(普通班)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四篇 不等式選講 第2節(jié) 證明不等式的基本方法基礎(chǔ)對點(diǎn)練 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題
第2節(jié)證明不等式的基本方法【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號比較法證明不等式1綜合法證明不等式3分析法證明不等式2分析綜合法證明不等式41.設(shè)a>b>0,求證:>.證明:法一-=,因?yàn)閍>b>0,所以a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0.所以->0,所以>.法二因?yàn)閍>b>0,所以a+b>0, a-b>0.所以=·=1+>1.所以>.2.設(shè)x1,y1,求證x+y+xy.證明:由于x1,y1,要證x+y+xy,只需證xy(x+y)+1y+x+(xy)2.因?yàn)閥+x+(xy)2-xy(x+y)+1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),由條件x1,y1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,從而所要證明的不等式成立.3.(2015高考湖南卷)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明:(1)a+b2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.證明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.4.設(shè)a>0,b>0,c>0,求證:+.證明:要證+,只需證+1+1+1,只需證+,只需證(a+b+c) (+).因?yàn)?a+b+c) (+)= (b+c)+(a+c)+(a+b)·(+)×3×3×=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)“=”成立,故原不等式成立.