（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考前三個月 考前回扣10 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

回扣10　極坐標(biāo)與參數(shù)方程 1．直線的極坐標(biāo)方程 若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且直線l的傾斜角為α，則它的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線l過極點(diǎn)：θ＝α. (2)直線l過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a. (3)直線l過點(diǎn)M且平行于極軸：ρsinθ＝b. 2．圓的極坐標(biāo)方程 圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r. (2)圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcosθ. (3)圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsinθ. 3．常見曲線的參數(shù)方程 (1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)圓(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (4)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (5)過定點(diǎn)P(x0，y0)且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 4．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)， 則 1．研究極坐標(biāo)方程時往往要與普通方程之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化時坐標(biāo)系的選取與建立是以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位． 2．在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一． 3．把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的過程中要注意參數(shù)的范圍，保證轉(zhuǎn)化前后的等價．參數(shù)方程要指明參數(shù)，參數(shù)變化了，參數(shù)方程表示的曲線也發(fā)生變化． 1．(2017·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：(t為參數(shù))與曲線C：(k為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長． 解　直線l的普通方程是4x－3y－4＝0， 曲線C的普通方程是y2＝4x. 由解得或 取A，B(4,4)， 所以AB＝＝. 2．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，圓C的方程為ρ＝4sinθ(圓心為點(diǎn)C)，求直線AC的極坐標(biāo)方程． 解　方法一　以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝8，圓心C(0,2)，A的直角坐標(biāo)為(，)． 直線AC的斜率kAC＝＝－1， 所以直線AC的直角坐標(biāo)方程為y＝－x＋2， 極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsin＝2. 方法二　在直線AC上任取一點(diǎn)M(ρ，θ)，不妨設(shè)點(diǎn)M在線段AC上． 由于圓心為C，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM， 所以×2×2sin＝×2×ρsin＋×ρ×2sin，即ρ(cosθ＋sinθ)＝2， 化簡得AC的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. 3．(2017·南京學(xué)情調(diào)研)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝m.若直線l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值． 解　曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓． 直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝m，即ρcosθ＋ρsinθ＝m，化為直角坐標(biāo)方程為x＋y－2m＝0. 因?yàn)橹本€l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)， 所以直線l到曲線C的距離d＝＝1， 解得m＝－或m＝. 所以實(shí)數(shù)m的值為－或. 4．(2017·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：(t為參數(shù))．現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長． 解　直線l：(t為參數(shù))化為普通方程為4x－3y＝0， 圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為 (x－1)2＋y2＝1， 則圓C的圓心到直線l的距離d＝＝， 所以AB＝2＝. 5．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝3，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的任意一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值． 解　由ρsin＝3，可得ρ＝3， 所以y－x＝6，即x－y＋6＝0. 由得x2＋y2＝4，圓的半徑為r＝2， 所以圓心到直線l的距離d＝＝＝3， 所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為d＋r＝5. 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝，橢圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與橢圓C的普通方程； (2)若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長． 解　(1)由ρsin＝，得ρ＝，即x－y＝， 化簡得y＝x－，所以直線l的直角坐標(biāo)方程是 x－y－＝0. 由2＋2＝cos2t＋sin2t＝1， 得橢圓C的普通方程為＋＝1. (2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得消去y，得＋(x－1)2＝1， 化簡得5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝， 所以A(0，－)，B， 則AB＝＝.