連續(xù)介質(zhì)力學(xué)-四章

1 第 四 章 連 續(xù) 介 質(zhì) 力 學(xué) 的 基 本 原 理 l連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿(mǎn)足自然界的普遍規(guī)律，為質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、動(dòng)量矩守恒、能量守恒以及熱力學(xué)的基本定律，將這些物理普遍規(guī)律以數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)是本章的任務(wù)。 l按表達(dá)形式可分成； 積分型方程：在一個(gè)有限的域中表達(dá)物理量的關(guān)系；容許物理量可以有某種間斷存在。 微分型方程：表達(dá)微元體的物理量關(guān)系;嚴(yán)格地講要求物理量處處是可導(dǎo)的; 2 41 Lagrange 座標(biāo)中的基本原理描述（一）質(zhì)量體（系統(tǒng)）的概念1.定義：由確定的質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)集合；流場(chǎng)中閉合流面所包含的全部流體質(zhì)點(diǎn)（微團(tuán)）；2.邊界面；質(zhì)量體（或系統(tǒng)）用真實(shí)的或假想的邊界，將選定的質(zhì)量體與外界分隔開(kāi)。3.性質(zhì)： l質(zhì)量體的邊界面形狀將隨時(shí)間變化（可以發(fā)生運(yùn)動(dòng)、變形等） l邊界面上無(wú)質(zhì)量交換熱力學(xué)中的閉系統(tǒng) l邊界上可存在力的作用以及能量（熱，動(dòng)）的交換； 如邊界上也沒(méi)有能量交換則稱(chēng)為弧立系統(tǒng)。 3 （二）質(zhì)量體(閉系統(tǒng)）上的守恒律描述經(jīng)典力學(xué)守恒律描述。1.質(zhì)量守恒：原理：若不存在質(zhì)量源(匯),則質(zhì)量體（閉系統(tǒng)）內(nèi)的總質(zhì)量不隨時(shí)間而變化(物質(zhì)不滅定律)為物質(zhì)（隨體）導(dǎo)數(shù) * *V dVm 0* V dVDtDDtDm DtD 4 2.動(dòng)量守恒律：動(dòng)量方程;原理：系統(tǒng)總動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于該瞬時(shí)系統(tǒng)所受外力的合力。 K * *VM dVVdmVK * * AVV dAPdVFdVVDtDFDtKD 5 3.動(dòng)量距守恒-動(dòng)量距方程系統(tǒng)對(duì)某一定點(diǎn)O的動(dòng)量距隨時(shí)間的變化率等于系統(tǒng)所受外力對(duì)同一點(diǎn)的合力矩。0M * *0 * V AV dAPrdVFrdVVrDtDDtMD 6 4.能量守恒律(熱力學(xué)第一定律)系統(tǒng)總能量E(動(dòng)能+內(nèi)能)隨時(shí)間的變化率=單位時(shí)間內(nèi)外界對(duì)系統(tǒng)所作的動(dòng)和傳人系統(tǒng)的熱量之和. QWdVeDtDDtDE V V *)(* 22 V AV A dAnTdVqQ dAVPdVVFW 7 ：?jiǎn)挝粫r(shí)間,單位質(zhì)量吸收的外界的熱量；(體積熱源，如：輻射熱,生成熱) 規(guī)定熱量從系統(tǒng)外傳入系統(tǒng)內(nèi)為正，否則熱量從系統(tǒng)內(nèi)傳出系統(tǒng)外，則為負(fù)。 上式表示通過(guò)微元邊界面的傳導(dǎo)熱。 為熱通量矢量。右邊多的一個(gè)負(fù)號(hào)是由于規(guī)定邊界的外法向?yàn)檎?，而?guī)定系統(tǒng)獲得熱量為正q dAnqdAnT q 8 Lagrange坐標(biāo)系中的連續(xù)方程在Lagrange坐標(biāo)系中，考察同一個(gè)流體微團(tuán),在時(shí)刻和時(shí)刻的兩個(gè)位置：1在時(shí)刻,流體的封閉面為A1，體積為1而在t2 時(shí)刻，流體的封閉面為A2，體積為2在Lagrange描述中,采用變量是則在時(shí)刻其位置分別為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位置.同樣在時(shí)刻 質(zhì)點(diǎn)的密度在時(shí)刻分別為1t2t 1t taaa 321 1t)( )( )( 132131 132121 132111 taaafz taaafy taaafx 321 aaa 0t 2t)( )( )( 232132 232122 232112 taaafz taaafy taaafx 21 ,tt 21, 9 根據(jù)質(zhì)量守恒定理，對(duì)于無(wú)源流場(chǎng)：即：其中0* V dVDtDDtDm 21 2211 VV dVdV 1111 dzdydxdV 2222 dzdydxdV 10 為比較，均按變量轉(zhuǎn)換原則，統(tǒng)一用為積分變量。即： 321 dadada321321 1111 )( )( dadadaaaa zyxdV 321321 2222 )( )( dadadaaaa zyxdV 其中和為Jacobi行列式，定義為：)( )( 321 111 aaa zyx )( )( 321 222 aaa zyx 11若取t1為初始時(shí)刻（t=0）,則J1=1所以： 333 222 111321 )( )( azayax azayax azayaxaaa zyxJ 00 3212232111 VV dadadaJdadadaJ constJJ 2211 J 0 12 42 Euler 座標(biāo)中的基本原理描述控制體：相對(duì)于參考坐標(biāo)系固定不變的某體積內(nèi)包含的流體。 控制體的形狀、大小都不變；控制體的邊界上可有質(zhì)量的交換開(kāi)系統(tǒng)討論有限體積的流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遵循的基本規(guī)律。 輸 運(yùn) 公 式對(duì)于閉系統(tǒng)，物理量在質(zhì)量體（有限體積）V*(t)內(nèi)的總量是： )*( *tV dVI 13 其物質(zhì)（隨體）導(dǎo)數(shù)的定義是質(zhì)量體內(nèi)物理量總和對(duì)時(shí)間的變化率，即：:注意到散度的概念（單位體積的變形率），有： * * * *)(*)(* V V VV DtdVDdVDtDDtdVDdVDtDDtDI )(*)( VdVDtdVD 14 * * * *)(*)(* V V VV DtdVDdVDtDDtdVDdVDtDDtDI * * * * *)(*)( *)( *)(*)( *)( *)( *)( AV AV VV VVV VdAVndVt dAVndVt dVVdVt dVVt dVVVt dVVdVVt 15 在t0時(shí)刻，V*與控制體的體積相重合，故有：結(jié)論：任一瞬時(shí)，質(zhì)量體內(nèi)物理量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)等于該瞬時(shí)形狀、體積相同的控制體內(nèi)物理量的局部導(dǎo)數(shù)與通過(guò)該控制體表面的輸運(yùn)量之和輸運(yùn)公式。利用輸運(yùn)公式可以在Euler描述的時(shí)空坐標(biāo)系中建立對(duì)有限域內(nèi)的基本守恒律(積分型方程)以及微元體內(nèi)的基本守恒律(微分型方程). V AV dAVndVtdVDtDDtDI )(* 16 Euler描述的基本守恒律微分型方程的推導(dǎo)： *V dVDtDDtDI *)( *)( *)( * *dVVt dVVVt dVVdVVtVVV V dVVt V )( 17 若即0* V dVDtDDtDI 0)( dVVtV 考慮到選擇的控制體是任意的，在微積分學(xué)中知道：對(duì)于任意的連續(xù)被積函數(shù)，如果其積分值恒等于零，則必有被積函數(shù)為零。即： 0)( Vt 18 （一）Euler坐標(biāo)中的基本方程 19 1。 質(zhì) 量 守 恒 連 續(xù) 方 程 ：令，則對(duì)于無(wú)源流場(chǎng)，連續(xù)方程為：積分型方程：微分型方程： 0)( V AV dAVndVtdVDtDDtDI 0)( Vt 0 VVt 0 VDtD 20 2。 動(dòng) 量 守 恒 動(dòng) 量 定 理 ：令輸運(yùn)公式中，則動(dòng)量方程的積分型方程：V V A V AV dAPdVF dAVnVdVtVdVVDtDDtKD )()( 21 微分型方程：對(duì)于動(dòng)量方程，關(guān)鍵是對(duì)表面力的面積分項(xiàng)：的處理考慮到表面力與應(yīng)力張量的關(guān)系：A dAP nP dVdAndAP VAA )( FVVtV )()( 22 0)( Vt FVVtV )()( 1 )( )(FVVtV FVVVtVtV FVVVVtVtV 推導(dǎo)非守恒的形式： 1FDtVD 或： 23 3 動(dòng) 量 矩 守 恒 方 程 ：積分型方程： V A V AV dAPrdVFr dAVnVrdVt VrdVVrDtDDtMD )()( 24 4. 能 量 守 恒 -能 量 方 程 ： 令輸運(yùn)公式中 積 分 型 方 程 V AV A V AV dAnTdVqdAVPdVVF dAVnVedVt VedVEDtDDtDE )(21(21( 22 )2( 2VeE 25 微 分 型 方 程 ：同樣地關(guān)鍵是對(duì)表面力的做功項(xiàng)和通過(guò)表面的傳導(dǎo)熱項(xiàng)的處理dVVdAVndAVP VAA )()( dVTdAnTdAnT VAA )()( )()( )2()2( 22 TqVVF VVeVet 26 （二）微分型方程組的封閉性討論)()()2()2( 22 TqVVFVVeVet 0)( Vt FVVtV )()(（標(biāo)量）方程的個(gè)數(shù)：131252因變量個(gè)數(shù)：密度1速度3內(nèi)能1溫度1應(yīng)力張量（6）12；所以一般情況下方程不封閉。要解決此問(wèn)題需下一章討論本構(gòu)關(guān)系通?？梢栽黾訝顟B(tài)方程：),( Tpp )(Tee 27 最簡(jiǎn)單的一種方程封閉模式理想流體模型理 想 流 體：無(wú)粘假設(shè) Ipp ijij 應(yīng)力張量中只有一個(gè)未知量（壓力）；則方程個(gè)數(shù)正好與未知量個(gè)數(shù)相等。故方程可封閉。不可壓縮理想流體的方程封閉性const（狀態(tài)方程）有：連續(xù)方程（1）動(dòng)量方程（3）4未知量：壓力（1）速度（3）4；所以方程已經(jīng)自成封閉系統(tǒng)，能量方程可在求出速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)后再單獨(dú)積分解出。