尺規(guī)作圖(初中數(shù)學(xué)中考題匯總

l 選擇題（每小題x分，共y分） （2011?長春）8．如圖，直線l1//l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于B、C兩點，連結(jié)AC、BC．若∠＝54，則∠1的大小為C （Ａ）36． （Ｂ）54． （Ｃ）72． （Ｄ）73． （2011?益陽市）7．如圖2，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是B A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 A C D 圖2 B 圖3 1. （2011浙江紹興，8，4分）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作直線，交于點，連接.若的周長為10，，則的周長為（ ） A.7 B.14 C.17 D.20 【答案】C l 二、填空題（每小題x分，共y分） (第11題) B A M O 〔2011?南京市〕11．如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于___________． （2011?重慶市潼南縣）19.（6分）畫△ABC,使其兩邊為已知線段a、b，夾角為. （要求：用尺規(guī)作圖，寫出已知、求作；保留作圖痕跡；不在已知的線、角上作圖；不 寫作法）. 已知： 求作： 19. 已知：線段a、b 、角 -------------1分 求作：△ABC使邊BC=a，AC= b，∠C= ------------2分 畫圖（保留作圖痕跡圖略） --------------6分 （2011?佛山）22、如圖，一張紙上有線段； （1）請用尺規(guī)作圖，作出線段的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （2）若不用尺規(guī)作圖，你還有其它作法嗎？請說明作法（不作圖）； （2011?宿遷市）28．（本題滿分12分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝1，BC＝，以點C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E． ?。?）求AE的長度； （2）分別以點A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點F（F與C在AB兩側(cè)），連接AF、EF，設(shè)EF交弧DE所在的圓于點G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說明理由． （第28題） 解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝ ∵BC＝CD，AE＝AD ∴AE＝AC－AD＝． （2）∠EAG＝36，理由如下： ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝ ∴＝ ∴△FAE是黃金三角形 ∴∠F＝36，∠AEF＝72 ∵AE＝AG，F(xiàn)A＝FE ∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA ∴∠EAG＝∠F＝36． 1. （2011江蘇揚州，26,10分）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D。 （1）以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB=6，BD=, 求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積。（結(jié)果保留根號和） 【答案】（1）如圖，作AD的垂直平分線交AB于點O，O為圓心，OA為半徑作圓。 判斷結(jié)果：BC是⊙O的切線。連結(jié)OD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB ∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB ∴∠DAC=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C ∵∠C=90 ∴∠ODB=90 即：OD⊥BC ∵OD是⊙O的半徑 ∴ BC是⊙O的切線。 (2) 如圖，連結(jié)DE。 設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=6-r， 在Rt△ODB中，∠ODB=90， ∴ 0B2=OD2+BD2 即：(6-r)2= r2+()2 ∴r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30，∠DOB=60 ∵△ODB的面積為，扇形ODE的面積為 ∴陰影部分的面積為—。 2. （2011山東濱州，23，9分）根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時才能完成以上作圖？并舉例驗證猜想所得結(jié)論。 （1）如圖①△ABC中，∠C=90，∠A=24 （第23題圖①） ①作圖： ②猜想： ③驗證： （2）如圖②△ABC中，∠C=84，∠A=24. （第23題圖②） ①作圖： ②猜想： ③驗證： 【答案】 (1)①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)兩類方法均可， 在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求………………2分 ②猜想：∠A+∠B=90，………………4分 ③驗證：如在△ABC中，∠A=30，∠B=60時，有∠A+∠B=90，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線?！?分 （2）答：①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作∠ACD=∠A或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可。 在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求………………6分 ②猜想：∠B=3∠A………………8分 ③驗證：如在△ABC中，∠A=32，∠B=96，有∠B=3∠A，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線。………………9分 3. （2011山東威海，20，8分）我們學(xué)習(xí)過：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿著某一個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫旋轉(zhuǎn)中心． （1）如圖①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通過一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請用直尺和圓規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡要說明理由．圖① （2）如圖②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通過一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請用直尺和圓規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡要說明理由． （保留必要的作圖痕跡） 圖① 圖② 【答案】 解：（1）能，點就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心． 圖① 圖② （1）能，點就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心． 4. （2011浙江杭州，18，6）四條線段a，b，c，d如圖，a：b：c：d＝1：2：3：4． (1)選擇其中的三條線段為邊作一個三角形(尺規(guī)作圖，要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)； (2)任取三條線段，求以它們?yōu)檫吥茏鞒鋈切蔚母怕剩? 【答案】(1)只能取b,c,d三條線段，作圖略 (2) 四條線段中任取三條共有四種等可性結(jié)果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能組成三角形的只有（b，c，d），所以以它們?yōu)檫吥茏鞒鋈切蔚母怕适牵? 5. （2011四川重慶，20，6分）為進一步打造“宜居重慶”，某區(qū)擬在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個入口A、B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A、B、C的位置如圖所示．請在答題卷的原圖上利用尺規(guī)作出音樂噴泉M、位置．(要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖) 【答案】 6. （2011甘肅蘭州，25，9分）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點A、B、C。 （1）請完成如下操作： ①以點O為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；②用直尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連結(jié)AD、CD。 （2）請在（1）的基礎(chǔ)上，完成下列問題： ①寫出點的坐標(biāo)：C 、D ； ②⊙D的半徑= （結(jié)果保留根號）； ③若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面面積為 （結(jié)果保留π）； ④若E（7，0），試判斷直線EC與⊙D的位置關(guān)系并說明你的理由。 A B C O 【答案】（1） A B C O x y D E （2） ① C（6，2），D（2，0） ② ③ ④相切。 理由：∵CD=，CE=，DE=5 ∴CD2+CE2=25=DE2 ∴∠DCE=90即CE⊥CD ∴CE與⊙D相切。 7. （ 2011重慶江津， 23，10分）A、B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁,以公路所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,且點A的坐標(biāo)是(2,2),點B的坐標(biāo)是(7,3). (1)一輛汽車由西向行駛,在行駛過程中是否存在一點C,使C點到A、B兩校的距離相等,如果有?請用尺規(guī)作圖找出該點,保留作圖痕跡,不求該點坐標(biāo). (2)若在公路邊建一游樂場P,使游樂場到兩校距離之各最小,通過作圖在圖中找出建游樂場的位置,并求出它的坐標(biāo). .A(2, 2) .B(7, 3) y O x 第23題圖 【答案】(1)存在滿足條件的點C: 作出圖形，如圖所示，作圖略； （2）作出點A關(guān)于x軸的對稱點A/(2,-2), 連接A/B，與x軸的交點即為所求的點P. 設(shè)A/B所在的直線的解析式為： y=kx+b, 把A/(2,-2), B(7,3)分別代入得： 解得： 所以： y=x-4 當(dāng)y=0時，x=4,所以交點P為（4，0） 13．（2011珠海）（本題滿分6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90． （1）求作：△ABC的一條中位線，與AB交于D點，與BC交于E點．（保留作圖痕跡，不寫作法） C B A （2）若AC＝6，AB＝10，連結(jié)CD，則DE＝_ ▲ ，CD＝_ ▲ ． 【答案】（1）作出BC的垂直平分線 ……………………3分 答：線段DE即為所求 ……………………4分 （2）3，5 ……………………6分 8. (2011重慶綦江，19，6分)為了推進農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革,準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個醫(yī)療點P，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會所在地的距離都相等(A、B、C不在同一直線上，地理位置如下圖），請你用尺規(guī)作圖的方法確定點P的位置. 要求: 寫出已知、求作；不寫作法，保留作圖痕跡． 解：已知： 求作： 【答案】：解：已知：A、B、C三點不在同一直線上. 求作：一點P，使PA＝PB＝PC. (或經(jīng)過A、B、C三點的外接圓圓心P) 正確作出任意兩條線段的垂直平分線，并標(biāo)出交點P 24、（2011?畢節(jié)地區(qū)）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如圖所示），∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE． （1）在下圖中，用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE（保留作圖痕跡不寫作法），并證明四邊形ABED是菱形． （2）若∠ABC=60，EC=2BE．求證：ED⊥DC． 考點：梯形；菱形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖。 專題：作圖題；證明題。 分析：（1）根據(jù)尺規(guī)作圖：角的平分線的基本做法，可得到∠BAD的平分線AE；利用菱形的判定定理，即可證得； （2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC； 解答：證明：（1）梯形ABCD中，AD∥BC， ∴四邊形ABED是平行四邊形， 又AB=AD， ∴四邊形ABED是菱形； （2）∵四邊形ABED是菱形，∠ABC=60， ∴∠DEC=60，AB=ED， 又EC=2BE， ∴EC=2DE， ∴△DEC是直角三角形， ∴ED⊥DC． 點評：本題考查了尺規(guī)作圖及菱形、直角三角形的性質(zhì)及判定，綜合性較強，鍛煉了學(xué)生的動手、動腦的能力． 22．（2011來賓）（本題滿分8分） 如圖，在△ABC中，∠ABC＝80，∠BAC＝40，AB的垂直平分線分別與AC、AB交于點D、E． （1）用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連結(jié)BD； （2）證明：△ABC∽△BDC． B A C (第22題圖) 【答案】（1）略 （2）證明:∵DE是AB的垂直平分線 ∴BD＝AD ∴∠ABD＝∠A＝40 ∴∠DBC＝∠ABC＝80 ∵∠C＝∠C ∴△ABC∽△BDC (2011●河北省)23．（本小題滿分9分） 如圖12，四邊形ABCD是正方形，點E，K分別在BC，AB上，點G在BA的延長線上，且CE=BK=AG. A B C D E K G 圖11 ⑴求證：①DE=DG； ②DE⊥DG； ⑵尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； ⑶連接⑵中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想； ⑷當(dāng)時，衣直接寫出的值. 25．（2011欽州）（本題滿分9分） 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D． 銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點E． （1）求證：AC平分∠DAB； （2）過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； D A B C O (第25題圖) （3）若CD＝4，AC＝4，求垂線段OE的長． 【答案】解：(1)連接OC ∵CD切⊙O于點C， ∴OC⊥CD 又∵AD⊥CD ∴OC∥AD ∴∠OCA＝∠DAC ∵OC＝OA ∴∠OCA＝∠OAC ∴∠OAC＝∠DAC ∴AC平分∠DAB ………………3分 （2）解：點O作線段AC的垂線OE如圖所示 （3）解：在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝4， ∴AD＝＝＝8 ………………6分 ∵OE⊥AC ∴AE＝AC＝2 ………………7分 ∵∠OAE＝∠CAD ∠AEO＝∠ADC ∴△AEO∽△ADC ∴＝ ………………8分 ∴OE＝CD＝4＝ 即垂線段OE的長為 ………………9分