隨機(jī)變量及其概率分布

第 二 章 本 章 用 定 量 的 方 法 ， 從 整 體 上 來(lái) 研 究隨 機(jī) 現(xiàn) 象 。 隨 機(jī) 變 量及 其 分 布 1 隨 機(jī) 變 量 及 其 概 率 分 布 在 實(shí) 際 問(wèn) 題 中 ， 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 可 以 用 數(shù) 量 來(lái) 表示 ， 由 此 就 產(chǎn) 生 了 隨 機(jī) 變 量 的 概 念 .1、 有 些 試 驗(yàn) 結(jié) 果 本 身 與 數(shù) 值 有 關(guān) (本 身 就 是 一 個(gè) 數(shù) ).例 如 ， 擲 一 顆 色 子 面 上 出 現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù) ；八 月 份 杭 州 的最 高 溫 度 ； 每 天 從 杭 州 下 火 車 的 人 數(shù) ；昆 蟲 的 產(chǎn) 卵 數(shù) ； 一 、 隨 機(jī) 變 量 的 概 念 和 例 2、 在 有 些 試 驗(yàn) 中 ， 試 驗(yàn) 結(jié) 果 看 來(lái) 與 數(shù) 值 無(wú) 關(guān) ， 但 我們 可 以 引 進(jìn) 一 個(gè) 變 量 來(lái) 表 示 它 的 各 種 結(jié) 果 .也 就 是 說(shuō) ，把 試 驗(yàn) 結(jié) 果 數(shù) 值 化 . 例 1 拋 一 枚 硬 幣 ， 觀 察 正 反 面 的 出 現(xiàn) 情 況 .我 們 引 入 記 號(hào) ： ，若若 THXX ,0 ,1)(顯 然 ， 該 試 驗(yàn) 有 兩 個(gè) 可 能 的 結(jié) 果 ： TH ,于 是 我 們 就 可 以 用 1 X 表 示 出 現(xiàn) 的 是 正 面 ，而 用 0 X 表 示 出 現(xiàn) 的 是 反 面 。X就 是 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 。 定 義 設(shè) 隨 機(jī) 試 驗(yàn) E的 樣 本 空 間 是 ， 若 對(duì) 于 每一 個(gè) e , 有 一 個(gè) 實(shí) 數(shù) X(e)與 之 對(duì) 應(yīng) , 即 X=X()是定 義 在 上 的 單 值 實(shí) 函 數(shù) ， 稱 它 為 隨 機(jī) 變 量(random variable, 簡(jiǎn) 記 為 r.v.)。 X() R 這 種 實(shí) 值 函 數(shù) 與 在 高 等 數(shù) 學(xué) 中 大 家 接 觸 到 的函 數(shù) 一 樣 嗎 ？. （ 1） 它 隨 試 驗(yàn) 結(jié) 果 的 不 同 而 取 不 同 的 值 ， 因 而在 試 驗(yàn) 之 前 只 知 道 它 可 能 取 值 的 范 圍 ， 而 不 能預(yù) 先 肯 定 它 將 取 哪 個(gè) 值 .（ 2） 由 于 試 驗(yàn) 結(jié) 果 的 出 現(xiàn) 具 有 一 定 的 概 率 ， 于是 這 種 實(shí) 值 函 數(shù) 取 每 個(gè) 值 和 每 個(gè) 確 定 范 圍 內(nèi) 的值 也 有 一 定 的 概 率 . 隨 機(jī) 變 量 通 常 用 大 寫 字 母 X,Y,Z或 希 臘 字 母 等 表 示 . ， 隨 機(jī) 事 件 是 從 靜 態(tài) 的 觀 點(diǎn) 來(lái) 研 究 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 ， 而隨 機(jī) 變 量 則 是 一 種 動(dòng) 態(tài) 的 觀 點(diǎn) . 隨 機(jī) 變 量 概 念 的 產(chǎn) 生 是 概 率 論 發(fā) 展 史 上 的 重 大事 件 . 引 入 隨 機(jī) 變 量 后 ， 對(duì) 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 的 研究 ， 就 由 對(duì) 事 件 及 事 件 概 率 的 研 究 擴(kuò) 大 為 對(duì) 隨 機(jī) 變量 及 其 取 值 規(guī) 律 的 研 究 ， 并 可 以 用 數(shù) 學(xué) 分 析 的 方 法對(duì) 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 進(jìn) 行 廣 泛 深 入 的 研 究 和 討 論 。分 類 ：實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量有兩大類型連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量離 散 型 隨 機(jī) 變 量 如 果 隨 機(jī) 變 量 X只 取 有 限 或 可 列 無(wú) 窮 多 個(gè) 值 ，二 、 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 分 布則 稱 X為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 .對(duì) 于 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 關(guān) 鍵 是 要 確 定 ：1） 所 有 可 能 的 取 值 是 什 么 ？2） 取 每 個(gè) 可 能 值 的 概 率 是 多 少 ？ 設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X的 可 能 取 值 為 , 21 xx ， 而 ,P kk pxX ,2,1k稱 之 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 分 布 或 分 布 律 。 或 寫 成 如 下 的 表 格 形 式 ： ,P kk pxX ,2,1kXP 1x 2x kx 1p 2p kp 顯 然 ， 其 中 ip 必 須 滿 足 以 下 兩 個(gè) 條 件 ： (1) 非 負(fù) 性 0ip ； (2) 規(guī) 范 性 i ip 1。 袋 中 有 2只 藍(lán) 球 3只 紅 球 ， 非 還 原 抽 取 3只 ，記 X為 抽 得 的 藍(lán) 球 數(shù) ， 求 X的 分 布 律 。X可 能 取 的 值 是 0,1,2，0P X例 1解 3533CC ,1011P X 35 2312CCC ,106 2P X 35 1322CCC .103所 以 X的 分 布 律 為 XP 0 1 2101 106 103 或 表 示 為 ,CCCP 35332 kkkX .2,1,0k 設(shè) 一 汽 車 在 開 往 目 的 地 的 路 上 需 經(jīng) 過(guò) 三 組 信 號(hào)燈 ， 每 組 信 號(hào) 燈 以 0.5的 概 率 允 許 或 禁 止 汽 車 通 過(guò) 。以 X表 示 該 汽 車 首 次 遇 到 紅 燈 前 已 通 過(guò) 的 路 口 的 個(gè)數(shù) (設(shè) 各 盞 信 號(hào) 燈 的 工 作 是 相 互 獨(dú) 立 的 )， 求 X的 概 率分 布 .依 題 意 , X可 取 值 0, 1, 2, 3.設(shè) Ai=第 i個(gè) 路 口 遇 紅 燈 , i=1,2,3路 口 3路 口 2路 口 1例 2解 0P X )(P 1A .21 路 口 3路 口 2路 口 1 路 口 3路 口 2路 口 1 1P X )(P 21AA .412P X )(P 321 AAA .81 路 口 3路 口 2路 口 1不 難 看 出 .1)(P 30 i iX 3P X )P( 321 AAA .81所 以 X的 分 布 列 為 XP 0 1 221 41 81 381 在 下 列 情 形 下 ， 求 其 中 的 未 知 常 數(shù) a， 已 知 隨 機(jī)變 量 的 概 率 分 布 為 ： 例 3解 ;),2,1()1(P )1( nknn akkX .)1,0( P )2( 1 kakx k(1) 由 規(guī) 范 性 , nk kX1 P1 nk knn a 1)1(, 22 )1()1( annnn a . 2 a所 以(2) 1P0P1 XX 2 15a ，2aa )2 15( 舍 去a 三 、 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為 了 對(duì) 各 類 隨 機(jī) 變 量 作 統(tǒng) 一 研 究 ， 下 面 給 出既 適 合 于 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 又 適 合 于 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變量 的 概 念 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 。 定 義 設(shè) X為 隨 機(jī) 變 量 ， 稱 實(shí) 函 數(shù) RxxXxF ,P)(為 X的 分 布 函 數(shù) 。 有對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù) ,)(, baba P bXa )()( aFbF PP aXbX xa xb 分 布 函 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) ： RxxF ,1)(0)1( ；是 單 調(diào) 不 減 函 數(shù))()2( xF ；1)(,0)()3( FF (4) )(xF 是 右 連 續(xù) 的 ： )()(lim 00 xFxFxx . 設(shè) X為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ， 分 布 律 為 ,2,1,P kpxX kk RxxXxF ,P)( xx kk pxXxF P)( 則 例 4解 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 律 為 : XP 0 13/1 26/1 2/1求 X的 分 布 函 數(shù) F(x).,0時(shí)當(dāng) x ,10 時(shí)當(dāng) x ;0P)( xXxF,21 時(shí)當(dāng) x P)( xXxF ；310P X ,2時(shí)當(dāng) x ；2161311P0P)( XXxF .12P1P0P)( XXXxF 故下 面 我 們 從 圖 形 上 來(lái) 看 一 下 . 2,1 21,2/1 10,3/1 0,0)( x xxxxF ,0時(shí)當(dāng) x ,10 時(shí)當(dāng) x;0)( xF,21 時(shí)當(dāng) x ；31)( xF,2時(shí)當(dāng) x ；21)( xF .1)( xF 2,1 21,2/1 10,3/1 0,0)( x xxxxF2161分 布 函 數(shù) 的 圖 形 31 10 x1 )(xF 2一 般 ， 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 呈 階 梯 形 . 四 、 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 定 義 如 果 對(duì) 于 隨 機(jī) 變 量 X的 分 布 函 數(shù) 為 )(xF ， 存 在 非 負(fù) 可 積 函 數(shù) )(xf ， 使 對(duì) 任 意 Rx ， 有 ， x ttfxF d)()(則 稱 X為 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 其 中 f(x)稱 為 X的 概 率 密度 函 數(shù) ， 簡(jiǎn) 稱 概 率 密 度 。 由 定 義 ， 根 據(jù) 高 等 數(shù) 學(xué) 變 限 積 分 的 知 識(shí) 知 ， 連續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 是 連 續(xù) 函 數(shù) 。 概 率 密 度 函 數(shù) f(x)的 基 本 性 質(zhì) ： (1) 非 負(fù) 性 ： 0)( xf ， Rx . (2) 規(guī) 范 性 ： .1d)( xxf ， x ttfxF d)()( 這 兩 條 性 質(zhì) 是 判定 一 個(gè) 函 數(shù) f(x)是 否 為 某 隨 機(jī) 變量 的 概 率 密 度 的充 要 條 件 .1 0 x)(xf 概 率 密 度 函 數(shù) f(x)的 其 它 性 質(zhì) ： ， x ttfxF d)()( (3) 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù) ba ,有 .d)(P ba xxfbXa )()( aFbF (4) 若 )(xf 連 續(xù) ,則 有 )()( xFxf . 密 度 函 數(shù) )(xf 與 分 布 函 數(shù) )(xF 的 關(guān) 系 ： ， x ttfxF d)()( .)()( xFxf (1) 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 取 任 何 一 個(gè) 指 定 值 的 概 率 為 0.即 , 對(duì) 于 任 意 常 數(shù) c, 有 .0P cX(2) 若 X是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ,則說(shuō) 明 ：而 X=c 并 非 不 可 能 事 件 ,稱 A為 幾 乎 不 可 能 事 件 ， B為 幾 乎 必 然 事 件 .可 見 ， 由 P(A)=0, 不 能 推 出 ；A由 P(B)=1, 不 能 推 出 .B PP bXabXa .PP bXabXa 例 5解 已 知 隨 機(jī) 變 量 X的 概 率 密 度 函 數(shù) 為 其 它 ,0 10 ,)( xxAxf確 定 系 數(shù) A， 并 求 X的 概 率 分 布 函 數(shù) F(x). 10 dd)( xxAxxf ，12 A .21A;0d)()(,0 x ttfxFx 時(shí)當(dāng) ， x ttfxF d)()(ttxFx x d21)(,10 0 時(shí)當(dāng) ；x .1d21)(,1 10 ttxFx 時(shí)當(dāng) .11 10 00)( x xx xxF 0 x)(xF1 例 6 三 個(gè) 同 一 種 電 氣 元 件 串 聯(lián) 在 一 個(gè) 電 路 中 ， 元 件的 壽 命 是 隨 機(jī) 變 量 (小 時(shí) )， 假 設(shè) 其 概 率 密 度 為 ， 若 ， 若 100 0 100100)( 2 xxxxf且 三 個(gè) 元 件 的 工 作 狀 態(tài) 相 互 獨(dú) 立 試 求 ， (1) 該 電 路 在 使 用 了 150小 時(shí) 后 ， 三 個(gè) 元 件 仍 都 能 正常 工 作 的 概 率 ； (2) 該 電 路 在 使 用 了 300小 時(shí) 后 ， 至 少 有 一 個(gè) 元 件 損壞 的 概 率 解 ， 若 ， 若 100 0 100100)( 2 xxxxf(1) 設(shè) kX 為 第 k個(gè) 元 件 的 壽 命 ， 則 150 kk XA (1) 該 電 路 在 使 用 了 150小 時(shí) 后 ， 三 個(gè) 元 件 仍 都 能 正常 工 作 的 概 率 ； 表 示 “ 在 使 用 了 150個(gè) 小 時(shí) 后 ， 第 k個(gè) 元 件仍 然 能 正 常 工 作 ” ： )3,2,1( k 150P)(P kk XA 150 2d100 xx 32)(P 321 AAA 278)(P 1 3A 解 ， 若 ， 若 100 0 100100)( 2 xxxxf(2) 該 電 路 在 使 用 了 300小 時(shí) 后 ， 至 少 有 一 個(gè) 元 件 損壞 的 概 率 (2) 設(shè) )3,2,1( 300 kXB kk 表 示 第 k 個(gè) 元 件 的 壽 命 小 于 300小 時(shí) ， 則 300P)(P ii XB 300100 2d100 xx)( 321 BBBP ,32 )()()(1 321 BPBPBP 27263)321(1 練 習(xí) ：P67 習(xí) 題 二