數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論習(xí)題二答案

2.1 某 人 投 籃 兩 次 ,設(shè) A=恰 有 一 次 投 中 ,B=至 少 有 一次 投 中 ,C=兩 次 都 投 中 ,D=兩 次 都 沒(méi) 投 中 ,又 設(shè) 隨機(jī) 變 量 X為 投 中 的 次 數(shù) ,試 用 X表 示 事 件 A,B,C,D.進(jìn) 一 步問(wèn) A,B,C,D中 哪 些 是 互 不 相 容 事 件 ?哪 些 是 對(duì) 立 事 件 ? 1B X 1A X 解 2C X 0D X ,A C 顯 然 ,A D ,B D ,C D A與 C互 不 相 容 ;A與 D互 不 相 容 ;B與 D互 不 相 容 ;C與D互 不 相 容 ,B D B與 D是 對(duì) 立 事 件 . 2.2 指 出 下 列 函 數(shù) 是 否 是 分 布 函 數(shù) ? 11 0 ( ) 1 F x1 0 , 0(1) ( ) 0.5 , 0 1 1 , 1xF x xx 解 1 2 1 1 1 22 , ( ) ( ) 對(duì) 都 有x x F x F x 1 13 ( ) lim ( ) xF F x lim 0 0 x 1 1( ) lim ( ) xF F x lim 1 1 x 2.2 指 出 下 列 函 數(shù) 是 否 是 分 布 函 數(shù) ?1 0 , 0(1) ( ) 0.5 , 0 1 1 , 1xF x xx 解 1 10 0lim ( ) lim 0.5 0.5 (0) x xF x F1 11 1lim ( ) lim1 1 (1) x xF x F4 除 了 分 段 點(diǎn) 以 外 ,都 是 初 等 函 數(shù) ,故 在 每 一 點(diǎn) 都連 續(xù) ,且 右 連 續(xù)對(duì) 于 分 段 點(diǎn) :1( ) . 處 處 右 連 續(xù)F x1( ) . 是 分 布 函 數(shù)F x 2.2 指 出 下 列 函 數(shù) 是 否 是 分 布 函 數(shù) ?2 0 , 00.2 , 0 1(2) ( ) 0.3 , 1 21 2x xF x xx 解 2 21 1lim ( ) lim 0.3 0.3 (1) x xF x F2( ) 1 . 在 處 不 右 連 續(xù)F x x2( ) . 不 是 分 布 函 數(shù)F x 2.2 指 出 下 列 函 數(shù) 是 否 是 分 布 函 數(shù) ?3 0 , (3) ( ) cos , 0 1 , 0 xF x x xx 解 3( ) 1 F 3( ) . 不 是 分 布 函 數(shù)F x 2.4 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù) 0(1) 0 (0) lim ( ) xP X F F x 0.5e , 0( ) 0.8 , 0 1 1 , 1x xF x xx 解 00.8 lim 0.5e xx 0.30(2) 0 lim ( ) xP X F x 0lim 0.5e xx 0.5求 (1)PX=0;(2)P(X0);(3)P(03) 2.4 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù)(3) 0 1.5 (1.5) (0) P X F F 0.5e , 0( ) 0.8 , 0 1 1 , 1x xF x xx 解 0.2(4) 3 1 3 P X P X 1 (3) F 0求 (1)PX=0;(2)P(X0);(3)P(03) 2.5 擲 一 枚 骰 子 ,用 X表 示 擲 出 的 點(diǎn) 數(shù) ,求 X的 分 布 列 及分 布 函 數(shù) 1 , 1,2,3,4,5,66 且 P X i i解 X所 有 的 取 值 為 1,2,3,4,5,6X 1 2 3 4 5 6P 16 16 16 16 1616 分 布 列 為 2.5 擲 一 枚 骰 子 ,用 X表 示 擲 出 的 點(diǎn) 數(shù) ,求 X的 分 布 列 及分 布 函 數(shù)解 分 布 函 數(shù) 為 0 , 11 , 1 261 , 2 331( ) , 3 422, 4 53 5, 5 661, 6x xxF x xxxx 2.6 一 批 零 件 中 有 8個(gè) 正 品 和 2個(gè) 次 品 ,安 裝 機(jī) 器 時(shí) 從 這批 零 件 中 任 取 一 個(gè) .如 果 每 次 取 出 的 次 品 不 再 放 回 去 ,用 X表 示 在 取 得 正 品 以 前 已 取 出 的 次 品 數(shù) ,求 X的 分 布 列及 分 布 函 數(shù) . 8 4 0 10 5 P X解 X所 有 的 取 值 為 0,1,2 分 布 列 為 2 8 8 1 10 9 45 P X2 1 8 1 2 10 9 8 45 P X X 0 1 2P 45 845 145 解 分 布 函 數(shù) 為 0 , 04 , 0 15( ) 44 , 1 2451, 2x xF x xx 2.6 一 批 零 件 中 有 8個(gè) 正 品 和 2個(gè) 次 品 ,安 裝 機(jī) 器 時(shí) 從 這批 零 件 中 任 取 一 個(gè) .如 果 每 次 取 出 的 次 品 不 再 放 回 去 ,用 X表 示 在 取 得 正 品 以 前 已 取 出 的 次 品 數(shù) ,求 X的 分 布 列及 分 布 函 數(shù) . 1 1 1, 13 4 5 由 正 則 性 c解 1360 c 1 0 1 0 0 P X XP X X P X 11 0 P XP X492.8 已 知 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X只 取 -1,0,1,2四 個(gè) 值 ,相 應(yīng) 的概 率 依 次 為 ,確 定 常 數(shù) c,并 計(jì) 算 條 件 概 率PX1|X01 1 1, , ,3 4 5 c 2.9 設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù)為 解 分 布 列 為 0 , 10.3 , 1 2( ) 0.7 , 2 31, 3x xF x xx 求 X的 分 布 列 . X 1 2 3P 0.3 0.4 0.3 2.10 一 條 自 動(dòng) 化 生 產(chǎn) 線 上 產(chǎn) 品 的 一 級(jí) 品 率 為 0.8,現(xiàn) 隨機(jī) 檢 查 4件 ,求 至 少 有 兩 件 一 級(jí) 品 的 概 率 .( 2)P X 解 1 ( 0) ( 1)P X P X 0 4 30 14 41 0.8 0.2 0.8 0.2C C 設(shè) X為 隨 機(jī) 檢 查 的 4件 產(chǎn) 品 中 的 一 級(jí) 品 的 個(gè) 數(shù) .0.9728則 X B(4,0.8)則 所 求 概 率 為 2.11 某 車(chē) 間 有 20部 同 型 號(hào) 機(jī) 床 ,每 部 機(jī) 床 開(kāi) 動(dòng) 的 概 率為 0.8,若 假 定 各 機(jī) 床 是 否 開(kāi) 動(dòng) 彼 此 獨(dú) 立 ,每 部 機(jī) 床 開(kāi) 動(dòng)時(shí) 消 耗 的 電 能 為 15個(gè) 單 位 ,求 這 個(gè) 車(chē) 間 消 耗 電 能 不 少 于270個(gè) 單 位 的 概 率( 18)P X 解 18 2 19 2018 19 2020 20 200.8 0.2 0.8 0.2 0.8C C C 設(shè) X為 20部 機(jī) 床 開(kāi) 動(dòng) 的 臺(tái) 數(shù) ,0.206 則 X B(20,0.8)由 于 每 部 機(jī) 床 開(kāi) 動(dòng) 時(shí) 消 耗 的 電 能 為 15個(gè) 單 位則 要 使 車(chē) 間 消 耗 電 能 不 少 于 270個(gè) 單 位 ,則 至 少 要開(kāi) 動(dòng) 270/15=18臺(tái) 機(jī) 床故 所 求 概 率 為 2.13設(shè) X服 從 泊 松 分 布 ,且 已 知 P(X=1)=P(X=2),求 P(X=2),解 ( 1) ( 2)P X P X 1 2e e1! 2! 2 2 22( 2) e2!P X 設(shè) X P() 22e 2.15 由 歷 史 銷(xiāo) 售 記 錄 分 析 表 明 ,某 專(zhuān) 銷(xiāo) 店 的 月 銷(xiāo) 售 量(件 )服 從 參 數(shù) 為 8的 泊 松 分 布 .問(wèn) 在 月 初 進(jìn) 貨 時(shí) ,至 少 需要 多 少 庫(kù) 存 量 ,才 能 以 90 以 上 的 把 握 滿 足 顧 客 的 要 求( ) 0.9P X x 解 設(shè) X為 銷(xiāo) 售 量 , 則 X P(8)設(shè) 至 少 需 要 x件 庫(kù) 存 量 ,才 能 以 90 以 上 的 把 握 滿足 顧 客 的 要 求(滿 足 顧 客 要 求 ,即 為 庫(kù) 存 量 銷(xiāo) 售 量 )查 表 得 ,x =12. 2.19 指 出 下 列 函 數(shù) 是 否 是 概 率 密 度 函 數(shù) ?1 0 ,0 sin 12 當(dāng) 時(shí)x x1 sin , 0 (1) ( ) 20 , x xf x 其 他解 1, ( ) 0 故 對(duì) 都 有x f x 21 02 ( )d sin d f x x x x 20cos x 11( ) 是 概 率 密 度 函 數(shù)f x 2.19 指 出 下 列 函 數(shù) 是 否 是 概 率 密 度 函 數(shù) ?2 sin , 0 (2) ( ) 0 , x xf x 其 他解 2 0( )d sin d f x x x x 0cos x 22( ) 不 是 概 率 密 度 函 數(shù)f x 2.19 指 出 下 列 函 數(shù) 是 否 是 概 率 密 度 函 數(shù) ?3 sin , 0(3) ( ) 20 , x xf x 其 他解 0 ,2 當(dāng) 時(shí)x 1 sin 0 x 3( ) 不 是 概 率 密 度 函 數(shù)f x 2.20 設(shè) 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù)(1) ;(2) ( );(3) ( )6求 的 值 概 率 密 度 函 數(shù)A P X f x0 , 0( ) sin , 0 2 1 , 2xF x A x xx 解 2lim ( )x F x 2lim sin x A x A ( ) 12 F(1)由 分 布 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性1 A 2.20 設(shè) 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù)(1) ;(2) ( );(3) ( )6求 的 值 概 率 密 度 函 數(shù)A P X f x0 , 0( ) sin , 0 2 1 , 2xF x A x xx 解 (2) ( ) ( )6 6 6 P X P X ( ) ( )6 6 F Fsin 06 12 2.20 設(shè) 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù)(1) ;(2) ( );(3) ( )6求 的 值 概 率 密 度 函 數(shù)A P X f x0 , 0( ) sin , 0 2 1 , 2xF x A x xx 解 (3) ( ) ( )f x F x cos , 0 2 0 , x x 其 他 2.21 設(shè)(1) 1 ( )d由 規(guī) 范 性 得 f x x , 0 1( ) , 1 2 0, x xX f x a x x 其 他解 1 20 1d ( )d x x a x x2 a求 (1)a的 值 ;(2)X的 分 布 函 數(shù) F(x);(3)P(0.2X 1.2) 2.21 設(shè) 0 00 10 10 100d , 00d + d , 0 1(2) ( ) 0d + d (2 )d , 1 20d + d (x x xx xx x x xF x x x x x x xx x x 21 22 )d 0d , 2xx x x x , 0 1( ) 2 , 1 2 0, x xX f x x x 其 他解 求 (1)a的 值 ;(2)X的 分 布 函 數(shù) F(x);(3)P(0.2X 1.2) 2.21 設(shè) 2 20, 01 , 0 12(2) ( ) 11 2 , 1 221, 2xx xF x x x xx , 0 1( ) 2 , 1 2 0, x xX f x x x 其 他解 求 (1)a的 值 ;(2)X的 分 布 函 數(shù) F(x);(3)P(0.2X 1.2) (3) (0.2 1.2) (1.2) (0.2)P X F F 0.66 2.22 設(shè)(1) ( 0.1) 0 P X 2 , 0 1( ) 0, x xX f x 其 他解 (2) ( 0.2 0.1 0.5) P X X( 0.2 0.1 0.5)(0.1 0.5) P X XP X求 (1)P(X=0.1);(2)P(X 0.2|0.1X0.5)(0.1 0.2)(0.1 0.5) P XP X 0.20.10.50.1 2 d2 d x xx x 18 2.26 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X U-2,3,求 二 次 方 程 y2+2Xy+X+2=0有 實(shí) 根 的 概 率 .2 1X X 或解 1 32 21 1( 2 1) 5 5P X X dx dx 或二 次 方 程 有 實(shí) 根 ,即 =4X2 4(X+2)0 25故 所 求 概 率 為 2.28 某 儀 器 裝 了 3個(gè) 獨(dú) 立 工 作 的 同 型 號(hào) 電 子 元 件 ,其 壽 命 (單 位 :h)都 服 從 指 數(shù) 分 布 ,求 此 儀 器 在 最 初 使 用 的 200h內(nèi) ,至 少 有 一個(gè) 元 件 損 壞 的 概 率 . 1600E 解 ( 200) P P X 1200 6000 1 e d600 x x 131 e 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X表 示 壽 命 ,則 X 1600E 設(shè) Y表 示 3個(gè) 元 件 中 損 壞 的 個(gè) 數(shù) ,則則 在 最 初 使 用 的 200h內(nèi) ,損 壞 的 概 率( 1) 1 ( 0) P Y Y 1 331 1 (1 ) e 11 e 13(3,1 )Y B e 2.31 設(shè) X N(0,1),求 P(|X+1| 1.23)解 ( 1 1.23) P X ( 1.23 1 1.23) P X( 2.23 0.23) P X (0.23) ( 2.23) (0.23) 1 (2.23) 0.5910 1 0.9871 0.5781 2.32 設(shè) X N(1,22),求 (1)P(X 4.22);(2)P( 1.62X 5.82)解 (1) ( 4.22)P X 1 4.22 1( )2 2 XP 1( 1.61)2 XP(1.61) 0.9463(2) ( 1.62 5.82) P X 1.62 1 1 5.82 1( )2 2 2 XP1( 1.31 2.41)2 XP (2.41) ( 1.31) (2.41) 1 (1.31) 0.9920 1 0.9049 0.8969 2.34 公 共 汽 車(chē) 門(mén) 的 高 度 是 按 成 年 男 性 與 車(chē) 門(mén) 碰 頭 的 機(jī) 會(huì)不 超 過(guò) 0.001設(shè) 計(jì) 的 ,設(shè) 成 年 男 性 的 身 高 X(單 位 :cm)服 從N(170,62),問(wèn) 車(chē) 門(mén) 的 最 低 高 度 應(yīng) 為 多 少 ?解 ( )P X h 1 ( ) P X h170 1701 ( )6 6 X hP 1701 ( )6 h 0.001設(shè) 車(chē) 門(mén) 的 最 低 高 度 為 h則 成 年 男 性 與 車(chē) 門(mén) 碰 頭 的 機(jī) 會(huì)為 170( ) 0.999,6 h 170 3.16 查 表 得 h188.6 h 即 最 低 高 度 應(yīng) 為 188.6cm 2.37 測(cè) 量 一 個(gè) 正 方 形 的 邊 長(zhǎng) ,其 結(jié) 果 是 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 X,X的 分 布 列 為解 4Y X求 周 長(zhǎng) Y和 面 積 Z的 分 布 列 .X 9 10 11 12P 0.2 0.3 0.4 0.1Y 36 40 44 48P 0.2 0.3 0.4 0.1 2Z XZ 81 100 121 144P 0.2 0.3 0.4 0.1 2.38 設(shè) X B(3,0.4),求 Y=X2 2X的 分 布 列解 X的 分 布 列 為X 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064 2 2 的 分 布 列 為Y X XY 0 1 0 3P 0.216 0.432 0.288 0.064即 Y 1 0 3P 0.432 0.504 0.064 2.40 設(shè) 1 1001 e , 0( ) 100 0, xX xf x 其 他1( ), 3 2 .100X E Y X 求 的 概 率 密 度解 23 2 3YY X X 由 (0) 2, ( )Y Y 1 2 100 31 1e , 2( ) 100 3 0, yY yf y 其 他 2 3001 e , 2300 0, y y 其 他 2.41 設(shè) X N(0,1),求 下 列 隨 機(jī) 變 量 Y的 概 率 密 度解 (2) e XY 2 21( ) , ( , )2 xXf x e x 1(1) 2 1 2 由 YY X X( ) , ( ) Y Y(1)Y=2X 1 212 21 1( ) 22 yYf y e 21 81 , ( , )2 2 ye y 2.41 設(shè) X N(0,1),求 下 列 隨 機(jī) 變 量 Y的 概 率 密 度解 (2) e XY 2 21( ) , ( , )2 xXf x e x (2) e ln , 由 XY X Y ( ) , ( ) 0 Y Y(1)Y=2X 1 2ln 21 1 , 0( ) 2 0, 其 他yY e yf y y 2ln 21 , 02 0, 其 他ye yy