高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題五 立體幾何與空間向量 第3講 立體幾何中的向量方法課件 理

第3講立體幾何中的向量方法專題五立體幾何與空間向量 欄目索引 高考真題體驗1 熱點分類突破2 高考押題精練3 1.(2014課標全國)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為() 解析 高考真題體驗 解析方法一由于BCA90，三棱柱為直三棱柱，且BCCACC1.建立如圖(1)所示空間直角坐標系.設(shè)正方體棱長為2，則可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)， 解析 方法二如圖(2)，取BC的中點D，連接MN，ND，AD，則ND與NA所成的角即為異面直線BM與AN所成的角. 2.(2016課標全國乙)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明：平面ABEF平面EFDC；證明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC. 解析答案 (2)求二面角EBCA的余弦值. 解析答案 解過點D作DGEF，垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.建立如圖所示的空間直角坐標系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF， 解析答案 由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角CBEF的平面角，CEF60， 解析答案 考情考向分析 返回 以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，與空間線面關(guān)系的證明相結(jié)合，熱點為二面角的求解，均以解答題的形式進行考查，難度主要體現(xiàn)在建立空間直角坐標系和準確計算上. 熱點一利用向量證明平行與垂直設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)則有：(1)線面平行 laa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直 laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直 vv0a2a3b2b3c2c30.熱點分類突破 例1如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，點M為AB的中點，點O為DF的中點.運用向量方法證明：(1)OM平面BCF； 解析答案 證明方法一由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)正方形邊長為1，則A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(xiàn)(1,0,1)，棱柱ADEBCF是直三棱柱，OM平面BCF. 解析答案 又OM平面BCF，OM平面BCF. (2)平面MDF平面EFCD. 解析答案思維升華 證明方法一設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).同理可得n 2(0,1,1).n1n20，平面MDF平面EFCD.解析答案思維升華 方法二由題意知，BF，BC，BA兩兩垂直，OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD. 思維升華 思維升華用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線ab，只需證明向量ab(R)即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外. 跟蹤演練1如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，點E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB； 解析答案 證明以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，點E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點， 解析答案 即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB. (2)求證：平面PAD平面PDC. 解析答案 又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC. 熱點二利用空間向量求空間角設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線夾角 (2)線面夾角(3)面面夾角設(shè)平面、的夾角為(0)， 例2(2015江蘇)如圖，在四棱錐PABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD ，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值； 解析答案 則各點的坐標為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).因為AD平面PAB，設(shè)平面PCD的法向量為m(x，y，z)， 解析答案 所以m(1,1,1)是平面PCD的一個法向量. (2)點Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長. 解析答案思維升華 設(shè)12t，t1,3，解析答案思維升華 此時直線CQ與DP所成角取得最小值. 思維升華 思維升華(1)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；求出相關(guān)點的坐標；寫出向量坐標；結(jié)合公式進行論證、計算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.(2)求空間角注意：兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos |cos |.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補角.直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化. 解析答案 解以點A為坐標原點O，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz.設(shè)平面A 1BC的法向量為n1(x1，y1，z1)，因為ABAC1，AA12，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1,0,2).解析答案 不妨取z11，則x1y12，從而平面A1BC的一個法向量為n1(2,2,1).設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為， 解析答案 不妨取z21，則x222，y22，所以平面PA1C的法向量為n2(22，2,1). 解析答案 化簡得2890，解得1或9(舍去)，故的值為1. 熱點三利用空間向量求解探索性問題存在探索性問題的基本特征是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立.解決這類問題的基本策略是先假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其中的一部分結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論. 例3如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點.(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值； 解析答案 解由題意，易得DMDA，DMDC，DADC.如圖所示，以點D為坐標原點，DA，DC，DM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.則D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，設(shè)異面直線NE與AM所成角為， (2)在線段AN上是否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由. 解析答案思維升華 解假設(shè)在線段AN上存在點S，使得ES平面AMN，連接AE.由ES平面AMN， 解析答案思維升華 思維升華 思維升華空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷.解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法. 跟蹤演練3如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)設(shè)點M為棱PD的中點，求證：EM平面ABCD； 解析答案 證明由已知，平面ABCD平面ABPE，且BCAB，則BC平面ABPE，所以BA，BP，BC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.易知平面ABCD的一個法向量n(0,1,0)， 解析答案 所以EM平面ABCD. 解析答案返回 證明當(dāng)點N與點D重合時，理由如下：設(shè)平面PCD的法向量為n1(x1，y1，z1)，取y 11，得平面PCD的一個法向量等于n1(0,1,2)，解析答案 解析答案 所以92810， 返回 高考押題精練(1)求證：PQ平面BCE；(2)求二面角ADFE的余弦值.押題依據(jù)利用空間向量求二面角全面考查了空間向量的建系、求法向量、求角等知識，是高考的重點和熱點. 返回解析答案押題依據(jù) (1)證明連接AC，四邊形ABCD是矩形，且Q為BD的中點，點Q為AC的中點，又在AEC中，點P為AE的中點，PQEC，EC面BCE，PQ面BCE，PQ平面BCE.(2)解如圖，取EF的中點M，連接AM，因為由題意知AM2AF2MF2，則AFAM，以點A為坐標原點，以AM，AF，AD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.則A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(xiàn)(0,2,0). 解析答案 設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，令x1，則y1，z2，故n(1,1,2)是平面DEF的一個法向量.由圖可知所求二面角為銳角， 返回