高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)課件 理.ppt

第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,§2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù),內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)_. 頂點(diǎn)式：f(x)_. 零點(diǎn)式：f(x) . (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),ax2bxc(a0),a(xm)2n(a0),a(xx1)(xx2)(a0),知識(shí)梳理,1,答案,答案,2.冪函數(shù) (1)定義：形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù). (2)冪函數(shù)的圖象比較,yx,答案,(3)冪函數(shù)的性質(zhì) 冪函數(shù)在(0，)上都有定義； 冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)； 當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，)上單調(diào)遞增； 當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，)上單調(diào)遞減.,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) (1)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是 .( ) (2)二次函數(shù)yax2bxc，xR，不可能是偶函數(shù).( ) (3)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小.( ) (4)函數(shù) 是冪函數(shù).( ) (5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).( ) (6)當(dāng)n0時(shí)，冪函數(shù)yxn是定義域上的減函數(shù).( ),×,×,×,×,答案,思考辨析,即m21， 解得m1.,(，1)(1，),考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函數(shù)f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是_.,解析答案,1,2,3,4,5,3.函數(shù) 的圖象是_.(填序號(hào)),解析 顯然f(x)f(x)，說明函數(shù)是奇函數(shù)， 同時(shí)由當(dāng)0x1時(shí)， 當(dāng)x1時(shí)， 故只有符合.,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_. 解析 如圖，由圖象可知m的取值范圍是1,2.,1,2,解析答案,1,2,3,4,5,(0，),答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,題型一 求二次函數(shù)的解析式,例1 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式.,解析答案,思維升華,解 方法一 (利用一般式)： 設(shè)f(x)ax2bxc(a0).,所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.,解析答案,思維升華,方法二 (利用頂點(diǎn)式)： 設(shè)f(x)a(xm)2n. f(2)f(1)，,n8，,解析答案,f(2)1，,思維升華,方法三 (利用零點(diǎn)式)： 由已知f(x)10的兩根為x12，x21， 故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)， 即f(x)ax2ax2a1.,解得a4， 所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.,思維升華,思維升華,求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，所用所給出的條件，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.,(1)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式是_. 解析 依題意可設(shè)f(x)a(x2)21， 又其圖象過點(diǎn)(0,1)， 4a11，,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_. 解析 由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， b2， f(x)2x22a2， 又f(x)的值域?yàn)?，4， 2a24， 故f(x)2x24.,2x24,解析答案,題型二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),命題點(diǎn)1 二次函數(shù)的單調(diào)性,例2 已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6， (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；,要使f(x)在4,6上為單調(diào)函數(shù)， 只需a4或a6， 解得a4或a6. 故a的取值范圍是(，64，).,解析答案,(2)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.,其圖象如圖所示. 又x4,6， f(|x|)在區(qū)間4，1)和0,1)上為減函數(shù)， 在區(qū)間1,0)和1,6上為增函數(shù).,解析答案,命題點(diǎn)2 二次函數(shù)的最值,例3 已知函數(shù)f(x)x22x，若x2,3，則函數(shù)f(x)的最大值為_. 解析 f(x)(x1)21， 2x3(如圖)，,f(x)maxf(2)8.,8,解析答案,已知函數(shù)f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.,引申探究,解析答案,解 函數(shù)yx22x(x1)21， 對(duì)稱軸為直線x1， x1不一定在區(qū)間2，a內(nèi)， 應(yīng)進(jìn)行討論，當(dāng)21時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增， 則當(dāng)x1時(shí)，y取得最小值，即ymin1. 綜上，當(dāng)21時(shí)，ymin1.,命題點(diǎn)3 二次函數(shù)中的恒成立問題,例4 (1)設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對(duì)于滿足10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.,解析答案,(2)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.,解析 2ax22x30在1,1上恒成立. 當(dāng)x0時(shí)，適合；,解析答案,思維升華,思維升華,1.二次函數(shù)最值問題解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵 (1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù). (2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5. (1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； 解 當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x2(x1)21，x5,5， 所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值1； 當(dāng)x5時(shí)，f(x)取得最大值37.,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù). 解 函數(shù)f(x)(xa)22a2的圖象的對(duì)稱軸為直線xa， 因?yàn)閥f(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)， 所以a5或a5，即a5或a5. 故a的取值范圍是(，55，).,解析答案,題型三 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),解析 由冪函數(shù)的定義知k1.,解析答案,(2)若 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.,解析答案,思維升華,解2m1m2m1，得1m2，,解析 因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域?yàn)?，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，,思維升華,思維升華,(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式. (2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.,(1)已知冪函數(shù)f(x)(m2m1)·x5m3在(0，)上是增函數(shù)，則m_. 解析 函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3是冪函數(shù)， m2m11， 解得m2或m1. 當(dāng)m2時(shí)，5m313，函數(shù)yx13在(0，)上是減函數(shù)； 當(dāng)m1時(shí)，5m32，函數(shù)yx2在(0，)上是增函數(shù). m1.,1,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)若 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,解析 易知函數(shù) 的定義域?yàn)?，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，,解析答案,返回,思想與方法系列,典例 (14分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值. 思維點(diǎn)撥 參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；a0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對(duì)稱軸與所給范圍的關(guān)系.,思想與方法系列,3.分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析答案,返回,溫馨提醒,規(guī)范解答 解 (1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x在0,1上遞減， f(x)minf(1)2. 3分,解析答案,溫馨提醒,(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ax22x圖象的開口方向向上，,f(x)在0,1上遞減. f(x)minf(1)a2. 10分,解析答案,溫馨提醒,(3)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ax22x的圖象的開口方向向下，,f(x)ax22x在0,1上遞減. f(x)minf(1)a2. 13分,溫馨提醒,溫馨提醒,返回,(1)本題在求二次函數(shù)最值時(shí)，用到了分類討論思想，求解中既對(duì)系數(shù)a的符號(hào)進(jìn)行討論，又對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論.在分類討論時(shí)要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類時(shí)要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論. (2)在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動(dòng)，仍應(yīng)對(duì)區(qū)間進(jìn)行分類討論.,思想方法 感悟提高,1.二次函數(shù)的三種形式 (1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式. (2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時(shí)，常使用頂點(diǎn)式. (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便. 2.研究二次函數(shù)的性質(zhì)要注意： (1)結(jié)合圖象分析； (2)含參數(shù)的二次函數(shù)，要進(jìn)行分類討論.,方法與技巧,3.利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧 在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪，再選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.,方法與技巧,1.對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況. 2.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.如果函數(shù)f(x)x2ax3在區(qū)間(，4上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的范圍是_.,8，),解析答案,2.函數(shù)f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，且在x(0，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是_. 解析 f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)m2m11m1或m2. 又在x(0，)上是增函數(shù)， 所以m2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.設(shè)函數(shù)f(x)x2xa(a0)，且f(m)0，則f(m1)_0(判斷大小關(guān)系).,f(x)的大致圖象如圖所示. 由f(m)0，f(m1)f(0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0,2上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a_. 解析 函數(shù)f(x)x2axa的圖象為開口向上的拋物線， 函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得， f(0)a，f(2)43a，,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令f(x)0，得30， 不等式f(10x)0可化為010x1，x0. 答案 (，0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,則f(x)2axb，f(x)x1，,6.已知函數(shù)f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析 由函數(shù)f(x)x22x(x1)21， 當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3， 即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,3， 當(dāng)x1,2時(shí)，函數(shù)g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，,3，),解得a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.當(dāng)0g(x)f(x).,h(x)g(x)f(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.已知函數(shù)f(x)x22ax2a4的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，)，則a的值為_. 解析 由于函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)， 所以f(x)min1. 又f(x)(xa)2a22a4， 當(dāng)xR時(shí)，f(x)minf(a)a22a41， 即a22a30， 解得a3或a1.,1或3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.已知函數(shù)f(x)ax2bx1(a，b為實(shí)數(shù)，a0，xR).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2,1)，且方程f(x)0有且只有一個(gè)根，求f(x)的表達(dá)式；,解 因?yàn)閒(2)1， 即4a2b11，所以b2a. 因?yàn)榉匠蘤(x)0有且只有一個(gè)根， 所以b24a0. 所以4a24a0，所以a1，所以b2. 所以f(x)x22x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)在(1)的條件下，當(dāng)x1,2時(shí)，g(x)f(x)kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.,所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，06，).,由g(x)的圖象知：要滿足題意，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.已知函數(shù)f(x)x2ax3a，若x2,2時(shí)，f(x)0恒成立，求a的取值范圍.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 要使f(x)0恒成立， 則函數(shù)在區(qū)間2,2上的最小值不小于0， 設(shè)f(x)的最小值為g(a).,故此時(shí)a不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,得a7，又a4，故7a4， 綜上得7a2.,又4a4，故4a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函數(shù)f(x)x2m是定義在區(qū)間3m，m2m上的奇函數(shù)，則f(m)_. 解析 由已知，必有m2m3m，即m22m30， m3或m1. 當(dāng)m3時(shí)，函數(shù)即f(x)x1，x6,6，f(x)在x0處無意義， 故舍去； 當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)即f(x)x3，此時(shí)x2,2，符合題意. f(m)f(1)f(1)31.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,12.已知冪函數(shù)f(x)x，當(dāng)x1時(shí)，恒有f(x)1時(shí)，恒有f(x)1時(shí)，函數(shù)f(x)x的圖象在yx的圖象的下方， 作出冪函數(shù)f(x)x在第一象限的圖象， 由圖象可知1時(shí)滿足題意.,(，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,則圖象的對(duì)稱軸為直線x0， 2m0，m2， f(x)2x21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由題意得： |f(0)|1|n|11n1；|f(1)|1|2n|13n1， 因此n1，f(0)1，f(1)1. 由f(x)的圖象可知：要滿足題意，,所以a2.,(，2,解析 f(x)cos 2xasin x12sin2xasin x，令tsin x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,15.已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0，bR，cR). (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,F(2)F(2)(21)2(21)28.,解得a1，b2， f(x)(x1)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0,1上恒成立，試求b的取值范圍. 解 f(x)x2bx，原命題等價(jià)于1x2bx1在(0,1上恒成立，,2b0. 故b的取值范圍是2,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,解析答案,