盧正新《隨機(jī)過(guò)程》第五章布朗運(yùn)動(dòng)與鞅-全

1 第 五 章 ： 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 與 鞅v布 朗 運(yùn) 動(dòng) 的 定 義 與 基 本 性 質(zhì)v鞅 的 定 義 與 例 2 隨 機(jī) 游 動(dòng) 與 布 朗 運(yùn) 動(dòng)考 慮 在 直 線(xiàn) 上 的 無(wú) 限 隨 機(jī) 游 動(dòng) ： 質(zhì) 點(diǎn) 每 經(jīng) 過(guò) t時(shí) 間 ， 隨 機(jī) 地 以 概率 p=0.5向 右 移 動(dòng) x0； 以 概 率 q=0.5向 左 移 動(dòng) x， 且 每 次 移 動(dòng) 相互 獨(dú) 立 。 令 1-1i iX i ， 第 次 質(zhì) 點(diǎn) 向 右 移 動(dòng)， 第 次 質(zhì) 點(diǎn) 向 左 移 動(dòng) 1 2( ) , ttX t x X X X ： 向 下 取 整 運(yùn) 算則 質(zhì) 點(diǎn) 在 時(shí) 刻 t的 位 置 X(t)可 表 示 為 ：其 均 值 和 方 差 為 ： 2 20 1 ( ) 0 ( ) ( )i i i tEX DX EX EX t DX T x t ， ； ， 3 t和 x的 取 值 ： 使 得 DX(t)在 t和 x趨 于 零 時(shí) ， 極 限 有 意 義 。如 ： t = x， 當(dāng) t-0， DX(t)-0， 則 X(t)=0， a.s.若 取 t = x3 ， 當(dāng) t-0， DX(t)-， 不 合 理 。一 般 情 況 下 ， 有 此 時(shí) ：x t 2 2 2 0 0 0lim ( ) lim( ) limt t tt tDX t x t tt t 4 X(t)為 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 之 和 ， 由 中 心 極 限 定 理 ， 可 得 ：1） X(t)N(0, 2t); 隨 機(jī) 游 動(dòng) 的 值 在 不 相 重 疊 的 時(shí) 間 區(qū) 段 內(nèi) 相 互 獨(dú) 立 ， 得2） X(t)是 獨(dú) 立 增 量 過(guò) 程 ； 在 任 一 時(shí) 間 區(qū) 間 隨 機(jī) 游 動(dòng) 的 值 僅 與 時(shí) 長(zhǎng) 有 關(guān) ， 得3） X(t)是 平 穩(wěn) 增 量 過(guò) 程 5 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 定 義 1： 隨 機(jī) 過(guò) 程 W(t)， t0， 如 果 滿(mǎn) 足 ： 1） W(0)=0； 2） W(t)是 獨(dú) 立 、 平 穩(wěn) 增 量 過(guò) 程 ； 3） 對(duì) 任 意 t0， W(t)服 從 正 態(tài) 分 布 N(0, 2t)。則 稱(chēng) W(t)， t0為 維 納 過(guò) 程 ， 或 稱(chēng) 為 布 朗 運(yùn) 動(dòng) （ B(t)， t0 ） 。如 果 =1， 稱(chēng) 為 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 。一 般 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 可 用 W(t)/， t0變 換 成 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動(dòng) ， 后 面 我 們假 定 都 是 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 。 6 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 定 義 2： 隨 機(jī) 過(guò) 程 B(t)， t0為 布 朗 運(yùn) 動(dòng) ， 如 果 滿(mǎn) 足 ： 1） （ 正 態(tài) 增 量 ） B(t)-B(s)N(0,t-s) ； 2） （ 獨(dú) 立 增 量 ） B(t)-B(s)獨(dú) 立 于 過(guò) 去 的 狀 態(tài) B(v)， 0v s； 3） （ 軌 道 連 續(xù) ） B(t)， t0的 軌 道 是 t的 連 續(xù) 函 數(shù) 。注 ： 并 未 強(qiáng) 調(diào) B(0)=0， 如 果 B(0)=x， 可 用 B(t)-x進(jìn) 行 變 換 。定 理 ： 設(shè) B(t)， t0是 正 態(tài) 過(guò) 程 ， 軌 道 連 續(xù) ， B(0)=0， 對(duì) 任 意 的 s，t0， 有 EB(t)=0， EB(s)B(t)=min(s,t)， 則 B(t)， t0為 布 朗 運(yùn) 動(dòng) ，反 之 亦 然 。 1 ( ), 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B t ts tE B s B t E B s B t B s B sE B s B t B s E B s B s s 證 ： ） 充 分 性 若 是 布 朗 運(yùn) 動(dòng) ， 則 其 為 正 態(tài) 過(guò) 程 。 設(shè) ， 則 ： 2 2 22 ( ), 0( ) ( ) min( , ) , 0 ( ) ( ) 0; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) min( , )B t tE B s B t s t s tE B t B sE B t B s EB t EB s E B t B st s s t t s ） 必 要 性 ， 當(dāng) 為 正 態(tài) 過(guò) 程 ， 且 ， 則 多 ， 有 ( ) ( ) (0, )B t B s N t s 即 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 11 1 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )s t s tE B t B s B t B s t t s sB t B s B t B sB t B s B t B s B tB t 而 對(duì) ， 有即 與 ；由 正 態(tài) 過(guò) 程 性 質(zhì) （ 獨(dú) 立 即 相 關(guān) ） 知 ：與 獨(dú) 立 ， 即 為 正 交 增 量 過(guò) 程 ；故 為 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 。 9 推 論 ： 設(shè) B(t)， t0 為 布 朗 運(yùn) 動(dòng) ， 則 ： 00 0 0 01 ( ) ( ), 0 , 0;1 ( ), 0 , 0;1 1( ), 0 ( ) 0;( ) ( ),0 , 0tB t B tB t ttB t tBt tB t s B t s t t ）2）3） ， 其 中4） 1 ( ) ( ), 0 , 0;( ) ( ) ( ) (0 ) ( )=00 ( ) ( ) 0, 0( ) ( ) ( ) ( )min( , ) min( , )B t B tB t B t BB Bt E B t Bs tE B t B B s Bt s t s ）證 ： 為 正 態(tài) 過(guò) 程 ， 則 為 正 態(tài) 過(guò) 程 ， 且對(duì) ，對(duì) ， 有 例 ： 設(shè) B(t)， t0 為 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動(dòng) ， 計(jì) 算 PB(2) 0及 PB(t) 0，t=1,2 。 0(2) (0,2) (2) 0 0.5 ( ) 0, 1,2 (1) 0, (2) 0 (1) 0, (1) (2) (1) 0 (1) 0, (2) (1) (1) (2) (1) ( ) (1) (0,1)B N P BP B t t P B BP B B B BP B B B BP B B x f x dx B N 解 ： ， 則0 00 ( ) ( ) (2) (1) (0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x dx B B Nx f x dx x xx f x dx 110 2 ( ( ) ( )3 ( ) ( ) 8 f x f xx d x ydy 多 維 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 概 率 密 度 ： 1 2 1 21 21 2 1 21 2 1 21 2 , ( )( ) ( 1,2 )( ) ,( ) ( 1,2 )( ) 0 n ni i ni i n i i nn n inX X X X n f x x xY g x x x i n Xx h y y y g h Y Y Y Yf x x x J y y y g i ng y y y 設(shè) 為 維 隨 機(jī) 向 量 ， 為 其 概 率 密 度 ，設(shè) 是 的 函 數(shù) ， 且 存 在 唯 一 的 反 函 數(shù)， 如 果 、 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 則 的概 率 密 度 函 數(shù) 為 ： 若 是 的 值 域 1 21 1 11 21 2 ( ) i i nnn n nnx h y y yx x xy y yJ x x xy y y 13 0 00 1 1 21 2 1 2 1 112( ), 0 0 0(0) 0 0 ( ), ( ), ( ) ( , , ; , , ) ( ; )1 ( ; ) exp 22 n nnn n i i i iiB t t x tB t t t B t B t B tg x x x t t t p x x t txp x t tt 定 理 ： 設(shè) 為 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動(dòng) ， 令 ， ， 則當(dāng) 時(shí) ， 對(duì) ， 的聯(lián) 合 概 率 密 度 為 ：其 中 1 1 11 1 2 121 2 1 111 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) , (0, )1( , ) exp 2( )2 ( )( , ; , ) ( , )1 01 11 1 i i iii kk n i i in in i i ii in n nY B t Y B t B t i nB t Y Y Y Y Y N t tyf y y y t tt tg x x x t t t f y y y JJ 證 明 ： 令 ， ， 1 ， 則由 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 性 質(zhì) ， 相 互 獨(dú) 立 ， ， 則由 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 概 率 密 度 公 式 ， 得 ： 11 01 1 J 15 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 的 軌 道從 時(shí) 刻 0到 時(shí) 刻 T對(duì) 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 的 一 次 觀(guān) 察 稱(chēng) 為 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 在 區(qū) 間 0,T上 的 一 條 軌道 或 路 徑 。 0 0 1 1210 1 0 0 =max lim ( ) ( ) . .n k kk nn k kk t t t t t tB t B t t a s 定 理 ： 固 定 ， 設(shè) ， ( - ),則 有 210 1 2210 1 1 lim ( ) ( ) 2 lim ( ) ( ) 0n k kk n k kkE B t B t tE B t B t t 思 路 ： ） ） 1） 是 t的 連 續(xù) 函 數(shù) ；2） 在 任 何 點(diǎn) 都 不 可 微軌 道 的 基 本 性 質(zhì) 16 鞅 的 定 義 與 例博 弈 問(wèn) 題 ： 博 弈 者 進(jìn) 行 一 序 列 博 弈 （ 輪 盤(pán) 賭 ） ， 每 次 博 弈 輸 和 贏 的 概 率 相 同 ，每 次 的 下 注 額 自 定 。 問(wèn) 博 弈 者 采 用 何 種 下 注 方 式 贏 面 大 ？定 義 ： 隨 機(jī) 過(guò) 程 Xn， n0稱(chēng) 為 關(guān) 于 Yn， n0的 下 鞅 ， 如 果 對(duì) n0， Xn是Y0, ,Yn的 函 數(shù) ， EXn， 且 EXn+1| Y0, ,Yn Xn。定 義 ： 隨 機(jī) 過(guò) 程 Xn， n0稱(chēng) 為 關(guān) 于 Yn， n0的 上 鞅 ， 如 果 對(duì) n0， Xn是Y0, ,Yn的 函 數(shù) ， EXn， 且 EXn+1| Y0, ,Yn Xn。若 X n， n0同 時(shí) 是 關(guān) 于 Yn， n0的 上 鞅 和 下 鞅 ， 則 稱(chēng) 之 為 關(guān) 于 Yn的 鞅 。鞅 描 述 的 是 “ 公 平 ” 的 博 弈 ， 下 鞅 和 上 鞅 則 是 “ 有 利 ” 和 “ 無(wú) 利 ” 的 博 弈 。 博 弈 問(wèn) 題 解 答 ： 1 10 , 1 1 1 0.5 1 -1( ) 2 n nn n n nn n nn n nY n YP Y P Y Y Yb b Y Y nb n b bX nX 解 ： 用 表 示 每 次 博 弈 的 輸 贏 ， 則 為 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 ， 。 表 示 贏 ， 為 輸 。 博 弈 者 的 下 注 策 略 依 賴(lài) 于 前 面 的 博 弈 結(jié) 果 ， 可 用 ， 來(lái) 描 述為 第 次 的 賭 注 ， 若 贏 則 獲 利 ， 輸 則 輸 掉設(shè) 為 博 弈 者 的 起 始 賭 資 ， 則 第 次 博 弈 后 的 賭 資 為 ： 0 1 11 1 0 111 1 11 1=1 | | | |nn i ii nn n i i nin n n nn n nX bYn E X Y Y E X b y Y YE X b Y Y YE X Y Y b 則 第 次 博 弈 后 ， 其 平 均 賭 資 為 ： 1 11 1 | n nn n n nE Y Y YX b E Y X 18 定 理 ： 設(shè) Xn， n0是 關(guān) 于 Yn， n0的 鞅 ， 則 1） 對(duì) 任 意 的 0mn， 有 EXn| Ym, ,Y0 =Xm ； 2） 對(duì) 任 意 n， EXn=EX0 1 0 1 0 0 00 0- 1 = +1- | | | 2 ( | )m k m m k m k mm k m mn nn m n mn m kE X Y Y E E X Y Y Y YE X Y Y XEX E E X Y EX 證 ： 1） 用 歸 納 法 ， 當(dāng) 時(shí) ， 即 時(shí) ， 顯 然 成 立 。 設(shè) 時(shí) 成 立 ， 則 ） 例 ： 獨(dú) 立 隨 機(jī) 變 量 之 和 與 積 1） 設(shè) Y0=0， Yn， n0是 獨(dú) 立 的 中 心 化 隨 機(jī) 變 量 序 列 ， E|Yn|， 定 義X0=0， 則 Xn =Y1+Yn是 鞅 ； 2） 設(shè) Y0=0， Yn， n0是 隨 機(jī) 變 量 序 列 ， E|Yn|， EYn= n0， n1，定 義 X0=0， 則 Xn =Y1Y2Yn/ 1 2 n是 鞅 。 1+1 0 +1 0 +1 0 +11 +1+1 0 0| | | | 1,2 | | | | | | 1,2 | | nn kkn n n n nn n n n n nnn kk nn n n nnnnE X Y nE X Y Y E X Y Y YX E Y Y Y X E Y XE X Y nYE X Y Y E X Y YYX E 解 ： 1) ， 2) ，+1 +10| nn n nn nYY Y X E X