高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十章 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差課件.ppt

第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布,第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列 及均值與方差,1理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性 2理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用 3理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念 4能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題,要點(diǎn)梳理 1離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為_，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量,隨機(jī)變量,2離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率為P(Xxi)pi，則表,稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列 (2)分布列的性質(zhì) pi0，i1,2，n；,(3)常見離散型隨機(jī)變量的分布列 兩點(diǎn)分布 若隨機(jī)變量X的分布列為,則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱pP(X1)為成功概率 超幾何分布,3均值與方差 (1)均值 稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或_它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_,數(shù)學(xué)期望,平均水平,(3)均值與方差的性質(zhì) E(aXb)_. D(aXb)_.(a，b為常數(shù)) 質(zhì)疑探究：隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的均值、方差的關(guān)系是怎樣的？ 提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本的均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差,aE(X)b,a2D(X),3(2013·高考廣東卷)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于( ),4已知X的分布列為 設(shè)Y2X1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是_,5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_ 解析 E(X)1×0.70×0.30.7. 答案 0.7,考向一 離散型隨機(jī)變量的分布列 例1 (2015·廣州市調(diào)研)某市A，B，C，D四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示： 為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問卷調(diào)查 (1)問A，B，C，D四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？,(2)從參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率； (3)在參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中，從來自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示抽得A中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求的分布列,拓展提高 求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個(gè)值的概率；寫出X的分布列 提醒：求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí),活學(xué)活用1 (2015·濟(jì)南調(diào)研)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和 (1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).,考向二 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 例2 (2013·天津高考)一個(gè)盒子里裝有7張卡片， 其中有紅色卡片4張， 編號(hào)分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張， 編號(hào)分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片 (假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同) (1) 求取出的4張卡片中， 含有編號(hào)為3的卡片的概率. (2) 在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X, 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望,所以隨機(jī)變量X的分布列是,拓展提高 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法 (1)理解的意義，寫出可能取的全部值； (2)求取每個(gè)值的概率； (3)寫出的分布列； (4)由均值的定義求E； (5)由方差的定義求D.,活學(xué)活用2 (2015·溫州市調(diào)研)從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則試驗(yàn)結(jié)束 (1)求第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率； (2)記試驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).,考向三 超幾何分布 例3 近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院的50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：,下面的臨界值表供參考：,思路點(diǎn)撥 (1)先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù)，從而得出表格中的各個(gè)數(shù)據(jù)；(2)利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2，然后利用臨界值表進(jìn)行判斷；(3)先確定的取值，利用超幾何分布的概率公式求其每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，最后代入期望與方差的計(jì)算公式求解,解 (1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下,拓展提高 (1)超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn) 超幾何分布是不放回抽樣問題 隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù) (2)超幾何分布的應(yīng)用 超幾何分布是一個(gè)重要分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型,活學(xué)活用3 某校高一年級(jí)共有學(xué)生320人為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間(指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間)情況，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查根據(jù)問卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，按照以下區(qū)間分為7組：0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70，得到頻率分布直方圖如圖已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間低于20分鐘的有4人,(1)求n的值； (2)若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間少于45分鐘，則學(xué)校需要減少作業(yè)量根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，學(xué)校是否需要減少作業(yè)量？(注：統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表) (3)問卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望,解 (1)由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×(0.020.06)4，解得n50. (2)設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi， 由題圖知p10.02，p20.06，p30.3，p40.4，p50.12，p60.08，p70.02， 則由xi50×pi可得x11，x23，x315，x420，x56，x64，x71. 則高一學(xué)生每天平均自主支配時(shí)間是,規(guī)范答題9 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差 典例 (2013·湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：,這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米 (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； (2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望 滿分展示,【答題模板】 第一步：弄清題目意思，找到內(nèi)部及邊界各個(gè)點(diǎn)； 第二步：計(jì)算出從三角形地塊內(nèi)部及邊界各取一株作物結(jié)果種數(shù)及相近的種數(shù)； 第三步：數(shù)出各點(diǎn)相近點(diǎn)的株數(shù)，分類； 第四步：求每類的概率； 第五步：列出分布列； 第六步：計(jì)算期望,跟蹤訓(xùn)練 (2015·北京東城模擬)為迎接6月6日的“全國(guó)愛眼日”，某高中學(xué)校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)如圖，若視力測(cè)試結(jié)果不低于5.0，則稱為“好視力”.,(1)寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (2)求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“好視力”的概率； (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望,思維升華 【方法與技巧】,1對(duì)于隨機(jī)變量X的研究，需要了解隨機(jī)變量將取哪些值以及取這些值或取某一個(gè)集合內(nèi)的值的概率，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的分布正是指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取這些值的概率 2求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出取各個(gè)值的概率,3求期望與方差基本方法： (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； (2)已知隨機(jī)變量的期望 、方差，求的線性函數(shù)ab的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的期望、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解,【失誤與防范】,1掌握離散型隨機(jī)變量的分布列，須注意：(1)分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率看每一列，實(shí)際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的每完成一列，就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率(2)要會(huì)根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的分布列的正誤,2在沒有準(zhǔn)確判斷概率分布列模型之前不能亂套公式 3對(duì)于應(yīng)用問題，必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的概率分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的期望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差,