人教A版高中數(shù)學(xué)必修5《正弦定理》說

正 弦 定 理人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（必修五）第一章第一節(jié) 教 法分 析 教 材分 析教 學(xué)程 序?qū)W 法分 析 教 學(xué)反 思說 課 目 錄 板 書設(shè) 計(jì) 三 角 形 是 基 本 的 幾 何 圖 形 之 一 ， 有 著 極 其 廣 泛 的應(yīng) 用 。在 實(shí) 際 問 題 中 ， 經(jīng) 常 遇 到 解 的 問 題 ，因 此 必 須進(jìn) 一 步 學(xué) 習(xí) 任 意 三 角 形 的 邊 角 關(guān) 系 和 解 任 意 三 角 形 的 一 些基 本 方 法 。 本 節(jié) 課 是 在 學(xué) 生 已 經(jīng) 于 初 中 學(xué) 習(xí) 了 直 角 三 角 形 的 邊角關(guān) 系 和 解 直 角 三 角 形 的 基 本 方 法 ， 在 高 中 學(xué) 習(xí) 了 三 角 函 數(shù)和 平 面 向 量 的 基 礎(chǔ) 上 的 深 化 拓 展 。 所 以 在 此 引 入 正 弦 定 理 ， 學(xué) 生 易 于 接 受 。一 .教 材 分 析1 任 意 三 角 形使 得 “ 解 三 角 形 ” 的 學(xué) 習(xí) 變 得 合 情 合 理 層層遞進(jìn)，不斷深化 2一 .教 材 分 析 直角三角形的邊角關(guān)系推廣 （猜想）任意三角形的邊角關(guān)系正弦定理的證明正弦定理可以解決的問題類型 如何量化“大邊對大角，小邊對小角”？ 銳 角 三 角 形 中 正 弦 定 理 的 證 明 ； 正 弦 定 理 的 發(fā) 現(xiàn) 、 證 明 ； 利 用 正 弦 定 理 解 三 角 形 。 已 知 兩 邊 及 其 一 邊 對 角 時(shí) 解 三 角 形 的 情 況 。 3 教 學(xué) 重 點(diǎn)教 學(xué) 難 點(diǎn)一 .教 材 分 析 情感態(tài)度 價(jià)值觀知識與能力 過程與方法 4一 .教 材 分 析 掌 握 正 弦 定 理 ,能 初 步 利 用 正 弦 定 理 解 斜 三 角 形 ； 培 養(yǎng) 學(xué) 生 歸 納 、 猜 想 、 論 證 能 力 ； 培 養(yǎng) 學(xué) 生 的 創(chuàng) 新 意 識 與 邏 輯 思 維 能 力 。知識與能力一 .教 材 分 析 分 析 研 究 正 弦 定 理 的 探 索 過 程 ； 體 驗(yàn) 先 猜 想 后 證 明 、 特 殊 到 一 般 、 分 類 討 論 的 方 法 。過程與方法一 .教 材 分 析 情感態(tài)度 價(jià)值觀通 過 學(xué) 生 之 間 、 師 生 之 間 的 交 流 、 合 作 和 評 價(jià) ， 激 發(fā)學(xué) 生 的 求 知 欲 望 ， 給 學(xué) 生 成 功 的 體 驗(yàn) ， 感 受 數(shù) 學(xué) 活 動(dòng)的 探 索 與 創(chuàng) 造 過 程 ， 體 會 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 的 嚴(yán) 謹(jǐn) 性 。一 .教 材 分 析 建 構(gòu) 主 義 認(rèn) 為 :教 師 的 角 色 是 學(xué) 生 建 構(gòu) 知 識 的引 導(dǎo) 者 和 幫 助 者 。 在 教 學(xué) 過 程 中 ， 學(xué) 生 為 主 體 ,教 師 為主 導(dǎo) 。 教 師 通 過 創(chuàng) 設(shè) 問 題 情 境 ， 引 導(dǎo) 學(xué) 生 質(zhì) 疑 、 探 索 、反 思 ， 為 學(xué) 生 的 學(xué) 習(xí) 搭 建 支 架 。 學(xué) 生 由 問 題 開 始 ， 以 正 弦 定 理 的 發(fā) 現(xiàn) 為 基 本 內(nèi) 容 ， 從 而 得 出 猜 想 、 證 明 猜想 ， 并 逐 步 得 到 深 化 。 因 此 為 了 有 效 的 突 出 重 點(diǎn) ， 突 破 難 點(diǎn) 達(dá) 到 三 維教 學(xué) 目 標(biāo) ， 本 節(jié) 課 主 要 采 用 建 構(gòu) 主 義 的 支 架 式 教 學(xué) 法 。提 出問 題 分 析問 題 解 決問 題 反 思升 華知 識發(fā) 生 知 識發(fā) 展 知 識應(yīng) 用二 .教 法 分 析 教 與 學(xué) 是 和 諧 統(tǒng) 一 的 整 體 ， 是 相 互 促 進(jìn) 的 體系 。 學(xué) 生 以 自 主 探 究 ,合 作 交 流 為 主 要 學(xué) 習(xí) 方 式 ,結(jié) 合“ 觀 察 歸 納 猜 想 證 明 應(yīng) 用 ” 的 方 法將 直 角 三 角 形 、 三 角 函 數(shù) 的 知 識 應(yīng) 用 于 對 任 意 三 角 形邊 角 關(guān) 系 的 探 究 。 體 現(xiàn) 學(xué) 生 的 主 體 地 位 ， 提 升 學(xué) 生 的數(shù) 學(xué) 思 維 能 力 。三 .學(xué) 法 分 析 小 結(jié) 反 思鞏 固 提 高任 務(wù) 拓 展布 置 作 業(yè)歸 納 猜 想證 明 定 理 例 題 講 解定 理 應(yīng) 用結(jié) 構(gòu) 研 究定 理 分 析 創(chuàng) 設(shè) 情 景建 立 模 型四 .教 學(xué) 程 序 （ 一 ） 創(chuàng) 設(shè) 情 境 ， 建 立 模 型 (1) 改 為 ： 朝 北 偏 西 400 BA 北解 放 軍 海 盜假 設(shè) t為 兩 船 相遇 的 航 行 時(shí) 間 60t 30t A B解 放 軍 北海 盜60t 30t4050？30 四 .教 學(xué) 程 序 “ 解 三 角 形 ” 概 念 的 提 出一 般 地 ， 把 三 角 形 的 三 個(gè) 角 A、 B、 C和 它 們 的 對 邊 a、 b、 c叫 做 三 角 形 的 元 素 。是 否 有 更 好 更 簡 便 的 方 法 解 決 這 個(gè) 問 題 ？接 下 來 ， 我 們 來 探 討 三 角 形 的 邊 角 關(guān) 系 ?。?一 ） 創(chuàng) 設(shè) 情 境 ， 建 立 模 型 (2)50A解 放 軍 北60t 30t40？ C 海 盜B 已 知 三 角 形 的 幾 個(gè) 元 素 求 其 他 元 素 的 過 程 叫 做 解 三 角 形 。 四 .教 學(xué) 程 序 （ 二 ） 歸 納 猜 想 ， 證 明 定 理 (1)教 師 引 導(dǎo) 分 析 直 角 三 角 形 學(xué) 生 觀 察 特 點(diǎn) ， 歸 納 結(jié) 論sinC ccsin aA c sinB bcsinac A sinCcc sinBbc A BC a b c自 主 探 究 合 作 交 流 2c ab(1)sinA sinB sinC = 3c (2)abc= sinA sinB sinC學(xué) 生 結(jié) 論 a b c= =sinA sinB sinC 是 否 對 任 意 三 角 形 都 成 立 呢 ？學(xué) 生 猜 想 四 .教 學(xué) 程 序 教 師 引 導(dǎo) 學(xué) 生 為 主 體 ， 教 師 為 主 導(dǎo) 。 通 過 教 師 的 引 導(dǎo) ， 學(xué) 生 從特 殊 情 況 -直 角 三 角 形 入 手 ， 自 主 探 究 、 合 作 交 流 ：觀 察 -歸 納 -猜 想 ， 從 而 體 驗(yàn) 知 識 的 發(fā) 生 ， 為 一 般 性 證明 打 下 良 好 的 基 礎(chǔ) ,并 感 受 “ 由 特 殊 到 一 般 ” 的 方 法 。學(xué) 生 觀 察 學(xué) 生 歸 納 學(xué) 生 猜 想 設(shè) 計(jì) 意 圖四 .教 學(xué) 程 序 若 學(xué) 生 直 接 回 答 出 做 高 轉(zhuǎn) 化 為 直 角 三 角 形 ，則 由 學(xué) 生 敘 述 證 明 的 思 路 ， 教 師 板 書 過 程 ；若 學(xué) 生 未 能 回 答 思 路 ， 則 教 師 提 示 情 境 問題 的 轉(zhuǎn) 化 思 路 ， 讓 學(xué) 生 類 比 證 明 。 突 破 難 點(diǎn)直 角 銳 角 鈍 角（ 二 ） 歸 納 猜 想 ， 證 明 定 理 (2)四 .教 學(xué) 程 序 2c ab(1)sinA sinB sinC = 3c (2)abc= sinA sinB sinC學(xué) 生 結(jié) 論 a b c= =sinA sinB sinC 是 否 對 任 意 三 角 形 都 成 立 呢 ？學(xué) 生 猜 想 海 盜50A解 放 軍 北60t 30t40？ C B B ACa c bD bsinA = CDasinB= CD bCD= sinAaCD= sinB a b=sinA sinB過 C作 CD AB， 則 有同 理 可 得 ， 過 B作 BE AC， 則 有 a c=sinA sinC鈍 角 的 證 明 思 路 同 銳 角 情 況 ，由 學(xué) 生 課 后 完 成教 師 提 問 ： 是 否 有 其 他 方 法 證 明 正 弦 定 理 呢 ？四 .教 學(xué) 程 序 （ 三 ） 結(jié) 構(gòu) 研 究 ， 定 理 分 析 (1)a b c= =sinA sinB sinC教 師 提 問 ： 觀 察 以 上 公 式 的 有 何 特 點(diǎn) ？ (1)等 價(jià) 于 ， ，a b b c a c=sinA sinB sinB sinC sinA sinCk a b c=sinA sinB sinC(2)存 在 比 例 系 數(shù) k使 得 ：kk ka= sinAb sinB ;c sinC ttta= sinAb sinB ;c sinC或 1(t= )k 四 .教 學(xué) 程 序 (1)在 ABC中 , 若 abc,則 ABC;(2)在 ABC中 , 若 AB, 則 sinAsinB;(3)在 ABC中 , 若 sinAsinB,則 AB; （ T）（ T）（ T）a b c= =sinA sinB sinC課 本 P3:由 正 弦 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 的 單 調(diào) 性 可 知 ， 正 弦 定理 很 好 的 描 述 了 任 意 三 角 形 邊 與 角 的 一 種 數(shù) 量 關(guān) 系 。（ 三 ） 結(jié) 構(gòu) 研 究 ， 定 理 分 析 (2)四 .教 學(xué) 程 序 例 1 在 ABC中 ， 若 A=45 ,B=60 ,a=8cm， 解 三 角 形 .B ACa c b8 4560 ?4 6( ) 4 3 4cm o oo ooo OO解 ： 根 據(jù) 三 角 形 內(nèi) 角 和 定 理 ， C=180 -(A+B)=75a b 8 b 由 正 弦 定 理 = 得 =sinA sinB sin45 sin608 即 b= sin60sin45 asinC 8sin75 同 理 可 得 c= = = (cm)sinA sin45題 目 類 型 : 已 知 兩 角 和 一 邊 （ 四 ） 例 題 講 解 ， 定 理 應(yīng) 用 (1)四 .教 學(xué) 程 序 B 3A 23 3.32 .3 asin解 ： 根 據(jù) 由 正 弦 定 理 sin = =b 2 0 A A = 或 （ 1） A = （ 2） A =例 2 在 ABC中 ,已 知 a= ， b= ， B= ,解 三 角 形 .3 xo-1 2 32 21 y 4題 目 類 型 : 已 知 兩 邊 對 一 角四 .教 學(xué) 程 序（ 四 ） 例 題 講 解 ， 定 理 應(yīng) 用 (1) 2 oo o 30tsin50解 ： 由 由 正 弦 定 理 sinA = 0.38560t 0 A 180 A 22.6或 157.4 OO a b, A B, A 50 A 22.6大 邊 對 大 角 ， 小 邊 對 小 角 四 .教 學(xué) 程 序（ 四 ） 例 題 講 解 ， 定 理 應(yīng) 用 (2) 問 題 ： 索 馬 里 海 盜 日 益 猖 獗 ， 我 國 堅(jiān) 決 打 擊 海 盜 。 某 日 我 A艦 隊(duì) 突 然 發(fā) 現(xiàn) 其 正 東 處 有 海 盜 艦 艇 B正 以 30節(jié) 的 速 度 朝 北 偏 西400方 向 追 擊 商 船 追 擊 商 船 ， 我 方 決 定 全 速 攔 截 海 盜 .已 知 我 方艦 隊(duì) A的 速 度 為 60節(jié) 問 怎 樣 確 定 航 行 角 度 使 得 兩 艦 恰 好 相 遇 ? 海 盜50A解 放 軍 北60t 30t40？ C B 1.正 弦 定 理 具 有 對 稱 和 諧 美 ；2.“ 先 猜 想 后 證 明 ” 是 一 種 常 用 的 科 學(xué) 研 究 問 題 的 思 路 和 方 法 ; 3.正 弦 定 理 可 以 解 決 的 三 角 形 的 類 型 ： 兩 角 一 邊 ， 兩 邊 一 對 角 類 型 的 三 角 形 ; 4.在 解 已 知 兩 邊 及 其 一 邊 對 角 的 三 角 形 時(shí) ， 可 能 出 現(xiàn) 兩 解 、 一 解 、 無 解 的 情 況 。 四 .教 學(xué) 程 序（ 五 ） 小 結(jié) 反 思 ， 提 高 認(rèn) 識 選 做 題 ： 1.在 ABC中 ,AB= ,AC=1,且 B=300,求 三 角 形 面 積 ；必 做 題 : (1)課 本 P4 練 習(xí) 1(1)， 練 習(xí) 2(2) (2)在 ABC中 ， 若 a=22,b=25,A=1330,解 三 角 形 。 3 A BC ab c?2.正 弦 定 理 的 第 二 種 證 明 。 3.如 果 已 知 一 個(gè) 三 角 形 的 兩 邊 及其 夾 角 ， 要 求 第 三 邊 怎 么 辦 ？ 發(fā)現(xiàn) 正 那 弦 定 理 不 適 用 ， 么 自 然 過渡 到 下 一 節(jié) 內(nèi) 容 ， 余 弦 定 理 ， 布置 作 業(yè) ， 預(yù) 習(xí) 下 一 節(jié) 內(nèi) 容 。 四 .教 學(xué) 程 序（ 六 ） 任 務(wù) 拓 展 ， 布 置 作 業(yè) 五 .板 書 設(shè) 計(jì) 本 節(jié) 課 重 在 創(chuàng) 設(shè) 建 構(gòu) 主 義 學(xué) 習(xí) 環(huán) 境 。 在 教 師 的 引 導(dǎo) 下 ， 學(xué) 生 完 成 了 對 知 識 的 建 構(gòu) ， 形 成 了 完備 的 知 識 體 系 。 問 題 是 本 節(jié) 課 啟 發(fā) 探 究 的 主 線 ， 學(xué) 生 以 其 主體 地 位 參 與 其 中 ， 獲 得 了 知 識 ， 提 升 能 力 。 正 弦 定 理 的 證 明 方 法 很 多 ， 本 節(jié) 課 從 學(xué) 生 的 “ 最 近 發(fā) 展區(qū) ”入 手 去 設(shè) 計(jì) 問 題 ， 思 路 自 然 ， 是 學(xué) 生 易 于 接 受 的 一 種 證 明 方法 。 例 題 2的 已 知 兩 邊 及 一 邊 對 角 的 類 型 ， 課 堂 上 已 涉 及 兩 解 、一 解 的 情 況 ， 無 解 的 情 況 由 學(xué) 生 通 過 作 業(yè) 課 后 完 成 并 總 結(jié) 歸納 。六 .教 學(xué) 反 思