概念1高等數(shù)學(xué)微積分

第 6章 常 微 分 方 程對(duì) 自 然 界 的 深 刻 研 究 傅 里 葉微 積 分 研 究 的 對(duì) 象 是 函 數(shù) 關(guān) 系 , 但 在 實(shí) 際 問 題 中 ,往 往 很 難 直 接 得 到 所 研 究 的 變 量 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 ,卻 比 較 容 易 建 立 起 這 些 變 量 與 它 們 的 導(dǎo) 數(shù) 或 微 分 之間 的 聯(lián) 系 ,從 而 得 到 一 個(gè)分 的 方 程 ,即 微 分 方 程 . 通 過 求 解 這 種 方 程 , 同 樣 可以 找 到 指 定 未 知 量 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 .因 此 ,微 分 方 程 是 數(shù) 學(xué) 聯(lián)關(guān) 于 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 或 微是 數(shù) 學(xué) 最 富 饒 的 源 泉 .系 實(shí) 際 ,并 應(yīng) 用 于 實(shí) 際 并 應(yīng) 用 于 實(shí) 際 的 重 要 途 徑 和 橋 梁 ,是 各 個(gè) 學(xué) 科 進(jìn) 行科 學(xué) 研 究 的 強(qiáng) 有 力 的 工 具 .如 果 說 “ 數(shù) 學(xué) 是 一 門 理 性 思 維 的 科 學(xué) , 是 研 究 、了 解 和 知 曉 現(xiàn) 實(shí) 世 界 的 工 具 ” , 那 么 微 分 方 程 就 是顯 示 數(shù) 學(xué) 的 這 種 威 力 和 價(jià) 值 的 一 種 體 現(xiàn) .現(xiàn) 實(shí) 世 界 中 的 許 多 實(shí) 際 問 題 都 可 以 抽 象 為 微 分方 程 問 題 .例 如 , 物 體 的 冷 卻 、 琴 弦 的震 動(dòng) 、 電 磁 波 的 傳 播 等 , 都 可 以 歸 結(jié) 為 微 分 方 程 的 問 題 . 人 口 的 增 長 、 微 分 方 程 是 一 門 獨(dú) 立 的 數(shù) 學(xué) 學(xué) 科 , 有 完 整 的理 論 體 系 .本 章 我 們 主 要 介 紹 微 分 方 程 的 一 些 基 本 概 念 ,種 常 用 的 微 分 方 程 的 求 解 方 法 , 線 性 微 分 方 程解 的 理 論 .幾這 時(shí) 微 分 方 程 也 稱 為 所 研 究 問 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 . 例 1 一 曲 線 通 過 點(diǎn) (1,2),且 在 該 曲 線 上 任 一 點(diǎn)),( yxM 處 的 切 線 的 斜 率 為 x2 ,求 這 曲 線 的 方 程 .解 )(xyy 設(shè) 所 求 曲 線 為xdxdy 2 xdxy 2 2,1 yx 時(shí)其 中 ,2 Cxy 即 ,1C求 得.12 xy所 求 曲 線 方 程 為一 、 問 題 的 提 出 6.1 微 分 方 程 的 基 本 概 念 例 2 列 車 在 平 直 的 線 路 上 以 20 米 /秒 的 速 度 行 駛 ,當(dāng) 制 動(dòng) 時(shí) 列 車 獲 得 加 速 度 4.0 米 /秒 2,問 開 始 制 動(dòng) 后 多 少 時(shí) 間 列 車 才 能 停 住 ？ 以 及 列 車 在 這 段 時(shí) 間 內(nèi)行 駛 了 多 少 路 程 ？解 )(, tssst 米秒 鐘 行 駛設(shè) 制 動(dòng) 后 4.022 dtsd ,20,0,0 dtdsvst 時(shí)14.0 Ctdtdsv 2122.0 CtCts 代 入 條 件 后 知 0,20 21 CC,202.0 2 tts ,204.0 tdtdsv故 ),(504.020 秒t 列 車 在 這 段 時(shí) 間 內(nèi) 行 駛 了 ).(5005020502.0 2 米s 開 始 制 動(dòng) 到 列 車 完 全 停 住 共 需 微 分 方 程 :凡 含 有 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 或 微 分 的 方 程 叫 微 分 方 程 .例 ,xyy ,0)( 2 xdxdtxt ,32 xeyyy ,yxxz 實(shí) 質(zhì) : 聯(lián) 系 自 變 量 ,未 知 函 數(shù) 以 及 未 知 函 數(shù) 的某 些 導(dǎo) 數(shù) (或 微 分 )之 間 的 關(guān) 系 式 .二 、 微 分 方 程 的 定 義 微 分 方 程 的 階 : 微 分 方 程 中 出 現(xiàn) 的 未 知 函 數(shù) 的 最高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 階 數(shù) 稱 之 .分 類 1: 常 微 分 方 程 , 偏 常 微 分 方 程 .,0),( yyxF一 階 微 分 方 程 );,( yxfy 高 階 (n)微 分 方 程 ,0),( )( nyyyxF ).,( )1()( nn yyyxfy 分 類 2: 分 類 3: 線 性 與 非 線 性 微 分 方 程 .),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyyx分 類 4: 單 個(gè) 微 分 方 程 與 微 分 方 程 組 . ,2 ,23 zydxdz zydxdy 微 分 方 程 的 解 :代 入 微 分 方 程 能 使 方 程 成 為 恒 等 式 的 函 數(shù) 稱 之 . ,)( 階 導(dǎo) 數(shù)上 有在 區(qū) 間設(shè) nIxy .0)(,),(),(,( )( xxxxF n微 分 方 程 的 解 的 分 類 ：三 、 主 要 問 題 -求 方 程 的 解(1)通 解 : 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 數(shù) ,且 任意 常 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 與 微 分 方 程 的 階 數(shù) 相 同 . (2)特 解 : 確 定 了 通 解 中 任 意 常 數(shù) 以 后 的 解 .,yy 例 ;xcey 通 解,0 yy ;cossin 21 xcxcy 通 解解 的 圖 象 : 微 分 方 程 的 積 分 曲 線 .通 解 的 圖 象 : 積 分 曲 線 族 .初 始 條 件 : 用 來 確 定 任 意 常 數(shù) 的 條 件 . 過 定 點(diǎn) 的 積 分 曲 線 ; 00 ),( yy yxfy xx一 階 :二 階 : 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx過 定 點(diǎn) 且 在 定 點(diǎn) 的 切 線 的 斜 率 為 定 值 的 積 分 曲 線 .初 值 問 題 : 求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 解 的 問 題 . 求所滿足的微分方程 .例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q PQ xyo x解: 如圖所示, yY y 1 )( xX 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)yyxX ,xyyx 即02 xyy點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 解 ,cossin 21 ktkCktkCdtdx ,sincos 221222 ktCkktCkdtxd ,22 的 表 達(dá) 式 代 入 原 方 程和將 xdtxd .0)sincos()sincos( 212212 ktCktCkktCktCk .sincos 21 是 原 方 程 的 解故 ktCktCx ,0, 00 tt dtdxAx .0, 21 CAC所 求 特 解 為 .cosktAx 補(bǔ) 充 : 微 分 方 程 的 初 等 解 法 : 初 等 積 分 法 .求 解 微 分 方 程 求 積 分(通 解 可 用 初 等 函 數(shù) 或 積 分 表 示 出 來 ) 例 5 求 曲 線 族 122 Cyx 滿 足 的 微 分 方 程 , 其 中 C為 任 意 常 數(shù) .解 求 曲 線 族 所 滿 足 的 方 程 , 就 是 求 一 微 分 方 程 ,所 給 的 曲 線 族 正 好 是 該 微 分 方 程 的 積 分 曲 線 族 .此 所 求 的 微 分 方 程 的 階 數(shù) 應(yīng) 與常 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 相 等 . 這 里 ,法 來 得 到 所 求 的 微 分 方 程 . 已 知 曲 線 族 中 的 任 意我 們 通 過 消 去 任 意 常 數(shù) 的 方對(duì) x求 導(dǎo) , 得 .022 yCyx再 從 122 Cyx 解 出 ,1 2 2yxC 代 入 上 式 得,0122 2 2 yyyxx 使因在 等 式 122 Cyx 兩 端化 簡 即 得 到 所 求 的 微 分 方 程 .0)1( 2 yxxy 微 分 方 程 ; 微 分 方 程 的 階 ; 微 分 方 程 的 解 ;通 解 ; 初 始 條 件 ; 特 解 ; 初 值 問 題 ; 積 分 曲 線 ;四 、 小 結(jié) 思 考 題 函 數(shù) xey 23 是 微 分 方 程 04 yy的 什 么 解 ? 思 考 題 解 答 ,6 2xey ,12 2xey yy 4 ,03412 22 xx eexey 23 中 不 含 任 意 常 數(shù) ,故 為 微 分 方 程 的 特 解 . 三 、 設(shè) 曲 線 上 點(diǎn) ),( yxP 處 的 法 線 與 x軸 的 交 點(diǎn) 為 Q,且 線 段 PQ被 y軸 平 分 ,試 寫 出 該 曲 線 所 滿 足 的 微 分 方 程 . 一 、 填 空 題 : 1、 02 2 yxyyx 是 _階 微 分 方 程 ； 2、 022 cQdtdQRdtQdL 是 _階 微 分 方 程 ； 3、 2sindd 是 _階 微 分 方 程 ；4、 一 個(gè) 二 階 微 分 方 程 的 通 解 應(yīng) 含 有 _個(gè) 任 意 常 數(shù) . 二 、 確 定 函 數(shù) 關(guān) 系 式 )sin( 21 cxcy 所 含 的 參 數(shù) ,使 其 滿 足 初 始 條 件 1xy , 0 xy . 練 習(xí) 題 四 、 已 知 函 數(shù) 1 xbeaey xx ,其 中 ba , 為 任 意 常 數(shù) ,試 求 函 數(shù) 所 滿 足 的 微 分 方 程 . 練 習(xí) 題 答 案 一 、 1、 3； 2、 2； 3、 1； 4、 2. 二 、 .2,1 21 CC 三 、 02 xyy .四 、 xyy 1 .