一階線性微分方程及其解法.ppt
二、可分離變量的微分方程,則稱方程(1)為可分離變量的微分方程.,解法,一階微分方程的一般形式:,若方程(1)可以寫成如下形式:,變量分離,兩端積分,可以驗(yàn)證: (1.4)式為微分方程 (1) 的(隱式)通解.,注: 若題目只需求通解,則不必討論,例1,求微分方程,解,分離變量,兩端積分,C,例2,求微分方程,解,分離變量,兩端積分,C,注意到:當(dāng)C=0時(shí)即y=0也是方程的解,應(yīng)用: 衰變問題: 放射性元素鈾不斷地放射出微粒子而變成其它元素,鈾的含量不斷減少,由物理學(xué)知識,鈾的衰變速度與未衰變的原子的含量M成正比,已知t=0時(shí),鈾的含量為M0,求衰變過程中鈾含量M(t)隨t的變化規(guī)律,解,變量分離,兩端積分,即,又,故,故,衰變規(guī)律為,練習(xí) 12.1第3題,增加一個(gè)條件:曲線過(2,3)點(diǎn),求曲線方程,變量分離,兩端積分,即,又,練習(xí):12.2第3題,兩邊求導(dǎo)得:,變量分離,注意:這里隱藏一個(gè)初始條件,利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,例6,變量代換是解方程的一種常用的手段,二、齊次方程,解法:,將其代入原式,得:,,即,這是一個(gè)關(guān)于變量u與x的可分離變量的方程;,然后,利用分離變量法求得,故,代入得:,進(jìn)行分離變量整理,并兩邊積分,,故所求通解為:,這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程,,得:,書上還有一個(gè)例子,自己可以練習(xí)練習(xí),求微分方程,,滿足初始條件 的特解,解: 方程可化為:,它是齊次方程。令,代入整理后,有,分離變量,則有,兩邊積分,得,即,代入上式,于是所求方程的通解為,把初始條件,代入上式,求出,,故所求方程的特解為,解:這是一個(gè)齊次方程。先將方程變形為,代入得:,這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程,,分離變量 ,并兩邊積分,得:,故,所以,原方程通解為 :,五、小結(jié),本節(jié)主要內(nèi)容是:,1齊次方程,或,判下列微分方程是否為一階線性微分方程:,一、一階線性微分方程及其解法,例1,在微分方程中,若未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的,則稱其為一階線性微分方程。,1. 一階線性微分方程的定義,(是),(是),2. 一階線性微分方程的一般式,3. 一階線性微分方程的分類,當(dāng) 時(shí),方程(1)稱為一階線性齊次微 分方程。,當(dāng) 時(shí),方程(1)稱為一階線性非齊次 微分方程。,或,齊次線性方程的通解為:,1º 齊次線性方程:,求解法:,分離變量:,1. 常數(shù)變易法,2º 非齊次線性方程:,作變換,可分離變量方程,積分得,一階非齊次線性微分方程(2.1)的通解為:,2. 常數(shù)變易公式,(2)一階線性非齊次微分方程,常數(shù)變易法,1)一般式,2)解法,3)通解公式,齊次的通解,非齊次的特解,關(guān)于通解公式要注意:,只表示某一個(gè)函數(shù),若 時(shí),絕對值符號可不寫 即 特別注意: 而是,例1、求微分方程,的通解.,解法1(常數(shù)變易法) 原方程變形為 :,對應(yīng)的齊次方程為 :,得通解為,設(shè)原方程的解為,從而,代入原方程得,化簡得,兩邊積分,得,所以,原方程的通解,解法2(用公式法),把它們代入公式得,解,例2,則通解為,解,練習(xí),則通解為,原方程變形為,其中,解,(不)例4,通解:,因此方程滿足初始條件的特解為,(講)求以下方程在 下的特解,原方程可化為:,原方程通解為:,或,求方程通解:,若化為:,則不是一階線性的,而化為:,則是一階線性的,再見書上習(xí)題,解,例9,(方法1),一階非齊次線性方程,選擇題考點(diǎn) (間斷點(diǎn),求旋轉(zhuǎn)體體積,求平面圖形面積,全微分,偏導(dǎo)數(shù)的幾意義,二重積分幾何意義,交換積分次序) 大題考點(diǎn) 1、求極限 2、隱函數(shù)求導(dǎo)(一個(gè)方程和方程組情形) 3、抽象函數(shù)求導(dǎo) 4、求極值 5、直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分 6、極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(或是化為極坐標(biāo)) 7、解齊次方程(令U=。,轉(zhuǎn)化為U和X的方程) 8、解一階線性方程(用公式或常數(shù)變易法) 9、討論函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性,可導(dǎo)性,可微性,解,兩曲線的交點(diǎn),面積元素,選 為積分變量,例,畫草圖如右,注: ,即動點(diǎn)P以任意方式即沿任意曲線趨向定 點(diǎn)P0時(shí),都有f(P) A,求二重極限方法類似一元函數(shù)的一些方法:等價(jià)無窮小替換;重要極限公式;無窮小的性質(zhì);(恒等變形;利用連續(xù)性;夾逼準(zhǔn)則;換元;利用公式和運(yùn)算法則),等價(jià)無窮小替換;,對于多元函數(shù)的極限要求不高,只要求會求些較簡單的二重極限 注意:在多元函數(shù)中,洛必達(dá)法則不再適用,但如果通過換元后的一元函數(shù)照樣可用,或用重要公式 原式,無窮小的性質(zhì),設(shè),確定,兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù):,再對上式對x求偏導(dǎo)數(shù):(按商的求導(dǎo)公式),對于一階偏導(dǎo)數(shù),還可用公式法,例1,討論,(1) 連續(xù);(2) 偏導(dǎo)數(shù)存在;(3) 可微.,解,(1),= 0 = f (0,0),(2),(3),?,則,例2,證,令,則,同理,故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 處連續(xù) ;,下面證明:,可微 .,令,則,注 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.,而非必要條件.,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(diǎn)(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在點(diǎn)(3,0) 處,不是極值;,在點(diǎn)(3,2) 處,為極大值.,在點(diǎn)(1,2) 處,不是極值;,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重復(fù)是學(xué)習(xí)之母弗萊格,世界上最快而又最慢,最長而又最短,最平凡而又最珍貴,最容易被人忽視,而又最令人后悔的就是時(shí)間高爾基,謝謝大家對我的支持! ! 祝大家考試取得好成績!,因此方程滿足初始條件的特解為,二、一階線性微分方程的應(yīng)用,1. 分析問題,設(shè)出所求未知函數(shù),確定初始條件。 2. 建立微分方程。 3. 確定方程類型,求其通解. 4. 代入初始條件求特解.,應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題的步驟:,例5,解,設(shè)所求曲線方程為,從而,即,其中,則通解為,因此所求曲線方程為,設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力于他下落的速度成正比(比例系數(shù) ,起跳時(shí)的速度為0,求下落的速度與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系。,例6,設(shè)速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為:,解,由牛頓第二定律知:,即,其中,則通解為,因此所求速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為,三、小結(jié),1. 一階線性齊次微分方程,2. 一階線性非齊次微分方程,(1)一般式,(2)通解公式,(1)一般式,(2)通解公式,