《電磁場(chǎng)與電磁波》ppt教案-01矢量分析

第 一 章 矢 量 分 析主 要 內(nèi) 容梯 度 、 散 度 、 旋 度 、 亥 姆 霍 茲 定 理1. 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度方 向 導(dǎo) 數(shù) :標(biāo) 量 場(chǎng) 在 某 點(diǎn) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 表 示 標(biāo) 量 場(chǎng) 自 該 點(diǎn) 沿 某 一 方 向 上 的 變 化 率 。 l PPl lP )()(lim0 例 如 標(biāo) 量 場(chǎng) 在 P 點(diǎn) 沿 l 方 向 上 的 方 向 導(dǎo)數(shù) 定 義 為PlP ll P 梯 度 :標(biāo) 量 場(chǎng) 在 某 點(diǎn) 梯 度 的 大 小 等 于 該 點(diǎn) 的 最 大 方 向 導(dǎo) 數(shù) ， 梯 度 的 方 向 為 該 點(diǎn) 具 有 最 大 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 方 向 。 可 見(jiàn) ， 梯 度 是 一 個(gè) 矢 量 。zyx zy eeexgrad zyx zyx eee grad 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度 可 表 示 為式 中 grad 是 英 文 字 母 gradient 的 縮 寫 。若 引 入 算 符 ， 它 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 可 表 示 為則 梯 度 可 表 示 為 通 量 ： 矢 量 A 沿 某 一 有 向 曲 面 S 的 面 積 分 稱 為 矢 量 A 通 過(guò) 該 有 向 曲 面 S 的 通 量 ， 以 標(biāo) 量 表 示 ， 即 2. 矢 量 場(chǎng) 的 通 量 與 散 度 S d SA 通 量 可 為 正 、 或 為 負(fù) 、 或 為 零 。 當(dāng) 矢 量 穿 出 某 個(gè) 閉 合 面 時(shí) ， 認(rèn) 為該 閉 合 面 中 存 在 產(chǎn) 生 該 矢 量 場(chǎng) 的 源 ； 當(dāng) 矢 量 進(jìn) 入 這 個(gè) 閉 合 面 時(shí) ， 認(rèn) 為該 閉 合 面 中 存 在 匯 聚 該 矢 量 場(chǎng) 的 洞 （ 或 匯 ） 。 閉 合 的 有 向 曲 面 的 方 向通 常 規(guī) 定 為 閉 合 面 的 外 法 線 方 向 。 因 此 ， 當(dāng) 閉 合 面 中 有 源 時(shí) ， 矢 量 通過(guò) 該 閉 合 面 的 通 量 一 定 為 正 ； 反 之 ， 當(dāng) 閉 合 面 中 有 洞 時(shí) ， 矢 量 通 過(guò) 該閉 合 面 的 通 量 一 定 為 負(fù) 。 所 以 ， 前 述 的 源 稱 為 正 源 ， 而 洞 稱 為 負(fù) 源 。 由 物 理 得 知 ， 真 空 中 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 E 通 過(guò) 任 一 閉 合 曲 面 的 通 量等 于 該 閉 合 面 包 圍 的 自 由 電 荷 的 電 量 q 與 真 空 介 電 常 數(shù) 0 之 比 ，即 ，可 見(jiàn) ， 當(dāng) 閉 合 面 中 存 在 正 電 荷 時(shí) ， 通 量 為 正 。 當(dāng) 閉 合 面 中 存 在 負(fù) 電荷 時(shí) ， 通 量 為 負(fù) 。 在 電 荷 不 存 在 的 無(wú) 源 區(qū) 中 ， 穿 過(guò) 任 一 閉 合 面 的 通量 為 零 。 這 一 電 學(xué) 實(shí) 例 充 分 地 顯 示 出 閉 合 面 中 正 源 、 負(fù) 源 及 無(wú) 源 的通 量 特 性 。 但 是 ， 通 量 僅 能 表 示 閉 合 面 中 源 的 總 量 ， 它 不 能 顯 示 源 的 分 布 特 性 。 為 此 需 要 研 究 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 。 S q 0d SE 散 度 ： 當(dāng) 閉 合 面 S 向 某 點(diǎn) 無(wú) 限 收 縮 時(shí) ， 矢 量 A 通 過(guò) 該 閉 合 面 S 的 通 量 與 該 閉 合 面 包 圍 的 體 積 之 比 的 極 限 稱 為 矢 量 場(chǎng) A 在 該 點(diǎn) 的 散 度 ， 以 div A 表 示 ， 即 VSV d limdiv 0 SAA式 中 div 是 英 文 字 母 divergence 的 縮 寫 ， V 為 閉 合 面 S 包 圍 的 體積 。 上 式 表 明 ， 散 度 是 一 個(gè) 標(biāo) 量 ， 它 可 理 解 為 通 過(guò) 包 圍 單 位 體 積閉 合 面 的 通 量 。 直 角 坐 標(biāo) 系 中 散 度 可 表 示 為 zAyAxA zyx Adiv 因 此 散 度 可 用 算 符 表 示 為 AA div SV V d d div SAA高 斯 定 理 SV V d d SAA或 者 寫 為 從 數(shù) 學(xué) 角 度 可 以 認(rèn) 為 高 斯 定 理 建 立 了 面 積 分 和 體 積 分 的 關(guān) 系 。從 物 理 角 度 可 以 理 解 為 高 斯 定 理 建 立 了 區(qū) 域 V 中 的 場(chǎng) 和 包 圍 區(qū) 域 V 的 閉 合 面 S 上 的 場(chǎng) 之 間 的 關(guān) 系 。 因 此 ， 如 果 已 知 區(qū) 域 V 中 的 場(chǎng) ，根 據(jù) 高 斯 定 理 即 可 求 出 邊 界 S 上 的 場(chǎng) ， 反 之 亦 然 。 環(huán) 量 ： 矢 量 場(chǎng) A 沿 一 條 有 向 曲 線 l 的 線 積 分 稱 為 矢 量 場(chǎng) A 沿 該 曲 線 的 環(huán) 量 ， 以 表 示 ， 即3. 矢 量 場(chǎng) 的 環(huán) 量 與 旋 度 l d lA可 見(jiàn) ， 若 在 閉 合 有 向 曲 線 l 上 ， 矢 量 場(chǎng) A 的 方 向 處 處 與 線 元 dl 的 方向 保 持 一 致 ， 則 環(huán) 量 0； 若 處 處 相 反 ， 則 0 。 可 見(jiàn) ， 環(huán) 量可 以 用 來(lái) 描 述 矢 量 場(chǎng) 的 旋 渦 特 性 。 由 物 理 學(xué) 得 知 ， 真 空 中 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 B 沿 任 一 閉 合 有 向 曲 線 l 的 環(huán) 量 等 于 該 閉 合 曲 線 包 圍 的 傳 導(dǎo) 電 流 強(qiáng) 度 I 與 真 空 磁 導(dǎo) 率 0 的乘 積 。 即 式 中 電 流 I 的 正 方 向 與 dl 的 方 向 構(gòu) 成 右 旋 關(guān) 系 。 由 此 可 見(jiàn) ， 環(huán) 量可 以 表 示 產(chǎn) 生 具 有 旋 渦 特 性 的 源 的 強(qiáng) 度 ， 但 是 環(huán) 量 代 表 的 是 閉 合 曲線 包 圍 的 總 的 源 強(qiáng) 度 ， 它 不 能 顯 示 源 的 分 布 特 性 。 為 此 ， 需 要 研 究 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 。 Il 0 d lB 旋 度 ： 旋 度 是 一 個(gè) 矢 量 。 若 以 符 號(hào) rot A 表 示 矢 量 A 的 旋 度 ， 則 其 方 向 是 使 矢 量 A 具 有 最 大 環(huán) 量 強(qiáng) 度 的 方 向 ， 其 大 小 等 于 對(duì) 該 矢 量 方 向 的 最 大 環(huán) 量 強(qiáng) 度 ， 即 SlS d limrot max 0n lAeA式 中 rot 是 英 文 字 母 rotation 的 縮 寫 ， e n 為 最 大 環(huán) 量 強(qiáng) 度 的 方 向 上的 單 位 矢 量 ， S 為 閉 合 曲 線 l 包 圍 的 面 積 。 上 式 表 明 ， 矢 量 場(chǎng) 的旋 度 大 小 可 以 認(rèn) 為 是 包 圍 單 位 面 積 的 閉 合 曲 線 上 的 最 大 環(huán) 量 。 直 角 坐 標(biāo) 系 中 旋 度 可 用 矩 陣 表 示 為 zyx zyx AAA zyx eeeArot或 用 算 符 表 示 為 AA rot 應(yīng) 該 注 意 ， 無(wú) 論 梯 度 、 散 度 或 旋 度 都 是 微 分 運(yùn) 算 ， 它 們 表 示 場(chǎng) 在某 點(diǎn) 附 近 的 變 化 特 性 ， 場(chǎng) 中 各 點(diǎn) 的 梯 度 、 散 度 或 旋 度 可 能 不 同 。 因 此 ，梯 度 、 散 度 及 旋 度 描 述 的 是 場(chǎng) 的 點(diǎn) 特 性 或 稱 為 微 分 特 性 。 函 數(shù) 的 連 續(xù)性 是 可 微 的 必 要 條 件 。 因 此 在 場(chǎng) 量 發(fā) 生 不 連 續(xù) 處 ， 也 就 不 存 在 前 面 定 義 的 梯 度 、 散 度 或 旋 度 。 斯 托 克 斯 定 理 lS d d)rot( lASA 同 高 斯 定 理 類 似 ， 從 數(shù) 學(xué) 角 度 可 以 認(rèn) 為 斯 托 克 斯 定 理 建 立 了 面 積分 和 線 積 分 的 關(guān) 系 。 從 物 理 角 度 可 以 理 解 為 斯 托 克 斯 定 理 建 立 了 區(qū) 域 S 中 的 場(chǎng) 和 包 圍 區(qū) 域 S 的 閉 合 曲 線 l 上 的 場(chǎng) 之 間 的 關(guān) 系 。 因 此 ， 如 果已 知 區(qū) 域 S 中 的 場(chǎng) ， 根 據(jù) 斯 托 克 斯 定 理 即 可 求 出 邊 界 l 上 的 場(chǎng) ， 反之 亦 然 。 lS d d)( lASA或 者 寫 為 散 度 處 處 為 零 的 矢 量 場(chǎng) 稱 為 無(wú) 散 場(chǎng) ， 旋 度 處 處 為 零 的矢 量 場(chǎng) 稱 為 無(wú) 旋 場(chǎng) 。 4. 無(wú) 散 場(chǎng) 和 無(wú) 旋 場(chǎng)兩 個(gè) 重 要 公 式 ： 0)( A 0)( 左 式 表 明 ， 任 一 矢 量 場(chǎng) A 的 旋 度 的 散 度 一 定 等 于 零 。因 此 ， 任 一 無(wú) 散 場(chǎng) 可 以 表 示 為 另 一 矢 量 場(chǎng) 的 旋 度 ， 或 者 說(shuō) ，任 何 旋 度 場(chǎng) 一 定 是 無(wú) 散 場(chǎng) 。 右 式 表 明 ， 任 一 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度 的 旋 度 一 定 等 于 零 。因 此 ， 任 一 無(wú) 旋 場(chǎng) 一 定 可 以 表 示 為 一 個(gè) 標(biāo) 量 場(chǎng) 的 梯 度 ， 或 者 說(shuō) ， 任 何 梯 度 場(chǎng) 一 定 是 無(wú) 旋 場(chǎng) 。 5. 格 林 定 理 設(shè) 任 意 兩 個(gè) 標(biāo) 量 場(chǎng) 及 ， 若 在 區(qū) 域 V 中 具 有 連 續(xù) 的 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) ，如 下 圖 示 。 S V, ne 那 么 ， 可 以 證 明 該 兩 個(gè) 標(biāo) 量 場(chǎng) 及 滿 足 下 列 等 式 SV SnV 2 dd)( 根 據(jù) 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 的 關(guān) 系 ， 上 式 又 可 寫 成式 中 S 為 包 圍 V 的 閉 合 曲 面 ， 為 標(biāo) 量場(chǎng) 在 S 表 面 的 外 法 線 e n 方 向 上 的 偏導(dǎo) 數(shù) 。 n SV V 2 d)(d)( S上 兩 式 稱 為 標(biāo) 量 第 一 格 林 定 理 。 SV SnnV 22 dd)( SV V 22 d d)( S基 于 上 式 還 可 獲 得 下 列 兩 式 ：上 兩 式 稱 為 標(biāo) 量 第 二 格 林 定 理 。 設(shè) 任 意 兩 個(gè) 矢 量 場(chǎng) P 與 Q ， 若 在 區(qū) 域 V 中 具 有 連 續(xù) 的 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) ，那 么 ， 可 以 證 明 該 矢 量 場(chǎng) P 及 Q 滿 足 下 列 等 式 SV V d d)()( SQPQPQP式 中 S 為 包 圍 V 的 閉 合 曲 面 ， 面 元 dS 的 方 向 為 S 的 外 法 線 方 向 ， 上 式 稱為 矢 量 第 一 格 林 定 理 。 基 于 上 式 還 可 獲 得 下 式 ： SV V dd()( SPQQPQPPQ此 式 稱 為 矢 量 第 二 格 林 定 理 。 無(wú) 論 何 種 格 林 定 理 ， 都 是 說(shuō) 明 區(qū) 域 V 中 的 場(chǎng) 與 邊 界 S 上 的 場(chǎng) 之 間 的關(guān) 系 。 因 此 ， 利 用 格 林 定 理 可 以 將 區(qū) 域 中 場(chǎng) 的 求 解 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 變 為 邊 界 上 場(chǎng)的 求 解 問(wèn) 題 。 此 外 ， 格 林 定 理 說(shuō) 明 了 兩 種 標(biāo) 量 場(chǎng) 或 矢 量 場(chǎng) 之 間 應(yīng) 該 滿 足 的 關(guān) 系 。因 此 ， 如 果 已 知 其 中 一 種 場(chǎng) 的 分 布 特 性 ， 即 可 利 用 格 林 定 理 求 解 另 一 種場(chǎng) 的 分 布 特 性 。 格 林 定 理 廣 泛 地 用 于 電 磁 理 論 。 6. 矢 量 場(chǎng) 的 惟 一 性 定 理 位 于 某 一 區(qū) 域 中 的 矢 量 場(chǎng) ， 當(dāng) 其 散 度 、 旋 度 以 及 邊 界 上場(chǎng) 量 的 切 向 分 量 或 法 向 分 量 給 定 后 ， 則 該 區(qū) 域 中 的 矢 量 場(chǎng) 被惟 一 地 確 定 。 已 知 散 度 和 旋 度 代 表 產(chǎn) 生 矢 量 場(chǎng) 的 源 ， 可 見(jiàn) 惟 一 性 定理 表 明 ， 矢 量 場(chǎng) 被 其 源 及 邊 界 條 件 共 同 決 定 的 。 若 矢 量 場(chǎng) F(r) 在 無(wú) 限 區(qū) 域 中 處 處 是 單 值 的 ， 且 其 導(dǎo) 數(shù) 連續(xù) 有 界 ， 源 分 布 在 有 限 區(qū) 域 V 中 ， 則 當(dāng) 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 及 旋 度給 定 后 ， 該 矢 量 場(chǎng) F(r) 可 以 表 示 為 7. 亥 姆 霍 茲 定 理 )()()( rArrF V Vd)(41)( rr rFr V V d)(41)( rr rFrA式 中 可 見(jiàn) ， 該 定 理 表 明 任 一 矢 量 場(chǎng) 均 可 表 示 為 一 個(gè) 無(wú) 旋 場(chǎng) 與一 個(gè) 無(wú) 散 場(chǎng) 之 和 。 矢 量 場(chǎng) 的 散 度 及 旋 度 特 性 是 研 究 矢 量 場(chǎng) 的首 要 問(wèn) 題 。 8. 正 交 曲 面 坐 標(biāo) 系 已 知 矢 量 A 在 圓 柱 坐 標(biāo) 系 和 球 坐標(biāo) 系 中 可 分 別 表 示 為 zr cba eeeA 式 中 a, b, c 均 為 常 數(shù) ， A 是 常 矢 量 嗎 ？ eeeA cba r 圓 柱 (r, , z) yzx P0 0 = 0r = r0 z = z 0reze eO x z y = 0 0 0球 (r, , )r = r 0 = 0 ere eP0O直 角 (x, y , z)zx yz = z 0 x = x 0 y = y 0P0zexe yeO