 的 CT設(shè) 備 問 世 . 螺 旋 式 CT機(jī) 等 新 型 設(shè) 備 被 醫(yī) 療 機(jī) 構(gòu) 普 遍 采 用 . CT技 術(shù) 在 工 業(yè) 無 損 探 測(cè) 、 資 源 勘 探 、 生 態(tài) 監(jiān) 測(cè)等 領(lǐng) 域 也 得 到 了 廣 泛 的 應(yīng) 用 . 背 景什 么 是 CT， 它 與 傳 統(tǒng) 的 X射 線 成 像 有 什 么 區(qū) 別 ？ 光 源 人 眼 光 源 人 眼一 個(gè) 半 透 明 物 體 嵌 入 5個(gè) 不 同 透 明 度 的 球 概 念 圖 示 單 方 向 觀 察 無 法 確 定球 的 數(shù) 目 和 透 明 度 讓 物 體 旋 轉(zhuǎn) 從 多 角 度 觀 察 能分 辨 出 5個(gè) 球 及 各 自 的 透 明 度 人 體 內(nèi) 臟 膠片 傳 統(tǒng) 的 X射 線 成 像 原 理 CT技 術(shù) 原 理 探測(cè)器 X射線 X光管 人 體 內(nèi) 臟CT技 術(shù) : 在 不 同 深 度 的 斷 面 上 ,從 各 個(gè) 角 度 用 探 測(cè) 器 接收 旋 轉(zhuǎn) 的 X光 管 發(fā) 出 、 穿 過 人 體 而 使 強(qiáng) 度 衰 減 的 射 線 ;經(jīng) 過 測(cè) 量 和 計(jì) 算 將 人 體 器 官 和 組 織 的 影 像 重 新 構(gòu) 建 . 圖 像重 建 X射 線 強(qiáng) 度 衰 減 與 圖 像 重 建 的 數(shù) 學(xué) 原 理 射 線 強(qiáng) 度 的 衰 減率 與 強(qiáng) 度 成 正 比 . I射 線 強(qiáng) 度 l物 質(zhì) 在 射 線 方 向 的 厚 度 物 質(zhì) 對(duì) 射 線 的 衰 減 系 數(shù) ddI Il I0入 射 強(qiáng) 度 射 線 沿 直 線 L穿 行 , 穿 過 由不 同 衰 減 系 數(shù) 的 物 質(zhì) 組 成 的非 均 勻 物 體 (人 體 器 官 ). 0e lI I 0( , )d lnL Ix y l I 0 exp( ( , )d )LI I x y l I0 LO y x(x, y)( , )dLl x y l X射 線 強(qiáng) 度 衰 減 與 圖 像 重 建 的 數(shù) 學(xué) 原 理 0( , )d lnL Ix y l I 右 端 數(shù) 值 可 從 CT 的 測(cè) 量 數(shù) 據(jù) 得 到 多 條 直 線 L的 線 積 分 ( , )dL x y l 被 積 函 數(shù) (x, y) ( ) ( , )d f LP L f x y lFQ(q)與 Q相 距 q的 直 線 L的 線 積 分 Pf(L)對(duì) 所 有 q的 平 均 值 拉 東 變 換 0 d ( )1( ) QF qf Q q拉 東 逆 變 換 圖 像重 建 反 映 人 體 器 官 大 小 、 形 狀 、 密 度 的 圖 像 數(shù) 學(xué)原 理 實(shí) 際 上 只 能 在 有 限 條 直 線 上 得 到 投 影 (線 積 分 ). 圖 像 重 建 在 數(shù) 學(xué) 方 法 上 的 進(jìn) 展 ， 為 CT技 術(shù) 在 各 個(gè)領(lǐng) 域 成 功 的 和 不 斷 拓 廣 的 應(yīng) 用 提 供 了 必 要 條 件 . 圖 像 重 建 的 代 數(shù) 模 型 lj每 個(gè) 像 素 對(duì) 射 線 的 衰 減 系 數(shù) 是 常 數(shù) m個(gè) 像 素 (j=1, m), n束 射 線 (i=1,n) iII )/ln( 0 Li的 強(qiáng) 度 測(cè) 量 數(shù) 據(jù) j像 素 j的 衰 減 系 數(shù) lj射 線 在 像 素 j中 的 穿 行 長(zhǎng) 度 J(Li)射 線 Li穿 過 的 像 素 j的 集 合 L IIdlyx 0ln),( 像 素 j 射 線 Li niIIl iLJj jji ,2,1,)/ln( 0)( j Li lij圖 像 重 建 的 代 數(shù) 模 型 常 用 算 法 設(shè) 像 素 的 邊 長(zhǎng) 和 射 線 的 寬 度 均 為 ,)/ln( 0 ii bII jj x中 心 線 法 aij射 線 Li的 中 心 線 在 像 素 j內(nèi) 的長(zhǎng) 度 lij與 之 比 . iLJj jj IIli )/ln( 0)( bAx面 積 法 aij射 線 Li的 中 心 線 在 像 素 j內(nèi) 的 面 積 sij與 之 比 .sijnibxamj ijij ,2,1,1 中 心 法 aij=1射 線 Li經(jīng) 過 像 素 j的 中 心 點(diǎn) . 圖 像 重 建 的 代 數(shù) 模 型 中 心 法 的 簡(jiǎn) 化 形 式 假 定 射 線 的 寬 度 為 零 , 間 距 aij=1 Li經(jīng) 過 像 素 j內(nèi) 任 一 點(diǎn) 987 654 321 L4L8L7L6L5 L3L2L1 100100000 010110100 001011010 000000001 011000000 110011001 100110011 000000100AbAx根 據(jù) A和 b, 由 確 定 像 素 的 衰 減 系 數(shù) 向 量 x m和 n很 大 且 m n, 方 程 有 無 窮 多 解 + 測(cè) 量 誤 差 和 噪 聲 在 x和 e滿 足 的 最 優(yōu) 準(zhǔn) 則 下 估 計(jì) x 代 數(shù) 重 建 技 術(shù) (ART) beAx 6.3 原 子 彈 爆 炸 的 能 量 估 計(jì) 與 量 綱 分 析1945年 7月 16日 美 國(guó) 科 學(xué) 家 在 新 墨 西 哥 州 的 阿 拉莫 戈 多 沙 漠 試 爆 了 全 球 第 一 顆 原 子 彈 , 震 驚 世 界 !當(dāng) 時(shí) 資 料 是 保 密 的 , 無 法 準(zhǔn) 確 估 計(jì) 爆 炸 的 威 力 .英 國(guó) 物 理 學(xué) 家 泰 勒 研 究 了 兩 年 后 美 國(guó) 公 開 的 錄 像 帶 , 利 用 數(shù) 學(xué) 模 型 估 計(jì) 這 次 爆 炸 釋 放 的 能 量 為 19.2 10 3t. 后 來 公 布 爆 炸 實(shí) 際 釋放 的 能 量 為 21 103t t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m)0.10 11.1 0.80 34.2 1.50 44.4 3.53 61.1 15.0 106.50.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0 130.00.38 25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0 145.00.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0 175.00.66 31.9 1.36 42.8 3.26 59.0 4.61 67.3 62.0 185.0泰 勒 測(cè) 量 ： 時(shí) 刻 t 所 對(duì) 應(yīng) 的 “ 蘑 菇 云 ” 的 半徑 r原 子 彈 爆 炸 的 能 量 估 計(jì)爆 炸 產(chǎn) 生 的 沖 擊 波 以 爆 炸 點(diǎn) 為 中 心 呈 球 面 向 四 周 傳 播 ,爆 炸 的 能 量 越 大 ， 在 一 定 時(shí) 刻 沖 擊 波 傳 播 得 越 遠(yuǎn) . 沖 擊 波 由 爆 炸 形 成 的 “ 蘑 菇 云 ” 反 映 出 來 . 泰 勒 用 量 綱 分 析 方 法 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 , 輔 以 小 型 試 驗(yàn) ,又 利 用 測(cè) 量 數(shù) 據(jù) 對(duì) 爆 炸 的 能 量 進(jìn) 行 估 計(jì) . 物理量的量綱 長(zhǎng) 度 l 的 量 綱 記 L=l質(zhì) 量 m的 量 綱 記 M=m時(shí) 間 t 的 量 綱 記 T=t 動(dòng) 力 學(xué) 中基 本 量 綱 L, M, T速 度 v 的 量 綱 v=LT-1 導(dǎo) 出 量 綱 2 21rmmkf 加 速 度 a 的 量 綱 a=LT-2力 f 的 量 綱 f=LMT-2引 力 常 數(shù) k 的 量 綱 k對(duì) 無 量 綱 量 ， =1(=L0M0T0) 量 綱 齊 次 原 則=fl 2m-2=L3M-1T-2在 經(jīng) 驗(yàn) 和 實(shí) 驗(yàn) 的 基 礎(chǔ) 上 利 用 物 理 定 律 的 量 綱 齊 次 原 則 ,確 定 各 物 理 量 之 間 的 關(guān) 系 . 量 綱 齊 次 原 則 等 式 兩 端 的 量 綱 一 致量 綱 分 析 利 用 量 綱 齊 次 原 則 尋 求 物 理 量 之 間 的 關(guān) 系 .例 ： 單 擺 運(yùn) 動(dòng) )1( 321 glmt 321 glmt lmgm求 擺 動(dòng) 周 期 t 的 表 達(dá) 式設(shè) 物 理 量 t, m, l, g 之 間 有 關(guān) 系 式1, 2, 3 為 待 定 系 數(shù) ， 為 無 量 綱 量 2/12/10 321 glt (1)的 量 綱 表 達(dá) 式 2 lt g 與 對(duì) 比3321 2 TLMT 12 003 321 對(duì) x,y,z的 兩 組 測(cè) 量 值 x1,y1,z1 和 x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 2121 pppp 為 什 么 假 設(shè) 這 種 形 式 ?設(shè) p= f(x,y,z) ),( ),(),( ),( 222 111222 111 czbyaxf czbyaxfzyxf zyxf x,y,z的 量 綱 單位 縮 小 a,b,c倍 zyxzyxf ),(p= f(x,y,z)的 形 式 為 ),(),( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp 量 綱 齊次 原 則 321 glmt 單 擺 運(yùn) 動(dòng) 000201 001010100 4 321)( )()()( TMLTML TMLTMLTML y yyy 0002 41243 TMLTML yyyyy 201 001 010 100 TMLg TMLl TMLm TMLt單 擺 運(yùn) 動(dòng) 中 t, m, l, g 的 一 般 表 達(dá) 式 0),( glmtf 020 0 412 43 yyy yy 2 1t l g )/( glt 31 2 4yy y yt m l g y1y4 為 待 定 常 數(shù) , 為 無 量 綱 量( ) 0F T(2,0, 1,1) T1 2 3 4( , , , )y y y y y基 本 解 設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXq ni aij ij ,2,1, 1 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等 價(jià) , F未 定 . 定 理 (Buckingham)是 與 量 綱 單 位 無 關(guān) 的 物 理 定 律 ， X1,X2, ,Xn 是基 本 量 綱 , nm, q1, q2, ,qm 的 量 綱 可 表 為, mnijaA 量 綱 矩 陣 記 作 RankA r若線 性 齊 次 方 程 組 0Ay 有 m-r 個(gè) 基 本 解 ， 記 作 mj yjs sjq1 為 m-r 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 無 量 綱 量 , 且則 記 爆 炸 能 量 為 E， 將 “ 蘑 菇 云 ” 近 似 看 成 一 個(gè) 球形 .時(shí) 刻 t 球 的 半 徑 為 r t, E空 氣 密 度 , 大 氣 壓 強(qiáng) P基 本 量 綱 ： L, M, T 213 22 ; ; ; MTLP ML MTLE TtLr ),( PEtr 原 子 彈 爆 炸 能 量 估 計(jì) 的 量 綱 分 析 方 法 建 模 r與 哪 些 因 素 有 關(guān) ？ r t E P 20210 11100 1320153A LMT量 綱 矩 陣 0),( PEtrf y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原 子 彈 爆 炸 能 量 估 計(jì) 的 量 綱 分 析 方 法 建 模 Rank 3A 5/125/15/15/21 EtrErt 5/132 565/35/25/62 E PtPEt0),( 21 F 5/132 565/12 E PtEtr T1 2 3 4 50, ( , , , , )Ay y y y y y y 有 2個(gè) 基 本 解 5/132 565/12 E PtEtr兩 個(gè) 無量 綱 量 原 子 彈 爆 炸 能 量 估 計(jì) 的 數(shù) 值 計(jì) 算 5/132 565/12 E PtEtr 時(shí) 間 t 非 常 短能 量 E 非 常 大 )0(5/132 56 E Pt泰 勒 根 據(jù) 一 些 小 型 爆 炸 試 驗(yàn) 的 數(shù) 據(jù) 建 議 1)0( 5/1 2 Etr用 r, t 的 實(shí) 際 數(shù) 據(jù) 做 平 均 空 氣 密 度 =1.25 (kg/m3) 1 103t (TNT能 量 )= 4.184 1012J 2 5trE E=19.7957 ( 103t)E=8.2825 1013(J)實(shí) 際 值 21 103t 泰 勒 的 計(jì) 算5/12 Etr tr最 小 二 乘 法 擬 合 r=atb Etr 101010 log51log52log E=8.0276 1013 (J), 即 19.2 103t取 y平 均 值 得 c=6.9038 Ectrycy 101010 log21,loglog25,模 型 檢 驗(yàn)b=0.4058 2/5 量 綱 分 析 法 的 評(píng) 注 物 理 量 的 選 取 基 本 量 綱 的 選 取 基 本 解 的 構(gòu) 造 結(jié) 果 的 局 限 性 () = 0中 包 括 哪 些 物 理 量 是 至 關(guān) 重 要 的 .基 本 量 綱 個(gè) 數(shù) n; 選 哪 些 基 本 量 綱 .有 目 的 地 構(gòu) 造 Ay=0 的 基 本 解 . 方 法 的 普 適 性 函 數(shù) F和 無 量 綱 量 未 定 .不 需 要 特 定 的 專 業(yè) 知 識(shí) . 物 理 模 擬 示 例 ： 波 浪 對(duì) 航 船 的 阻 力航 船 阻 力 f 航 船 速 度 v, 船 體 尺 寸 l, 浸 沒 面 積 s, 海 水 密 度 , 重 力 加 速 度 g .0),( fsvlg 量 綱 分 析 在 物 理 模 擬 中 的 應(yīng) 用 物 理 模 擬 : 按 照 一 定 的 比 例 尺 寸 構(gòu) 造 它 的 物 理 模 型 ,通 過 對(duì) 模 型 的 研 究 得 出 原 型 的 結(jié) 果 .量 綱 分 析 可 以 指 導(dǎo) 物 理 模 擬 中 比 例 尺 寸 的 確 定 . 0),( fsvlg 物 理 模 擬 示 例 ： 波 浪 對(duì) 航 船 的 阻 力 slgvlglf 232/12/121131 , 定 理 232323 ,),( lsglvglf 待 定 ， 0),( 321 F 232323 ,),( lslgvglf 同 上 ， 原 型 船模 型 船gvlsf , 模 型 船 的 均 已 知 gvls , 當(dāng) 原 型 船 的 給 定 后 計(jì) 算 f物 理模 擬 gg llvv 2)( llss 3322 , 3)( llff 232 323 , ),( lsglvglf 232 323 , ),( lslgvglf 物 理 模 擬 示 例 ： 波 浪 對(duì) 航 船 的 阻 力原型船 模型船),(),( 3232 模 擬條 件 量 測(cè) 模 型 船 阻 力 f， 可 計(jì) 算 f. 按 一 定 尺 寸 比 例 建 造模 型 船 , 并 調(diào) 節(jié) 船 速 . 無 量 綱 化 示 例 ： 火 箭 發(fā) 射 2211 )( rx mmkxm vxx rx grx )0(,0)0( )( 22),;( gvrtxx m1m2 x rv0 g星 球 表 面 豎 直 發(fā) 射 火 箭 . 初 速 v, 星球 半 徑 r, 星 球 表 面 重 力 加 速 度 g.研 究 火 箭 高 度 x 隨 時(shí) 間 t 的 變 化 規(guī) 律 .t=0 時(shí) x=0, 火 箭 質(zhì) 量 m1, 星 球 質(zhì) 量 m2牛 頓 第 二 定 律 ， 萬 有 引 力 定 律)0( xgx grkm 22 3個(gè) 獨(dú) 立 參 數(shù) 用 無 量 綱 化 方 法 減 少 獨(dú) 立 參 數(shù) 個(gè) 數(shù)x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2變 量 x,t 和 獨(dú) 立 參 數(shù) r,v,g 的 量 綱用參 數(shù) r,v,g的 組 合 ,分 別構(gòu) 造 與 x,t具 有 相 同量綱的xc, tc （特征尺度）無 量 綱 變 量tx ,vrtrx cc /, 如 ),;( gvrtxx 利 用 新 變 量 , tx 將 被 簡(jiǎn) 化 cc tttxxx ,令 xc, tc的 不 同 構(gòu) 造 vrtrx cc /, 1） 令 cc tttxxx ,2 2 2 2ddddxx v vxtv x vx xr t r ),;( gvrtxx );( txx 為 無 量 綱 量rvttrxx /,/ 1)0(,0)0( ,)1( 1 22xx rgvxx 用 無 量 綱 化 方 法 減 少 獨(dú) 立 參 數(shù) 個(gè) 數(shù)的 不 同 簡(jiǎn) 化 結(jié) 果),;( gvrtxx,)( 22 rx grx vxx )0( ,0)0( gvtgvx cc /,/2 3） 令 ),;( gvrtxx 1000 11 22 )(,)( ,)( xx rgvxx );( txx 為 無 量 綱 量 ),;( gvrtxx grtrx cc /, 2） 令 rgvxx xx 220 00 11 ,)( )( )();( txx 為 無 量 綱 量用 無 量 綱 化 方 法 減 少 獨(dú) 立 參 數(shù) 個(gè) 數(shù) )m/s(80008.9106370 3 rg 1) 2) 3) 的 共 同 點(diǎn)只 含 1個(gè) 參 數(shù) 無 量 綱 量 );( txx 解1) 2) 3) 的 重 要 差 別 rgv 2考 察 無 量 綱 量 v 1在 1) 2) 3) 中 能 否 忽 略 以 為 因 子 的 項(xiàng) ？ 1)0(,0)0( ,)1( 1 22xx rgvxx 1) 忽 略 項(xiàng)無 解x 不 能 忽 略 項(xiàng)1)0(,0)0( ,0)1( 1 2 xxx 無 量 綱化 方 法 tttx 2)( 2 1)0(,0)0( ,1 xxx 0)0(,0)0( ,)1( 1 2 xx xx rgvxx xx 22,)0( 0)0( )1( 1 2) 1)0(,0)0( ,)1( 1 22xx rgvxx 3) 忽 略 項(xiàng) 0)( tx 不 能 忽 略 項(xiàng)忽 略 項(xiàng) 0)( tx1) 2) 3) 的 重 要 差 別無 量 綱化 方 法 vxx gx )0( 0)0(,2)()3 2 tttx gvtgvx cc /,/2 cc tttxxx , vtgttx 221)(火 箭 發(fā) 射 過 程中 引 力 m1g不 變 即 x+r rvxx rx grx )0(,0)0( )( 22原問題 可 以 忽 略 項(xiàng)vtgttx 221)( 是 原 問 題的 近 似 解1) 2) 3) 的 重 要 差 別無 量 綱 化 方 法 為 什 么 3)能 忽 略 項(xiàng) ， 得 到 原 問 題 近 似 解 ， 而 1) 2)不 能 ?vrtrx cc /, 1） 令 grtrx cc /, 2） 令 gvtgvx cc /,/2 3） 令 火 箭 到 達(dá) 最 高 點(diǎn) 時(shí) 間 為 v/g, 高 度 為 v2/2g,cc tttxxx /,/ 大 體 上 具 有 單 位 尺 度)1( 項(xiàng) 可 以 忽 略 cxx 1, tx)1( 項(xiàng) 不 能 忽 略 無 量 綱 化 方 法 選 擇 特 征 尺 度 的 一 般 討 論 見 ： 林 家 翹 著 自 然 科 學(xué) 中 確 定 性 問 題 的 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 無 量 綱 化 無 量 綱 化 是 研 究 物 理 問 題 常 用 的 數(shù) 學(xué) 方 法 . 選 擇 特 征 尺 度 主 要 依 賴 于 物 理 知 識(shí) 和 經(jīng) 驗(yàn) . 恰 當(dāng) 地 選 擇 特 征 尺 度 可 以 減 少 獨(dú) 立 參 數(shù)個(gè) 數(shù) ， 還 可 以 輔 助 確 定 舍 棄 哪 些 次 要 因 素 . 6.4 市 場(chǎng) 經(jīng) 濟(jì) 中 的 蛛 網(wǎng) 模 型問 題 供 大 于 求現(xiàn)象 商 品 數(shù) 量 與 價(jià) 格 的 振 蕩 在 什 么 條 件 下 趨 向 穩(wěn) 定 ? 當(dāng) 不 穩(wěn) 定 時(shí) 政 府 能 采 取 什 么 干 預(yù) 手 段 使 之 穩(wěn) 定 ?價(jià) 格 下 降 減 少 產(chǎn) 量增 加 產(chǎn) 量 價(jià) 格 上 漲 供 不 應(yīng) 求 描 述 商 品 數(shù) 量 與 價(jià) 格 的 變 化 規(guī) 律 .商 品 數(shù) 量 與 價(jià) 格 在 振 蕩 蛛 網(wǎng) 模 型g x0y0 P0f xyOxk第 k時(shí) 段 商 品 數(shù) 量 ； yk第 k時(shí) 段 商 品 價(jià) 格 .消 費(fèi) 者 的 需 求 關(guān) 系 )( kk xfy 生 產(chǎn) 者 的 供 應(yīng) 關(guān) 系 減 函 數(shù)增 函 數(shù)需 求 函 數(shù)f與 g的 交 點(diǎn) P0(x0,y0) 平 衡 點(diǎn)一 旦 xk=x0， 則 yk=y0, 且 xk+1=xk+2=x0 , yk+1=yk+2= =y0 )(1 kk yhx )( 1 kk xgy供 應(yīng) 函 數(shù) xyO f gy0 x0P0設(shè) x1偏 離 x0 x1x2P2y1 P1y2 P3 P4x3y3 32211 xyxyx 0321 PPPP 00, yyxx kk P0是 穩(wěn) 定 平 衡 點(diǎn) P1P2P3 P4P0是 不 穩(wěn) 定 平 衡 點(diǎn) gf KK xyOy0 x0P0f g)( kk xfy )(1 kk yhx )( 1 kk xgy 00, yyxx kk gf KK 曲 線 斜 率蛛 網(wǎng) 模 型 0321 PPPP )( kk xfy )(1 kk yhx 在 P0點(diǎn) 附 近 用 直 線 近 似 曲 線 )0()( 00 xxyy kk )0()( 001 yyxx kk)( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx kk 1 P0穩(wěn) 定P0不 穩(wěn) 定 0 xxk kx fK gK/1)/1( )/1( 1 方 程 模 型 gf KK gf KK 方 程 模 型 與 蛛 網(wǎng) 模 型 的 一 致 )( 00 xxyy kk 商 品 數(shù) 量 減 少 1單 位 , 價(jià) 格 上 漲 幅 度)( 001 yyxx kk 價(jià) 格 上 漲 1單 位 , (下 時(shí) 段 )供 應(yīng) 的 增 量考 察 , 的 含 義 消 費(fèi) 者 對(duì) 需 求 的 敏 感 程 度 生 產(chǎn) 者 對(duì) 價(jià) 格 的 敏 感 程 度 小 , 有 利 于 經(jīng) 濟(jì) 穩(wěn) 定 小 , 有 利 于 經(jīng) 濟(jì) 穩(wěn) 定結(jié) 果 解 釋xk第 k時(shí) 段 商 品 數(shù) 量 ； yk第 k時(shí) 段 商 品 價(jià) 格 .1 經(jīng) 濟(jì) 穩(wěn) 定結(jié) 果 解 釋 經(jīng) 濟(jì) 不 穩(wěn) 定 時(shí) 政 府 的 干 預(yù) 辦 法1. 使 盡 量 小 ， 如 =0 以 行 政 手 段 控 制 價(jià) 格 不 變2. 使 盡 量 小 ， 如 =0靠 經(jīng) 濟(jì) 實(shí) 力 控 制 數(shù) 量 不 變 xyOy0 gf xy O x0g f 結(jié) 果 解 釋需 求 曲 線 變 為 水 平供 應(yīng) 曲 線 變 為 豎 直 2/)( 0101 yyyxx kkk 模 型 的 推 廣 生 產(chǎn) 者 根 據(jù) 當(dāng) 前 時(shí) 段 和 前 一 時(shí) 段 的 價(jià) 格 決 定 下 一 時(shí) 段 的 產(chǎn) 量 . )( 00 xxyy kk 生 產(chǎn) 者 管 理 水 平 提 高設(shè) 供 應(yīng) 函 數(shù) 為需 求 函 數(shù) 不 變 ,2,1,)1(22 012 kxxxx kkk 二 階 線 性 常 系 數(shù) 差 分 方 程x0為 平 衡 點(diǎn) 研 究 平 衡 點(diǎn) 穩(wěn) 定 ， 即 k, xkx0的 條 件 )(1 kk yhx 2 11 kkk yyhx 4 8)( 22,1 012 )1(22 xxxx kkk 方 程 通 解 kkk ccx 2211 (c1, c2由 初 始 條 件 確 定 )1, 2特 征 根 ， 即 方 程 的 根 02 2 平 衡 點(diǎn) 穩(wěn) 定 ， 即 k, xkx0的 條 件 : 12,1 2平 衡 點(diǎn) 穩(wěn) 定 條 件比 原 來 的 條 件 放 寬 了 !1 22,1 模 型 的 推 廣 6.5 減 肥 計(jì) 劃 節(jié) 食 與 運(yùn) 動(dòng)背景 多 數(shù) 減 肥 食 品 達(dá) 不 到 減 肥 目 標(biāo) ， 或 不 能 維 持 . 通 過 控 制 飲 食 和 適 當(dāng) 的 運(yùn) 動(dòng) ， 在 不 傷 害 身 體 的 前 提 下 ， 達(dá) 到 減 輕 體 重 并 維 持 下 去 的 目 標(biāo) .分析 體 重 變 化 由 體 內(nèi) 能 量 守 恒 破 壞 引 起 . 飲 食 （ 吸 收 熱 量 ） 引 起 體 重 增 加 . 代 謝 和 運(yùn) 動(dòng) （ 消 耗 熱 量 ） 引 起 體 重 減 少 . 體 重 指 數(shù) BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超 重 ; BMI30 肥 胖 . 模 型 假 設(shè)1） 體 重 增 加 正 比 于 吸 收 的 熱 量 每 8000kcal 增 加 體 重 1kg；2） 代 謝 引 起 的 體 重 減 少 正 比 于 體 重 每 周 每 千克 體 重 消 耗 200 320kcal (因 人 而 異 ), 相 當(dāng) 于 70kg 的 人 每 天 消 耗 2000 3200kcal；3） 運(yùn) 動(dòng) 引 起 的 體 重 減 少 正 比 于 體 重 ， 且 與 運(yùn) 動(dòng) 形 式 有 關(guān) ； 4） 為 了 安 全 與 健 康 ， 每 周 體 重 減 少 不 宜 超 過 1.5kg, 每 周 吸 收 熱 量 不 要 小 于 10000kcal. 某 甲 體 重 100kg， 目 前 每 周 吸 收 20000kcal熱 量 ，體 重 維 持 不 變 . 現(xiàn) 欲 減 肥 至 75kg.第 一 階 段 ： 每 周 減 肥 1kg， 每 周 吸 收 熱 量 逐 漸 減 少 ,直至 達(dá) 到 下 限 （ 10000kcal） ；第 二 階 段 ： 每 周 吸 收 熱 量 保 持 下 限 ， 減 肥 達(dá) 到 目 標(biāo) . 2） 若 要 加 快 進(jìn) 程 ， 第 二 階 段 增 加 運(yùn) 動(dòng) ， 試 安 排 計(jì) 劃 .1） 在 不 運(yùn) 動(dòng) 的 情 況 下 安 排 一 個(gè) 兩 階 段 計(jì) 劃 .減 肥 計(jì) 劃3） 給 出 達(dá) 到 目 標(biāo) 后 維 持 體 重 的 方 案 . )()1()()1( kwkckwkw 確 定 某 甲 的 代 謝 消 耗 系 數(shù)即 每 周 每 千 克 體 重 消 耗 20000/100=200kcal基 本 模 型w(k) 第 k周 (末 )體 重 c(k) 第 k周 吸 收 熱 量 代 謝 消 耗 系 數(shù) (因 人 而 異 )1） 不 運(yùn) 動(dòng) 情 況 的 兩 階 段 減 肥 計(jì) 劃每 周 吸 收 20000kcal, w=100kg不 變wcww 025.0100800020000 wc=1/8000(kg/kcal) 第 一 階 段 : w(k)每 周 減 1kg, c(k)減 至 下 限 10000kcal1)1()( kwkw k20012000 )()1()()1( kwkckwkw 第 一 階 段 10周 , 每 周 減 1kg， 第 10周 末 體 重 90kg10k kwkw )0()()1(1)0()1( kwkc 80001 025.0 910200120001 ,)( kkkc吸 收 熱 量 為 1） 不 運(yùn) 動(dòng) 情 況 的 兩 階 段 減 肥 計(jì) 劃1)(1)1( kwkc 10000 mC )1()1(1)()1()( 1 nmn Ckwnkw 第 二 階 段 ： 每 周 c(k)保 持 Cm, w(k)減 至 75kg代 入 得以 10000,80001,025.0 mC 5050)(975.0)( kwnkw n mmn CCkw )()1( 1） 不 運(yùn) 動(dòng) 情 況 的 兩 階 段 減 肥 計(jì) 劃 )()1()()1( kwkckwkw 基 本 模 型 mCkwkw )()1()1( nnkwkw 求，要 求已 知 75)(,90)( 50)5090(975.075 n 第 二 階 段 ： 每 周 c(k)保 持 Cm, w(k)減 至 75kg5050)(975.0)( kwnkw n第 二 階 段 19周 , 每 周 吸 收 熱 量 保 持 10000kcal, 體 重 按 減 少 至 75kg.)19,2,1(50975.040)( nnw n 19975.0lg )40/25lg( n 028.0003.0025.0 運(yùn) 動(dòng) t=24 (每 周 跳 舞 8h或 自 行 車 10h), 14周 即 可 .2） 第 二 階 段 增 加 運(yùn) 動(dòng) 的 減 肥 計(jì) 劃根 據(jù) 資 料 每 小 時(shí) 每 千 克 體 重 消 耗 的 熱 量 (kcal): 跑 步 跳 舞 乒 乓 自 行 車 (中 速 ) 游 泳 (50m/min) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每 周 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 間 (h) 6.44)6.4490(972.075 n mmn CCkwnkw )()1()(模 型 )()1()()1( kwkckwkw t 取 t=0.003, 即 t=24 =1/8000(kg/kcal), =0.02514n 增 加 運(yùn) 動(dòng) 相 當(dāng) 于 提 高 代 謝 消 耗 系 數(shù) 2） 第 二 階 段 增 加 運(yùn) 動(dòng) 的 減 肥 計(jì) 劃 )028.0()025.0( t 提 高 12%減 肥 所 需 時(shí) 間 從 19周 降 至 14周 減 少 25% 這 個(gè) 模 型 的 結(jié) 果 對(duì) 代 謝 消 耗 系 數(shù) 很 敏 感 . 應(yīng) 用 該 模 型 時(shí) 要 仔 細(xì) 確 定 代 謝 消 耗 系 數(shù) (對(duì) 不 同 的 人 ; 對(duì) 同 一 人 在 不 同 的 環(huán) 境 ). 3） 達(dá) 到 目 標(biāo) 體 重 75kg后 維 持 不 變 的 方 案 )()()1()()1( kwtkckwkw 每 周 吸 收 熱 量 c(k)保 持 某 常 數(shù) C， 使 體 重 w不 變wtCww )( wtC )( )kcal(1500075025.08000 C 不 運(yùn) 動(dòng) )kcal(1680075028.08000 C 運(yùn) 動(dòng) (內(nèi) 容 同 前 ) 6.6 按 年 齡 分 組 的 人 口 模 型 不 同 年 齡 組 的 繁 殖 率 和 死 亡 率 不 同 .建 立 差 分 方 程 模 型 ， 討 論 穩(wěn) 定 狀 況 下 種 群 的 增 長(zhǎng) 規(guī) 律 .假 設(shè) 與 建 模 種 群 按 年 齡 大 小 等 分 為 n個(gè) 年 齡 組 ， 記 i=1,2,n 時(shí) 間 離 散 為 時(shí) 段 ， 長(zhǎng) 度 與 年 齡 組 區(qū) 間 相 等 ， 記 k=1,2, 以 雌 性 個(gè) 體 數(shù) 量 為 對(duì) 象 . 第 i 年 齡 組 1雌 性 個(gè) 體 在 1時(shí) 段 內(nèi) 的 繁 殖 率 為 b i 第 i 年 齡 組 在 1時(shí) 段 內(nèi) 的 死 亡 率 為 di, 存 活 率 為 si=1- di 1,2,1),()1(1 nikxskx iii 假 設(shè)與建 模 xi(k)時(shí) 段 k第 i 年 齡 組 的 種 群 數(shù) 量 )()1( kLxkx )0()( xLkx k T1 2( ) ( ), ( ), , ( )nx k x k x k x k 按 年 齡 組 的 分 布 向 量預(yù) 測(cè) 任 意 時(shí) 段 種 群按 年 齡 組 的 分 布Leslie矩 陣 (L矩 陣 ) )()1( 11 kxbkx ini i (設(shè) 至 少 1個(gè) bi0) 000 000 000 121 121 n nnsss bbbbL 穩(wěn) 定 狀 態(tài) 分 析 的 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) nkk ,3,2,1 L矩 陣 存 在 正 單 特 征 根 1， 若 L矩 陣 存 在 bi, bi+10, 則 nkk ,3,2,1 )0()( xLkx k 11 ),(diag PPL n P的 第 1列 是 x*)0()0,0,1(diag)(lim 11 xPPkx kk T* 1 2 11 1 22 11 1 11, , , , nns s ss s sx 特 征 向 量 *1 )(lim cxkx kk , c是 由 bi, si, x(0)決 定 的 常 數(shù) 且解釋 L對(duì) 角 化 11 ),(diag PPL knkk *cx *)()1 xckx k )()1()2 kxkx 穩(wěn) 態(tài) 分 析 k充 分 大種 群 按 年 齡 組 的 分 布 *1 )(lim cxkx kk 種 群 按 年 齡 組 的 分 布 趨 向 穩(wěn) 定 ，x*稱 穩(wěn) 定 分 布 , 與 初 始 分 布 無 關(guān) . 各 年 齡 組 種 群 數(shù) 量 按 同 一倍 數(shù) 增 減 ， 稱 固 有 增 長(zhǎng) 率 Tnssssssx 1212111 ,* )()1( kxkx ii )()1( kLxkx 與 基 本 模 型 比 較3） =1時(shí) *)()1( cxkxkx 各 年 齡 組 種 群數(shù) 量 不 變 1個(gè) 個(gè) 體 在 整 個(gè) 存 活 期 內(nèi) 的 繁 殖 數(shù) 量 為 1 1121121 nn sssbsbb 穩(wěn) 態(tài) 分 析 * T1 1 2 1 2 11, , , , nx s s s s s s ,)()4 *xckx k存 活 率 si是 同 一 時(shí) 段 的 xi+1與 xi之 比（ 與 si 的 定 義 比 較 ） )()1( 1 kxskx iii 1211 nikxskx iii ,),()( 3） =1時(shí) * xLx T* 1 1 2 1 2 11, , , , nx s s s s s s 00 0 000 121 121 n nnsss bbbbL 人 口 模 型 連 續(xù) 型 人 口 模 型 的 離 散 形 式xi(k)k年 i 歲 的 女 性 人 數(shù) (模 型 只 考 慮 女 性 人 口 ).bi(k)k年 i 歲 女 性 生 育 率 (每 人 平 均 生 育 女 兒 數(shù) ).d ii 歲 女 性 死 亡 率 ， si=1-di存 活 率1,)()( 21 i ii iii hhkkb i1, i2生 育 區(qū) 間 21 )()( i ii i kbk k年 育 齡 女 性 平 均 生 育 女 兒 數(shù)總 合 生 育 率 (生 育 胎 次 )Tn kxkxkxkx )(,),(),()( 21 年 齡 分 布 向 量hi生 育 模 式 人 口 模 型 000 00 000 121 121 n nnsss bbbbL 000 00 00 000 121 nsssA 00 00 0000 21 ii hhB )()()()1( kBxkkAxkx 存 活 率 矩 陣 生 育 模 式 矩 陣x(k)狀 態(tài) 變 量 , (k)控 制 變 量 雙 線 性 方 程 (對(duì)x(k), (k)線 性 ) )()1( kLxkx 原 模 型 ii hkkb )()(