盧正新《隨機過程》第二章泊松過程

1 第 二 章 泊 松 過 程v泊 松 過 程 定 義v泊 松 過 程 的 數(shù) 字 特 征v時 間 間 隔 分 布 、 等 待 時 間 分 布 及 到 達 時 間 的條 件 分 布v復(fù) 合 泊 松 過 程v非 齊 次 泊 松 過 程v更 新 過 程 2 計 數(shù) 過 程 ：稱 隨 機 過 程 N(t),t0為 計 數(shù) 過 程 ， 若 N(t)表 示 到 時 刻 t為 止 已 發(fā) 生 的 “ 事件 A”的 總 數(shù) ， 且 N(t)滿 足 下 列 條 件 ：1. N(t) 0;2. N(t)取 正 整 數(shù) 值 ；3. 若 st， 則 N(s) N(t)；4. 當(dāng) s0） ， 事 件 A發(fā) 生 的 次 數(shù) N(t+s)-N(t)僅 與 時間 差 s有 關(guān) ， 而 與 t無 關(guān) 。 3 泊 松 過 程 定 義 1：稱 計 數(shù) 過 程 X(t),t0為 具 有 參 數(shù) 0的 泊 松 過 程 ， 若 它 滿 足 下 列 條 件 ：1、 X(0)=0；2、 X(t)是 獨 立 增 量 過 程 ；3、 在 任 一 長 度 為 t的 區(qū) 間 中 ， 事 件 A發(fā) 生 的 次 數(shù) 服 從 參 數(shù) 0的 泊 松 分 布 ，即 對 任 意 s,t0， 有 ,1,0,!)()()( nntensXstXP nt 泊 松 過 程 同 時 也 是 平 穩(wěn) 增 量 過 程 t tXE )( 表 示 單 位 時 間 內(nèi) 事 件 A發(fā) 生 的 平 均 個 數(shù) ， 故 稱 為 過 程 的 速 率 或強 度 4 泊 松 過 程 定 義 2：稱 計 數(shù) 過 程 X(t),t0為 具 有 參 數(shù) 0的 泊 松 過 程 ， 若 它 滿 足 下 列 條 件 ：1. X(0)=0；2. X(t)是 獨 立 、 平 穩(wěn) 增 量 過 程 ；3. X(t)滿 足 下 列 兩 式 ： )(2)()( )(1)()( hotXhtXP hohtXhtXP 例 如 ：電 話 交 換 機 在 一 段 時 間 內(nèi) 接 到 的 呼 叫 次 數(shù) ；火 車 站 某 段 時 間 內(nèi) 購 買 車 票 的 旅 客 數(shù) ；機 器 在 一 段 時 間 內(nèi) 發(fā) 生 故 障 的 次 數(shù) ； 保 險 的 理 賠 5 定 理 ：定 義 1和 定 義 2是 等 價 的 。例 子 ： 設(shè) 交 換 機 每 分 鐘 接 到 電 話 的 次 數(shù) X(t)是 強 度 為 的 泊 松 過程 。 求(1) 兩 分 鐘 內(nèi) 接 到 3次 呼 叫 的 概 率 。(2) 第 二 分 鐘 內(nèi) 接 到 第 3次 呼 叫 的 概 率 。 6 泊 松 過 程 的 數(shù) 字 特 征設(shè) X(t),t0是 泊 松 過 程 ， 對 任 意 的 t,s 0, )， 且 ss1+s2|Ss1。即 假 定 最 近 一 次 事 件 A發(fā) 生 的 時 間 在 s1時 刻 ， 下 一 次 事 件 A發(fā) 生 的時 間 至 少 在 將 來 s2時 刻 的 概 率 。 9 時 間 間 隔 的 分 布 設(shè) N(t),t0是 泊 松 過 程 ， 令 N(t)表 示 t時 刻 事 件 A發(fā) 生 的 次 數(shù) ， Tn表 示從 第 （ n-1） 次 事 件 A發(fā) 生 到 第 n次 事 件 A發(fā) 生 的 時 間 間 隔 。 10 定 理 ：設(shè) X(t),t0為 具 有 參 數(shù) 的 泊 松 過 程 ， Tn,n1是 對 應(yīng) 的 時 間 間 隔 序 列 ，則 隨 機 變 量 Tn是 獨 立 同 分 布 的 均 值 為 1/的 指 數(shù) 分 布 。對 于 任 意 n=1,2, 事 件 A相 繼 到 達 的 時 間 間 隔 Tn的 分 布 為 0,0 0,1)( ttetTPtF tnT n 概 率 密 度 為 0,0 0,)( ttetf tT n 11 等 待 時 間 的 分 布等 待 時 間 W n是 指 第 n次 事 件 A到 達 的 時 間 分 布 ni in TW 1因 此 Wn是 n個 相 互 獨 立 的 指 數(shù) 分 布 隨 機 變 量 之 和 。 12 定 理 ：設(shè) Wn,n1是 與 泊 松 過 程 X(t),t0對 應(yīng) 的 一 個 等 待 時 間 序 列 ， 則Wn服 從 參 數(shù) 為 n與 的 分 布 ， 其 概 率 密 度 為 0,0 0,)1( )()( 1 ttntetf ntWn 例 ： 已 知 儀 器 在 0， t內(nèi) 發(fā) 生 振 動 的 次 數(shù) X(t)是 具 有 參 數(shù) 的 泊 松過 程 ， 若 儀 器 振 動 k（ k=1） 次 就 會 出 現(xiàn) 故 障 ， 求 儀 器 在 時 刻 t 0正常 工 作 的 概 率 。 13 到 達 時 間 的 條 件 分 布假 設(shè) 在 0,t內(nèi) 時 間 A已 經(jīng) 發(fā) 生 一 次 ， 我 們 要 確 定 這 一 事 件 到 達 時 間 W1的分 布 。 泊 松 過 程 平 穩(wěn) 獨 立 增 量 過 程可 以 認 為 0,t內(nèi) 長 度 相 等 的 區(qū) 間 包 含 這 個 事 件 的 概 率 應(yīng) 該 相 等 ， 或 者說 ， 這 個 事 件 的 到 達 時 間 應(yīng) 在 0,t上 服 從 均 勻 分 布 。 對 于 st有?1)(| 1 tXsWP分 布 函 數(shù) ts tsts ssF tXW ,1 0, 0,0)(1)(|1分 布 密 度 其 它,0 0,1)(1)(| 1 tstsf tXW 14 定 理 ：設(shè) X(t),t0是 泊 松 過 程 ， 已 知 在 0,t內(nèi) 事 件 A發(fā) 生 n次 ， 則 這 n次 到 達 時 間W1W2, Wn與 相 應(yīng) 于 n個 0,t上 均 勻 分 布 的 獨 立 隨 機 變 量 的 順 序 統(tǒng) 計量 有 相 同 的 分 布 。例 題設(shè) 在 0,t內(nèi) 事 件 A已 經(jīng) 發(fā) 生 n次 ， 且 0st， 對 于 0kn， 求PX(s)=k|X(t)=n例 題設(shè) 在 0,t內(nèi) 事 件 A已 經(jīng) 發(fā) 生 n次 ， 求 第 k(kn)次 事 件 A發(fā) 生 的 時 間 W k的 條件 概 率 密 度 函 數(shù) 。 1、 設(shè) X(t),t0是 泊 松 過 程 ， 在 給 定 0,t內(nèi) 事 件 A發(fā) 生 n次 的 條 件 下 ， 這 n次 到 達 時 間 W1， W2, ， Wn ， 每 一 個 都 是 U0,t的 一 個 樣 本 ， 且 相 互 獨立 。2、 若 不 考 慮 其 大 小 順 序 ， 其 分 布 就 如 n個 獨 立 的 均 勻 隨 機 變 量 U0,t， 如到 達 時 間 的 條 件 分 布 的 說 明1 1 , 0, n nn i i ii iS W U U U t 3、 如 果 我 們 有 一 組 n個 獨 立 均 勻 分 布 U0,t隨 機 變 量 的 觀 測 值 ， 將 其 按 大小 排 列 ， 則 可 以 將 其 視 為 給 定 X(t)=n的 齊 次 泊 松 過 程 的 n個 到 達 點 ， 是 一種 產(chǎn) 生 齊 次 泊 松 過 程 的 方 法 16 例 題設(shè) X1 (t),t 0和 X2 (t),t 0是 兩 個 相 互 獨 立 的 泊 松 過 程 ， 它 們 在 單 位 時 間內(nèi) 平 均 出 現(xiàn) 的 事 件 數(shù) 分 別 為 1和 2， 記 為 過 程 X1(t)的 第 k次 事 件 到 達 時間 ， 為 過 程 X2(t)的 第 1次 事 件 到 達 時 間 ， 求例 題有 線 電 視 公 司 從 客 戶 簽 約 時 刻 起 開 始 收 費 ， 每 單 位 時 間 收 費 1元 ， 設(shè) 簽 約客 戶 為 參 數(shù) 為 的 泊 松 過 程 ， 求 公 司 在 (0， t時 間 段 內(nèi) 的 平 均 總 收 入 。(1)kW(2)1W (1) (2)1( )kP W W 17 非 齊 次 泊 松 過 程允 許 時 刻 t的 來 到 強 度 是 t的 函 數(shù)定 義 ：稱 計 數(shù) 過 程 X(t),t0為 具 有 跳 躍 強 度 函 數(shù) (t)的 非 齊 次 泊 松 過 程 ， 若它 滿 足 下 列 條 件 ：1. X(0)=0；2. X(t)是 獨 立 增 量 過 程 ；3. )(2)()( )()(1)()( hotXhtXP hohttXhtXP 非 齊 次 泊 松 過 程 的 均 值 函 數(shù) （ 積 分 強 度 函 數(shù) ） 為 tX dsstm 0 )()( 18 定 理 ：設(shè) X(t),t0為 具 有 均 值 函 數(shù) 非 齊 次 泊 松 過 程 ，則 有 tX dsstm 0 )()( 0),()(exp! )()( )()( ntmstmn tmstm ntXstXP XXnXX或 ),(exp!)()( tmntmntXP XnX 19 01 2 111 ( ), 0 ( ) ( ) ( )= ( )! , 0 ,( )( , , | ( ) ) 0 tnn i ninX t t m t t dt X t nn W W Wtn t t tm tf t t X t n 設(shè) 為 非 其 次 泊 松 過 程 ， 均 值 函 數(shù) 為 ， 則 在的 條 件 下 ， 次 事 件 到 達 時 間 的 條 件 概 率 密 度 為 ：， 其 他到 達 時 間 的 條 件 分 布 ( )= ( ) ,( )( ) X t n n nXm x x tm tF x x t 說 明 在 的 條 件 下 ， 次 事 件 到 達 時 間 的 分 布 是 個 獨 立 同 分 布 樣本 的 順 序 統(tǒng) 計 量 ， 其 母 體 的 分 布 函 數(shù) 為 ：1， 20 例 題設(shè) X(t),t0是 具 有 跳 躍 強 度 的 非 齊 次 泊松 過 程 （ 0） ， 求 EX(t)和 DX(t)。 )cos1(21)( tt 例 題設(shè) 某 路 公 共 汽 車 從 早 上 5時 到 晚 上 9時 有 車 發(fā) 出 ， 乘 客 流 量 如 下 ： 5時按 平 均 乘 客 為 200人 /時 計 算 ； 5時 至 8時 乘 客 平 均 到 達 率 按 線 性 增 加 ，8時 到 達 率 為 1400人 /時 ； 8時 至 18時 保 持 平 均 到 達 率 不 變 ； 18時 到21時 從 到 達 率 1400人 /時 按 線 性 下 降 ， 到 21時 為 200人 /時 。 假 定 乘 客數(shù) 在 不 相 重 疊 時 間 間 隔 內(nèi) 是 相 互 獨 立 的 。 求 12時 至 14時 有 2000人 來站 乘 車 的 概 率 ， 并 求 這 兩 個 小 時 內(nèi) 來 站 乘 車 人 數(shù) 的 數(shù) 學(xué) 期 望 。 21 復(fù) 合 泊 松 過 程定 義 ：設(shè) N(t),t0是 強 度 為 的 泊 松 過 程 ， Yk,k=1,2,是 一 列 獨 立 同 分 布隨 機 變 量 ， 且 與 N(t),t0獨 立 ， 令 0,)( )(1 tYtX tNk k則 稱 X(t),t0為 復(fù) 合 泊 松 過 程 。N(t)Y kX(t) 在 時 間 段 (0,t內(nèi) 來 到 商 店 的 顧 客 數(shù)第 k個 顧 客 在 商 店 所 花 的 錢 數(shù)該 商 店 在 (0,t時 間 段 內(nèi) 的 營 業(yè) 額 22 定 理設(shè) 是 復(fù) 合 泊 松 過 程 ， 則1. X(t), t0是 獨 立 增 量 過 程 ；2. X(t)的 特 征 函 數(shù) ， 其 中 是 隨 機變 量 Y1的 特 征 函 數(shù) ， 是 時 間 的 到 達 率 ；3. 若 E(Y12)， 則 0,)( )( 1 tYtX tNk k 1)(exp)()( ugtug YtX )(ugY )(,)( 211 YtEtXDYtEtXE 1 11( ) (1 ) 1,2,( ) ( ) (1 )!-(1 )- y kn t n k n k knkP Y y ytP X t n e Ck ，可 以 求 得 ：結(jié) 巴 概 率 ： 產(chǎn) 生 另 一 個 需 求下 一 個 需 求 發(fā) 生 的 概 率 （ 經(jīng) 過 一 個 指 數(shù) 時 間 的 逗 留 ）例 題 ： 結(jié) 巴 （ stuttering） 泊 松 過 程對 于 一 個 復(fù) 合 泊 松 過 程 ， 如 果 Yn服 從 幾 何 分 布 ： 24 泊 松 過 程 的 分 解例 題設(shè) 到 達 某 商 場 的 顧 客 組 成 強 度 為 的 泊 松 過 程 ， 每 個 顧 客 購 買 商 品 的 概 率為 p， 且 與 其 他 顧 客 是 否 購 買 商 品 無 關(guān) ， 若 X( t )， t0為 購 買 商 品 的 顧 客數(shù) ， 證 明 X( t )， t0是 強 度 為 p的 泊 松 過 程 。泊 松 過 程 的 分 解 ：強 度 為 的 泊 松 過 程 ， 事 件 A在 時 刻 s到 達 ， 則 此 到 達 可 分 解 成 概 率 為 P(s)的type-1到 達 和 概 率 為 1- P(s) 的 type-2到 達 ， 用 Ni ( t ) ， t0， i=1,2， 表 示type-i在 時 間 (0,t的 達 到 次 數(shù) ， 則 有 1 20 ( ) ( )( ) , ( ) ! !1 ( ) 1 n mpt qtt pt qtP N t n N t m e en mp P s ds q pt 其 中 ， ， 25 泊 松 過 程 的 分 解 可 推 廣 到 n個 類 型 ， 用 Pi(s)表 示 type-i在 時 刻 s達 到 的 概 率 ，定 義 ：則 Ni ( t ) ， t0為 參 數(shù) pi的 泊 松 分 布 ， 且 Ni ( t )相 互 獨 立01 1 ( ) 1,21ti in iip P s ds i ntp 例 ： 某 沙 灘 汽 車 的 到 達 服 從 指 數(shù) 為 的 泊 松 過 程 ， 汽 車 在 沙 灘 的 逗 留 時 間分 布 為 G (s)， 假 定 各 汽 車 逗 留 時 間 之 間 ， 以 及 逗 留 時 間 與 到 達 時 間 之 間 相互 獨 立 ， 用 N 1 ( t ) 表 示 時 刻 t離 開 沙 灘 的 汽 車 數(shù) 量 ， N2 ( t ) 表 示 時 刻 t仍 然在 沙 灘 上 的 汽 車 數(shù) 量 ， 則 N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是 一 個 type-1和 type-2的 分 解 。 26 更 新 過 程 ： 設(shè) N(t),t 0為 計 數(shù) 過 程 ， xn（ n 1） 表 示 第 n-1次 事 件 和 第 n次 事件 的 時 間 間 隔 ， 并 設(shè) x1,x2, 為 獨 立 同 分 布 的 非 負 隨 機 變 量 序 列 ，則 稱 計 數(shù) 過 程 N(t),t0為 更 新 過 程 。 例 ： 某 設(shè) 備 的 壽 命 是 獨 立 同 分 布 的 隨 機 變 量 ， 每 次 只 有 一 臺 設(shè) 備 工 作 ，當(dāng) 設(shè) 備 損 壞 后 立 即 更 換 新 的 設(shè) 備 ， 則 在 時 間 t內(nèi) 損 壞 的 設(shè) 備 數(shù) 就 是 一個 更 新 過 程 。 更 新 過 程 的 參 數(shù) ： N(t)： 0,t內(nèi) 事 件 A發(fā) 生 的 次 數(shù) ； x n： 第 n次 事 件 的 更 新 間 隔 ； Sn=x1+x2+xn： 第 n次 事 件 的 更 新 時 刻 。 27 Sn與 xn的 關(guān) 系 ： x1,x2, xn為 獨 立 同 分 布 的 非 負 隨 機 變 量 序 列 ， 設(shè) 其 概 率 密 度 函 數(shù) 為f(t)， 分 布 函 數(shù) 為 F(t)。 則 根 據(jù) 獨 立 隨 機 變 量 序 列 和 的 性 質(zhì) 知 ， Sn的概 率 密 度 函 數(shù) fn(t)為 f(t)的 n次 卷 積 ， 分 布 函 數(shù) Fn(t)為 F(t)的 n次 卷積 。N(t)與 Sn的 關(guān) 系 ： 注 意 ： Snt N(t) n ， 則 ： PSnt=PN(t) n 若 在 0,t內(nèi) ， 發(fā) 生 了 n次 更 新 ， 即 S nt， Sn+1 t， 則 ： PN(t)=n=PSnt,Sn+1t=PN(t) n-PN(t) n+1 =PSnt-PSn+1t =Fn(t)-Fn+1(t)更 新 過 程 的 均 值 函 數(shù) ： 1( ) ( )nnm t F t 28 更 新 過 程 的 更 新 強 度 (t)： 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nn n nd d dt m t F t F t f tdt dt dt 1 ( )( ) ( ) 1 ( )n ll ln lf ss f s f s ( ) ( ) ( ) ( )l l l lf s s s f s 設(shè) (t)的 拉 氏 變 換 為 l(s) ， f(t)的 拉 氏 變 換 為 fl(s)， 則 根 據(jù) 拉 氏 變 換 性 質(zhì) 知 ：對 上 式 兩 邊 做 拉 氏 變 換 ， 得 ：fn(t)的 拉 氏 變 換 為 fl(s)n 。對 上 式 兩 邊 做 拉 氏 反 變 換 ， 得 ：0( ) ( ) ( ) ( )tf t t t u f u du 29 更 新 過 程 的 更 新 速 率 ：( ) ( ) 1N t N tS t S ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )N t N t N tS S St N tN t N t N t N t N t Sn是 第 n次 更 新 事 件 發(fā) 生 的 時 刻 ；N(t)是 到 時 刻 t， 更 新 事 件 發(fā) 生 的 次 數(shù) ， 則 在 時 刻 t， 有對 上 式 做 一 個 變 換 ， 得 ： ( ) 1lim lim( ) t tt N tN t t 或 N(t)是 一 個 計 數(shù) 過 程 ， 當(dāng) t趨 近 與 無 窮 時 ， N(t)也 趨 于 無 窮 。 N(t)+1/N(t)趨近 于 1， 故 當(dāng) t趨 近 與 無 窮 是 時 ， 上 式 會 趨 近 于 一 個 常 數(shù) 。 令 ：1/稱 為 更 新 過 程 的 速 率 ， 即 單 位 時 間 內(nèi) 的 更 新 次 數(shù) ； 就 是 平 均 的 更 新間 隔 。 30 泊 松 過 程 和 更 新 過 程 ：1nn iiS x n ， 為 泊 松 過 程 的 第 次 更 新 時 刻 ， 其 概 率 密 度 函 數(shù) 為 ：泊 松 過 程 的 事 件 間 隔 x的 分 布 為 負 指 數(shù) 分 布 ：, 0( ) 0, 0te tf t t 1( ) , 0( ) ( 1)0, 0 n tn te tf t nt 31 11( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )! ! !n ni i nt t ti n i nP N t n F t F tt t te e ei i n 則 泊 松 作 為 更 新 過 程 的 分 布 函 數(shù) 為 ：10 ( ) ( )( ) 1 ! !i in t tn i i nt tF t e ei i Sn的 分 布 函 數(shù) 為 ：其 均 值 函 數(shù) 為 ： 1( ) ( )nnm t F t t 其 更 新 強 度 為 ： ( ) ( )dt m tdt 結(jié) 論 ： 泊 松 過 程 是 更 新 強 度 為 常 數(shù) 的 更 新 過 程 。 32 例 2： 某 理 發(fā) 店 只 有 一 個 理 發(fā) 師 ， 顧 客 的 到 達 為 參 數(shù) 為 的 泊 松 過 程 。 顧客 到 達 時 ， 如 果 理 發(fā) 師 空 閑 ， 則 進 入 理 發(fā) 店 理 發(fā) ； 如 果 理 發(fā) 師 忙 ， 則離 去 。 理 發(fā) 師 的 服 務(wù) 時 間 服 從 某 一 分 布 律 ， 均 值 為 g。 求 顧 客 進 入 理發(fā) 店 理 發(fā) 的 速 率 。例 1： 設(shè) 更 新 過 程 N(t)的 更 新 間 隔 服 從 幾 何 分 布 ， 求 N(t)的 分 布 函 數(shù) 。 33 v作 業(yè) 3.1 3.5 3.7