高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題
專題限時(shí)集訓(xùn)(十) 空間幾何體表面積或體積的求解 建議A、B組各用時(shí):45分鐘 A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016·石家莊二模)一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖1011所示,則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()圖1011D分析三視圖可知,該幾何體為如圖所示的三棱錐,其中平面ACD平面BCD,故選D.2(2016·濰坊二模)已知某幾何體的三視圖如圖1012所示,則該幾何體的體積為()圖1012A.B.C.D(2)B由三視圖可知該幾何體由半球內(nèi)挖去一個(gè)同底的圓錐得到,所以該幾何體的體積為V××13×12×1.3(2016·煙臺(tái)模擬)某幾何體的三視圖如圖1013所示,則該幾何體的體積與其外接球的體積之比為()圖1013A13B.C13D1D由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,體積V1×2×2×24,設(shè)外接球的半徑為R,則4R222222212,所以R.所以球的體積V2R34,體積比V1V2441.4(2016·湖北七市模擬)已知某幾何體的三視圖如圖1014所示,其中俯視圖是正三角形,則該幾何體的體積為()圖1014A.B2 C3D4B分析題意可知,該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱錐ABEDC得到的,故其體積V×22×3××2×2,故選B.5(2016·廣州二模)如圖1015,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖,則該四面體的表面積為()圖1015A884B882C22D.A在正方體中還原出該四面體CA1EC1如圖所示,可求得該四面體的表面積為884.二、填空題6(2016·昆明一模)已知三棱錐PABC的頂點(diǎn)P,A,B,C在球O的球面上,ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,如果球O的表面積為36,那么P到平面ABC距離的最大值為_32依題意,邊長(zhǎng)是的等邊ABC的外接圓半徑r·1.球O的表面積為364R2,球O的半徑R3,球心O到平面ABC的距離d2,球面上的點(diǎn)P到平面ABC距離的最大值為Rd32.7(2016·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)三棱錐PABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐DABE的體積為V1,PABC的體積為V2,則_.如圖,設(shè)SABDS1,SPABS2,E到平面ABD的距離為h1,C到平面PAB的距離為h2,則S22S1,h22h1,V1S1h1,V2S2h2,所以.8(2016·??诙?半徑為2的球O中有一內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形,側(cè)棱垂直底面)當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí),球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是_16()設(shè)內(nèi)接正四棱柱底邊長(zhǎng)為a,高為h,那么162a2h22ah,正四棱柱的側(cè)面積S4ah16,球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是16()三、解答題9(2016·合肥二模)如圖1016,P為正方形ABCD外一點(diǎn),PB平面ABCD,PBAB2,E為PD的中點(diǎn)圖1016(1)求證:PACE;(2)求四棱錐PABCD的表面積解(1)證明:取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,則EFADBC,即EF,BC共面PB平面ABCD,PBBC,又BCAB且PBABB,BC平面PAB,BCPA.3分PBAB,BFPA,又BCBFB,PA平面EFBC,PACE.6分(2)設(shè)四棱錐PABCD的表面積為S,PB平面ABCD,PBCD,又CDBC,PBBCB,CD平面PBC,CDPC,即PCD為直角三角形,8分由(1)知BC平面PAB,而ADBC,AD平面PAB,故ADPA,即PAD也為直角三角形SABCD2×24,SPBCSPABSPDA×2×22,SPCD×2×2,10分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD102.12分10(2016·湖北七市模擬)如圖1017,一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液體(不計(jì)容器厚度)若液面恰好分別過(guò)棱AC,BC,B1C1,A1C1的中點(diǎn)D,E,F(xiàn),G.圖1017(1)求證:平面DEFG平面ABB1A1;(2)當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),求液面的高解(1)證明:因?yàn)镈,E分別為棱AC,BC的中點(diǎn),所以DE是ABC的中位線,所以DEAB.又DE平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1,又DEDGD,所以平面DEFG平面ABB1A1.6分(2)當(dāng)直三棱柱ABCA1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí),由(1)可知,液體部分是直四棱柱,其高即為原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高,即側(cè)棱長(zhǎng)l,當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),設(shè)液面的高為h,ABC的面積為S,則由已知條件可知,CDEABC,且SCDES,所以S四邊形ABEDS.9分由于兩種狀態(tài)下液體體積相等,所以V液體ShS四邊形ABEDlSl,即hl.因此,當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),液面的高為l.12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·濟(jì)寧模擬)如圖1018所示,四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,且PD2,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,M是CD的中點(diǎn),平面PMB平面PCD,則該四棱錐的體積為()圖1018A.B4C.D4A過(guò)點(diǎn)D在平面PCD內(nèi)作DNPM于點(diǎn)N,又平面PMB平面PCD,平面PMB平面PCDPM,所以DN平面PMB,所以DNBM.又由PD平面ABCD,得PDBM,又PD與DN是平面PDC內(nèi)的兩條相交直線,所以BM平面PDC,則BMCD.又點(diǎn)M是CD的中點(diǎn),BCCD,所以BCD60°,所以底面菱形ABCD的面積為2×2×sin 60°2,故該四棱錐的體積為×2×2.2(2016·重慶二模)某幾何體的三視圖如圖1019所示,則該幾何體的體積為()圖1019A.B.C.D.B根據(jù)三視圖可知,幾何體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐所組成的,其中該直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形(直角邊長(zhǎng)分別為1,2,高為1);該三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形(腰長(zhǎng)分別為1,2,高為1),因此該幾何體的體積為×2×1×1××2×1×1,選B.3(2016·唐山二模)某幾何體的三視圖如圖1020所示,則該幾何體的體積為()圖1020A64B4C.D2D由三視圖知,該幾何體為一個(gè)底面半徑為1,高為1的圓柱體,與底面半徑為1,高為2的半圓柱體構(gòu)成,所以該三視圖的體積為×12×1×12×22,故選D.4(2016·江西上饒三模)從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA,PB,PC兩兩成60°角,且分別與球O相切于A,B,C三點(diǎn),若OP,則球的體積為()A.B.C.D.C設(shè)OP交平面ABC于O,由題得ABC和PAB為正三角形,所以O(shè)AABAP.因?yàn)锳OPO,OAPA,所以,所以O(shè)A×1,即球的半徑為1,所以其體積為×13.選C.二、填空題5(2016·廣州二模)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為1,頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球的體積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):67722038】由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r1, 其高h(yuǎn)1,球半徑為R,該球的體積VR3×3.6(2016·開封一模)在三棱錐PABC中,ABBC,AC6,PC平面ABC,PC2,則該三棱錐的外接球表面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):67722039】由題可知,ABC中AC邊上的高為,球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D,設(shè)DADBDCx,x232(x)2,解得x,R2x221(其中R為三棱錐外接球的半徑),外接球的表面積S4R2.三、解答題7如圖1021,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,BADADC90°,ABADCD,BEDF.圖1021(1)若M為EA中點(diǎn),求證:AC平面MDF;(2)若AB2,求四棱錐EABCD的體積解(1)證明:設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N,連接MN,在矩形CDEF中,點(diǎn)N為EC中點(diǎn),因?yàn)镸為EA中點(diǎn),所以MNAC.2分又因?yàn)锳C平面MDF,MN平面MDF,所以AC平面MDF.4分(2)取CD中點(diǎn)為G,連接BG,EG,平面CDEF平面ABCD,平面CDEF平面ABCDCD,AD平面ABCD,ADCD,所以AD平面CDEF,同理ED平面ABCD,7分所以ED的長(zhǎng)即為四棱錐EABCD的高.8分在梯形ABCD中,ABCDDG,ABDG,所以四邊形ABGD是平行四邊形,BGAD,所以BG平面CDEF.又DF平面CDEF,所以BGDF,又BEDF,BEBGB,所以DF平面BEG,DFEG.10分注意到RtDEGRtEFD,所以DE2DG·EF8,DE2,所以VEABCDS梯形ABCD·ED4.12分8如圖1022,在多面體ABCDM中,BCD是等邊三角形,CMD是等腰直角三角形,CMD90°,平面CMD平面BCD,AB平面BCD,點(diǎn)O為CD的中點(diǎn),連接OM.圖1022(1)求證:OM平面ABD;(2)若ABBC2,求三棱錐ABDM的體積解(1)證明:CMD是等腰直角三角形,CMD90°,點(diǎn)O為CD的中點(diǎn),OMCD.1分平面CMD平面BCD,平面CMD平面BCDCD,OM平面CMD,OM平面BCD.2分AB平面BCD,OMAB.3分AB平面ABD,OM平面ABD,OM平面ABD.4分(2)法一:由(1)知OM平面ABD,點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分過(guò)點(diǎn)O作OHBD,垂足為點(diǎn)H.AB平面BCD,OH平面BCD,OHAB.6分AB平面ABD,BD平面ABD,ABBDB,OH平面ABD.7分ABBC2,BCD是等邊三角形,BD2,OD1,OHOD·sin 60°.9分V三棱錐ABDMV三棱錐MABD××AB·BD·OH××2×2×.11分三棱錐ABDM的體積為.12分法二:由(1)知OM平面ABD,點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分ABBC2,BCD是等邊三角形,BD2,OD1.6分連接OB,則OBCD,OBBD·sin 60°.7分V三棱錐ABDMV三棱錐MABDV三棱錐OABDV三棱錐ABDO××OD·OB·AB××1××2.11分三棱錐ABDM的體積為.12分