北京郵電大學高等數(shù)學

解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.一、歐拉方程)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn 的方程(其中nppp 21 ,形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點：各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同 作變量變換,ln xtex t 或,1 dtdyxdxdtdtdydxdy ,1 22222 dtdydtydxdxyd將自變量換為,t ,231 2233333 dtdydtyddtydxdxyd 用D表示對自變量t求導的運算,dtd上述結(jié)果可以寫為,Dyyx ,)1()( 2222 yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23( 23 23 22333 yDDDyDDD dtdydtyddtydyx .)1()1()( ykDDDyx kk 將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量t的常系數(shù)線性微分方程.求出這個方程的解后，t把 換為 ，xln即得到原方程的解.一般地，例求歐拉方程223 34 xyxyxyx 的通解解作變量變換,ln xtex t 或 原方程化為,34)1()2)(1( 2teDyyDDyDDD 即,332 223 teDyyDyD 或.332 22233 tedtdydtyddtyd (1)方程(1)所對應的齊次方程為,032 2233 dtdydtyddtyd其特征方程,032 23 rrr 特征方程的根為.3,1,0 321 rrr所以齊次方程的通解為tt eCeCCY 3321 設(shè)特解為,22 bxbey t 代入原方程，得.21b所給歐拉方程的通解為.21 23321 xxCxCCy ,22xy 即.3321 xCxCC 二、小結(jié)歐拉方程解法思路變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換注意：歐拉方程的形式xtex t ln或 練 習 題.ln433 ;ln2ln222 ;01 22 222 xxxyyxyx xxyyxyx yyxyx ：求下列歐拉方程的通解 練習題答案.ln61ln3 .41)ln(ln212 .1 322221 2221 21 xxxxxCxCy xxxCxCy xCCy